第20章 二次根式（单元测试）-【暑假自学课】2025年新八年级数学暑假提升精品讲义（沪教版2024）

第20章 二次根式（单元测试） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．要使有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 4．下列二次根式中，与 同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．如果（a，b为有理数），那么（   ） A．5 B．9 C．14 D．20 6．实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．写出的一个有理化因式 ． 8．比较大小： ．（填>，<或=） 9．计算： ． 10．化简： ． 11．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 12．若，则的值为 ． 13．下面是按一定规律排列的一列数： ，，， 第10个数是 ． 14．计算： ． 15．不等式的解集是 16．已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 17．已知，，则 ． 18．求值： ． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 20．计算：． 21．已知，求的值． 22．若实数、、在数轴上的对应点如图所示， (1) ， ；（填写“”，“”或“”） (2)试化简：． 23．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 24．（1）先计算： ； ； ； ； ．根据计算结果后面问题． （2）一定等于a吗？如果不是，那么 ． （3）利用你总结的规律完成下列问题： ①若，则 ； ② ． （4）若a，b，c为三角形的三边长，化简：． 25．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 26．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是_____________（写出一个即可），的有理化因式是_____________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第20章 二次根式（单元测试） （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．要使有意义，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：C． 2．下列计算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，分母有理化，正确计算是解本题的关键．根据二次根式的乘法法则对A进行判断；根据二次根式的性质化简对B进行判断；根据二次根式的加法对C进行判断；根据分母有理化对D进行判断． 【详解】解：A、，原计算正确，故不符合题意； B、，原计算错误，故符合题意； C、，原计算正确，故不符合题意； D、，原计算正确，故不符合题意． 故选：B． 3．下列二次根式中是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式∶（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此即可作答． 【详解】解：A．的被开方数含分数，不是最简二次根式，故不符合题意； B． 的被开方数含有开得尽方的因数，不是最简二次根式，故不符合题意； C． 的被开方数含有开得尽方的因式，不是最简二次根式，故不符合题意； D．是最简二次根式，故符合题意； 故选：D． 4．下列二次根式中，与 同类二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，同类二次根式是将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 先将二次根式化为最简二次根式，再利用被开方数相同的二次根式是同类二次根式来判断求解． 【详解】解：A．，它与不是同类二次根式，此项不符合题意； B．，它与不是同类二次根式，此项不符合题意； C．它与不是同类二次根式，此项不符合题意； D．，它与是同类二次根式，此项符合题意． 故选：D． 5．如果（a，b为有理数），那么（   ） A．5 B．9 C．14 D．20 【答案】D 【分析】此题考查的是二次根式的运算，掌握完全平方公式是解决的关键． 根据完全平方公式把等式的左边展开，再对照即可求出a和b的值即可解答． 【详解】解：， ∵a，b为有理数 ∴，， ∴， 故选：D． 6．实数、在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得，则，故，即可作答． 【详解】解：由数轴得， ∴， 则 ， 故选：C． 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，满分24分） 7．写出的一个有理化因式 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．根据二次根式的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴的一个有理化因式为， 故答案为：（答案不唯一） 8．比较大小： ．（填>，<或=） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的大小比较：对于带根号的无理数的大小比较，可以利用平方法先转化为有理数的大小比较．先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小关系． 【详解】解：，， ， ． 故答案为：． 9．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式除法． 根据二次根式除法法则计算即可． 【详解】， 故答案为：2． 10．化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简，先比较出，再根据二次根式的性质化简即可．掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 11．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解，熟知二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：2． 12．若，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，代数式求值，二次根式化简求值等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到的取值范围，再根据的取值范围去绝对值和二次根式的性质进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵有意义， ∴，解得：， ， ， ， ， 故答案为：2025． 13．下面是按一定规律排列的一列数： ，，， 第10个数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了数字的变化规律，从被开方数考虑求解是解题的关键，难点在于二次根式的变形． 【详解】解：根据题意可知所给数列为， 则第 n 项为 ，因此第 10 项为． 故答案为： 14．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式和二次根式化简，二次根式计算等．根据题意利用完全平方公式展开计算，再将化简后合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 15．不等式的解集是 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分母有理化，移项，合并同类项，一次项系数化为，即可求解；掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 【详解】解：移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以，得； 故答案为：． 16．已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 【答案】5 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 解得， 故， 故， 故答案为：5. 17．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式和二次根式的混合运算，因式分解得，代值计算，即可求解；熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ； 故答案为：． 18．求值： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的运算，完全平方公式的应用，先推导公式，然后利用公式计算即可． 【详解】解： ， ∴原式 ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，先根据二次根式的性质化简以及运算除法，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 20．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，先计算二次根式除法，再利用完全平方公式去括号，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 21．已知，求的值． 【答案】 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的化简，先化简，再把化简后的代入到代数式计算即可求解，掌握二次根式、分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴原式 ， ， ， ． 22．若实数、、在数轴上的对应点如图所示， (1) ， ；（填写“”，“”或“”） (2)试化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用数轴比较大小，算术平方根和立方根，整式的加减运算，解决问题的关键是熟练掌握算术平方根与绝对值的性质，去括号与合并同类项法则． （1）根据数轴可得，，进而判定式子的符号； （2）根据（1）的结论，得出，进而根据算术平方根和立方根，绝对值的意义，化简即可求解． 【详解】（1）解：数轴可得，， ∴ 故答案为：． （2）解：∵，， ∴ ∴ 23．“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（1）先计算： ； ； ； ； ．根据计算结果后面问题． （2）一定等于a吗？如果不是，那么 ． （3）利用你总结的规律完成下列问题： ①若，则 ； ② ． （4）若a，b，c为三角形的三边长，化简：． 【答案】（1）3，0.5，6，，0；（2）不一定等于a ，；（3）①；②；（4） 【分析】本题考查了二次根式的性质，三角形的三边关系． （1）根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可； （3）根据二次根式的性质化简即可； （4）根据三角形三边关系求得，，，再利用二次根式的性质化简，再合并同类项即可． 【详解】解：（1）；；；；； （2）不一定等于a，那么； （3）①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴； （4）∵a，b，c为三角形的三边长， ∴，，， ∴ ． 25．先观察下列等式，再回答问题： ①； ②； ③； … (1)请你利用上述规律计算（仿照上式写出过程）； (2)请你按照上面各等式反映的规律，写出一个用n（n为正整数）表示的等式__________； (3)请你利用发现的规律，计算： 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】考查了二次根式的性质与化简，此题是一个阅读题目，通过阅读找出题目隐含条件．总结：找规律的题，都要通过仔细观察找出和数之间的关系，并用关系式表示出来． （1）从三个式子中可以发现，第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积．由此可求解即可； （2）根据（1）找的规律进行计算即可； （3）根据规律把所求式子先化简二次根式，最后计算期间即可； 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由题意得， （3）解： ． 26．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化因式． 例：，我们称和互为有理化因式，和互为有理化因式． （1）的有理化因式是_____________（写出一个即可），的有理化因式是_____________（写出一个即可）； [材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化． （2）请利用分母有理化化简：． [材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去分子中的根式，这种变形叫做分子有理化． 比如： （3）试利用分子有理化比较和的大小． 【答案】（1）；；（2）44；（2） 【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有理化的步骤及方法是解题的关键． （1）根据有理化因式的定义即可求得答案； （2）先求出，再把所求式子裂项求解即可； （3）利用分母有理化得到，，然后比较大小即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴的有理化因式是； ∵， ∴的有理化因式是； （2） ， ∴ ； （3）， ， ∵，且， ∴． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$