1.6相似三角形的应用（分层作业练题型）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 本同步练以“分层进阶+情境应用”为特色，通过A/B/C组及中考拓展层设计，实现从相似三角形基础应用到跨学科综合问题的梯度巩固，培养几何直观与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|河宽/物体高/影长等基础应用|5-7题/题型，聚焦单一相似模型直接应用| |B组|古文/杠杆/实验等综合情境|融合物理原理（杠杆/小孔成像），需建立复杂相似关系| |C组|开放探究与方案设计|含测量方案优化（如多标杆测高），培养推理能力| |拓展|中考真题与变式|对接中考题型（如《墨经》小孔成像），强化应用意识|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.6相似三角形的应用 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 河竞问题 1.16.5m 2.D 3.【详解】解：由题意，得：R0⊥PS,TS⊥PS, .R2∥TS, ∴APORPST, PO OR 60 2 ·P5=S7903' 0S_1 PS3' ·.PS=30S=3×45=135m, .P0=135-45=90m, 答：河的宽度PQ为90m. 4.【详解】解：如图：过点A作AM L BC于点M,交DE于点N, D、W A DE∥BC, .AN⊥DE,△ADE∽△ACB, AN DE ·AMCB .AN =16m,DE 20m,BC=50m 1/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1620 ÷AM-50,解得：4M=40m? ∴.MN=AM-AN=40-16=24m, 答：河宽为24m. 5.【详解】解：BC⊥BD,DE⊥BD ∴BC∥DE, .△ABC△ADE. BCAB ·DEAD' :BC=1.5米，DE=1.8米，BD=10米， 1.5AB 18AB+10 解得：AB=50米， 答：河的宽度AB为50米： 颗型02 物体高问题 1.102.6m3.B 4.【详解】解：如图：作CH⊥AB于H,交EF于P,则CH=DA=42m, CP=45cm=0.45m,EF=15cm=0.15m 视线 视点E P 视线 D EF∥AB, .△CEF∽ACBA, EF CP 0.15_0.45 ·ABC日，即B=42,解得： 4B=14m 答：铁塔的高度为l4m 5.【详解】解：由题意可知，AH∥EF, ∴.∠AHD=∠DEF=90° 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠AFE=∠DEF=∠AHE=90°， ∴.四边形AFEH为矩形， .'AF=HE,AH EF, ,∠ABC=∠AHD=90°，∠BAC=∠HAD. ∴△ABC∽△AHD, AB BC ·AHHD? AB=0.15m,BC=0.2m,AF=1.7m,EF=37.5m, :HD=4H.aC=EF,8C_375x02=50m, AB AB0.15 .DE=HD+HE=HD+AF=50+1.7=51.7m, .超然楼DE的高度为51.7m. 颗型03 影长问题 1.A2.5.253.6m4.B 5.【详解】解：如图，CD=2m,BD=2lm, △ECD与△EAB相似， AB CD BEDE· CD 1 DE1.5 DE=1.5CD=3, AB 1 ·BE1.5 AB=21+3 =16(m) 1.5 答：旗杆的高度为l6m. 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 颗型04 古文问题 1.5752.17.63.5.2 4.【详解】解：根据题意可得：∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB,AC=DM,CD=AM, ∴△DEF∽△DCB. EF BC ·DECD .EF =0.2m,DE=0.3m,AM CD=18m. 0.2BC2 …0.3183' .BC=12m, .AB=AC+BC=1.65+12=13.65(m), 答：树高AB为13.65m 题型05 杠杆问题 1.B2.60 颗型06 实验问题 9 1.C2.4 3.54.D 颗型07 现实生活相关问题 1.A2.D3.14.6m 5.【详解】解：，DE∥BC, ∴.∠ADE=∠ACB,∠AED=∠ABC, ∴.△ADE∽△ACB. DE AE 即BCAB' 40.8 则4+3.5h ∴.h=1.5m 4/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6. 【详解】解：CM⊥DM,BD⊥DM, .∠D=∠OMC=90°. ∴在RtaCMO0中，CM=VOC2-OM2=V52-4=3米， 在RA40D中，AD=OAP-0D=(73)-32=8米 .∠D=∠OMC,∠BOD=∠COM, ∴BODACOM, DO BD ∴.OMCM, 3 BD 即：43 9 :BD=4米 ·1B=AD-BD=89=23 44米. 23 答：汽车从4处前行的距离4B为4米时，才能发现C处的儿童， 7.【详解】(1)证明：，OC=80cm,OD=120cm, 0C802 0D1203? OA 2 OB3 OA OC :OBOD' .∠AOC=∠BOD ∴.△AOC△BOD, .∠A=∠OBD, AC∥BD: (2)小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： :EF∥BD, ∴.AOEFAOBD. OH OE 0G0B' 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .20E=EB,OB=OE+EB. ∴OB=30E, OH OE 1 0G=0B3 ·0G=30H=72cm, 设点O到AC的距离为h, 由(1)可知：△AOC∽aBOD, h OA 2 0G0B3' 2 :h=0G=48cm, .72+48=120<126 ∴小红的连衣裙会碰到地面. B组 能力进阶 1.D 2.A 3.A 4.【详解】(1)解：根据题意，AB⊥BF,CD⊥BF,BE=2m,DE=0.5m, 所以BD=BE-DE=2-0.5=1.5m,CD∥AB, 所以△FCD∽△FAB. FD CD 所以FB-AB,又FB=FD+BD=FD+15 FD 1 所以，FD+1.51.5 解得，FD=3, 检验，当FD=3时，原方程的分母不为零， 所以FD=3m, 所以EF=FD-DE=3-0.5=2.5m: (2)解：不能： 如图所示，过点M作MN⊥FB交AF于点N, 6/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A N M E B 所以FM=EF-ME=2.5-0.8=1.7m,FD=3m,MD=ME+DE=0.8+0.5=1.3m, MN⊥FB,CD⊥BF, ∴.MN∥CD. 所以△FMN∽△FDC, MN FM 所以CDFD' 所以Mw=FMC2-17105m, FD 3 因为0.57>0.4， 所以驾驶员不能观察到物体。 5.【详解】(1)解：由题意得，AB‖AB, .△AOB∽△A'OB, :CD⊥AB, CD⊥AB, 又：CD经过点O, 、A'B'_OD A'B'12.8 .AB=3.2厘米 (2)解：过点4作AE‖OD交MN于点B,如图， M B D B .A'E ll OD,MN II A'B'. ∴四边形AEOD为平行四边形， .'.A'E=OD =12.8cm,OE=A'D 同理可得四边形ACOP为平行四边形， 7/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.AP=OC=32cm APII CD,A'Ell OD ,AP∥AE .△APO∽△A'E0. PO AP 32 5 ·OEAE12.82' P05 ·AD2 ..MN4'B', ∴.△POF△ADF, PO OF 5 ·ADDF2 0F=0D- 7厘米. 64 答：凸透镜焦距OF的长为7厘米. C组 思维拔高 1.【详解】解：任务1 ,观测者在B点处刚好能看到树的顶部， ∴.∠ABE=∠CBD :AE⊥AC,CD⊥AC, :.△ABE∽△CBD, 、AE_AB ·CDBC ,AB=a米，BC=b米，AE=c米， c a :CDb' .CD=bc a 任务2 设祁阳文昌塔的高度AB=x米， 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AB⊥PB,CD⊥PB,EF⊥PB, ABCD∥EF, .△QDC∽△QBA,△PFE∽△PBA, CD OD EF PF AB OB'AB PB' .CD=EF =2,OD=2,PF=3. 2223 ·xQB,xPB 3 OB=x PB=x, 2 ..PB-OB=PO=PD-OD 又.DF=17米 ∴.PD=PF+DF=17+3=20米 ∴PB-QB=20-2=18米 3 ÷2x-x=18,解得：x=36 故祁阳文昌塔的高度为36米. 2.【详解】(1)解：，点C恰好在点A东南方向， :.△ABC为等腰直角三角形， ∴，要知道河宽AB,只需要知道线段BC的长度， 故答案为：BC: (2)解：，∠DBC=∠ACB+∠CAB, ∴.∠CAB=∠DBC-∠ACB=70°-35°=35°， ∴.∠ACB=∠CAB, ∴.AB=BC=30米， 故答案为：30米： (3)解：可行，理由如下： 在△ABO和△DCO中， :∠ABO=∠DCO=90°，∠AOB=∠COD .△ABOADCO, AB OB ·cD0C 9/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴只要测得BO,OC,CD就能得到河宽AB, 故第三小组的方案可行. 3.【详解】(1)解：根据题意，∠CBF=∠ABG,∠FCB=∠GAB, .△FCBAGAB. CF BC ·AGAB' :AG=1.2m,CF=1.8m,AC=6m, 1.86-AB ∴12AB 解得AB=2.4m,经检验，符合题意： (2)解：由题意，∠GAB=∠EDB,∠GBA=∠EBD, ∴.△EDBAGAB. DE BD DE_6+4-2.4 六AGAB,即1 2.4 .DE=3.8m 4.【详解】(1)解：过点A作AE⊥CD于点E,如图所示： E 1.6米 m米 D 根据题意可知，四边形ABDE为矩形， AE=BD=m米，DE=AB=1.6米， CE 在Rta4CE中，ana= AE .CE=AE×tana=m:tana米， CD=CE+DE=(mtana+l1.6)米： (2)解：因为距离旗杆底部越远，“的度数越小，所以根据表格中的数据可知，第③组数据测量有误： (3)解：需测量的线段AF=a米，FG=b米，BD=c米， 由题可知，四边形ABDE是矩形，AE=BD=C米， :∠AFG=∠AEC=90°，∠CAE=∠GAF, 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△AFG∽△AEC, AF FG AECE· c CE' CB= a(米)， :cD=CE+16=c+1.6(米) Q 答：旗杆CD的高度为 bc+1.6米 、a 拓展 链接中考 1.C 2.【详解】(1)证明：SD⊥AC, ·∠SDC=∠SDA=90°， ,∠MDS=∠BDS. .∠SDC-∠BDS=∠SDA-∠MDS. ∴∠MDA=∠BDC: (2)解：由题意得，BC⊥AC,MA⊥AC, ∴.∠BCD=∠MAD, .'∠MDA=∠BDC, .△DASABDC, BC CD MA AD' :BC=1.5米，AC=12米，CD=2米， 1.52 ∴MA12-2' MA=7.5(米)， 同理可得，△BCE∽△NAE, BCCE ·NAAE' 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,DE=2米， 1.52+2 ·NA12-2-2’ ∴.NA=3(米)， 、MN=MA-NA=7.5-3=4.5(米). 答：公益广告牌的高度MN为4.5米. 3.【详解】解：(1)如图，PH⊥MN于点H,交EF于点G, M H (图1) 则四边形POFG,PONH均为矩形， :HN=GF=PQ=1.4m,GP=OF=2m,HP=NO=NF+FO=16+2=18(m), .EG=EF-GF=2.8-14=1.4(m). 由题意知EF∥MN, ∴.∠M=∠E,∠MHP=∠EGP, ∴.△MHPr△EGP, MH HP MH 18 EGGP,即1.4=2， 解得MH=12.6. :MW=MH+HN=12.6+1.4=14(m). 即旗杆MN的高度为14m. (2)如图，PH⊥AB于点H,交EF于点M,交E'F'于点M', E FO (图2) 12/14 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P9=P'Q'=1.4m 点P在线段PH上，四边形POFM,POBH,P'OF'M',P'OBH均为矩形， .HP=BO,MP=FO=1.2m,MP'=FO'=2.2m,HB=MF=M'F'=PO=P'O'=1.4m. .EM=E'M'=2.8-1.4=1.4m, 由题意知EF∥AB」 ∴.∠HAP=∠MEP,∠AHP=∠EMP, .△HAPP△MEP, AH。HP :.ME MP AH HP' 同理可得MEMP, EM=E'M', HP HP' ..MP MP ..HP=BO.HP'=BO'=BO+00'=BO+30 BOBO+30 .1.2 2.2 解得BQ=36m, .HP=36m, AH HP AH 36 代入ME=MP,得：1.4=2 解得AH=42m, .AB=AH+BH=42+1.4=43.4(m) 即妙光塔AB的高度为43.4m. 4.【详解】解：如图所示，过点E作EH⊥AB于H,设EH,CD交于G,则四边形EFBH,四边形EFDG 都是矩形， 777777 B .DG BH EF =1m,EN DF =1.7m. 13/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ND 1m, ∴点N和点G重合， ..CG=CD-DG=1.6m .∠AGH=45°， ∴，△AGH是等腰直角三角形， .AH=GH, 设AH=GH=xm,则EH=EG+GH=(x+1.7)m, :∠CGE=∠AHE=90°，∠CEG=∠AEH, ∴△CEG∽△AEH, CGEG1.61.7 六AHEH,即xx+1.7 解得x=27.2, 经检验，x=27.2是原方程的解， .AH=27.2m, .'AB AH +BH=28.2m, 答：避雷针顶端A的高度AB为28.2m 14/14 分层作业 1.6相似三角形的应用 目 录 A组 巩固过关 题型01 河宽问题 题型02 物体高问题 题型03 影长问题 题型04 古文问题 题型05 杠杆问题 题型06 实验问题 题型07 现实生活相关问题 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 河宽问题题型01 1.（24-25九年级上·湖南株洲·期末）在综合实践课上，孔明同学设计了如图测量河塘宽的方案：在河塘外选一点，连接，，测得，，延长，分别到，两点，使，，有测得，则河塘宽__________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质的应用；由题意得，由相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， 即，且， ∴， ∴， ∴ 即河塘宽； 故答案为：． 2.如图，小红要测量池塘两岸，两点间的距离，先在的延长线上选定点，测得，再选一点，连接，，作，交于点，测得，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的应用，由，得，根据相似三角形的性质得，然后代入即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S共线且直线与河垂直，接着再过点S且与垂直的直线a上选择适当的点T，确定与过点Q且垂直的直线b的交点R．如果测得，，，求河的宽度． ​ 【答案】河的宽度为 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 答：河的宽度为． 4.如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽． 【答案】河宽为 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，正确作出辅助线、构造相似三角形成为解题的关键． 如图：过点A作于点M，交于点N，易证可得，由意义可得，代入可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点A作于点M，交于点N， ∵， ∴， ， ∴ ∵， ∴，解得：， ∴． 答：河宽为． 5.（24-25九年级上·湖南娄底·期中）在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题． 实践报告如下： 实践报告 活动课题 测量河的宽度 活动工具 标杆、卷尺 测量过程 如图，为了测量河的宽度，小康所在的数学兴趣小组设计了如下测量方案： 【步骤一】小康站在河岸 的点B处立了一根标杆； 小明站河岸的另一端点D处， 立了另一根标杆； 【步骤二】小英适当调整自己所处的位置， 在点A处测得点A， B， D恰好在同一条直线上， 点A， C， E恰好在同一条直线上； 【步骤三】其他同学用卷尺测出标杆及河岸的长； 【步骤四】记录数据 (单位：m) 标杆 1.5 标杆 1.8 河岸 10 解决问题 根据以上数据计算河的宽度． 请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】河的宽度为50米 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确理解题题意是解题的关键． 得到即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， 解得：米， 答：河的宽度为50米； 物体高问题题型02 1.如图，小明利用标杆测量一棵大树的高度，如果标杆的高为，并测得，，那么树的高度为_____． 【答案】10 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，先根据相似三角形的判定定理得出，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：，， ，， 在与中，，， ， ， 即， 解得． 故答案为：10 2.（2024·湖南湘西·模拟预测）数学兴趣小组的同学们想测量一棵树的高度，他们用直角曲尺（即图中的）仰立放置，测得A，B，Q在同一水平线上，和均为直角，与相交于点D．测得，，，则树高________． 【答案】/6米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．根据题意可得，然后利用相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：和均为直角，即， ， ， ， ，，， ， 故答案为：． 3.如图所示的是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处．已知，且测得，那么该古城墙的高度是（    ） A．6m B．8m C．18m D．24m 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题时关键是找出相似三角形，然后根据对应边成比例列出方程求解. 因为小明和古城墙均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答. 【详解】由题意可知， ， 即，解得． 故答案选：B. 4.（24-25九年级下·湖南长沙·期末）如图，小明把手臂水平向前伸直，手持直尺竖直放置，瞄准直尺的两端，，不断调整站立的位置，在点处恰好能看到铁塔的顶部和底部．设小明的手臂长，直尺长，点到铁塔底部的距离，求铁塔的高度． 【答案】铁塔的高度为． 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，审清题意、正确构建相似三角形成为解题的关键． 如图：作于H，交EF于P，则，，证明，然后利用相似比计算出即可． 【详解】解：如图：作于H，交EF于P，则，， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 答：铁塔的高度为． 5.坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的），小明受到启发，利用“矩”测量超然楼的高度．通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC保持水平，点A，B，D在同一直线上，，测得：，，，，请你求出超然楼的高度． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意先证得四边形为矩形，得到，，然后证明，得到，代入数据求得的长度，即可求得的长度． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴超然楼的高度为． 影长问题题型03 1.在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为米的人的影长为米，那么影长为米的旗杆的高是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中．在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的相似比，列出方程，求解即可得出旗杆的高． 【详解】解：设影长为米的旗杆的高是米， 根据题意可得：， 解得：， 即影长为米的旗杆的高是米． 故选：A． 2.（25-26九年级上·湖南岳阳·阶段检测）小聪利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高的小聪从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是，则路灯灯泡A离地面的高度为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解，相似三角形实际应用，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再列出比例式，然后求出相关线段，代入比例式求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵身高的小聪从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走到达点D处，测得影子长是， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3.（24-25九年级上·湖南株洲·期中）如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为；若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_________． 【答案】/米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键．根据题意，画出示意图，易得，进而可得，代入数据求解即可得答案． 【详解】解：根据题意作出示意图，则，，，，    ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴，经检验符合题意； 故答案为：． 4.如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（    ） A．5.5米 B．6米 C．6.2米 D．5米 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，如图，证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯A的高度等于6米； 故选B． 5.小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度（如图），当长的直立竹竿的影长为时，测量旗杆落在地上的影长为，落在墙上的影长为，求旗杆的高度． 【答案】16m 【分析】本题考查了相似三角形的应用：利用影长测量物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．如图，，，根据“在同一时刻物高与影长的比相等”得到，则可计算出，然后再利用可计算出． 【详解】解：如图，，， 与相似， ， ， ， ， ． 答：旗杆的高度为． 古文问题题型04 1．（2025九年级·湖南·学业考试）《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径5尺，不知其深，立5尺木于井上，从木末梢，入径4寸，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径为5尺，现竖立一根5尺长的木杆在井口，视线交井口于点E，入经的长为4寸，则水面距井口距离为______寸．（注：1尺寸） 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，根据题意正确画出图形并证明是解题的关键． 先根据题意画出图形，再证明，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：如图： ∵井口直径为5尺， ∴尺寸， ∵寸， ∴寸， ∵竖立一根5尺长的木杆在井口， ∴尺寸， ∵， ∴， ∴，即，解得寸． 故答案为：． 2.（2024·湖南长沙·二模）在《数书九章》（宋·秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，表示塔的高度，表示竹竿顶端到地面的高度，表示人眼到地面的高度，在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上．已知米，米，米，米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为_________米． 【答案】17.6// 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，作出合适的辅助线构建相似三角形是解本题的关键． 如图，过F作于Q，交于H，可得，证明，可得，可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，过F作于Q，交于H，则，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：，经检验符合题意； ∴（米）． 故答案为：． 3.（2025·湖南长沙·模拟预测）图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具——桔槔（jié gāo）的结构简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，代表固定支架，点，点分别代表水桶和重物，是固定长度的麻绳，绳长米，杠杆米，，当水桶的位置低于地面0.5米时（如图3），支架与绳子之间的距离是1.2米，则这个桔槔支架的高度为____________米． 【答案】5.2 【分析】本题主要考查勾股定理，相似三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构造相似三角形．利用相似三角形的对应边成比例来求解桔槔支架的高度． 【详解】解：米， 米，米， 如图所示，过点作交的延长线于点，交于点，则， 米，米， （米）． ， ， ∴即， 解得米， 米， 又（米）， （米）． 故答案为：5.2． 4.《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（图中的）．小华利用“矩”可测量大树的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知“矩”的两边长分别为，，小华的眼睛到地面的距离为，测得，求树的高度． 【答案】树的高度为 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，根据相似三角形的判定与性质即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得：，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：树高为． 杠杆问题题型05 1.（25-26九年级上·湖南常德·期中）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，则的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴， ∵，， ∴； 故选B． 2.如图是跷跷板板示意图，支柱经过的中点，与地面垂直于点，，当跷跷板的一端着地时，另一端离地面的高度为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判断与性质，过作垂直于地面，则，得到，即可得到． 【详解】解：如图，跷跷板的一端着地时，过作垂直于地面， ∵是的中点，垂直于地面，垂直于地面， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴另一端离地面的高度为， 故答案为：． 实验问题题型06 1.（25-26九年级上·湖南衡阳·期中）如图，物理课上张明做小孔成像试验，已知蜡烛与成像板之间的距离为，要使烛焰的像是烛焰的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛（    ）的地方． A．10 B．12 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，设小孔纸板应放在离蜡烛的地方，根据烛焰的像是烛焰的2倍即可列方程求解． 【详解】设蜡烛距小孔，则小孔距成像板， 由题意可知：， ∴， ∴，解得． 即蜡烛与成像板之间的小孔相距． 故选：C． 2.（2025·湖南长沙·模拟预测）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点，的对应点分别是，）．若物体的高为，实像的高度为，则小孔的高度为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，判定出和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3.（25-26九年级上·湖南怀化·期末）物理课上我们学习过凸透镜成像规律．如图，蜡烛AB的高为，蜡烛与凸透镜的距离为，蜡烛的像与凸透镜的距离为，则像的高为______． 【答案】5 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用，根据，证明，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：， ， ， ， 的高为,为,为, ， 故答案为：5 4.凸透镜成像的原理如图所示，是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，，．若物距与像距之比为，测得蜡烛高为，则像的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，通过证明，得出，即可解答．解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ， ， ， 故选：D． 现实生活相关问题题型07 1.一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图，单位：），则从图2闭合状态到图3打开状态，点B，D之间的距离减少了（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，正确的识别图形是解题的关键． 根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 由题意得，， ， ， ， ， 点，之间的距离减少了， 故选：A． 2.如图，一个高为的油筒内有油，一根木棒长，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长，则桶内油的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，利用相似三角形的判定方法得出，进而利用相似三角形的性质得出答案．根据题意得出相似三角形是解题关键． 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， 即桶内油的高度为：． 故选：D． 3.（2025·湖南永州·二模）“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很大的误差或错误的成语．现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离为，眼睛到目标的距离为，若射击时，由于抖动导致目标偏离了，射击到点D处，已知，则视线偏离准星（即长）_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定方法，是解题的关键．先证明，得出，然后代入数据，进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 故答案为：1． 4.（24-25九年级上·湖南娄底·期末）如图，某宣传栏后面处植有与宣传栏平行的6棵树，即，且相邻两棵树干之间的间隔均为．一人站在宣传栏前面的点A处正好看到两端的树干，其余的4棵树均被宣传栏挡住．已知，求得宣传栏的长（不计宣传栏的厚度）为___________．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形性质的应用——植树问题．解题时关键是熟练掌握相似的三角形的判定和性质，树的棵数与间隔数的关系．根据，得到，根据题意求得，再根据相似三角形的相似比等于对应高的比即可求解宣传栏的长度， 【详解】解：如图，设的延长线交于点G，   ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 根据题意：， ∴， ∴， 故答案为：． 5.（24-25九年级上·湖南岳阳·期中）学校网球场的网高为，如图，轩轩同学在课外活动课打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的点A位置上，已知球拍垂直于地面的点B离网，求此时球拍击球时的高度h为多少？ 【答案】h=1.5m 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程． 根据球网和击球时球拍的垂直线段平行得，根据其相似比即可求解即可． 【详解】解：∵， , ∴， 即， 则 ∴． 6.（25-26九年级上·湖南岳阳·期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离为多少米时，才能发现C处的儿童？ 【答案】米． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，勾股定理等知识﹒ 先证明，根据勾股定理求出米，米﹒证明得到，求出米，即可求出米﹒ 【详解】解：∵， ∴， ∴在中，米， 在中，米﹒ ∵，， ∴， ∴， 即：， ∴米﹒ ∴米﹒ 答：汽车从A处前行的距离为米时，才能发现C处的儿童﹒ 7.（25-26九年级上·湖南常德·期中）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 探究晒衣架的相关问题 活动过程 模型抽象 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，、两点置于地面上．现将晒衣架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链成一条直线起稳固作用，且． 数据信息 过点作于点，交于点，经测量与比对，有，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)连接，求证：； (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到，则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明． 【答案】(1)见解析 (2)小红的连衣裙会碰到地面，说明见解析 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键： （1）利用两边对应成比例及其夹角相等证明，得到，即可得证； （2）证明，求出的长，设点到的距离为，根据，求出的长，比较的长与连衣裙的长，进行判断即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）小红的连衣裙会碰到地面，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴小红的连衣裙会碰到地面． 1.小辰同学利用图（1）“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理．激光笔从左边点处发出光线，经平面镜点处反射后，落在右边光屏上的点处（、两点均在量角器的边缘上，为量角器的中心，A、、三点共线，，）．他在实验中记录了以下数据：水平距离的长为；铅垂高度的长为；如果小辰想使反射点沿方向下降，求此时点A沿方向移动的距离为（   ）   A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定及勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用．设，在中，由勾股定理可得，由已知条件可证得，则有即，解出此时，使反射点沿方向下降后，同理可得，设，，则有即，在中，利用勾股定理可解得，，，由此即可求得点A移动的距离． 【详解】解：设，在中， 由勾股定理可得：， 即， ， 则， 由题意得：， ，， ， 即， ， 如图，反射点沿方向下降后， ，， 同理可知此时， 设，， 则即， ， 在中，， 即， 将代入得：， 解得， 则，， 点A移动的距离为：． 故选：D． 2.（2024·湖南邵阳·二模）我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表演．如图，已知皮影人在 C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距，射灯A与皮影人相距．若保持皮影人在 C处位置不变，要使屏幕上的影子的像高增大一倍至，则射灯A应向皮影人靠近至 G的距离为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，先根据题意得到，，，证明得到，则，再证明得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3.（2024·湖南·模拟预测）平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜a上，被a反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平面镜a所夹的锐角相等，即．若按如图建立平面直角坐标系，并设入射光线与反射光线所在直线的解析式分别为，，则关于与的关系，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质（函数图象上点的坐标与解析式的关系）和平面镜反射规律（反射角等于入射角），解题的关键是通过在两条光线上取点，利用反射规律推出对应点的坐标特征，再结合一次函数解析式求出、的关系． 在入射与反射光线上各取点，并作坐标轴的垂线，构造相似三角形，利用对应的直角成比例，分别表示出两直线的函数解析式之间的关系，求出、的表达式，观察两者关系即可得到答案． 【详解】解：设反射光线上有一点（，，因在第一象限），过作轴于，则，，． 过入射光线上点作轴于． 将代入，得，即； ∵平面镜是轴，且，， （因轴，内错角相等）， ∴，则，即． 又∵在第二象限（入射光线在第二象限），，横坐标为负值，纵坐标为正值， ∴． ∴． 故选：A． 4.汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域．某型号小汽车的车头盲区（见图1）可以近似看作矩形．如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度米，车前盖最高处与地面距离米，驾驶员与车头水平距离米，车前盖最高处与车头水平距离米，点M在上，米． (1)求车头盲区的长度； (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析 【分析】本题考查相似三角形的应用、 （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）过点M作交AF于点N，证明，根据相似三角形的性质求得，进而与实际高度比较可得结论． 【详解】（1）解：根据题意，，，，， 所以，， 所以， 所以，又， 所以， 解得，， 检验，当时，原方程的分母不为零， 所以， 所以； （2）解：不能； 如图所示，过点M作交AF于点N， 所以，，， ∵，， ∴， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以驾驶员不能观察到物体． 5.如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线、传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为厘米． (1)像的长度为________； (2)如图3，光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长． 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，理解题意，结合题意证明三角形相似是解题关键． （1）可证明得到，据此代值计算即可； （2）过点作交于点E，证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，得到．．证明，推出．证明，推出，则厘米． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， 又∵经过点O， ∴，即， ∴厘米； （2）解：过点作交于点E，如图， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． 同理可得四边形为平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴厘米． 答：凸透镜焦距的长为厘米． 1.（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【问题背景】测量物体的高度 【测量工具】平面镜、标杆、卷尺（带刻度） 【活动过程】 活动1：测量校园内某棵树的高度 数学应用实践小组选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至在点处刚好能看到树的顶部，如图1．测得数据米，米，米． 活动2：测量底部不能直接到达的古塔的高度 祁阳文昌塔始建于明万历元年，清乾隆九年重修，现为省级文物保护单位．该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量祁阳文昌塔的高度．他们到达祁阳文昌塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆垂直立于地面点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交水平于点，并测得米；又将标杆沿着的方向平移17米到点处，塔尖点和标杆顶端确定的直线交直线于点，此时测得米，如图2． 【问题解决】 任务1：求小树的高度（用含a，b，c的式子表示）； 任务2：求祁阳文昌塔的高度． 【答案】任务1：；任务2：祁阳文昌塔的高度为36米 【分析】本题考查相似三角形实际应用，相似三角形的性质和判定； （1）由题意得，进而得到，即可求出； （2）设祁阳文昌塔的高度米，由题意易证明，，得到，，得到，，利用建立方程求解即可. 【详解】解：任务1 ∵观测者在点处刚好能看到树的顶部， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴. 任务2 设祁阳文昌塔的高度米， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵ 又∵米 ∴米 ∴米 ∴，解得：. 故祁阳文昌塔的高度为36米. 2.（24-25九年级上·湖南郴州·期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表： 课题 测量河流宽度 工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 小组 第一小组 第二小组 第三小组 测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上． 测量示意图 (1)第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度． (2)第二小组测得米，则______米． (3)第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由． 【答案】(1) (2)30 (3) 解：可行，理由如下： 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴只要测得就能得到河宽， 故第三小组的方案可行． 【分析】本题考查了等腰三角形、相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点并运用数学结合思想． （1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答； （2）由题意得为等腰三角形，即可解答； （3）由题意得，即可解答． 【详解】（1）解：∵点C恰好在点A东南方向， ∴为等腰直角三角形， ∴要知道河宽，只需要知道线段的长度， 故答案为：； （2）解：∵， ∴ ， ∴， ∴米， 故答案为：30米； （3）略 3.【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律． 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上． (1)求的长； (2)求点到地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意，利用相似三角形的性质求解是解答的关键． （1）证明，利用相似三角形的性质求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得，经检验，符合题意； （2）解：由题意，，， ∴， ∴，即， ∴． 4.（2024·湖南郴州·二模）某校综合实践小组为测量学校国旗旗杆的高度，甲、乙两名同学设计了不同的测量方案．请阅读材料，完成下列问题． 甲同学用量角器和铅垂线自制了一个简易测角仪（如图1） 如图2，甲同学目高（眼睛到地面距离）米，站在距离旗杆底部米处，用简易测角仪测量观察旗杆顶点的仰角，通过计算求出旗杆的高度． (1)请用含有m，的代数式表示旗杆的高度=________米． 为了减少误差，该同学进行了五次测量并计算，统计的数据如下表． 序号 离旗杆底部距离（单位：米） 仰角 旗杆的高度（单位：米） ① 10 ② 15 ③ 20 ④ 25 ⑤ 30 (2)观察上表数据并判定第_________组数据测量有误．（从“①，②，③，④，⑤”中选填） (3)乙同学计划用自制的直角三角板（两锐角大小不确定）和卷尺测量．如图3，乙同学目高（米），他调整位置，设法使斜边保持水平，边与旗杆顶点C在同一直线上．请你帮助乙同学确定哪些线段需要用卷尺测量，将测量得到的长度用字母a，b，c…表示，求旗杆的高度（用含有a，b，c…的代数式表示）． 【答案】(1) (2)③ (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的应用，解题的关键是数形结合，作出相应的辅助线． （1）过点A作于点E，解直角三角形，求出即可得出答案； （2）根据表格中的数据进行判断即可； （3）证明，得出，米，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点A作于点E，如图所示： 根据题意可知，四边形为矩形， ∴米，米， 在中，， ∴米， ∴米； （2）解：因为距离旗杆底部越远，的度数越小，所以根据表格中的数据可知，第③组数据测量有误； （3）解：需测量的线段米，米，米， 由题可知，四边形是矩形，米， ，， ， ， ， （米）， （米） 答：旗杆CD的高度为米． 1．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（2026·广西·中考真题）图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌的高度． 如图2，所在直线垂直地面于点，甲把光源放置于点处，垂直地面于点，点，在同一水平线上，乙沿方向移动平面镜，移到点时，从点发出的光线反射到点处；移到点时，从点发出的光线反射到点处．经测量：米，米，米，米，记点，处的法线分别为，，即，，根据光的反射定律，，． (1)求证：； (2)求此公益广告牌的高度． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； (2)米 【分析】（1）根据垂直的意义得到，得到结合进行求证即可； （2）通过和求出，再由求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，米， ∴， ∴（米）， 同理可得，， ∴， ∵米， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：公益广告牌的高度为4.5米． 3.（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 4．（2024·陕西·中考真题）如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度．小明先在竖起的标杆上的点N处，测得A点的仰角为；然后，小华适当调整位置，竖起标杆，使点E，C，A在同一直线上，并测得，．已知，，F，D，B三点在同一水平直线上，，，均垂直于，求避雷针顶端A的高度 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，矩形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， 可得，再证明是等腰直角三角形，得到，设，则，进一步证明，利用相似三角形的性质列出方程求解即可． 【详解】解：如图所示，过点E作于H，设交于G，则四边形，四边形都是矩形， ∴， ∵， ∴点N和点G重合， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴， 答：避雷针顶端的高度为． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.6相似三角形的应用 目录 A组巩固过关 题型01河宽问题 题型02物体高问题 题型03影长问题 题型04古文问题 题型05杠杆问题 题型06实验问题 题型07现实生活相关问题 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 河竞问题 1.(24-25九年级上湖南株洲期末)在综合实践课上，孔明同学设计了如图测量河塘宽AB的方案：在河 塘外选一点O,连接A0,B0,测得A0=15m,B0=18m,延长A0,B0分别到C,D两点，使 OC=5m,OD=6m,有测得CD=5.5m,则河塘宽AB=_ 1/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2如图，小红要测量池塘两岸A,B两点间的距离，先在AB的延长线上选定点C,测得BC=6m,再选一 点D,连接AD,CD,作BE∥AD,交CD于点E,测得CD=IOm,DE=5m,则AB=() A.3m B.4m C.5m D.6m 3.如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S使点P、Q、S共 线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直 PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度P2. D 4.如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m,在距离岸边16m的A处 看对岸，可以看到对岸的两棵树B、C的树干恰好被这岸的两棵树ED的树干遮住，又知这岸的两棵树 D、E之间有一棵树，对岸的两棵树B、C之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽. 5.(24-25九年级上·湖南娄底·期中)在综合实践课上，数学兴趣小组用所学数学知识来解决实际问题.实 践报告如下： 实践报告 活 动 测量河的宽度 课 2/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题 活 动 标杆、卷尺 工 具 如图，为了测量河的宽度AB,小康所在的数学兴趣小组设计了如下测量方案： E 【步骤一】小康 站在河岸BD的点B处立了一根标杆BC(BC⊥BD): 小明站河岸的另一端点D 测 处，立了另一根标杆DE(DE⊥BD): 量 【步骤二】小英适当调整自己所处的位置，在点A处测得点A,B,D恰好在同 过 一条直线上，点A,C,卫恰好在同一条直线上： 程 【步骤三】其他同学用卷尺测出标杆BC、DE及河岸BD的长： 【步骤四】记录数据（单位：m) 标杆BC 1.5 标杆DE 1.8 河岸BD 10 解 决 根据以上数据计算河的宽度 @ 题 请你帮助兴趣小组解决以上问题. 颗型02 物体高问题 1.如图，小明利用标杆EC(EC L AB)测量一棵大树BD的高度，如果标杆EC的高为2m,并测得AC=1m, 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC=4m,那么树BD的高度为一m. C B 2.(2024湖南湘西·模拟预测)数学兴趣小组的同学们想测量一棵树的高度，他们用直角曲尺（即图中的 ABC)仰立放置，测得A,B,Q在同一水平线上，∠ABD和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D. 测得AB=30cm,BD=15cm,AQ=12m,则树高PQ= A B 3如图所示的是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜，光线从点A出 发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处.己知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得 AB=1.2m,BP=1.8m,PD=12m,那么该古城墙的高度是（) B D A.6m B.8m C.18m D.24m 4.(24-25九年级下湖南长沙期末)如图，小明把手臂水平向前伸直，手持直尺竖直放置，瞄准直尺的两 端E,F,不断调整站立的位置，在点D处恰好能看到铁塔的项部B和底部A.设小明的手臂长l=45cm 直尺长a=15cm,点D到铁塔底部的距离AD=42m,求铁塔AB的高度. 视线 视点E」 视线 D A 5.坐落于济南市大明湖的超然楼是一座拥有700年历史的名楼，《周髀算经》中有“偃矩以望高”的测高 方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC),小明受到启发，利用“矩”测量超然楼 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE的高度.通过调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使AC保持水平，点A,B,D在同一直线上， ∠AFE=∠DEF=90°，测得：AB=0.15m,BC=0.2m,AF-1.7m,EF=37.5m,请你求出超然楼DE的高 度 D 测量工具“矩” 颗型03 影长问题 1.在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比.如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗 杆的高是(） A.18米 B.16米 c.20米 D.15米 2.(25-26九年级上湖南岳阳·阶段检测)小聪利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度.如图，身 高l.68m的小聪从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8m到达点D处，测得影子DE长是2m, 则路灯灯泡A离地面的高度AB为 m A ->E 3.(24-25九年级上·湖南株洲期中)如图，小明在A时测得某树的影长为9m,B时又测得该树的影长为 4m；若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 B时 A时o、 4.如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处 时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于() 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CD E A.5.5米 B.6米 C.6.2米 D.5米 5.小聪和他的同学利用影长测量旗杆高度（如图），当lm长的直立竹竿的影长为l.5m时，测量旗杆落在地 上的影长为21m,落在墙上的影长为2m,求旗杆的高度. 题型04 古文问题 1.(2025九年级湖南学业考试)《九章算术》中有一测井深的问题：今有井径5尺，不知其深，立5尺 木于井上，从木末梢，入径4寸，问井深几何？今译为：如图所示，有一口水井，井口直径AB为5尺， 现竖立一根5尺长的木杆BD在井口，视线DC交井口AB于点E,入经BE的长为4寸，则水面距井口距离 AC为一寸.（注：1尺=10寸） 2.(2024湖南长沙二模)在《数书九章》（宋秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表 示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内， 点A、C、E在一条水平直线上.己知AC=20米，CE=10米，CD=7米，EF=1.7米，人从点F远跳塔 顶B,视线恰好经过竹竿的顶端D,可求出塔的高度.根据以上信息，塔的高度为米， A E 3.(2025湖南长沙模拟预测)图1为《天工开物》记载的用于井上汲水的工具一一桔槔(jéo)的结构 简图，图2为桔槔处于水平状态时的平面示意图，OM代表固定支架，点C,点D分别代表水桶和重物， 6/18 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC,BD是固定长度的麻绳，绳长AC=3米，杠杆AB=6米，OB:OA=1:3,当水桶C的位置低于地面 0.5米时（如图3），支架OM与绳子BD之间的距离OH是1.2米，则这个桔槔支架OM的高度为 米 直杆 B On 配重 D 支架 白C 水井 777777777777777 图1 图2 图3 4.《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为 方”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（图中的DEF),小华利用“矩”可测量大树AB的高 度.如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同 一直线上.己知“矩”的两边长分别为EF=0.2m,DE=0.3m,小华的眼睛到地面的距离DM为l.65m, 测得AM=18m,求树AB的高度. A 颗型05 杠杆问题 1.(25-26九年级上湖南常德·期中)阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生 动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可 见.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂 OA=120cm,阻力臂OB=40cm,BD=25cm,则AC的长度是() 甲 乙 A.80cm B.75cm C.50cm D.45cm 2.如图是跷跷板板示意图，支柱OM经过AB的中点O,OM与地面CD垂直于点M,OM=30cm,当跷 跷板的一端A着地时，另一端B离地面的高度为cm 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A M 颗型06 实验问题 1.(25-26九年级上湖南衡阳期中)如图，物理课上张明做小孔成像试验，己知蜡烛与成像板之间的距离 为24cm,要使烛焰的像AB是烛焰AB的2倍，则蜡烛与成像板之间的小孔纸板应放在离蜡烛()cm 的地方 B A.10 B.12 C.8 D.9 2.(2025湖南长沙模拟预测)据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成 像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O,物体AB在幕布上 形成倒立的实像CD(点A,B的对应点分别是C,D)·若物体AB的高为9cm,实像CD的高度为3cm, 则小孔O的高度OE为. cm E 3.(25-26九年级上湖南怀化期末)物理课上我们学习过凸透镜成像规律.如图，蜡烛AB的高为15cm, 蜡烛AB与凸透镜的距离BE为3Ocm,蜡烛的像CD与凸透镜的距离DE为l0cm,则像CD的高为 cm 4.凸透镜成像的原理如图所示，MN是凸透镜的主光轴，O为凸透镜的中心，点F是焦点，PM1MN, BN⊥MN.若物距MO与像距NO之比为3：2，测得蜡烛PM高为l5cm,则像BN的长为() 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A.5cm B.6cm C.9cm D.10cm 题型07 现实生活相关问题 1.一种燕尾夹如图1所示，图2是其在闭合状态时的示意图，图3是其在打开状态时的示意图（数据如图， 单位：m),则从图2闭合状态到图3打开状态，点B,D之间的距离减少了() B E A28 E 35 B 20 20 A(C)F D C -D 28F35 图1 图2 图3 A.25mm B.20mm C.15mm D.8mm 2.如图，一个高为lm的油筒内有油，一根木棒长1.2m，从桶盖小口斜插入桶内，一端到底部，另一端正 好到小口，抽出木棒，量得棒上浸油部分的长0.36m,则桶内油的高度为() A.0.28m B.0.385m c.0.4m D.0.3m 3.(2025湖南永州二模)“差之毫厘，失之千里”是一句描述开始时虽然相差很微小，但是结果会造成很 大的误差或错误的成语，现实中就有这样的实例，如步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离 OE为80cm,眼睛到目标的距离OF为200m,若射击时，由于抖动导致目标偏离了25cm,射击到点D处， 已知AB∥FD,则视线偏离准星（即BE长） mm. AB准星 ▣T A E 0三---------------- B 4.(24-25九年级上湖南娄底·期末)如图，某宣传栏BC后面2m处植有与宜传栏平行的6棵树，即 DE∥BC,且相邻两棵树干之间的间隔均为2m.一人站在宜传栏前面的点A处正好看到两端的树干，其 余的4棵树均被宣传栏挡住.己知AF⊥BC,AF=3m,求得宣传栏BC的长（不计宜传栏的厚度）为 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G F B A BC∥EDAF⊥BC .△ABC∽△ADE,AG⊥DE. AF BC .AG-DE' .AF =3m.FG=2m. .AG=AF+FG=5m, 5.(24-25九年级上湖南岳阳·期中)学校网球场的网高DE为0.8m,如图，轩轩同学在课外活动课打网球 时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的点A位置上，已知球拍垂直于地面的点B离网3.5m,求此时 球拍击球时的高度h为多少？ D 0.8m M0---- 4m E 3.5m B 6.(25-26九年级上湖南岳阳期中)如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩要，一辆 汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来(CM⊥DM,BD⊥DM,BC与DM相交于点O),己知 OM=4米，C0=5米，D0=3米，A0=V73米，则汽车从A处前行的距离AB为多少米时，才能发现C 处的儿童？ 10/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M B 2号楼 7.(25-26九年级上湖南常德期中)某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动. 活动主题 探究晒衣架的相关问题 小红家阳台上放置了一个晒衣架，如图是晒衣架的侧面示意图， 立杆AB,CD相交于点O,B、D两点置于地面上.现将晒衣 架完全张开，根据三角形的稳定性，扣链EF成一条直线起稳固 作用，且EF∥BD 模型抽象 活动过 程 E H B G D 过点O作OG⊥BD于点G,交EF于点H,经测量与比对，有 0A 2 数据信息 OC=80cm'OD=120cm'OB 3'20E EB'OH =24cm 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)连接AC,求证：AC∥BD: (2)若小红的连衣裙挂在衣架上后总长度达到126cm,则挂在晒衣架上是否会碰到地面？请通过计算说明. B组 能力进阶 1小辰同学利用图(1)“光的反射演示器”，直观呈现了光的反射原理.激光笔从左边点C处发出光线， 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 经平面镜点O处反射后，落在右边光屏BE上的点D处(B、C两点均在量角器的边缘上，O为量角器的 中心，A、O、B三点共线，AC⊥AB,DB⊥AB).他在实验中记录了以下数据：①水平距离AB的长 为6cm;②铅垂高度AC的长为48cm;如果小辰想使反射点D沿DB方向下降35cm,求此时点A沿OA 方向移动的距离为() B 图1 图2 A.48 B.36 C.24 D.12 2.(2024湖南邵阳·二模)我国非物质文化遗产“皮影戏”又称“影子戏”，射灯发出的光线沿直线传播照 在不透明的皮影人上，在皮影人后面的屏幕上形成中心投影，通过操纵皮影人来完成各种造型和场景的表 演.如图，己知皮影人在C处，屏幕在E处，皮影人与屏幕相距1m,射灯A与皮影人相距2m.若保持皮 影人在C处位置不变，要使屏幕上的影子的像高DE增大一倍至FE,则射灯A应向皮影人靠近至G的距 离AG为() D GC E 5 A.2m B. m 4 ℃.1m .m 3.(2024湖南模拟预测)平面镜反射光线的规律是射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的 锐角相等.如图，一束光线射到平面镜a上，被a反射后的光线为，则入射光线，反射光线与平 面镜α所夹的锐角相等，即∠1=∠2.若按如图建立平面直角坐标系，并设入射光线与反射光线所在直线的 解析式分别为少=x,y2=k2x,则关于k1与k2的关系，正确的是() VA V2 77777777X 12/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.k+k2=0 B.k=k2 C.k>k D.k2 =2k 4汽车盲区是指司机正常驾驶时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的区域.某型号小汽车的车头盲区 (见图1)可以近似看作矩形.如图2，驾驶该型号汽车时司机视线高度AB=1.5米，车前盖最高处与地面 距离CD=1米，驾驶员与车头水平距离BE=2米，车前盖最高处与车头水平距离DE=0.5米，点M在EF 上，ME=0.8米. 二可见区域 车头 盲区 二可见区域 图1 图2 (1)求车头盲区EF的长度： (2)在M处有一个高度为0.4米的物体，驾驶员能观察到物体吗？请作出判断，并说明理由 5.如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和 光屏，并调整到合适的高度.如图2，主光轴1垂直于凸透镜MW,且经过凸透镜光心O,将长度为8厘米 的发光物箭头AB进行移动，使物距OC为32厘米，光线AO、BO传播方向不变，移动光屏，直到光屏上 呈现一个清晰的像A'B',此时测得像距OD为12.8厘米 发光物 凸透镜光屏 M 0 + 市布m可 Qm102030405060708090100 光具座 图1 图2 图3 (1)像AB'的长度为 (2)如图3，光线AP平行于主光轴I,经过凸透镜MN折射后通过焦点F,求凸透镜焦距OF的长， C组 思维拔高 1.(25-26九年级上湖南郴州阶段检测)某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与 实践活动， 【问题背景】测量物体的高度 【测量工具】平面镜、标杆、卷尺（带刻度） 【活动过程】 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 活动1：测量校园内某棵树的高度 数学应用实践小组选一名同学作为观测者，在观测者与小树之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个 标记B，观测者看着镜子来回移动，直至在B点处刚好能看到树的顶部，如图1.测得数据AB=a米， BC=b米，AE=C米， 活动2：测量底部不能直接到达的古塔的高度 祁阳文昌塔始建于明万历元年，清乾隆九年重修，现为省级文物保护单位.该小组为全面了解本土历史文 物，决定走出校园去测量祁阳文昌塔的高度.他们到达祁阳文昌塔后，发现塔顶A和塔底中心B均无法到 达.经研究，在古塔下底层地面一开阔地带把长为2米的标杆CD垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆 顶端C确定的直线交水平BD于点Q,并测得QD=2米：又将标杆沿着BD的方向平移17米到点F处，塔 尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P,此时测得PF=3米，如图2 E B PF OD 图1 图2 【问题解决】 任务1：求小树CD的高度（用含a,b,c的式子表示）； 任务2：求祁阳文昌塔的高度. 2.(24-25九年级上湖南郴州期中)为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同 的方案，他们在河南岸的点B处测得河北岸的树AB恰好在B的正北方向，测量方案如下表： 课 测量河流宽度 题 工 测量角度的仪器，标杆，皮尺等 具 小 第一小组 第二小组 第三小组 组 测 观测者从B点向东走到 观测者从B点出发，沿 观测者从B点向东走到O 量 C点，此时测得点C恰 着南偏西70°的方向走到 点，在O点插上一面标杆， 方 好在东南方向上· 点C,此时恰好测得 继续向东走一定的路程到达 14/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C点后，一直向南走到点D 案 ∠ACB=35° 使得树、标杆、人在同一 直线上. 测 ↑北 量 B 意 图 (1)第一小组认为要知道河宽AB,只需要知道线段 的长度 (2)第二小组测得BC=30米，则AB=米。 (3)第三小组认为只要测得BO,OC,CD就能得到河宽AB,你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给 出证明；如果不可行，请说明理由， 3.【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射 光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角”，这就是光的反射定律， 【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平 面镜，手电筒的灯泡在点G处，灯泡到地面的高度AG=1.2m,手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰 好经过木板的边缘点F,落在墙上的点E处，点F到地面的高度C℉=1.8m,灯泡到木板的水平距离 AC=6m,木板到墙的水平距离为CD=4m.图中A,B,C,D在同一条直线上. 法线 入射光线 反射光线 E 反射面 墙 木板 0 地面D 平面镜A 光的反射定律 图1 图2 (1)求AB的长： (2)求点E到地面的高度DE 4.(2024湖南郴州二模)某校综合实践小组为测量学校国旗旗杆的高度，甲、乙两名同学设计了不同的测 量方案.请阅读材料，完成下列问题 甲同学用量角器和铅垂线自制了一个简易测角仪（如图1） 15/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F A ----- 1.6米 1.6米 m米 B D B 图1 图2 图3 如图2，甲同学目高AB(眼睛到地面距离)1.60米，站在距离旗杆CD底部m(m>O)米处，用简易测角仪 测量观察旗杆顶点C的仰角(0°<α<90)，通过计算求出旗杆CD的高度. (1)请用含有，C的代数式表示旗杆CD的高度= 米。 为了减少误差，该同学进行了五次测量并计算，统计的数据如下表 序号 离旗杆CD底部距离（单位：米） 仰角 旗杆CD的高度（单位：米） ① 10 50° 13.52 ② 15 39° 13.75 ③ 20 41° 18.99 ④ 25 26° 13.79 ⑤ 30 22° 13.72 (2)观察上表数据并判定第」 组数据测量有误.（从“①，②，③，④，⑤”中选填） 3)乙同学计划用自制的直角三角板AFG(两锐角大小不确定)和卷尺测量.如图3，乙同学目高AB( 1.60米)，他调整位置，设法使斜边AG保持水平，边AF与旗杆顶点C在同一直线上.请你帮助乙同学 确定哪些线段需要用卷尺测量，将测量得到的长度用字母a,b,c…表示，求旗杆CD的高度（用含有4， b,c的代数式表示). 拓展 链接中考 1.(2026四川南充中考真题)中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像 示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P,物体AB在幕布上形成倒立的实像AB'(点A,B的对 应点分别是A',B),且AB⊥A'B,AB⊥AB,若AB=I0cm,P到AB的距离PQ=6cm,则A'B长 为() 16/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (图1) (图2) A.12cm B.13.5cm C.15cm D.18cm 2.(2026广西中考真题)图1是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告 牌的高度MW 如图2，MN所在直线垂直地面于点A,甲把光源放置于点B处，BC垂直地面于点C,点A,C在同一水 平线上，乙沿CA方向移动平面镜，移到点D时，从点B发出的光线反射到点M处；移到点E时，从点B 发出的光线反射到点N处.经测量：BC=1.5米，AC=12米，CD=2米，DE=2米，记点D,E处的法 线分别为SD,TE,即SD⊥AC,TE⊥AC,根据光的反射定律，∠MDS=∠BDS,∠NET=∠BET. M 传录家风宝创 B CDE 图1 图2 (1)求证：∠MDA=∠BDC: (2)求此公益广告牌的高度MN 3.(2025江苏无锡中考真题)某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动， 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1），在点F处竖立标杆EF,直立在点Q处的小军从 点P处看到标杆顶E、旗杆顶M在同一条直线上.已知旗杆底端N与F、Q在同一条直线上，EF=2.8m」 PO=1.4m,OF =2m,FN =16m 17/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B777777777777777777777 FO M (图2) (图1) (1)求旗杆MN的高度. 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面 了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度，他们到达妙光塔后，发现塔顶A和塔底中心B均 无法到达.经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）·在地面一条水平步道上的点F处竖立标杆 EF,直立在点处的小军从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上.小军沿F№的方向走到点Q' 处，此时标杆E'F竖立于F处，从点P处看到标杆顶E、塔顶A在同一条直线上.己知AB、EF、 POEF'和P'O在同一平面内，点B、FQF八O在同一条直线上， EF=E'F'=2.8m,P9=P'Q'=1.4m.F0=1.2m,F'g'=2.2m,Q0'=30m (2)求妙光塔AB的高度. 4.(2024陕西·中考真题)如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度AB,小明先在竖起 的标杆CD上的点N处，测得A点的仰角a为45°；然后，小华适当调整位置，竖起标杆EF,使点E, C,A在同一直线上，并测得ND=lm,FD=1.7m.已知CD=2.6m,EF=lm,F,D,B三点在同一水 平直线上，AB,CD,EF均垂直于FB,求避雷针项端A的高度AB. A - C E ka 1111111111111111 77 7777777777777777 777 D B 18/18