第六单元 图形的奥秘（3种类型20道专项练习）数学北师大版四年级上册（新教材）

第六单元 图形的奥秘 （3种类型20道） 目录 题型一：截面的形状判断与大小对比 1 题型二：平面图形与立体的转化（展开与折叠） 3 题型三：翻滚正方体的规律探究 8 题型一：截面的形状判断与大小对比 1．如图所示，把一个正方体沿对角线斜着切开，得到的截面形状是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 【答案】B 【分析】切割平面穿过正方体两个相对面的对角线，截面两组对边分别平行，一组边是正方体棱长，另一组边是正方形面对角线，邻边长度不相等，根据正方体同一个顶点三条棱两两互相垂直可知截面四个内角全是90°，据此判断截面的形状。 【详解】截面形状是一个两组对边分别平行且相等，四个角都是直角的图形，所以这个图形是长方形。 2．从圆锥顶点向底面作垂直切割，所得到的截面是（    ）。 A．扇形 B．圆形 C．等腰三角形 【答案】C 【分析】圆锥的高是指从圆锥的顶点到底面圆心的距离。圆锥只有一条高，这条高垂直于底面的任意一条直径。从圆锥的顶点向底面作垂直切割，所得到的截面是以一条直径为底边，圆锥的两条母线为腰，圆锥的高为高的等腰三角形。 【详解】因为圆锥的两条母线相等，所以从圆锥的顶点向底面作垂直切割，所得到的截面是等腰三角形。 3．下面的立体图形中，沿（    ）切开，截面是三角形。 A． B． C． 【答案】A 【分析】从不同的方向切开，得到的截面形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关。 【详解】A．圆锥沿它的高切开，切开后的面是一个三角形。 B．圆柱的上下两个底面都是圆，则圆柱从中间切开后的面是圆形。 C．圆柱沿垂直于底面的平面切开，截面是长方形。 故答案为：A 4．图形甲切完后的截面形状是( )，图形乙切完后的截面形状是( )。（填序号） 【答案】 ② ① 【分析】判断甲的切割面与圆柱底面的位置关系，切割面平行于圆柱底面，所以截面形状和底面形状一致。 判断乙的切割面与圆柱轴线的位置关系，切割面平行于圆柱的轴线，所以截面形状为对应的长方形。 【详解】图形甲：是沿着圆柱的底面方向（平行于底面）切割，截面和圆柱的底面形状相同，是圆形，对应序号②。 图形乙：是沿着圆柱的轴线方向（垂直于底面）切割，截面是一个长方形，对应序号①。 5．看图形，按要求填空： ______ 号是正方体， ______ 号是长方体， ______ 号是圆柱， ______ 号是球．截面为圆形的有______． 【答案】 4、7 1、3、10 5、6、8 2、9 2、5、6、8、9 【详解】长方体：有6个面，相对应的面一样大．正方体：有6个面，每个面都一样大．圆柱：上下两个面是圆、大小一样．球：是随意滚动的． 题型二：平面图形与立体的转化（展开与折叠） 6．“六一”儿童节活动结束了，现场装饰被拆除，其中有一个正方体摆件的展开图如图所示，与“节”相对的是（    ）。 A．快 B．乐 C．儿 【答案】C 【分析】确定该展开图属于正方体展开图的“一四一”型，正方体展开图相对面的判断规律：同一行或同一列中，间隔一个面的两个面是相对面。 定位“节”字所在的面，找到和它在同一行且间隔一个面的对应面。 【详解】与“节”相对的是“儿”。 7．下面的三个展开图，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】把正方体沿棱剪开，能得到不同形状的平面展开图，不是所有由6个相同正方形拼成的平面图形，都能折叠围成正方体。正方体11种标准展开图分为四类：1－4－1型、2－3－1型、2－2－2型、3－3型； 出现“田字格、凹字形、一线超过4个正方形、7字形”的六连正方形，无法折成正方体。 【详解】A．属于1－4－1型标准正方体展开图，可以围成正方体； B．