1.4 第4课时 相似三角形的判定定理3（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（湘教版·新教材）

△ABC,(②解：由1得△ADBn△ABC是-铝即5=高AE=4, 6.B7.D8.17 9.证明：由尺规作图的痕迹得CD=CB,AD=CD.∴.∠DCA=∠A=36°.∴.∠CDB= ∠A+∠DCA=72°.：CD=CB,∴∠B=∠CDB=72°.∴.∠BCD=180°-∠B- ∠CDB=36°.∴.∠A=∠BCD.∠ABC=∠CBD,∴△ABC△CBD. 10.(1)证明：四边形ABCD为菱形，∴∠ACD=∠ACB.:∠ACD=∠ABE, ∴∠ACB=∠ABE.∠BAC=∠EAB,.△ABCn△AEB.(2)解：△ABC∽ △MEB26即是音AE-9.CE-AE-AC-5 11.(1)证明：，∠A=∠B=∠DPC=90°，∠APD+∠BPC=90°，∠APD+∠ADP =90∠ADP=∠BPC△ADP△BPCa0-AD,BC=AP·BP (2)解：成立.理由如下：∠A=∠B=∠DPC=0,∴∠APD+∠BPC=180°-0， ∠APD+∠ADP=1S0-R∠ADP=∠BPC∴△ADPD△BPC.∴gP-AC ∴AD·BC=AP·BP. 第3课时相似三角形的判定定理2 新知导学 成比例相等 【例1】证明：AD=5,BD=3,AE=4,CE=6,∴.AB=AD十BD=8,AC=AE十CE= 10小铝=告=合是=品=合铝-是又：∠A=∠A,△ADB△ACB 【例2】不相似 1.C2.C3.B4.25.65° 6证明：光=品=2.8咒=告=2,82-8器又：∠A0D=∠c0B,△A00∞ △COB. 7.B8.C 9.(1)证明：，AD,BE是△ABC的两条高，∴.∠ADC=∠BEC=90°.又∠C=∠C, ∴△ACD△BCE器-器即CE·CA=CD.CB(2)懈：器-器需 器又：∠C=∠C,acDB△cAa器器-是 10.(1)证明：正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，.∠A=∠D=90°，AD= AB=D0=BC=4,AE=DE=专AD=2,DF=DC=1是-音=2,8器-是=2， :2架.：∠A=∠D=90,△ABE△DEF.(2)解：四边形ABCD为正方 形，ED/BG,△DEFO△CGR0器-8SDF=1,DE=2,CP=DC-DF=3, CG=DECP=6.∴ACrG的面积=CG·CF=9. DF 11.2.5或4 第4课时相似三角形的判定定理3 新知导学 成比例 【例1】证明：由图可知，AB=4,AC=√12十1=√2，BC=√32+1=√10，DE=8,DF -平7=22.-6+-2v瓜提-言言品-易器- 一4 票-0-祭-器DF.2C∠E 【例2】号em,号m或号cm,号cm或号cm,号cm 10 5 1.A2.c3.罗 15(2)128 4证明：AD-2BD,AE-2CE裙-号能-号又既-号小品-能- B器.△ABCAADE. 5解：8-S-铝△ABC△ADE∠BAC=∠DAE∠DAE-∠DAC =∠BAC-∠DAC,即∠CAE=∠BAD=15°. 6.C7.C 8解：△AD0C△ADC.理曲知下：铝沿品-滑又：品=瓷 =滑器=瓷=0△ADCAADC 9,.(1)解：∠CBD=∠A,∠BCD=∠ACB,△BDCn△ABC÷8器-怨即罗- 2 是.CD=1.BD=VCD+BC=5.(2)证明：E,F分别是R△ABC,R1△BCD 斜边上的中点，∴CF=号BD,CE=号AB.“E,F分别是AB,BD的中点，EF= 名AD.品-器-器-△CEF∽△BAD, 10.解：(1)△ABC△DEF.理由如下：根据勾股定理，得AB=2√5，AC=√5，BC=5, Dg=4g.D=2E,EF-2而是-平架=器=平是-祭 =S∴△ABC△DER.(2)如图，△P,PR即为所求. 专题一相似三角形的五大基本模型【热点】 1.C2.4 3.(证法-)证明：DH∥BF,∴開-品，能-器又：AD是BC边上的中线， DnCH=PHcR提-荒号 CF. (证法二)证明：AD是BC边上的中线，BD=号BC.:DK∥AC,△BDK∽ △BcF,△DEKO△MEP0-祭景-是∴DK=cR,∴'-景 AF2AF CF 4.√2 5.(1)证明：DH∥AB,∴∠A=∠HDC.∠CBD=∠A,∴∠HDC=∠CBD.又 ∠H=∠H,∴.△HCDn△HDB.(2)解：2 -5 6.1：3 7.(1)证明：，'△ABC是等边三角形，.∠B=∠C=60°=∠DFE.,∠CFD=∠CFE +∠DFE=∠B+∠BDF,∴∠BDF=∠CFE.∴.△DBF∽△FCE.(2)解：DE⊥EF, .∠DEF=90°.∠DFE=60°，∠EDF=90°-∠DFE=30°.∴.DF=2EF.由(1)知 △DFAPCE.8器-2F=2BF=2CE=4 81)证明：△ABC和△CEF均为等腰直角三角形，易得C-票-E,∠ACB ∠ECF=45°.∠ACE=∠BCF.∴.△CAE∽△CBF.(2)解：：'△CAE∽△CBF, ÷∠CAE-∠CBF,s-瓷-反.：AE=2品=EBF=E.又：∠CAE+ 2 ∠CBE=90°，∴.∠CBF+∠CBE=90°.∠EBF=9O°.∴在Rt△EBF中，EF= √BE+BF=√3..CF=EF=√5.∴.CE=√EF2+CF=√6. 1.5相似三角形的性质 第1课时相似三角形对应高、角平分线、中线的性质 新知导学 相似比相似比 【例I】B 【例2】解：，'AD:DB=4:3,.AD:AB=4:7.,DE∥BC,.△ADEc∽△ABC :Cr,EC分别是△ABC与△ADE对应边上的中线，器-铝即六=号CF- 7 cm. 1.A2.C3.D4.1:34.5 5.解：.∠CBD=∠A,∠C=∠C,.△BDC∽△ABC.E,F分别为AC,BC的中点， 小-E即音=品BE=48, 6.B7.√3-18.3：4 9.解：(1)·AC平分∠BAD,BC⊥AC,CD⊥AD,∴.∠BAC=∠CAD,∠BCA=∠CDA =90△ABC△AcD.六是-品即8-品AD=&(②)由(I)知△ABC☑ △ACD.,'DE⊥AC,CF⊥AB,即DE,CF分别为△ACD和△ABC的边AC,AB上的 商器-号 10.解：结论品=k成立.证明如下：△ABCn△AB'C,且△ABC与△ABC的相 似比为，∠BAC=∠BAC,∠C=∠C,8=点∠EAB=∠EA'g,AD. AD'分别是△ABC,△AB'C'的外角平分线，∠BAD=号∠BAE,∠BA'D'- 合∠BA'E.∠BAD=∠BA'D.∠DAC=∠DA'C.△DACn△DA'C. 品怨-® 第2课时相似三角形面积和周长的性质 新知导学 ①相似比的平方②相似比 【例1】D 【例2】(1)证明：∠B=∠ACD,∠A=∠A,∴.△ACDC∽△ABC.(2)解：：△ACDC∽ △ABc提-胎-号S-号c=4 —6第4课时 【新知导学 >◆预习新知 同新知梳理 三边 的两个三角形相似. ☑例题引路 【例1】（教材P29练习T3变式）如图， 在正方形网格中，每个小正方形的边长 都为1，点A,B,C,D,E,F都在格点 上.求证：∠C=∠F! B 【思路分析】根据勾股定理求出三角形 各边的长，再根据相似三角形的判定定 理即可判断△ABCp△DEF,进而得出 结论· 【学生解答】 易错典例 【例2】已知一个三角形的三边长分别为 3cm,4cm,5cm,另一个与它相似的三 角形的一边长为2cm,则其另外两边的 长分别为 【易错剖析】对应边不确定时，未分类讨 论致错 【学生解答】 15数学九年级上册(X) 相似三角形的判定定理3 基础过关 ◆·>逐点击破 知识点 三边成比例的两个三角形相似 1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别 为2,4,5，乙三角形木框的三边长分别为6,12,15，则 甲、乙两个三角形木框 () A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断 2.把△ABC进行下列变形后，与△ABC相似的是( A.各边长都加2 B.各边长都减2 C.各边长都乘2 D.各边长都平方 3.在△ABC中，AB=4,BC=5,AC=6. (1)若DE=10,则当EF=,DF= 时，△DEF △ABC: (2)若DE=10,则当EF=,DF=时， △FDE∽△ABC. 4.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，AD= 2BD,AB=2CE,B-系求证：△ABCn△ADE 5.(发对P0习爽T8变式)如图，已知铝-BE-S, ∠BAD=15°，求∠CAE的度数. 口能力提升 >>◆整合运用 6.如图，A,B,C,P,Q,甲、乙、丙、丁都在正方 形网格的格点上，为使△ABC∽△PQR,则 点R应是甲、乙、丙、丁四点中的() A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 P 甲乙丙] AB (第6题图) (第7题图) 7.如图，∠AOD=90°，OA=OB=BC=CD,则 下列结论成立的是 A.△OABP△OCA B.△OAB∽△ODA C.△BAC∽△BDA D.以上结论都不成立 8.如图，在△ABC和△A'B'C'中，D,D分别是 AB,A8上-点，把-8当品 瓷常时，判断△ADC与△AD'C是 否相似，并说明理由， 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D在 AC上，连接BD (1)若AC=4,BC=2,∠CBD=∠A,求BD 的长； (2)取AB,BD的中点E,F,连接CE,EF, CF,求证：△CEF∽△BAD. 【思维拓展 ,◆◆强化素养 10.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，P1,P2,P3, P4,P是△DEF边上的5个格点，请按要 求解答下列问题： (1)判断△ABC与△DEF是否相似，并说 明理由； (2)画一个三角形，使它的三个顶点为P, P2,P3,P4,P中的3个格点，并且与 △ABC相似.（不要求写证明过程） 提示 猜完成基本功专练（一） 第1章图形的相似16