第七单元 数学百花园（知识清单）数学北京版二年级上册（新教材）

该小学数学第七单元知识清单系统梳理“数学百花园”内容，涵盖“有趣的数（数表规律）”和“九九消寒图”两大知识范畴，搭建从“观察维度建立”“规律类型分析”到“解题策略运用”及“文化背景与数学应用结合”的递进式学习支架。 清单通过分类呈现知识（如数表规律分横向纵向斜向观察）、分级设计题型（典型例题配跟踪训练）构建完整体系，培养学生数学眼光（观察数表关系）和数学思维（推理日期与数字）。特别标注“十字框中间数与上下左右关系”等重点，提供“九九消寒歌”记忆口诀，助力不同学生高效掌握，教师可直接用于课堂教学与复习巩固。

第七单元 数学百花园 知识清单 知识点一、有趣的数（数表中的规律） 1. 观察维度的建立 (1) 横向观察（行）：关注同一行中相邻数字之间的差值或倍数关系。常见规律为等差数列（如每次加1、加2、加5等）。 (2) 纵向观察（列）：关注同一列中上下数字之间的变化。在百数表或类似数表中，通常体现为整十数的增减（如下一行比上一行对应位置大10）。 (3) 斜向观察（对角线）：关注从左上到右下或从右上到左下的数字变化。常见规律为数字同时增加或减少相同的数值（如斜向右下每次加11，斜向左下每次加9）。 2. 常见数表规律类型 (1) 连续自然数表： 1　 左右相邻：相差1（右边比左边大1）。 2　 上下相邻：相差10（下边比上边大10，基于十进制位值原理）。 (2) 特定间隔数表： 1　 若数表由2、4、6、8...组成，左右相邻相差2，上下相邻相差20（假设每行10个数）。 2　 若数表由5、10、15...组成，左右相邻相差5，上下相邻相差50。 (3) 图形覆盖规律： 1　 十字框：中间数与上下左右四个数的关系。上下两数之和等于中间数的2倍（若间距相等），左右两数之和也等于中间数的2倍。 2　 方框（2x2或3x3）：对角线上的两个数之和相等；或者周围一圈数的和与中心数存在倍数关系。 3. 解题思维策略 (1) 找基准：确定已知数字的位置，以其为参照点。 (2) 算差值：计算相邻已知数字的差，确定步长。 (3) 推未知：根据确定的步长和方向，推算空缺位置的数字。 (4) 验规律：将推算结果代入其他行列，验证规律是否统一成立。 知识点二、九九消寒图 1. 文化背景与定义 (1) 起源：中国古代民间一种记录冬至后天气变化和日期推移的图表。 (2) 时间跨度：从“冬至”当天开始，至“九九”八十一天结束，标志着寒冬过去，春暖花开。 (3) 核心概念：“数九”，即每九天为一个单位，称为一个“九”。 2. 数学知识结构 (1) 乘法口诀的应用： 1　 总天数计算： （天）。 2　 阶段天数计算：如“三九”结束时的天数为 （天）；“五九”结束时的天数为 （天）。 (2) 日期的推算： 1　 起始日：明确冬至的具体日期（通常为公历12月21日、22日或23日）。 2　 区间计算：掌握“头尾都算”或“间隔计算”的基本逻辑。例如，第一个“九”包含第1天至第9天。 3　 跨月计算：由于“数九”跨越12月、1月、2月甚至3月，需具备基本的月份天数常识（12月31天，1月31天，2月平年28天/闰年29天）。 3. 图表形式与统计 (1) 梅花图：画素梅一枝，花瓣81片。每天涂染一片，涂完即春深。 (2) 文字图（如“亭前垂柳珍重待春风”）：每字9画，共9字，合计81画。每天描一笔。 (3) 圆圈图：绘制9个圆圈，每个圆圈内分9格或每天涂满一个圆圈的一部分。 4. 关键结论记忆 (1) 一九二九不出手：天气寒冷，手部感觉僵硬。 (2) 三九四九冰上走：全年最冷时段，水面结冰坚固。 (3) 五九六九沿河看柳：气温回升，柳树发芽。 (4) 七九河开，八九雁来：冰雪融化，候鸟北归。 (5) 九九加一九，耕牛遍地走：81天后，进入春耕时节。 