属于1－4－1型标准正方体展开图，可以围成正方体； C．竖列有3个正方形，横向一排4个，形成“7字形”结构，符合不能折成正方体的特征，折叠时会出现面重叠，无法围成正方体。 8．下面的图形（    ）是长方体（或正方体）的展开图。 A． B． C． 【答案】C 【分析】长方体/正方体展开图，不能出现“田字形、凹字形”，一四一型、一三二型、二二二型、三三型等标准结构可以折成长方体、正方体。 【详解】A．属于“田”字形结构，折叠时会出现面重叠，无法构成长方体或正方体。 B．有五个长方形和一个偏小的面，没有大小完全相同的相对面，折叠时边长无法对齐，不能构成长方体。 C．属于“一四一”型展开图，中间4个面作为侧面，上下各1个面作为底面，折叠后可以构成长方体。 9．下图是一个正方体展开图，数字代表该处的交点。把它重新折叠成一个正方体时，数字1与( )和( )重合，10和( )重合。 【答案】 2 6 8 【分析】先把展开图中正方形①作为正方体的底面，与它上下左右相邻的正方形依次向内侧折叠，即正方形②作为正方体的前面，正方形⑤作为正方体的后面，正方形④作为正方体的左面，正方形③作为正方体的右面；剩下一个面就是顶面，即正方形⑥作为正方体的上面。 【详解】根据分析可知，观察最左侧的正方形④，折叠后④的左下角数字1会和下方正方形②的左下角顶点（2）重合，最右侧正方形⑥的右下角顶点（6）重合，即数字1与2和6重合； 观察后面的正方形⑤，折叠后它的右上角数字10会和右侧第二个正方形③的右上角顶点（8）重合，即数字10和8重合。 10．如图是一个长方体展开图的前面、上面和右面，如果每个小方格表示1平方厘米，这个长方体长( )厘米，宽( )厘米，高( )厘米。 【答案】 4 2 3 【分析】从前面可看到长方体的长和高，从右面可看到长方体的宽和高，从上面可看到长方体的长和宽。前面和右面的公共边是长方体的高；前面和上面的公共边是长方体的长；右面和上面相同的边是长方体的宽。 【详解】由图可知： 长方体的长是：4×1＝4（厘米） 长方体的宽是：2×1＝2（厘米） 长方体的高是：3×1＝3（厘米） 11．梁山好汉们的六大绝技可概括为“勇、谋、义、武、智、信”。如图是一个正方体的展开图，它的每个面上分别写着这六大绝技中的一种。若将这个展开图围成一个正方体，分别相对的两个面是“勇”和“信”、“谋”和“( )”、“义”和“( )”。 【答案】 武 智 【分析】该展开图属于一四一型正方体展开图，同行隔一个是相对面，上下各一个为相对面。 【详解】已知勇对信，横向一行谋、义、武、智里，谋隔义对应武，义隔武对应智。 12．“仁、义、礼、智、信、孝”是我国的传统美德。小丽把这六个字写在一个正方体的六个面上，如右图是这个正方体的平面展开图。在这个正方体中，和“仁”相对的字是________。 【答案】孝 【分析】在正方体的平面展开图中，相对的面之间一定相隔一个正方形。观察给定的展开图可以看出，“礼”与“信”相对，“义”与“智”相对，“仁”与“孝”相对。据此解答。 【详解】由分析可知，在这个正方体中，和“仁”相对的字是“孝”。 13．下面是一个长方体的展开图，三组相对的面分别对应着《声律启蒙·一东》上卷中的“云对雨，雪对风，晚照对清空”。如果2号面是“晚照”，那么( )号面是“清空”。 【答案】6 【分析】长方体有6个面，长方体的展开图合起来后，1号与4号相对，2号与6号相对，3号与5号相对，据此解答。 【详解】2号与6号相对面； 2号面是“晚照”，所以6号面是“清空”。 因此，如果2号面是“晚照”，那么6号面是“清空”。 14．下图是长方体纸盒剪开后的展开图，请你标出长方体的下面、后面和左面。 【答案】左面；后面；下面 【分析】根据长方体的特征，相对的面完全一样，上面和下面相对，左面和右面相对，前面和后面相对。展开图中，相对的面是不相邻的。可以通过空间想象，把展开图折叠成长方体来找相对面。据此解答即可。 【详解】根据分析可知： 15．连一连。下面展开图折叠后所围成的图形分别是哪个立体图形？ 【答案】 【分析】 展开是6个完全相同的小正方形，对应的平面图是； 是由4个三角形和一个正方形的底面组成，所以展开对应的图形是； 是由5个相同的长方形和2个五边形组成，所以展开图是； 展开后是一个长方形和2个圆，所以展开图是； 【详解】展开对应的图形连线略。 题型三：翻滚正方体的规律探究 16．如图，骰子相对的两个面上数字之和为7，规定1所在的面为上面，将这个骰子沿1—2—3—…—7的方向翻转7次，最后骰子的上面是数字______。 【答案】6 【分析】已知骰子相对的两个面上数字之和为7，则1和6相对，2和5相对，3和4相对，将这个骰子沿1—2—3—…—7的方向翻转7次，7次翻转骰子上面的数字依次是4、6、5、1、3、5、6；据此解答。 【详解】根据分析可知，将这个骰子沿1—2—3—…—7的方向翻转7次，最后骰子的上面是数字6。 17．如图，一个表面涂满了颜料的长方体盒子平放在桌面上（图1），它相邻的三条棱长分别是5cm，4cm，2cm。现将它沿最长的棱翻转一次（图2），接着又沿最长的棱翻转一次（图3），接着又沿最长的棱翻转一次……，这样一共翻转了10次后拿走盒子，这时桌面上留下了颜料的印迹总面积是( )cm2。（不计颜料消耗） 【答案】170 【分析】根据题意得：长方体长是5厘米，宽是4厘米，高是2厘米；沿着最长的棱翻转一次，即印迹面积是长和高组成的面；接着又沿最长的棱翻转一次，印迹面积是长和宽组成的面。翻转10次，即有5次长和高组成的面、5次长和宽组成的面，再加上最开始的位置印迹是长和宽组成的面积。据此计算可得出答案。 【详解】2×5×5＋4×5×（5＋1） ＝2×5×5＋4×5×6 ＝50＋120 ＝170（cm2） 即这时桌面上留下了颜料的印迹总面积是170cm2。 18．下图中正方体相对的两个面上的数字之和是7，规定此时1所在的面为上面。如果将正方体向右翻转2011次，那么上面的数字是a；如果将正方体向前翻转417次，那么上面的数字是b。则（    ）。 A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】由于相对的两个面数字之和为7，所以与1相对的是6，与2相对的是5，与3相对的是4；每同向翻动4次，正方体状态不变，此时正方体1向上，2正面，3右面。将正方体先向后翻2011次后，2011÷4＝502……3，即此时正方体上面的数字应是3；如果将正方体向前翻转417次，417÷4＝104……1，此时正方体上面的数字应是5。据此即可解答。 【详解】1相对的是6，与2相对的是5，与3相对的是4。 2011÷4＝502……3，即此时正方体上面的数字应是3； 417÷4＝104……1，此时正方体上面的数字应是5。 3＋5＝8， 因此。 故答案为：D 19．将一个长6厘米的长方形，紧贴着地面翻转一周（如图所示），测量长度为18厘米，这个长方形的宽是多少厘米？ 【答案】3厘米 【分析】 围成封闭图形一周的长度就是图形的周长，此时18厘米就是长方形两条长加两条宽的长度，也就是长方形的周长，长＋宽＝长方形周长÷2，然后再减去长即为宽，据此解题。 【详解】18÷2－6 ＝9－6 ＝3（厘米） 答：这个长方形的宽是3厘米。 20．把一个长方形（长4cm、宽3cm、对角线长5cm），如图进行翻转，翻转一次到①，翻转两次到②，……A点翻转到A′时所走过路程有多远？ 【答案】14.13厘米 【分析】从A点翻转到A′时所走过路程是两段圆弧长，其中一段是半径为5厘米，一段是半径为4厘米，圆心角都是90°，根据圆周长计算公式“C＝2πr”分别求出这两段圆弧所在圆的周长乘，再把二者相加。 【详解】3.14×5×23.14×4×2 ＝3.14×2（5＋4） ＝3.14×29 ＝14.13（厘米） 答：A点翻转到A′时所走过路程有14.13厘米。 【点睛】解答此题的关键一是弄清由A点到A′所走的路线轨迹；二是圆周长的计算。 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 图形的奥秘 （3种类型20道） 目录 题型一：截面的形状判断与大小对比 1 题型二：平面图形与立体的转化（展开与折叠） 2 题型三：翻滚正方体的规律探究 4 题型一：截面的形状判断与大小对比 1．如图所示，把一个正方体沿对角线斜着切开，得到的截面形状是（    ）。 A．正方形 B．长方形 C．平行四边形 2．从圆锥顶点向底面作垂直切割，所得到的截面是（    ）。 A．扇形 B．圆形 C．等腰三角形 3．下面的立体图形中，沿（    ）切开，截面是三角形。 A． B． C． 4．图形甲切完后的截面形状是( )，图形乙切完后的截面形状是( )。（填序号） 5．看图形，按要求填空： ______ 号是正方体， ______ 号是长方体， ______ 号是圆柱， ______ 号是球．截面为圆形的有______． 题型二：平面图形与立体的转化（展开与折叠） 6．“六一”儿童节活动结束了，现场装饰被拆除，其中有一个正方体摆件的展开图如图所示，与“节”相对的是（    ）。 A．快 B．乐 C．儿 7．下面的三个展开图，不能围成正方体的是（    ）。 A． B． C． 8．下面的图形（    ）是长方体（或正方体）的展开图。 A． B． C． 9．下图是一个正方体展开图，数字代表该处的交点。把它重新折叠成一个正方体时，数字1与( )和( )重合，10和( )重合。 10．如图是一个长方体展开图的前面、上面和右面，如果每个小方格表示1平方厘米，这个长方体长( )厘米，宽( )厘米，高( )厘米。 11．梁山好汉们的六大绝技可概括为“勇、谋、义、武、智、信”。如图是一个正方体的展开图，它的每个面上分别写着这六大绝技中的一种。若将这个展开图围成一个正方体，分别相对的两个面是“勇”和“信”、“谋”和“( )”、“义”和“( )”。 12．“仁、义、礼、智、信、孝”是我国的传统美德。小丽把这六个字写在一个正方体的六个面上，如右图是这个正方体的平面展开图。在这个正方体中，和“仁”相对的字是________。 13．下面是一个长方体的展开图，三组相对的面分别对应着《声律启蒙·一东》上卷中的“云对雨，雪对风，晚照对清空”。如果2号面是“晚照”，那么( )号面是“清空”。 14．下图是长方体纸盒剪开后的展开图，请你标出长方体的下面、后面和左面。 15．连一连。下面展开图折叠后所围成的图形分别是哪个立体图形？ 题型三：翻滚正方体的规律探究 16．如图，骰子相对的两个面上数字之和为7，规定1所在的面为上面，将这个骰子沿1—2—3—…—7的方向翻转7次，最后骰子的上面是数字______。 17．如图，一个表面涂满了颜料的长方体盒子平放在桌面上（图1），它相邻的三条棱长分别是5cm，4cm，2cm。现将它沿最长的棱翻转一次（图2），接着又沿最长的棱翻转一次（图3），接着又沿最长的棱翻转一次……，这样一共翻转了10次后拿走盒子，这时桌面上留下了颜料的印迹总面积是( )cm2。（不计颜料消耗） 18．下图中正方体相对的两个面上的数字之和是7，规定此时1所在的面为上面。如果将正方体向右翻转2011次，那么上面的数字是a；如果将正方体向前翻转417次，那么上面的数字是b。则（    ）。 A．2 B．4 C．5 D．8 19．将一个长6厘米的长方形，紧贴着地面翻转一周（如图所示），测量长度为18厘米，这个长方形的宽是多少厘米？ 20．把一个长方形（长4cm、宽3cm、对角线长5cm），如图进行翻转，翻转一次到①，翻转两次到②，……A点翻转到A′时所走过路程有多远？ 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $