第五单元 数学百花园（知识清单）数学北京版一年级上册（新教材）

该小学数学第五单元“数学百花园”知识清单系统梳理了算式规律与记数法两大核心内容，涵盖和不变规律、加数变化规律、有序思考方法等整数运算规律，以及实物记数、符号记数、现代记数法等记数体系，搭建了从概念理解到方法应用再到文化拓展的递进式学习支架。 清单通过“核心概念+直观表现+有序方法”呈现知识体系，如和不变规律结合方格图总格子数固定帮助理解，记数法对比古埃及象形数字与现代位值制培养抽象能力。题型设计典型例题与跟踪训练，如规律填算式、算筹记数应用，发展推理意识与应用意识，助力学生自主梳理知识，教师可据此精准设计教学活动，提升课堂效率。

第五单元 数学百花园 知识清单 知识点一、算式的规律（整数） 1. 核心概念：和不变规律 (1) 定义：在加法算式中，如果一个加数增加几，另一个加数同时减少相同的数，它们的和保持不变。 (2) 直观表现：在方格图中，总格子数固定。当左侧涂色格子增加时，右侧未涂色格子相应减少，但总数始终相等。 2. 核心概念：加数变化引起和的变化 (1) 单变量变化： 1　 一个加数不变，另一个加数增加几，和也增加几。 2　 一个加数不变，另一个加数减少几，和也减少几。 (2) 直观表现：在固定行或列的方格中，观察涂色部分的延伸或收缩，对应算式结果的同步增减。 3. 有序思考方法 (1) 枚举顺序：通常按照一个加数从0开始递增（或从最大值递减）的顺序排列算式。 (2) 互补关系：理解两个加数互为“补数”的关系，即它们共同组成一个固定的总数。 (3) 对称性：在正方形或矩形网格中，对角线两侧的算式往往呈现对称分布，体现加法交换律的雏形（如 与 位置对称）。 知识点二、多种多样的记数法 1. 实物记数法 (1) 结绳记数：古代人类通过在大绳上打结来记录数量或事件。大结代表大数，小结代表小数，或通过结的位置区分层级。 (2) 刻痕记数：在骨头、木头或石头上刻画痕迹。通常以五为一组（四竖一横或四竖一斜），便于快速统计。 (3) 石子/筹码记数：使用小石子、贝壳或木棒作为计数单位，一一对应实物数量。 2. 符号记数法（非位值制与早期位值制） (1) 古埃及象形数字：使用特定的象形符号表示1、10、100等幂次，通过符号的重复叠加来表示数值，无位值概念。 (2) 罗马数字： 1　 基本符号：I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000)。 2　 组合规则：右加左减（如 IV=4, VI=6）。 3　 特点：符号有限，计算复杂，主要用于标记序号或钟表刻度。 (3) 中国算筹/汉字数字： 1　 算筹：利用纵横两种摆法区分个位、十位、百位，体现了早期的位值制思想。 2　 大写数字：壹、贰、叁...用于财务防篡改。 3. 现代通用记数法（印度-阿拉伯数字） (1) 基本符号：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。 (2) 核心特征： 1　 位值制：同一个数字在不同位置表示不同的数值（如1在个位表示1，在十位表示10）。 2　 零的作用：0不仅表示“没有”，还起到占位作用，是位值制成立的关键。 3　 十进率：满十进一，借一当十。 4. 其他文化记数法简介 (1) 玛雅数字：二十进制，使用点（1）、横线（5）和贝壳状符号（0）组合。 题型一、算式的规律（整数） 【典型例题】按规律填一填。 【跟踪训练】观察算式，照样子接着算。 9＋8＝17 7＋6＝13 5＋4＝9 ( )＋( )＝( ) ( )＋( )＝( ) 题型二、多种多样的记数法 【典型例题】古代曾用“算筹”表示数（如图），接着写下去，8表示为( )。 【跟踪训练1】在很久以前，古埃及使用象形文字，用∣表示1，用∩表示10。如下图： 按这样的方式计算∩－∣∣∣的结果和下列（    ）的结果是相等的。 A．5＋1 B．9－2 C．14－9 【跟踪训练2】算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式……这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以用算筹表示出任意的自然数了。如果表示13，那么表示的数是( )。 1．根据史书的记载和考古资料发现：在算筹记数法中，以纵、横两种排列方式来表示数字。其中横式表示数的方法如图所示。那么，在算筹中用横式表示“8”的图案是（    ）。 A． B． C． 2．我国古代用算筹表示数。的得数是（    ）。 A．5 B．6 C．7 3．我国古代用算筹表示数，如下图。那么（    ）。 A．11 B．2 C．1 4．在很久以前，古埃及使用象形数字，用表示1，用∩表示10，的结果是（    ）。 A．11 B．16 C．20 5．在我国古代，人们曾用算筹来计数。( ) 6．中国早在古代就用算筹来计数，表示7，表示( )。 7．古埃及用/表示1，表示10。你能用这样的数计算吗？在括号里填数。 ( )    ( ) 8．我国古代用算筹表示数。算一算，填一填。 1＋7＝( )     ( )( )－( )＝( ) 9． 10．在古代，人们用在绳子上打结的方法来记数。 如果一位古人捕到8条鱼，该怎样打结呢？画一画。（用“●”表示绳结） 11．想一想，填一填，你发现了什么？ 7＋6＝13             6＋9＝           9＋5＝ 7＋5＝          7＋9＝           8＋5＝ 7＋4＝          8＋9＝           7＋5＝ 12． （1）请把和是14的算式补充完整。 （2）竖着看，请把8＋3这一列的算式和得数补充完整。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 数学百花园 知识清单 知识点一、算式的规律（整数） 1. 核心概念：和不变规律 (1) 定义：在加法算式中，如果一个加数增加几，另一个加数同时减少相同的数，它们的和保持不变。 (2) 直观表现：在方格图中，总格子数固定。当左侧涂色格子增加时，右侧未涂色格子相应减少，但总数始终相等。 2. 核心概念：加数变化引起和的变化 (1) 单变量变化： 1　 一个加数不变，另一个加数增加几，和也增加几。 2　 一个加数不变，另一个加数减少几，和也减少几。 (2) 直观表现：在固定行或列的方格中，观察涂色部分的延伸或收缩，对应算式结果的同步增减。 3. 有序思考方法 (1) 枚举顺序：通常按照一个加数从0开始递增（或从最大值递减）的顺序排列算式。 (2) 互补关系：理解两个加数互为“补数”的关系，即它们共同组成一个固定的总数。 (3) 对称性：在正方形或矩形网格中，对角线两侧的算式往往呈现对称分布，体现加法交换律的雏形（如 与 位置对称）。 知识点二、多种多样的记数法 1. 实物记数法 (1) 结绳记数：古代人类通过在大绳上打结来记录数量或事件。大结代表大数，小结代表小数，或通过结的位置区分层级。 (2) 刻痕记数：在骨头、木头或石头上刻画痕迹。通常以五为一组（四竖一横或四竖一斜），便于快速统计。 (3) 石子/筹码记数：使用小石子、贝壳或木棒作为计数单位，一一对应实物数量。 2. 符号记数法（非位值制与早期位值制） (1) 古埃及象形数字：使用特定的象形符号表示1、10、100等幂次，通过符号的重复叠加来表示数值，无位值概念。 (2) 罗马数字： 1　 基本符号：I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000)。 2　 组合规则：右加左减（如 IV=4, VI=6）。 3　 特点：符号有限，计算复杂，主要用于标记序号或钟表刻度。 (3) 中国算筹/汉字数字： 1　 算筹：利用纵横两种摆法区分个位、十位、百位，体现了早期的位值制思想。 2　 大写数字：壹、贰、叁...用于财务防篡改。 3. 现代通用记数法（印度-阿拉伯数字） (1) 基本符号：0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。 (2) 核心特征： 1　 位值制：同一个数字在不同位置表示不同的数值（如1在个位表示1，在十位表示10）。 2　 零的作用：0不仅表示“没有”，还起到占位作用，是位值制成立的关键。 3　 十进率：满十进一，借一当十。 4. 其他文化记数法简介 (1) 玛雅数字：二十进制，使用点（1）、横线（5）和贝壳状符号（0）组合。 题型一、算式的规律（整数） 【典型例题】按规律填一填。 【答案】2 10 【分析】通过观察可知，正方形中斜着相对的两个数的和相等，如：1＋7＝4＋4；5＋6＝10＋1，据此规律填写后两个即可。 【详解】 3＋8＝11，11－9＝2，即3＋8＝9＋（2），； 6＋11＝17，17－7＝10，即6＋11＝7＋（10），。 【跟踪训练】观察算式，照样子接着算。 9＋8＝17 7＋6＝13 5＋4＝9 ( )＋( )＝( ) ( )＋( )＝( ) 【答案】 3 2 5 1 0 1 【分析】观察可知：第一个加数依次少2，第二个加数也依次少2，则第四，五道算式分别是3＋2＝5，1＋0＝1。 【详解】根据分析可得： 9＋8＝17 7＋6＝13 5＋4＝9 3＋2＝5 1＋0＝1 题型二、多种多样的记数法 【典型例题】古代曾用“算筹”表示数（如图），接着写下去，8表示为( )。 【答案】 【分析】由题意可知，一竖表示1，两竖表示2，三竖表示3，四竖表示4，五竖表示5，一横表示5，一横加一竖表示6，一横加两竖表示7，故，一横加三竖表示8；据此作答。 【详解】由题意分析得： 古代曾用“算筹”表示数，接着写下去，8表示为。 【跟踪训练1】在很久以前，古埃及使用象形文字，用∣表示1，用∩表示10。如下图： 按这样的方式计算∩－∣∣∣的结果和下列（    ）的结果是相等的。 A．5＋1 B．9－2 C．14－9 【答案】B 【分析】∩表示10，∣∣∣表示3，先计算出∩－∣∣∣的结果，再分别计算各个选项的结果，相互比较，选出结果相同的一个。 【详解】∩表示10，∣∣∣表示3，∩－∣∣∣＝10－3＝7 A．5＋1＝6，6＜7，不符合 B．9－2＝7，7＝7，符合 C．14－9＝5，5＜7，不符合 【跟踪训练2】算筹记数的表示方法为：个位用纵式，十位用横式……这样从右到左，纵横相间，以此类推，就可以用算筹表示出任意的自然数了。如果表示13，那么表示的数是( )。 【答案】17 【分析】在算筹的横式中表示1；纵式中表示7，即十位上的数是1，个位上的数是7，合起来表示17；据此填空即可。 【详解】由分析可知： 表示的数是17。 1．根据史书的记载和考古资料发现：在算筹记数法中，以纵、横两种排列方式来表示数字。其中横式表示数的方法如图所示。那么，在算筹中用横式表示“8”的图案是（    ）。 A． B． C． 【答案】C 【分析】从图中可知：1是1根横线；2是2根横线；3是3根横线；4是4根横线；5是5根横线；6可以分成5和1，用1根竖线表示5，1根横线表示1；7可以分成5和2，用1根竖线表示5，2根横线表示2；8可以分成5和3，用1根竖线表示5，3根横线表示3；9可以分成5和4，用1根竖线表示5，4根横线表示4；据此解答。 【详解】根据分析可知： A．，纵式表示7； B．，横式表示7； C．，横式表示8； 在算筹中用横式表示“8”的图案是。 故答案为：C 2．我国古代用算筹表示数。的得数是（    ）。 A．5 B．6 C．7 【答案】C 【分析】 根据题意，算筹表示数，纵式一个横条在上面，一个横条表示5，竖条在下面，一个竖条表示1。对照算筹表示数可知，表示的是1＋6，计算1＋6的结果选择即可。 【详解】 由分析可知：表示的算式是1＋6。 1＋6＝7。因此，的得数是7。 故答案为：C 3．我国古代用算筹表示数，如下图。那么（    ）。 A．11 B．2 C．1 【答案】B 【分析】根据题图可知：纵式中：表示9，表示7，则把数字代入到算式中，计算出结果即可。 【详解】由分析可得： －＝9－7＝2 得数是2。 故答案为：B 4．在很久以前，古埃及使用象形数字，用表示1，用∩表示10，的结果是（    ）。 A．11 B．16 C．20 【答案】B 【分析】 由题意得，古埃及使用象形数字，用表示1，用∩表示10，那么表示10＋6。10＋6＝16，所以的结果是16。 【详解】 由分析得，的结果是16。 故答案为：B 5．在我国古代，人们曾用算筹来计数。( ) 【答案】√ 【详解】在我国古代，人们曾用算筹记数，用算筹记数有两种摆法，如下所示： 故答案为：√ 6．中国早在古代就用算筹来计数，表示7，表示( )。 【答案】9 【分析】中国古代算筹计数中，纵式表示个位数时，1至5分别用1到5根算筹竖放，6至9则是在5根算筹（横放1根代表5）的基础上，竖放相应数量的算筹（1至4根），由此解答。 【详解】由分析可知： 横放了1根，表示5，竖放了4根表示4，5＋4＝9，则表示9。 7．古埃及用/表示1，表示10。你能用这样的数计算吗？在括号里填数。 ( )    ( ) 【答案】 6 11 【分析】根据题意，依次数出/和的数量，写出数字计算出结果即可。 第一组表示9减3；第二组表示13减2。 【详解】9－3＝6；13－2＝11 8．我国古代用算筹表示数。算一算，填一填。 1＋7＝( )     ( )( )－( )＝( ) 【答案】 8 9 6 3 【分析】 表示1，表示7，表示8，则表示1＋7＝8； 表示9，表示6，用9减6计算出结果填写对应的纵式及数字即可。 【详解】 1＋7＝8 9－6＝3 9． 【答案】8；13 【分析】通过观察，数字排列规律是：上面和左下角的数字相加等于右下角的数字；据此可填一填。 【详解】由分析可得： 8＋5＝13；7＋6＝13。 10．在古代，人们用在绳子上打结的方法来记数。 如果一位古人捕到8条鱼，该怎样打结呢？画一画。（用“●”表示绳结） 【答案】见详解 【分析】在古代，人们用在绳子上打结的方法来记数。根据图示，捕到2条鱼就打2个绳结，捕到3只羊就打3个绳结，那捕到8条鱼应打8个绳结，在绳子上画出8个“●”表示绳结即可。 【详解】古人捕到8条鱼，应打8个绳结，具体如图： 11．想一想，填一填，你发现了什么？ 7＋6＝13             6＋9＝           9＋5＝ 7＋5＝          7＋9＝           8＋5＝ 7＋4＝          8＋9＝           7＋5＝ 【答案】15；14； 12；16；13； 11；17；12 发现见详解 【分析】先根据“凑十法”算出这些算式的结果。将算式分组对比，观察每组中加数的变化和和的变化关系，归纳出对应的规律。 【详解】7＋6＝13            6＋9＝15           9＋5＝14 7＋5＝12            7＋9＝16           8＋5＝13 7＋4＝11            8＋9＝17           7＋5＝12 发现：竖着看，每一组算式有一个数不变，另一个数依次减少1，那么它们的和也减少1。另一个数依次增加1，那么它们的和也依次增加1。（答案不唯一） 12． （1）请把和是14的算式补充完整。 （2）竖着看，请把8＋3这一列的算式和得数补充完整。 【答案】（1）9＋5；8＋6；7＋7；5＋9 （2）11；12；8＋5；8＋6；8＋7；16；8＋9 【分析】（1）通过观察题中的算式可知：横着看，第一个加数从左往右依次变小，第二个加数从左往右依次变大。从上往下横着看，和是14的算式在第4排，依次为9＋5，8＋6，7＋7，5＋9。 （2）通过观察题中的算式可知：竖着看，第一个加数不变，第二个加数从上往下依次变大。8＋3这一列的算式从上往下依次为8＋5，8＋6，8＋7，8＋9；计算出这一列所给算式的结果：8＋3＝11，8＋4＝12，8＋8＝16，把这些结果填在相应的□中即可。 【详解】（1）由分析填写如下： （2）由分析填写如下： 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $