精品解析：湖南衡阳市衡阳县部分校2025-2026学年高一下学期7月期末校内检测数学试题

2026年上学期高一期末校内检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用正切函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】因为（）的最小正周期为， 所以的最小正周期，解得. 故选：A. 2. 已知是虚数单位，若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 ，分子分母同乘以分母的共轭复数即可. 【详解】，故. 故选：B. 【点睛】本题考查向量的除法运算以及共轭复数的概念，是一道基础题. 3. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由于，则，利用基本不等式求解即可． 【详解】因为，当且仅当，即时取等号，所以， 故选：D. 4. 当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量与迁移率之间满足，其中为常数.若，则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得， 原迁移率，现迁移率， 可得. 5. 已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，c为斜边，向量.若⊥，则∠B=（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用数量积的坐标运算求解. 【详解】∵∴， ∵是三角形内角，∴，， 由题知，∴． 6. 某不透明盒子中共有6个大小、质地完全相同的小球，其中有4个红球2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A=“至少摸到一个红球”;B=“至多摸到一个黑球”;C=“摸到2个红球”;D=“摸到2个黑球”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是互斥事件 B. B与C是对立事件 C. C与D是互斥但不是对立事件 D. A与D是互斥但不是对立事件 【答案】C 【解析】 【分析】使用互斥事件，对立事件的定义求解. 【详解】对于A．“至少摸到一个红球”与“至多摸到一个黑球”可以同时发生，所以A与B不是互斥事件，故A错误； 对于B，“至多摸到一个黑球”包含一红一黑、两红；与“摸到2个红球”可以同时发生，所以B与C不互斥，也不是对立事件，故B错误； 对于C，C与D不可能同时发生，可以同时不发生，是互斥事件但不是对立事件，故C正确； 对于D，A与D是对立事件，故D错误． 7. 如图，在中，，，点O为AB的中点，以PO为折痕把折叠，使点B达到点的位置，且，则三棱锥的外接球的表面积是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 由题目条件可以分析得到两两垂直，且相等，可把三棱锥放在以为邻边的正方体中，得到外接球的半径为，进而求得球的表面积. 【详解】由题意可得：，且， 以为邻边构造棱长为2的正方体，三棱锥与该正方体共外接球 因此外接球的半径为，表面积. 【点睛】本题考查了三棱锥的外接球，球的表面积公式，考查了学生的空间想象，转化与化归，数学运算的能力，属于中档题. 8. 已知单位向量、满足：，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设单位向量，，，利用平面向量的模长公式可知点的轨迹为线段，数形结合以及利用距离公式可求出的最大值和最小值，即可得出的取值范围. 【详解】根据题意，设单位向量，，， 则，， 由可得， 即到和的距离和为，而， 故点表示线段上的动点， 因为， 所以表示点与线段上的点的距离， 如下图所示： 当点与点重合时，， 当点与点重合时，， 因为，故； 当时，取最小值，由等面积法可得， 所以，即， 综上所述，的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， 则 D. 若(其中i是虚数单位)是关于x的方程的一个根，则 【答案】BD 【解析】 【详解】对于A，取，，满足，而，，，故A错误； 对于B，设，，a，b，c，， 由，得，则，， 因此，即，故B正确； 对于C，取，满足，但不满足，故C错误； 对于D，是关于x的方程的一个根， 则，即， 所以，解得，D正确． 根，则q=5 10. 设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“美丽函数”，下列所给出的函数为“美丽函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断A选项；利用题中定义可判断BCD选项. 【详解】对于A选项，设，该函数的定义域为，，即， 这样的实数t不存在，故函数不是“美丽函数”； 对于B选项，设，该函数的定义域为， 对任意的，若存在，即，可得，可得，符合题意， 故函数为“美丽函数”； 对于C选项，令，由得，即函数的定义域为， 对任意的，若存在，使得， 即，所以， 整理可得，符合题意，故函数为“美丽函数”； 对于D选项，设，则该函数的定义域为， 对任意的，不妨取，则，符合题意， 故函数为“美丽函数”. 11. 已知圆台下底面圆心为点A，半径为2，上底面圆心为点B，半径为1.点C为圆B上一动点，点D为圆A上一动点，二面角的大小为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则AB与CD所成角为 D. 若，则四面体ABCD的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出值，结合余弦函数的单调性可判断A；过作交圆于点，由余弦定理求出，进而求出可判断B；求异面直线所成角的余弦值可判断C；先求出到平面的距离，再由锥体的体积公式可判断D. 【详解】由题意可得：，因为，设， 所以，因为， ， 所以， 因为，所以，可得：， 因为余弦函数在上单调递减，，因此，故A正确； 对于B，因为，过作交圆于点， 连接，所以，因为， 所以是二面角所成平面角， 所以，则在中，由余弦定理可得：， 则， 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，当时，即，， 因为， 则AB与CD所成角的余弦值为：， 因此AB与CD所成角为，故C正确. 对于D，因为，平面，平面， 所以平面， 所以到平面的距离可看成到平面的距离，设为， 所以，，， 即，解得：， 所以四面体ABCD的体积为：故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且//，则m的值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】应用向量的坐标运算结合向量平行坐标运算求解. 【详解】，由得，解得. 13. 设、是一个试验中的两个事件，且，，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合互斥事件的概率加法公式可求得的值. 【详解】因为，，且与互斥， 所以 . 14. 在等腰三角形中，，，CD为AB边上的中线，且，则____. 【答案】 【解析】 【分析】使用正弦定理与两角和的正弦公式求解. 【详解】设，则， 因为，，所以， 在中，由正弦定理，即， 所以，所以, 因为，所以， ， 则， 或（舍）， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员，根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50)，[50，60)，．．．．，[90，100．) （1）求频率分布直方图中的值； （2）若采用分层抽样的方式从评分在[40，60)，[60，80)，[80，100]的公司职员中抽取10人，则评分在[60，80)内的职员应抽取多少人？ （3）该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部整顿、用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，并据此回答餐厅是否需要进行内部整顿． 【答案】（1）；（2）5人；（3），不需要. 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和等于即可求解. （2）由频率分布直方图求出在这三个区间内的人数之比，再根据分层抽样比即可求解. （3）平均数等于小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即可求解. 【详解】解：（1）由，解得． （2）由频率分布直方图可知， 评分在，，内的师生人数之比为， 所以评分在内的师生应抽取（人）． （3）由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分的估计值为：． 因为，所以食堂不需要内部整顿． 16. 如图，六面体中，四边形为菱形，且平面 平面. （1）求证：平面； （2）在上确定一点M，使得平面； （3）若，求点B到平面的距离. 【答案】（1）由四边形ABCD为菱形，则， 由平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 则平面ACE， 由平面ACE，则， 由，，则， 由，AD，平面ABCD，则平面ABCD． （2）M为DA的中点 （3） 【解析】 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出平面ACE，再应用线面垂直判定定理证明； （2）应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （3）应用面面垂直得出平面，再应用等体积法得出点到平面距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取的中点为，取的中点为，连接 由分别为的中点，则，且平面，平面, 所以平面, 再由，且，则， 故四边形为平行四边形， 即，且平面，平面， 故平面，且平面， 所以平面平面，平面，所以平面； 【小问3详解】 取的中点为，连接，    由（1）知平面， 且平面，则平面平面， 由且为的中点得， 因为平面平面，平面，所以平面， 由得，， 为正三角形，设点B到平面EFC的距离为， 则， 所以，; 17. 已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2，b=1，M和N是边BC上的点.AN为∠BAC的角平分线，点M满足S△AMB=S△AMC. （1）若，求; （2）当∠BAM最大时，求此时△AMN的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）使用两角差的正弦公式，两角差的正切公式计算； （2）使用基本不等式求解. 【小问1详解】 设，，则， 由， 化简得，则； 【小问2详解】 ， 显然为正，依据基本不等式可知，当时，有的最大值为，，． 由，解得． 18. 已知函数 （1）若关于x的方程有3个不同的零点，求a的取值范围； （2），定义集合，求D(). 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，将复杂的方程转化为二次方程，由分段函数的图象可知要使原方程有3个不同的零点，必须满足，，利用二次函数的性质列不等式，求出a的取值范围，再检验端点. （2）先求出，将题意转化为，解不等式即可得出答案. 【小问1详解】 设，则，令， 要使关于x的方程有3个不同的零点， 即方程有个根， 由的图象可得：，， 当，， 则，即，解得：， 当，， 则，即，无解. 当时，方程的根为，对应个，满足题意； 当时，方程的根为，对应个，不满足题意； 故a的取值范围为. 【小问2详解】 因为，不等式化为， 令，则或，解得：或， 由函数的图象，有或， 解得：． 19. 已知圆柱的底面半径为1，高为，面是圆柱的一个轴截面.一动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示.将轴截面绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点. （1）当时，证明：平面⊥平面； （2）当时，求与圆柱下底面所成角的正切值； （3）是否存在，使得二面角的大小为?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）当时，有，在圆柱中， 平面，平面，则有， 又，，、平面， 所以平面， 又因为平面APB，所以平面平面； （2）； （3）由于二面角为直二面角，故只要考查二面角是否为即可． 过作于Q，连接PQ． 由于，，所以平面，所以． 于是即为二面角的平面角． 在中，，． 若，则需，即． 而在上恒成立．矛盾． 即不存在，使二面角为． 【解析】 【分析】（1）使用线面垂直判定定理与面面垂直判定定理； （2）使用线面角的定义求解； （3）使用二面角的定义求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为所求线面角，， 因为圆柱底面半径为1，高为， 所以圆柱一半的侧面展开图为正方形，故， ； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高一期末校内检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数（）的最小正周期为，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 2. 已知是虚数单位，若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 当蛋白质分子量达到一定量级时，其分子量与迁移率之间满足，其中为常数.若，则当分子量变为原来的2倍时，现迁移率与原迁移率的差值为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知a，b，c为的三个内角A，B，C的对边，c为斜边，向量.若⊥，则∠B=（ ） A. B. C. D. 6. 某不透明盒子中共有6个大小、质地完全相同的小球，其中有4个红球2个黑球，从中不放回地依次随机摸出2个球，记事件A=“至少摸到一个红球”;B=“至多摸到一个黑球”;C=“摸到2个红球”;D=“摸到2个黑球”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是互斥事件 B. B与C是对立事件 C. C与D是互斥但不是对立事件 D. A与D是互斥但不是对立事件 7. 如图，在中，，，点O为AB的中点，以PO为折痕把折叠，使点B达到点的位置，且，则三棱锥的外接球的表面积是 A. B. C. D. 8. 已知单位向量、满足：，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，，下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若， 则 D. 若(其中i是虚数单位)是关于x的方程的一个根，则 根，则q=5 10. 设函数的定义域为，，，使得成立，则称为“美丽函数”，下列所给出的函数为“美丽函数”的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知圆台下底面圆心为点A，半径为2，上底面圆心为点B，半径为1.点C为圆B上一动点，点D为圆A上一动点，二面角的大小为，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则AB与CD所成角为 D. 若，则四面体ABCD的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，且//，则m的值为_______. 13. 设、是一个试验中的两个事件，且，，，则______. 14. 在等腰三角形中，，，CD为AB边上的中线，且，则____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 某公司餐厅为了完善餐厅管理，提高餐厅服务质量，随机调查了50名就餐的公司职员，根据这50名职员对餐厅服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50)，[50，60)，．．．．，[90，100．) （1）求频率分布直方图中的值； （2）若采用分层抽样的方式从评分在[40，60)，[60，80)，[80，100]的公司职员中抽取10人，则评分在[60，80)内的职员应抽取多少人？ （3）该公司规定：如果职员对公司餐厅服务质量的评分低于75分，将对公司餐厅进行内部整顿、用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该公司职员对餐厅服务质量评分的平均分，并据此回答餐厅是否需要进行内部整顿． 16. 如图，六面体中，四边形为菱形，且平面 平面. （1）求证：平面； （2）在上确定一点M，使得平面； （3）若，求点B到平面的距离. 17. 已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=2，b=1，M和N是边BC上的点.AN为∠BAC的角平分线，点M满足S△AMB=S△AMC. （1）若，求; （2）当∠BAM最大时，求此时△AMN的面积. 18. 已知函数 （1）若关于x的方程有3个不同的零点，求a的取值范围； （2），定义集合，求D(). 19. 已知圆柱的底面半径为1，高为，面是圆柱的一个轴截面.一动点从点出发沿着圆柱的侧面到达点，其距离最短时在侧面留下的曲线如图所示.将轴截面绕着轴逆时针旋转后，边与曲线相交于点. （1）当时，证明：平面⊥平面； （2）当时，求与圆柱下底面所成角的正切值； （3）是否存在，使得二面角的大小为?若存在，求出线段的长度；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $