1.4 相似三角形的判定（分层作业练题型）数学新教材湘教版九年级上册

**基本信息** 本同步练习以相似三角形判定为核心，通过A、B、C三级分层及中考链接设计，实现从单一判定定理到综合应用的梯度巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|平行判定、两角/两边夹角/三边成比例等单一判定定理|选择、填空结合基础证明，强化概念理解与直接应用| |B组|添加条件、网格判断、判定综合应用|条件开放题与多步推理题，发展逻辑推理与空间观念| |C组|动态几何、多结论证明、跨知识综合|含折叠、旋转等情境题，提升数学抽象与创新意识| |拓展|中考真题重现|对接中考考点，培养模型意识与应用能力|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.4相似三角形的判定 参考答案 A组 巩固过关 颗型01 利用平行判定三角形相似 1.c2.3 4.D 5.【详解】(1)证明：DE‖AC,EF‖AB, ∴.∠C=∠DEB,∠B=∠CEF, .△BDE∽△EFC: AF 1 (2)解：“FC=2,EF‖AB, BE AF 1 EC FC 2' 6写0， BC=6, 1 BE=3×6=2. 6.【详解】证明：过点C作CM∥AB,交DF于点M. D EM C F 则△FCM∽△FBD, BF BD ·CF CM 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :点D为AB的中点， .BD=AD BF AD CF=CM CM∥AB, .△ECM∽△EAD, ADAE CM-EC②， BF AE 由①和②可知， CF=EC· 题型02 两角分别相等的两个三角形相似 1.C2.70 3.【详解】(1)证明：∠ACB=90°，CD1AB, ∴.∠ACB=∠ADC=90°， ∠A=∠A, ∴.△ABCn△ACD; (2)解：△ABC△ACD, AC AD AB AC' AC2=AB·AD, AC=3,BD=6, 9=(AD+6)AD」 解得AD=-3+32(负值已舍去)， 则AD的长为-3+3√2 4.【详解】(1)证明：∠ACB=90°，CD⊥AB, ∴.∠ACB=∠ADC=90° ∠A=∠A, .△ABCAACD: (2)解：△ABC∽△ACD」 AC AD AB AC' 2/18 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AC2=AB·AD, AC=3.BD=6, 9=(AD+6)AD】 解得AD=-3+32(负值已舍去)， 则AD的长为-3+3V2 5.【详解】证明：·AC=BC, ∠A=∠B, D、E分别是边AC、BC的中点， ∴.DE是△ABC的中位线， 即DE II AB ∴.∠CDE=∠A,∠CED=∠B」 .∠CDE=∠B ∠F=∠B, .∠CDE=∠F, .LCED=ZDEF, ∴.△CDE∽△DFE 6.【详解】证明：在ABCD中，AD∥BC, ∴.∠DAE=∠AEB, AB∥CD .∠B+∠C=180° ,∠DFE=∠C,∠AFD+∠DFE=180°， ∴.∠B=∠AFD, ∴.△ADF∽△EAB 题型n3 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1.C2.B 3.【详解】证明：AD·AC=AB·AE, AD AE ∴ABAC 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DAE=∠BAC, ,△ADB∽△AEC 4.【详解】证明：：∠ABD=∠CBE, 则∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, .∠ABC=∠DBE, BD.BC=BA.BE BCBA BE BD' △ABCADBE, ∠A=∠D 5.【详解】(1)证明：：BD、CE是△ABC的高， .∠BEH=∠CDH=90° 又，∠BHE=∠CHD. .△BEHACDH: (2)证明：由(1)知△BEHACDH, EH BH EH DH ·DHCH,即BHCH· 又，∠DHE=∠CHB .△DEH∽aCBH. 6.【详解】证明：，四边形ABCD是正方形，AB=4, ∴.∠D=∠C=90°，AD=CD=AB=4. P为CD的中点， .'PD=PC=CD=2 2 PC 2 1 CO 1 :AD42,DP2: PC CO AD-DP' ∴.△PCQ∽△ADP 4/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型04 三边成比例的两个三角形相似 3 1.A2.C3.55°/55度4.2 AB BC AC 5.【详解】(1)证明：：AEED AD' ∴.△ABC∽AAED .∠CAB=∠DAE .∠CAB-∠EAF=∠DAE-∠EAF ∴.∠1=∠2 (2)证明：“ ABAC AE AD 、ABAE ”ACAD· 由(1)可知：∠1=∠2， ∴△ABE∽AACD 颗型05 添加条件使两个三角形相似 1.C2.D3.D 4.∠B=∠D(答案不唯一)5.①②③ 题型0k 在网格中判断相似三角形 1.B2.C 3.【详解】证明：由题意可知，BC=L,BD=2,EF=3.由勾股定理，得 BE=V1?+1P=√2，CE=V12+22=√5，ED=V1P+32=10 ~BC-1-2BE-2CE55 BE√22'BD-2'EDV102 BC BE CE BE BD ED ,∴.△BCEr△BED. 5.【详解】(1)解：如图所示，取格点G,连接GB,GA 5/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G o 由网格得，点G,A,C三点共线 .GB2=12+22=5,AB2=12+22=5,AG2=12+32=10 ∴.GB=AB,GB2+AB2=AG :.△ABG是等腰直角三角形 .∠BAG=459 .∠BAC=180°-∠BAG=135°： 由勾股定理得，EF=V+32=√0： (2)解：：在ADEF中，DE=VP+F=V2,DF=2,EF=VP+32=V10, :在△ABC中，AB=V+22=V5,AC=P+32=V10,BC=5 DEDE EF√1O ·AB AC BC5 ∴.△ABC∽△DEF 颗型07 相似三角形判定的综合 1【详解】(1)△ACB∽△EDC, 证明：，∠A=∠BCD=∠E=, 又LA+LABC=∠BCE=LECD+∠BCD, ∴.∠ABC=∠ECD, ∴.△ACB∽△EDC. (2)解：△BAC∽△BCD,证明如下， .'△ACB∽△EDC BC AB AC ·CDEC=ED' :C为线段AE的中点， .AC=CE. AB BC AB AC ·ACCD,即BCcD 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，∠A=∠BCD ∴.△BAC∽ABCD, BC CE BC CD 同理可得CD-ED,即CEED 又，∠A=∠BCD=∠E ∴.△BCD∽△CED 2.【详解】(1)解：相似.理由如下： ~B-25=5,BC=40_5AC205 AD-153'DE243'AE-123 ABBCAC AD DE AE .△ABC∽AADE (2)解：由(1)，得△ABCP△ADE,∴∠BAC=∠DAE ∠BAC=125, ∴.∠DAE=125°， 又：∠EAC=70°， .∠CAD=∠DAE-∠EAC=55° 3.【详解】证明：AD·AB=AE·AC, AD AC .AE AB' :∠EAB=∠DAC, △ADCn△AEB, DF∥BE, .△ADF∽△ABE, .△ADF∽AACD 4.【详解】(1)证明：：DE‖AC,EF川AB, LB=LCEF,∠BED=LC, 在△BDE和△EFC中， 「∠B=∠CEF ∠BED=∠C, .△BDE∽△EFC: 7/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF 2 (2)解：：FC3 CF 3 AC5' ..EF AB .△EFC∽△BAC, EC CF 3 BC AC5' BC=20, .EC_3 .205 .EC=12, .BE=BC-EC=20-12=8 AD 1 5.【详解】(1)证明：· AD 1 DC-2: :△ABC是正三角形， :AB=BC=AC, AE=BE, ,4E-4E=1 BC AB 2 AD AE DC BC' :∠A=∠C=60°， .△EADABCD (2)解：：aEAD△BCD, ED AD 1 ·BDDC2' .BD=2ED=2×6=12(cm), 故答案为：BD的长度为l2cm, 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 【详解】(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD/IBC,AD=BC. .△FBG△FDA, .BG BF AD FD' BF:FD=1:2, .BG-1 …AD2' 又：AD=BC, ÷8C2即8G=8C, BG 1 ∴点G是BC的中点： (2)解：如图，延长AG交DC延长线于点M, D C F G B 图2 四边形ABCD是平行四边形， .AB//CD,AB=CD ∴.∠BAG=∠CMG,∠ABG=∠MCG, :G是BC中点， .BG=CG .△ABG=aMCG(AAS), ∴.AB=CM,AG=MG, AB=CD .DM=CD+CM=AB+AB=2AB, .ABIIDM. .△AEF∽aMDF, 9/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF EF ∴FMDF =n, AF 设FG k,即AF=kFG,则AG=AF+FG=(k+)FG, AG=MG .MG=(k+1FG ..FM=MG+FG=(k+1)FG+FG=(k+2)FG AF kFG k 六FM(k+2)FGk+2=n,解得k= 2n 1-n AF 2n 即FG1-n 2.【详解】(1)解：有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星说法对；有两边对应成比例，且它 们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的说法对：有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是 成比例的两边的夹角)的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的说法错： 故答案为：对，对，错： (2)证明：选小星说法， .∠ACP=∠B,∠CAP=∠BAC, ∴.△ACP∽△ABC: 选小红说法， AP AC ·AC=AB'∠CAP=∠BAC .△ACPP△ABC: (3)解：△ACP△ABC, AP=AC ·ACAB AP AC ·ACAP+PB’ AP 15 15AP+2' ,AP=3 3.【详解】(1)解：由∠A是公共角，可得要使△ACP∽△ABC, 10/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AP AC 所以还需要补充的一个条件是：∠APC=∠ACB'∠ACP=∠B,或AC=AB: (2)解：如图，延长AB到点D,使BD=BC, : D .AC2 AB2+AB.BC=AB(AB+BC)=AB(AB+BD)=AB.AD, 4C-0 即ABAC ∠A=∠A, .△ACB△ADC, .∠ACB=∠D, .BC=BD, ∴∠BCD=∠D, 在△ACD中， .∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°， .3∠D+60°=180°， ∠D=40° .∠ABC=∠BCD+∠D=80° 4.【详解】(1)证明：在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠EAC=∠DAB」 AD=AE .△ABD≌△ACE(SAS), .BD=CE; (2)证明：如图， 11/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AB=AC. ∠ACB=180°-∠BAC 2 ,∠C=∠ABC, .AD=AE, :∠AED=180°-∠DAE 2 ·∠EAC=∠DAB, .∠EAC+∠EAB=∠DAB+∠EAB, ∴∠BAC=∠DAE .∠ACB=∠AED, ∴.∠CAE+∠ACB=∠BEF+∠AED, ∠CAE=LBEF, .△CAE∽△BEF 5.【详解】(1)证明：：AD、BE是△ABC的高， ∴.∠ADC=∠BEC=90°， ∠C=∠C, ∴.△ACD△BCE, CD AC CD CE CE=BC,即AC=BC 又.∠C=∠C, △CAB~ACDE: (2):点D是BC的中点，AD⊥BC, .AB=AC, 在Rt△BEC中， ..CE=6,BE=8 12/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.BC=VCE2+BE2=V62+82=10, ..CD=BC=5, .△ACDABCE, AD BE CD EC' AD=8×520 63, .AC=√AD2+CD2 3 +52=25 .AB=AC= 25 3 25 故答案为： 3· C组 思维拔高 1【详解】(1)证明：~四边形ABCD是矩形， .∠B=∠C=90°， :点M是BC的中点， .BM=CM, :将△ABM沿着AM折叠后得△APM, .PM=BM,∠MPE=∠APM=∠B=90°， ∴.PM=CM,∠MPE=∠C, EM=EM ∴△PEM≌aCEM(SAS). ∴.∠CME=∠PME, ∴.ME平分∠PMC (2)证明：由折叠可得：∠AMB=∠AMP, 由(1)得：∠CME=∠PME, :∠AMB+∠AMP+∠PME+∠CME=180°， 13/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠AMB+∠CME=90°， .∠B=∠C=90°. ∴∠BAM+∠AMB=90°， ∴∠BAM=∠CME, ,∴.△EMC∽△MAB 2.【详解】(1)证明：“△ABC是等腰直角三角形， ∠B=∠C=45°，AB=AC, .AP=AO, :BP=CO, E是BC的中点， .BE=CE, 在ABPE和△CQE中， BE=CE ∠B=∠C BP=CO :.ABPE≌aCQE(SAS)； (2)证明：~△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形， .∴∠B=∠C=∠DEF=45° :∠BEQ=∠EQC+∠C. 即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C, ∴.∠BEP+45°=∠EQC+45° .∠BEP=∠EOC, ∴.△BPEn△CEQ 3.【详解】(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠D=∠A=90°： .∵HM⊥MW ∠HMN=90° .∠AHM+∠AMH=90°，∠DMN+∠AMH=90°： ∴.∠AHM=∠DMN: 14/18 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠D=∠A=90°： ∴，△AHM△DMN (2)解：：点M是AD的中点，正方形ABCD边长为4， ∴.MD=AM=2, 设HM=HB=x,则AH=4-x, 在Rt△AHM中，AH2+AM2=HM2, (4-x+2=x2,解得：x=2.5, ∴AH=1.5 .△AHM∽aDMN: AM MH AH m2-2.5_1.5 ÷DN=MN-MD,即DNMN2 .D △DN的周长=DN+MN+DM=8+19+2=8. 3+3 (3)在点H的运动过程中，△DMN的周长P始终为8，是一个定值，理由如下： 设HM=HB=x,则AH=4-x, 在Rt△AHM中，AH2+AM2=HM2 .(4-x+AM2=x2,即AM=V8x-16, 又：DM=4-AM=4-V8x-16, AH 4-x ”△AHMDMN:且相似比为：MD4-8x-16 △DN的周长-Ay的月长4-S-=6 4-x+x+8x-16),4-y8x-I6=8 4-x 4-x ∴在点H的运动过程中，△DMN的周长始终为8，是一个定值. 4. 【详解】(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∠ADE=∠DCF=90°， ∴.∠CDF+∠DFC=90°， AE⊥DF, .∠DGE=90°、 ∴.∠CDF+∠AED=90°， .∠AED=∠DFC. 15/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又：∠ADE=∠DCF=90°， ∴，△ADE∽△DCF. (2)证明：，四边形ABCD是正方形， .AD=DC,AD∥BC,∠ADE=∠DCF=90°， 又AE=DF, .△ADE≌aDCF(HL), .DE=CF, 又·CH=DE, ..CF=CH, 点H在BC的延长线上 .∠DCH=∠DCF=90°， .DC=DC. .△DCF≌aDCH(SAS), ∴.∠H=∠DFC, AD∥BC, .∠ADF=∠DFC=∠H: (3)解：如图，延长BC到点G,使CG=DE=7,连接DG, ,四边形ABCD是菱形， AD=DC,AD∥BC, ∴∠ADE=∠DCG. 又CG=DE, .aADE≌aDCG(SAS) ∴.∠DGC=∠AED=60°，DG=AE, AE=DF=10 .DG=DF=10. ∴，△DFG是等边三角形， 16/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..FG=FC+CG=DF=10. .CF=FG-CG=10-7=3」 拓展 链接中考 1.A2.D3.B 4.证明：BE=3,EC=6, .BC=9, :四边形ABCD是正方形， AB=CB=9,∠B=∠C=90°， AB 93 BE 3 EC62,CF=2, AB BE ‘ECCF 又：LB=∠C=90°， ∴.△ABE AECF 5.【详解】(1)解：(1A B (2)解：：在矩形ABCD中， .∠ABC=∠D=90°， 由(1)知△AEF≌△ABC .AE=AB=2,EF=CB=4,∠AEF=∠B=90°， .∠CAD=∠EAG,∠AEG=∠D .△AEGAADC, AE EG ·ADCD' 17/18 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2_EG …42 .EG=1, ∴FG=4-1=3 F D G E C 18/18 分层作业 1.4 相似三角形的判定 目 录 A组 巩固过关 题型01 利用平行判定三角形相似 题型02 两角分别相等的两个三角形相似 题型03 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 题型04 三边成比例的两个三角形相似 题型05 添加条件使两个三角形相似 题型06 在网格中判断相似三角形 题型07 相似三角形判定的综合 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接中考 利用平行判定三角形相似题型01 1.小明想要得到与相似的三角形，于是他用剪刀沿着图中虚线将剪开，虚线与边平行，如图所示，则他判定剪下的三角形（阴影部分）与相似的依据是（    ） A．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 B．三边成比例的两个三角形相似 C．平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 D．相似三角形的三个角分别相等 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，作答即可． 【详解】解：由题意，判断的依据是：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 故选：C． 2.如图，在中，点，分别在，上，，若，，则_____． 【答案】 【分析】首先根据，结合相似三角形的判定定理得出；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的线段长度计算的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 3.（2026·上海虹口·一模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点、、、都在格点上，连接、交于点，那么的值是___________． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先证明，再列出比例式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4.在中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交、BC于点M，N；②分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点O；③作射线，交于点E，CD的延长线于点F．已知，，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得平分，再根据平行四边形的性质以及平行线分线段成比例逐一进行判断即可． 【详解】解：根据题意可得平分， ，选项A不符合题意； ， ， ， ， ， ，选项B不符合题意； ，选项C不符合题意； ， ，选项D符合题意． 5.如图，在中，点D，E，F分别在，，边上，，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查相似三角形的判定及平行线所截线段成比例，熟练掌握相似三角形的判定及平行线所截线段成比例是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据相似三角形的判定定理可进行求证； （2）由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 6.已知：如图，在中，D为的中点，E为上的一点，延长线交延长线于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了利用平行判定相似，相似三角形的判定与性质综合，利用相似三角形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先证明，列出比例式：，结合中点可得，再证明，列出比例式：，从而可得结论． 【详解】证明：过点C作，交于点M． 则， ∴． ∵点D为的中点， ∴． ∴①， ∵， ∴， ∴②， 由①和②可知，． 两角分别相等的两个三角形相似题型02 1.下列说法：①所有的等边三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的两个等腰三角形一定相似；④都有一个角的两个直角三角形相似，其中正确的说法是（    ） A．②④ B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：①所有等边三角形的内角都为，任意两个等边三角形的三个内角都对应相等，因此所有等边三角形都相似，①正确； ②等腰三角形两底角相等，若两个等腰三角形有一个底角相等，则两个三角形的底角都对应相等，顶角也相等，三个内角对应相等，因此两个三角形相似，②正确； ③若相等的角一个是等腰三角形的顶角，另一个是等腰三角形的底角，则两个三角形的内角不对应相等，不一定相似，③错误； ④两个直角三角形都有一个直角，且都有一个角，因此两个三角形有两个角对应相等，两个三角形相似，④正确． 2.如图，在中，，点是边上的动点（点不与点重合），当 度时，． 【答案】70 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定，得出是解题关键．根据题意得出，进而由，，得出答案． 【详解】解：，， ， 时， ，， ． 故答案为：70． 3.如图，已知，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟悉相似三角形的判定定理是解题的关键，已经有一角相等，只需再证一角相等即可；由等式的性质得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， 即， ∵， ∴． 4.如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）由，得到，推出，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为． 5.如图，在中，，D、E分别是边、的中点，连接，F是延长线上一点，连接，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了等边对等角，三角形中位线定理，相似三角形的判定． 根据等边对等角得到，证明是的中位线，得到，即，，进而得到，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵D、E分别是边、的中点， ∴是的中位线， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 6.如图，在中，点E为边上一点，连结：点F为线段上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定，根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，，利用等量代换可得，再根据相似三角形的判定即可得证． 【详解】证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似题型03 1.如图，下列四个三角形中，与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据两角对应相等或者三边成比例、夹角相等，两边成比例等方法证明相似，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴ ∴ A、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； B、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； C、两边成比例，夹角相等，故该选项是正确的； D、两边成比例，但夹角不相等，故该选项是错误的； 故选：C 2.如图，中，，，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、如图， 根据题意得，， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、如图， ∵不知道的长度， ∴无法求出的长度， ∴无法得出和以为夹角的两边成比例 ∴剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似，符合题意； C、如图， ∵， ∴ ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、∵，且 ∴剪下的阴影三角形与原三角形相似，不符合题意． 3.如图，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，由，得到，结合，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 4.如图，在与中，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，由可得出，再根据相似三角形的判定得出，由相似三角形的性质得出． 【详解】证明：， 则， ， ， ， ， ． 5.如图，的高相交于点H，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，注意利用相似寻找证明相似的条件． （1）根据已知条件得到，由于，于是得到； （2）由可得，再利用可证明结论． 【详解】（1）证明：∵是的高， ∴． 又∵， ∴； （2）证明：由（1）知， ∴，即． 又∵， ∴． 6.如图，在正方形中，P为的中点，Q为上一点，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、正方形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 由正方形的性质得出，，易得，进而得，最后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵P为CD的中点， ∴． ∵，， ∴． ∴． 三边成比例的两个三角形相似题型04 1.（24-25九年级上·湖南湘潭·期中）已知和的三边长，下列条件能判断它们相似的是（   ） A．，，；    ，， B．，，；    ，， C．，，；    ，， D．，，；    ，， 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、， 两个三角形的三边成比例，故两个三角形相似； B、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； C、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； D、， 两个三角形的三边不成比例，故两个三角形不相似； 故选：A． 2.观察下列每组三角形，不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C． 3.如图，在四边形中，．若，则的度数是_________． 【答案】/度 【分析】本题考查了相似三角形的定义及判定相似三角形的性质，解题的关键是掌握其性质． 利用三边成比例证明，可得的度数． 【详解】解：， ， ， ． ． 故答案为： ． 4.已知的三边之比为．在中，．当_______时，． 【答案】 【分析】本题考查了三角形相似的判定定理，结合已知条件，利用三条边对应成比例，解题过程注意对应边． 【详解】解：当时，．理由如下： ∵， ∴可设（）， ∴，，， ∴， ∴，符合题意 故答案为： ． 5.如图，在四边形中，，相交于点F，点E在上，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据相似三角形的判定定理得到，由相似三角形的性质得到，根据角的和差即可得到结论； （2）由已知条件得到，结合，即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ． ． ． ． （2）证明：， ． 由（1）可知：， ． .添加条件使两个三角形相似题型05 1.（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，能使成立的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】由题意得，， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似， 可判断，故C选项符合题意； A，  B，  D选项均不能判定，故不符合题意； 故选：C． 2.（23-24九年级上·湖南岳阳·期中）如图，若点P为的边上一点（），下列条件不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定条件是解题的关键．根据相似三角形的判定条件求解即可． 【详解】解∶A．添加条件，再由，可以判断，故A不符合题意； B．添加条件，再由，可以判断，故B不符合题意； C．添加条件，再由，可以判断，故C不符合题意； D．添加条件，再由，不可以判断，故D符合题意； 故选：D． 3.（23-24九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定方法；熟记三角形相似的判定方法“两组角对应相等的两个三角形相似”，“两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似”是解决问题的关键． 【详解】解：在和中，， 如果，需满足的条件有： ①或平分，②； 故选D． 4.如图，线段相交于点A，连接，请添加一个条件，使，这个条件可以是______．（写出一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定方法．根据图形结合相似三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：∵，且点的对应点为点， ∴根据三角形相似的判定方法，可以有两组角对应相等或一组角相等，且这组角的两边对应成比例都可以证明两三角形相似， ∴可以添加或或， 故答案为：． 5.如图示，已知，那么添加下列一个条件后，能判定的是______（请填写序号） ① ② ③ ④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟记相关判定定理的内容是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 即： ①若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ②若，则（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似）； ③若，则（如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似）； ④，不能判定； 故答案为：①②③ 在网格中判断相似三角形题型06 1.如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 计算出每个三角形的三边比，根据三边对应成比例判定相似． 【详解】解：三角形①的三边比为，三角形②的三边比为，三角形③的三边比为，三角形④的三边比为，三角形⑤的三边比为，三角形⑥的三边比为， ∵， ∴三角形④与三角形⑥相似． 故选：B． 2.如图，在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形相似的判定，掌握相似三角形的判定定理，抓住三角形三边的比值相同来判断相似是解题关键． 利用相似三角形对应边成比例，先求出的三边长，求出三边的比为，再分别求出各选项中三角形的三边长从小到大排序，求出三边的比值，判断即可． 【详解】解：的三条边长度为，三边的比例为； 选项A：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项B：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 选项C：三角形的三边长为，三边的比例为，与相似，符合题意要求； 选项D：三角形的三边长为，三边的比例为，与不相似，不符合题意要求； 故选C． 3.如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理；解决问题的关键是熟练掌握勾股定理，证明三边成比例． 根据正方形的性质和勾股定理求出的长，得出 ，再根据相似三角形的判定方法即可证明． 【详解】证明：由题意可知，．由勾股定理，得． 4.如图所示，在的网格中，和的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． (1)填空：________，________； (2)判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）取格点G，连接，，根据勾股定理得到，，得到是等腰直角三角形，求出，进而求出根据勾股定理即可求出； （2）首先根据勾股定理求出与各边长，然后得到，即可证明出． 【详解】（1）解：如图所示，取格点G，连接，， 由网格得，点G，A，C三点共线 ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∴； 由勾股定理得，； （2）解：∵在中，，，， ∵在中，，， ∴ ∴． 相似三角形判定的综合题型07 1.如图，已知． (1)写出图中相似的三角形______（用“”连接），并证明你的结论． (2)若点为线段的中点，请再写出一对和（1）问中不一样的相似三角形：______（用“”连接），并证明你的结论． 【答案】(1) (2)或者（答案不唯一），证明见解析； 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定； （1）根据三角形的外角的性质结合已知得出，进而根据两角相等的两个三角形相似，即可得证； （2）根据为线段的中点，得出，根据得出则，根据两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似，即可得证． 【详解】（1）， 证明：∵， 又， ∴， ∴， （2）解：，证明如下， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴， ∴， 即 又∵， ∴, 同理可得，即 又∵ ∴． 2.如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1)相似．理由见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得； （2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：相似．理由如下： ， ． （2）解：由（1），得． 又， ． 3.如图，点D、E分别在线段和上，与相交于点O，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据可证，通过可证，然后根据相似的传递性即可得证． 【详解】证明： ， ， ， ， ， ， ． 4.如图，在中，点D、E、F分别在边上，，． (1)求证：∽； (2)若，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键， （1）先根据平行线的性质可得，，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）先根据可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得，然后再根据线段的和差即可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∴，， 在和中, ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 5.（23-24九年级上·湖南郴州·期中）如图，在正三角形中，，分别在，上，且，． 求证： (1)； (2)若，试求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解， （2）根据相似三角形的性质，得到，即可求解， 本题考查了，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）证明：， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：的长度为． 1.在中，点是上的动点，点是上的动点，连接交于点． (1)如图1，当点和点重合，若，求证：点是的中点． (2)如图2，当点为的中点，若时，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，关键是利用平行线构造全等或相似三角形，将线段比例关系进行转化． （1）根据平行四边形对边平行的性质，得到与相似，利用已知的线段比例，结合，推出，从而证明是中点； （2）延长交的延长线于，利用平行四边形的性质证明，得到且，再由得到，结合的比例关系，设，通过线段代换建立方程求解，进而得到的比值． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴点是的中点； （2）解：如图，延长交延长线于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵是中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，即，则， ∵， ∴， ∴， ∴，解得， 即． 2.如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的说法的对错，小星_______，小红_______，小亮_______．（填“对”或“错”） (2)选择一种正确的方法，求证：； (3)在（）的条件下，，若，，直接写出的长． 【答案】(1)对，对，错 (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （）根据相似三角形的判定方法即可求证； （）利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星说法对；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的说法对；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的说法错； 故答案为：对，对，错； （2）证明：选小星说法， ∵，， ∴； 选小红说法， ∵，， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3.（23-24九年级上·湖南常德·期中）如图1，在中，是边上的一点，联结．要使，还需要补充的一个条件是______，或______．    请回答： (1)补充的条件是______，或______； (2)请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题： 如图2，在中，，．求的度数． 【答案】(1)，，或； (2)． 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．运用两个角对应相等或者夹角相等，两边对应成比例即可证明（1）；延长到点D，使，易得，然后由相似三角形的对应角相等，求得，则可求得的度数，继而求得（2）中的的度数． 【详解】（1）解：由是公共角，可得要使， 所以还需要补充的一个条件是：，，或； （2）解：如图，延长到点D，使，    ∵， 即 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． 4.如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 5.如图，和都是的高，相交于F点，连接．    (1)求证：； (2)若点D是的中点，，则的长为__________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据相似三角形的判定，即，再根据即可证明结论； （2）根据垂直平分线的性质可得，由(1)， 可得，再根据勾股定理即可求出的长； 【详解】（1）证明: ∵是的高, ∴, ∵, ∴， ∴，即， 又∵, ∴； （2）∵点是的中点,, ∴, 在中, ∵, ， ， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明. 1.如图，矩形中，，点是的中点，连接．将沿着折叠后得，延长交于，连接． (1)求证：平分． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）可推出，，进而推出，从而得出，从而平分； （2）可推出，，从而，进一步得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 点是的中点， ， 将沿着折叠后得， ，， ，， ， ， ， 平分． （2）证明：由折叠可得：， 由（1）得：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，角平分线等知识，解决问题的关键是转化条件和集中条件． 2.如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 3.如图1，在边长为4的正方形中，点H为上一动点，且，截取，且交线段于M，过M作的垂线交于N． (1)求证：； (2)如图2，若点M是的中点，求的周长； (3)在动点H逐渐向点A运动（HB逐渐增大）的过程中，的周长如何变化？请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴； ∵ ∴， ∴，； ∴； 又∵； ∴． (2)的周长； (3) 在点H的运动过程中，的周长P始终为8，是一个定值，理由如下： 设，则， 在中， ∴，即， 又∵， ∵；且相似比为： ∴的周长的周长． ∴在点H的运动过程中，的周长始终为8，是一个定值． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）由正方形的性质以及垂直的定义可得、，进而得到，再结合即可证明结论； （2）由题意可得，设，则，由勾股定理可得，解得，即；再根据相似三角形的性质可得，进而得到、，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）设，则，在中运用勾股定理可得，即、；再根据相似三角形的周长比等于相似比可得的周长的周长，最后代入数据化简即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵点M是的中点，正方形边长为4， ∴， 设，则， 在中，， ∴，解得：， ∴ ∵； ∴，即 ∴，， ∴的周长． （3）略 4.（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）证明，结合，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证明结论即可； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，易得，结合，即可证明结论； （3）延长到点，使，连接，结合菱形的性质可证明，易得，，进而证明是等边三角形，然后计算的长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 1.（2026·四川凉山·中考真题）如图，将在平面内绕点逆时针旋转到的位置，与交于点，与交于点，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴选项B与选项C不符合题意， ∵， ∴， 又∵， ∴，故选项D不符合题意， 在旋转的过程中，不一定成立，故A符合题意． 2．（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 3．（2024·河南·中考真题）如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识，利用平行四边形的性质、线段中点定义可得出，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 故选：B． 4.（2024·广东广州·中考真题）如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】 证明：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】略 5.（2026·山东烟台·中考真题）如图，矩形 中， 是对角线，请解决下列问题： (1)将 绕点旋转后，点的对应点为点 ，点的对应点为点 ，且点在线段上，请用尺规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若 ， ，与交于点 ，求 的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以为圆心，为半径画弧，交于，以为圆心为半径画弧，两弧相交于，作射线，以为圆心，长为半径画弧交于，则即为所求；有作图可知，所以，且旋转角为； （2）可证，利用对应边成比例可求，则可求． 【详解】（1）解：略； （2）解：∵在矩形 中， ∴， 由（1）知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 分层作业 1.4相似三角形的判定 目录 A组巩固过关 题型01利用平行判定三角形相似 题型02两角分别相等的两个三角形相似 题型03两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 题型04三边成比例的两个三角形相似 题型05添加条件使两个三角形相似 题型06在网格中判断相似三角形 题型07相似三角形判定的综合 B组能力进阶 C组思维拔高 拓展链接中考 A组 巩固过关 题型01 利用平行判定三角形相似 1.小明想要得到与△ABC相似的三角形，于是他用剪刀沿着图中虚线将△ABC剪开，虚线与边BC平行， 如图所示，则他判定剪下的三角形（阴影部分）与△ABC相似的依据是() B A.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.三边成比例的两个三角形相似 C.平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似 D.相似三角形的三个角分别相等 DE 2:如图，在△ABC中，点D'E分别在AB'AC上，DE∥BC,若AD=2'AB=6:则BC 3.(2026:上海虹口·一模)如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都相等，点A、B、C、D都在格 CE 点上，连接ABCD交于点E,那么DE的值是 4在口ABCD中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，以适当长为半径作弧，分别交AB、BC于点M,N; ②分别以M、N为圆心，大于MW的长为半径作弧，两弧相交于点O:③作射线B0,交AD于点E,CD 的延长线于点F.己知AB=3,DE=2，,下列结论错误的是() D M B A.∠ABE=∠CBEB.BC=5 C.DE=DF D. 架 5.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上，DE AC,EFI|AB 2/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求证：△BDE∽△EFC. AF 1 (2若FC=2,BC=6,求BE的长。 6.已知：如图，在△ABC中，D为AB的中点，E为AC上的一点，DE延长线交BC延长线于点F,求证： BF=AE CF EC A D E 颗型02 两角分别相等的两个三角形相似 1.下列说法：①所有的等边三角形都相似；②有一个底角相等的两个等腰三角形相似；③有一个角相等的 两个等腰三角形一定相似；④都有一个15°角的两个直角三角形相似，其中正确的说法是() A.②④ B.①③ C.①②④ D.②③④ 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，点D是边AC上的动点（点D不与点4，C重合），当 ∠BDC= 度时，△ABC∽△BDC. B 3.如图，已知∠1=∠2∠AED=∠C,求证：△ABC∽△ADE. B 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.如图，在△ABC中，CD⊥AB,∠ACB=90°， (1)求证：△ABC△ACD: (2如果AC=3,BD=6,求AD的长. 5如图，在△ABC中，AC=BC,D、E分别是边AC、BC的中点，连接DE,F是BC延长线上一点，连 接DF,∠F=∠B，,求证：△CDE∽△DFE. B 6.如图，在口ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE:点F为线段AE上一点，且∠DFE=∠C,求证： △ADF∽△EAB. D 题型03 两边成比例目夹角相等的两个三角形相似 1.如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是() 6 B675o 409 2如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4,BC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角形不一定相似的是() A 78c 780 478° 3 3.如图，已知AD·AC=AB·AE,∠DAE=∠BAC.求证：△ADB∽△AEC E B C 4.如图，在△ABC与△DBE中，∠ABD=∠CBE,BD·BC=BABE,求证：∠A=∠D D 5.如图，△ABC的高BD,CE相交于点H,连接DE.求证： A D B (1)△BEHACDH: (2)△DEH∽ACBH 6.如图，在正方形ABCD中，P为CD的中点，Q为BC上一点，已知AB=4,CQ=l,求证： 5/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △PCQ∽△ADP D B 颗型04 三边成比例的两个三角形相似 1.(24-25九年级上湖南湘潭期中)己知△ABC和△DEF的三边长，下列条件能判断它们相似的是() A.AB=4,BC=8,AC=10:DE=20,EF=16,DF=8 B.AB=3.BC=4.AC=6.DE=6,EF=8.DF=9 C.AB=12,BC=15,AC=24:DE=16,EF=30,DF=20 D.AB=3k,BC=4k,AC=5k DE=6k,EF=7k,DF=8k(k>0) 2观察下列每组三角形，不一定相似的是() B.4 589 40 35 40 2,AD=25 3如图，在四边形ABCD中，AB=6,BC=4,4C=5,CD= 4·若∠B=55o,则∠4CD的度数是 B 4.已知△ABC的三边之比为AB:BC:CA=2:3:4.在△4B'C中，AB'=l,4C'=2.当B'C'=时， △ABC∽AA'B'C AB BC AC 5.如图，在四边形ABCD中，AC,BD相交于点R,点B在BD上，且AE-ED-AD·求证： 6/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)1=∠2； (2)△ABE∽△ACD 颗型05 添加条件使两个三角形相似 1.(23-24九年级上湖南衡阳期末)如图，能使△ABC∽△AED成立的条件是() D B ACAB BC AD A.∠A=∠A B.∠ADE=∠AED C.AD AE D.ED AC 2.(23-24九年级上湖南岳阳期中)如图，若点P为△ABC的边AB上一点(AB>AC)，下列条件不能判 定△ABC∽△ACP的是() AC_AP D.CB AB PC AC A.∠B=∠ACPB.∠ACB=∠APC C.AB AC 3.(23-24九年级上湖南衡阳期末)如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD,那么补充下列条件后 不能判定△ABC和△ACD相似的是() B A.CA平分∠BADB.∠BCA=∠D C.G-co 。8 4.如图，线段BE、CD相交于点A,连接DE、BC,请添加一个条件，使△ADE一△ABC,这个条件可以 是.（写出一个条件即可） 7/15 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B 5.如图示，己知I=∠2，那么添加下列一个条件后，能判定△ABC△ADE的是 一（请填写序号） ①D-B@c-∠ABn®8G ④ AB_BC AD DE 题型06 在网格中判断相似三角形 1.如图所示的6个三角形中，相似三角形是(). ② ③ ⑥ A.①与③ B.④与⑥ C.②与⑤ D.②与⑥ 2.如图，△ABC在正方形网格中，下列正方形网格中的阴影图形与△ABC相似的是（) B 8/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如下图所示的是由三个边长为1的正方形拼成的矩形AEFD.求证：△BCE∽△BED B C D 4.如图所示，在5×8的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上. B (1)填空： ∠BAC= EF= (2)判断△ABC与△DEF是否相似？并证明你的结论， 颗型07 相似三角形判定的综合 1.如图，已知∠A=∠BCD=∠E=u」 B (1)写出图中相似的三角形一（用“∽”连接），并证明你的结论 (2)若点C为线段AE的中点，请再写出一对和(1)问中不一样的相似三角形：一一一 (用“n”连接)， 并证明你的结论， 2.如下图，AB=25,BC=40,AC=20,AE=12,AD=15,DE=24 D E (1)判断△ABC与△ADE是否相似，并说明理由. (2)若∠BAC=125°，∠EAC=70°，求∠CAD的度数. 9/15 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.如图，点D、E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O,AD·AB=AE·AC,DF∥BE.求证： △ADFACD 4.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，DEI川AC,EF‖AB. (1)求证：△BDE∽△EFC: AF 2 (2)若FC=3,且BC=20,求线段BE的长. AD 1 5.(23-24九年级上湖南郴州期中)如图，在正三角形ABC中，D:E分别在AC,AB上，且4C3: AE=BE. D 求证： (1)△EADP△BCD:； (2)若ED=6cm,试求BD的长度. B组 能力进阶 1.在ABCD中，点E是AB上的动点，点G是BC上的动点，连接DE交AG于点F. 10/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D G B(E) E B 图1 图2 (1)如图1，当点E和点B重合，若BF:FD=1:2,求证：点G是BC的中点. (2)如图2，当点G为BC的中点，若EF=nDF时，求AF:FG的值（用含n的代数式表示）. 2.如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点. B 小星：若∠ACP=∠B,则可证： 小红：者长%则可证 小亮：若品瓷，则可证： △ACP∽△ABC △ACP∽△ABC △ACP∽△ABC (1)请判断三人的说法的对错，小星一 一，小红一一，小亮 (填“对”或“错”) (2)选择一种正确的方法，求证：△ACPOAABC: (3)在(2)的条件下，△ACP∽△ABC,若BP=2,AC=V15,直接写出AP的长， 3.(23-24九年级上湖南常德期中)如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，联结CP.要使 △ACPOAABC,还需要补充的一个条件是一一，或 图1 图2 请回答： (1)补充的条件是—一，或 (2)请你参考上面的图形和结论，探究、解答下面的问题： 如图2，在△ABC中，∠A=60°，AC2=AB+AB.BC.求∠B的度数. 4.如图，己知等腰△ABC和等腰△ADE有公共的顶点A,且AB=AC,AD=AE,∠EAC=∠DAB,点E 恰好落在边BC上（与B、C不重合），连接BD 11/15 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：BD=CE: (2)若AB与DE相交于点F,求证：△CAE∽aBEF」 5.如图，AD和BE都是△ABC的高，相交于F点，连接DE. E (1)求证：aCAB~aCDE: (2)若点D是BC的中点，CE=6cm,BE=8cm,则AB的长为 C组 思维拔高 1.如图，矩形ABCD中， BC<2AB,点M是BC的中点，连接AM.将△ABM沿着AM折叠后得△MPM, 延长AP交CD于E,连接ME. D (1)求证：ME平分∠PMC. (2)求证：△EMCAMAB 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=9O°，△DEF的顶点E与△ABC 的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与 射线CA相交于点Q, E 图① 图② (1)如图①，当点在线段AC上，且AP=A犯时，求证：△BPE≌△CQE: (2)如图②，当点O在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽aCE0, 3.如图1，在边长为4的正方形ABCD中，点H为AB上一动点，且2≤BH<4,截取HM=HB,且HM 交线段AD于M,过M作HM的垂线MN交DC于N. M M N B B 图1 图2 备用图 (1)求证：△AHM∽aDMN: (2)如图2，若点M是AD的中点，求△DMN的周长： (3)在动点H逐渐向点A运动(HB逐渐增大)的过程中，△DMN的周长如何变化？请说明理由. 4.(1)如图1，在矩形ABCD中，点C,D分别在边DC,BC上，AB⊥AB,垂足为点G.求证： △ADE∽△DCF GQ了 图1 【问题解决】 (2)如图2，在正方形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上，AE=DF,延长BC到点H,使 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 CH=DE,连接DH.求证：∠ADF=∠H. F 图2 【类比迁移】 (3)如图3，在菱形ABCD中，E,F分别在边DC,BC上，AE=DF=10,DE=7,∠AED=60°，求 CF的长. 】 F 图3 拓展 链接中考 1.(2026四川凉山中考真题)如图，将△ABC在平面内绕点B逆时针旋转到△ABC'的位置，AC与A'C 交于点E,AC与BC交于点F,则下列结论不一定正确的是() B A.AE=EF B.∠ABA'=∠CBC C.△ABC≌AABC D.△BCF△EC'F 2.(2025河北中考真题)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线DE于点 M,N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCV,则这个条件是() 14/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A E 2 D 3 A.∠B+∠4=180°B.CD∥AB C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 3.(2024河南中考真题)如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,点E为OC的中点， EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为() A B.1 c.3 D.2 4.(2024广东广州中考真题)如图，点E,F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，BE=3,EC=6, CF=2.求证：△ABE∽△ECF. B E 5.(2026山东烟台中考真题)如图，矩形ABCD中，AC是对角线，请解决下列问题： A D B (1)将△ABC绕点A旋转后，点B的对应点为点E,点C的对应点为点F,且点E在线段AC上，请用尺 规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）： (2)在(1)的条件下，若AB=2,BC=4,EF与AD交于点G,求FG的长. 15/15