题型一、有趣的数（数表中的规律） 【典型例题】把数字1、2、3各3个分别填在下面的方格里，使每行、每列的数字各不相同。 【跟踪训练】按下面的规则把下面的空格填写完整。 ①每个空格中只能填4、5、6中的一个。 ②每一横行，每一竖列的数字不能重复。 6 5 4 6 5 题型二、九九消寒图 【典型例题】九九消寒图中国自古有涂九九消寒图的习俗。左边这幅图中有9朵梅花，每朵梅花画有9片花瓣。“四九”过后涂了多少片花瓣？ 【跟踪训练】我国民间有绘涂九九消寒图的习俗。如图①，每朵梅花有9个花瓣，每个花瓣代表一天，一朵梅花代表一个“九”。看图②，你知道从冬至算起，一共过了多少天吗？如果过去的这些天中，平均每6天下一场雪，那么一共下了多少场雪？ 1．在下边的方格中，每行、每列都有1~4这4个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。A应该是（    ）。 2 1 3 1 4 A 3 2 A．4 B．3 C．2 2．方格中每行、每列都有7，8，9这三个数，并且每个数在每行、每列中只出现一次，把方格补充完整。 3．你能找出规律填出信封上缺少的数吗？ 4．找规律填数。 5．填数，使每一横行、竖列三个数相加的和都是15。 6．按下面的要求在空格里填数。 （1）每个空格只能填1、2、3、4中的一个。 （2）每一行、每一列的数字不能重复。 7．找规律填数。 8．找规律填数。 9．根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。 （1） （2） 10．“数九”又称“冬九九”，是一种中国民间传统记录时间的方式。从二十四节气中的“冬至”开始，每九天算为一段，一九、二九……直到九九。九九寒尽，春暖花开。从冬至开始经过多少天后春暖花开？ 11．九九消寒图是我国民间的文化习俗。在冬至当天，画一枝素梅，枝上有九朵梅花，每朵花开9瓣，一共是81瓣。每天用红笔着色1瓣，等到全部花瓣都染红，春天就已来临。 （1）观察上图，从冬至到现在，已经过了多少天？ （    ） （2）小恒平均5天滑1次雪，这些天他一共滑了多少次雪？ （    ） 12．数九，又称冬九九，是中国民间一种计算寒天与春暖花开日期的方法。从“冬至”开始算起，每九天算一“九”，当数到第九个“九天”时就到了春耕的时候。人们为了方便记录，自古就有涂《九九消寒图》的习俗。下图中有9朵梅花，每朵梅花有9片花瓣。一朵梅花代表一“九”，一片花瓣代表一天，每过一天就涂一片花瓣。 （1）“三九”过后涂了几片花瓣？ （2）当涂完第72片花瓣后，度过了多少个“九天”？ 13．用小棒摆三角形（如右图），照这样摆下去，第4个图形要用多少根小棒？第6个呢？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 数学百花园 知识清单 知识点一、有趣的数（数表中的规律） 1. 观察维度的建立 (1) 横向观察（行）：关注同一行中相邻数字之间的差值或倍数关系。常见规律为等差数列（如每次加1、加2、加5等）。 (2) 纵向观察（列）：关注同一列中上下数字之间的变化。在百数表或类似数表中，通常体现为整十数的增减（如下一行比上一行对应位置大10）。 (3) 斜向观察（对角线）：关注从左上到右下或从右上到左下的数字变化。常见规律为数字同时增加或减少相同的数值（如斜向右下每次加11，斜向左下每次加9）。 2. 常见数表规律类型 (1) 连续自然数表： 1　 左右相邻：相差1（右边比左边大1）。 2　 上下相邻：相差10（下边比上边大10，基于十进制位值原理）。 (2) 特定间隔数表： 1　 若数表由2、4、6、8...组成，左右相邻相差2，上下相邻相差20（假设每行10个数）。 2　 若数表由5、10、15...组成，左右相邻相差5，上下相邻相差50。 (3) 图形覆盖规律： 1　 十字框：中间数与上下左右四个数的关系。上下两数之和等于中间数的2倍（若间距相等），左右两数之和也等于中间数的2倍。 2　 方框（2x2或3x3）：对角线上的两个数之和相等；或者周围一圈数的和与中心数存在倍数关系。 3. 解题思维策略 (1) 找基准：确定已知数字的位置，以其为参照点。 (2) 算差值：计算相邻已知数字的差，确定步长。 (3) 推未知：根据确定的步长和方向，推算空缺位置的数字。 (4) 验规律：将推算结果代入其他行列，验证规律是否统一成立。 知识点二、九九消寒图 1. 文化背景与定义 (1) 起源：中国古代民间一种记录冬至后天气变化和日期推移的图表。 (2) 时间跨度：从“冬至”当天开始，至“九九”八十一天结束，标志着寒冬过去，春暖花开。 (3) 核心概念：“数九”，即每九天为一个单位，称为一个“九”。 2. 数学知识结构 (1) 乘法口诀的应用： 1　 总天数计算： （天）。 2　 阶段天数计算：如“三九”结束时的天数为 （天）；“五九”结束时的天数为 （天）。 (2) 日期的推算： 1　 起始日：明确冬至的具体日期（通常为公历12月21日、22日或23日）。 2　 区间计算：掌握“头尾都算”或“间隔计算”的基本逻辑。例如，第一个“九”包含第1天至第9天。 3　 跨月计算：由于“数九”跨越12月、1月、2月甚至3月，需具备基本的月份天数常识（12月31天，1月31天，2月平年28天/闰年29天）。 3. 图表形式与统计 (1) 梅花图：画素梅一枝，花瓣81片。每天涂染一片，涂完即春深。 (2) 文字图（如“亭前垂柳珍重待春风”）：每字9画，共9字，合计81画。每天描一笔。 (3) 圆圈图：绘制9个圆圈，每个圆圈内分9格或每天涂满一个圆圈的一部分。 4. 关键结论记忆 (1) 一九二九不出手：天气寒冷，手部感觉僵硬。 (2) 三九四九冰上走：全年最冷时段，水面结冰坚固。 (3) 五九六九沿河看柳：气温回升，柳树发芽。 (4) 七九河开，八九雁来：冰雪融化，候鸟北归。 (5) 九九加一九，耕牛遍地走：81天后，进入春耕时节。 题型一、有趣的数（数表中的规律） 【典型例题】把数字1、2、3各3个分别填在下面的方格里，使每行、每列的数字各不相同。 【答案】 见详解 【分析】每行、每列的数字各不相同，也就是每行每列只能有一个1、2、3，据此观察填空。 【详解】 （填法不唯一） 【跟踪训练】按下面的规则把下面的空格填写完整。 ①每个空格中只能填4、5、6中的一个。 ②每一横行，每一竖列的数字不能重复。 6 5 4 6 5 【答案】 6 5 4 5 4 6 4 6 5 【分析】由题意可知，每行每列中都有4，5，6，且不重复。从出现数字较多的地方入手。第一列有5，6，则第一列第3格是4；此时第三行有4，5，则第三行中间一格是6；此时第二列出现了4，6，则第二列第1格是5。此时第一行出现6，5，则第一行第3格是4。 【详解】略 题型二、九九消寒图 【典型例题】九九消寒图中国自古有涂九九消寒图的习俗。左边这幅图中有9朵梅花，每朵梅花画有9片花瓣。“四九”过后涂了多少片花瓣？ 【答案】9×4＝36（片） 【分析】要先明白“四九”的意思，四九就是过了4个九。每朵梅花有9片花瓣，代表一个九，求四九过后涂了多少片花瓣，就是求4个9是多少，用乘法计算。 【详解】9×4＝36（片） 答：“四九”过后涂了36片花瓣。 【跟踪训练】我国民间有绘涂九九消寒图的习俗。如图①，每朵梅花有9个花瓣，每个花瓣代表一天，一朵梅花代表一个“九”。看图②，你知道从冬至算起，一共过了多少天吗？如果过去的这些天中，平均每6天下一场雪，那么一共下了多少场雪？ 【答案】18天；3场 【分析】已知每朵梅花有9个花瓣，每个花瓣代表1天，一朵梅花代表一个“九”，图②中有2朵梅花，求总天数用每朵梅花代表的天数乘梅花数量；已知过去这些天里平均每6天下一场雪，下雪场数为总天数除以下雪的间隔天数。据此解答。 【详解】9×2＝18（天） 18÷6＝3（场） 答：看图②从冬至算起，一共过了18天。平均每6天下一场雪，那么一共下了3场雪。 1．在下边的方格中，每行、每列都有1~4这4个数，并且每个数在每行、每列都只出现一次。A应该是（    ）。 2 1 3 1 4 A 3 2 A．4 B．3 C．2 【答案】A 【分析】每行每列的数字是1~4不重复，通过排除该行、列已有的数字，进而确定A表示的数。 【详解】A在第2列和第4行。第2列出现了数字2和1，第4行出现了数字3和2，1~4中排除1、2、3后，所以A是4。 2．方格中每行、每列都有7，8，9这三个数，并且每个数在每行、每列中只出现一次，把方格补充完整。 【答案】见详解 【分析】已知方格中每行、每列都有7，8，9这三个数，并且每个数在每行、每列中只出现一次，那么来看，第一行第一列是9，第二行第一列不能是8，并且，第一行第二列不能是8，第三行第二列不能是8，第二行第三列不能是8，再来判断方框里的数。 【详解】第一行第一列是9，第一行第二列是7，第一行第三列是8。 第二行第一列是7，第二行第二列是8，第二行第三列是9。 第三行第一列是8，第三行第二列是9，第三行第三列是7。 如图： 3．你能找出规律填出信封上缺少的数吗？ 【答案】64；48 【分析】根据题意可知2×3＝6、6×6＝36，1×3＝3、3×4＝12，即信封最下面的数字等于上面三个数字的乘积，据此解决。 【详解】由分析得： 4×2＝8；8×8＝64 2×3＝6；6×8＝48 4．找规律填数。 【答案】见详解 【分析】观察前两个图形可以发现：1＋6＝7，3＋4＝7；1＋7＝8，4＋4＝8，规律是圆圈左上与右下的两个数，及左下与右上的两个数相加等于中间的数，据此解答即可。 【详解】图3：6＋3＝9，右上填3；2＋7＝9，右下填7。 图4：1＋9＝10，左下填1，右上填9。（答案不唯一） 5．填数，使每一横行、竖列三个数相加的和都是15。 【答案】 【分析】根据题意可知，使每一横行、竖列三个数相加的和都是15。则可先从上往下计算，第一行7＋3＋？＝15，可根据加数＝和－加数－加数，即15减去7再减去3，计算出得数；第二行6＋？＋1＝15，可根据加数＝和－加数－加数，即15减去6再减去1，计算出得数；同理可以用15减去第一列，第二列，第三列的数，算出最后一行的得数，据此解答。 【详解】根据分析可得： 15－7－3＝5 15－6－1＝8 15－7－6＝2 15－3－8＝4 15－5－1＝9 填数略。 6．按下面的要求在空格里填数。 （1）每个空格只能填1、2、3、4中的一个。 （2）每一行、每一列的数字不能重复。 【答案】见详解 【分析】根据题意可知：每个空格只能填1、2、3、4中的一个，且每一行、每一列的数字不能重复。则从上往下数第一行已有1、2、3，则第一格填4；从左往右数第一行已有4，2，1，则第二格填写3；则从上往下数第二行，已有3，2，1，则第二格填4，则从上往下数第二行已有2、4、3，则第三格填写1；则从上往下数最后一行，已有1、2，从左往右数第二列，已有2、1、4，则最后一个填写3，也就是从上往下数最后一行有1、3、2，则第三格填写4。据此填空即可。 【详解】由分析可得： 7．找规律填数。 【答案】见详解 【分析】根据图片可知：下面两数之积是上面的数。上面的数除以下面任意一个数求出另一个数，据此解答。 【详解】由分析可得： 4×5＝20，14÷7＝2，45÷9＝5，4×8＝32 填写如下： 8．找规律填数。 【答案】12；4 【分析】图1：根据一五得五可知1×5＝5；图2：根据二四得八可知2×4＝8；图3：根据一四得四可知1×4＝4；也就是两个小格子里的数相乘得到大格子里的数。由此根据乘法口诀解答即可。 【详解】由分析得： 图4：根据三四十二可知，4×3＝12； 图5：根据四四十六可知，4×4＝16。 9．根据前面图形中数之间的关系，想一想第三个图形的空格里应填什么数。 （1） （2） 【答案】（1）15 （2）7 【分析】（1）第一个图形3×6＝18，18÷2＝9，第二个图形5×12＝60，60÷2＝30，则图形上方的数字乘左边的数字，再除以2即可求出右边的数字，用10×3÷2即可求第三个图形的空格里应填什么。 （2）第一个图形11＋9＝20，5×4＝20，第二个图形7＋9＝16，4×4＝16，则图形左上方的数字加上右上方的数字等于左下方的数字乘右下方的数字，用13＋8再除以3即可求出第三个图形的空格里应填什么。 【详解】（1）3×6÷9＝18÷9＝2；5×12÷2＝60÷2＝30；10×3÷2＝30÷2＝15 （2）11＋9＝20，5×4＝20；7＋9＝16，4×4＝16；13＋8＝21，21÷3＝7 10．“数九”又称“冬九九”，是一种中国民间传统记录时间的方式。从二十四节气中的“冬至”开始，每九天算为一段，一九、二九……直到九九。九九寒尽，春暖花开。从冬至开始经过多少天后春暖花开？ 【答案】81天 【分析】据题意，每九天为一段，一共有九段，加法计算为9＋9＋9＋9＋9＋9＋9＋9＋9，可转换为乘法计算为9乘9即可得出答案。 【详解】9×9＝81（天） 答：从冬至开始经过81天后春暖花开。 11．九九消寒图是我国民间的文化习俗。在冬至当天，画一枝素梅，枝上有九朵梅花，每朵花开9瓣，一共是81瓣。每天用红笔着色1瓣，等到全部花瓣都染红，春天就已来临。 （1）观察上图，从冬至到现在，已经过了多少天？ （    ） （2）小恒平均5天滑1次雪，这些天他一共滑了多少次雪？ （    ） 【答案】（1）9×5＝45（天）     （2）45÷5＝9（次） 【分析】（1）由图可知，共染红5朵花，每朵花上有9瓣，用乘法即可求出染红的总瓣数＝花的朵数×每朵花的瓣数，染红的总瓣数等于经过的天数。 （2）由（1）可求出总天数，小恒平均5天滑1次雪，用除法可求出滑雪次数＝总天数÷5。 【详解】（1）（天） 答：已经过了45天。 （2）（次） 答：这些天他一共滑了9次雪。 12．数九，又称冬九九，是中国民间一种计算寒天与春暖花开日期的方法。从“冬至”开始算起，每九天算一“九”，当数到第九个“九天”时就到了春耕的时候。人们为了方便记录，自古就有涂《九九消寒图》的习俗。下图中有9朵梅花，每朵梅花有9片花瓣。一朵梅花代表一“九”，一片花瓣代表一天，每过一天就涂一片花瓣。 （1）“三九”过后涂了几片花瓣？ （2）当涂完第72片花瓣后，度过了多少个“九天”？ 【答案】（1）27片       （2）8个 【分析】（1）一朵梅花代表一“九”，一片花瓣代表一天，每过一天就涂一片花瓣，求“三九”过后涂了几片花瓣，用乘法解决； （2）当涂完第72片花瓣后，度过了多少个“九天”，用除法解决。 【详解】（1）3×9＝27（片） 答：“三九”过后涂了27片花瓣。 （2）72÷9＝8（个） 答：当涂完第72片花瓣后，度过了8个“九天”。 【点睛】正确理解乘除法是解决问题的关键。 13．用小棒摆三角形（如右图），照这样摆下去，第4个图形要用多少根小棒？第6个呢？ 【答案】12根；18根 【分析】第一个图形有（1×3）根小棒，第二个图形有（2×3）根小棒，第三个图形有（3×3）根小棒……，根据规律计算出第4个图形和第6个图形有多少根小棒即可。 【详解】4×3＝12（根） 6×3＝18（根） 答：第4个图形有12根小棒，第6个图形有18根小棒。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $