湖南长沙市长郡中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

**基本信息** 融合文化传承（风筝、漳州古城）与科技前沿（曲率）情境，通过基础题（复数象限、向量夹角）、中档题（立体几何位置关系）、创新题（移动路线概率、二面角动态最值）的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、向量、立体几何|第5题以风筝模型考向量数量积，体现文化与数学结合| |多选|3/18|概率、复数|第10题结合简单随机抽样与对立事件，考查数据意识| |填空|3/15|分层抽样、圆台侧面积|第14题移动路线问题，融合递推思想与概率计算| |解答|5/77|解三角形、统计、立体几何、概率策略|18题以围棋比赛为背景考概率决策，19题四棱锥动态二面角问题，考查逻辑推理与空间观念|

高一数学期末参考答案 一、选择题(本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一个选项符合题目要求的.) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A C A D B C D 1. A 【解析】复数 ,复数 在复平面内对应点 ,位于第一象限. 故选A. 2. A 【解析】由题意得, ,即 ,所以 ,故 . 故选A. 3. 【解析】若 ，此时 有可能在平面 内，并不一定 选项错误； ,根据一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面,可得 . 又因为 , 垂直于同一个平面的两条直线平行,所以 , 选项错误; 设 ,在平面 内作直线 ,因为 ,则 . 在平面 内作直线 ,因为 ,则 . 那么 ,又 ,所以 . 又 ,所以 ,从而 选项正确； 仅由 ,无法得出 与 可能平行,也可能相交, D 选项错误. 故选 C. 4. 【解析】 ,则向量 在向量 上的投影向量为 . 故选 A. 5. D 【解析】设 ，则 ， ， ， ， . 在 中，由余弦定理得 ，所以 ，则 . 故选D. (或者 ) 6. B 【解析】因为 ,所以 . 对于 不正确; 对于 ,则 , 正确; 对于 ,因为 ,所以事件 与 不互斥, 不正确; 对于 ,所以事件 与事件 不独立, 不正确. 故选B. 7. C 【解析】甲的得分从小到大排列为:81,81,82,83,84,87,乙的得分从小到大排列为:78,79,80,81,82,86. 对于 , 甲得分的极差为 ,乙得分的极差为 ,甲得分的极差小于乙得分的极差,故 A 错误; 甲得分的中位数为 ,乙得分的中位数 ,所以甲得分的中位数大于乙得分的中位数,故 B 错误; 对于 ,因为 ,甲得分的上四分位数为84,乙得分的上四分位数为 82,甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数，故 正确；对于 ,由折线图可知，甲的得分比较集中，乙的得分比较分散，甲得分的方差小于乙得分的方差，故 D 错误. 故选C. 8. D 【解析】如图，连接 ， ，设 ，连接 ，则 平面 ，取 的中点 ，连接 ， ， 由正四棱锥的结构特征知 ，所以 为侧面与底面所成的角， 设 ,则 ,在 Rt 中, ,所以 ,又 ,所以 ,所以正四棱锥 的每个侧面均为正三角形,顶点 处的各面角分别为 ,该顶点处的曲率为 . 故选D. 二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.) 题号 9 10 11 答案 AC ABD ACD 9. AC 【解析】对于 A，因为 ，所以 的虚部为 -1，故 A 正确； 对于 ,设 ,则 ,不满足 ,故 错误; 对于 ,方法一: ,所以 ; 方法二: 根据复数模的性质有 . 故 正确; 对于 ,且 ,则 的集合是以原点 为圆心,以 1 及 2 为半径的两个圆所夹的圆环,面积为 - ,故 错误. 故选 AC. 10. ABD 【解析】对于 ,一个总体含有 50 个个体,某个个体被抽到的概率为 ,以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为 10 的样本,则指定的某个个体被抽到的概率为 正确; 对于 ,从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为 ,则 的所有可能结果为 , ,共 12 种取法,其中 为整数的有 两种,故 正确; 对于 ,至多有一个黑球包括一黑一红和两红球,其对立事件为两黑球, 错误; 对于 ,数据 的标准差为 正确. 故选 ABD. 11. ACD 【解析】因为点 满足 ,其中 ,所以点 为正方形 内部及边上的点. 对于 ,由正方体的性质易知 平面 ,故当 时, ,点 的轨迹为以 为圆心,1 为半径的圆在正方形 内的弧,正方体的棱长为 1,故点 的轨迹长为 选项正确; 对于 ,分别取 的中点 ,连接 ,因为 平面 平面 ,所以 ,又 ,所以 平面 ,所以 ,同理 ,又 ,所以 平面 ,当 时,点 的轨迹为线段 ,此时若存在点 满足 平面 ,则 ,显然不成立,当 时,不存在点 ,使得 平面 , B 选项错误; 对于 ,分别取 的中点 ,连接 ,当 时,点 的轨迹为线段 ,由正方体的性质易知 ,若存在点 ,使得 ,则 ,显然矛盾,当 时,不存在点 ,使得 选项正确; 对于 ,当 时,点 的轨迹为线段 ,因为 分别为 的中点, ,又 ,所以 平面 平面 ，所以 平面 ，点 到平面 的距离为定值，即三棱锥 的体积为定值，D 选项正确. 故选 ACD. 三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.) 12.400 【解析】设该校高一年级的女生人数为 ,由题意得, ,解得 . 【解析】设圆台的母线长为 ,扇环所在的小圆的半径为 , 如图， 解得 所以圆台的侧面积为 14. (第 1 空 2 分,第 2 空 3 分) 【解析】由题意可知, ,若移动到数字 ,则 由数字 或数字 移动一次得到,则 ,据此可得 ,所以 . 因为 5 到 9 共有 五条不同的路线,所以从 1 移动到 9 的事件中，经过 5 的路线共有 条，所以 . (本题也可以用树形图枚举求算) 四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.【解析】因为 ,所以 , 由正弦定理得 , (2 分) 所以 , 所以 , 由 ,则 . (4 分) 由于 ,因此 ,所以 , 由于 ，所以 . (6 分) (2)由余弦定理得 ， 所以 ,因此 ,当且仅当 时,等号成立, (10 分) 所以 面积 , 所以 面积的最大值为 . (13 分) 16.【解析】(1)由频率分布直方图可得， , 解得 , (3 分) 由频率分布直方图可估计众数为 85 , (4 分) 满意度分值在 的频率为 , 在 的频率为 , 所以中位数落在区间 内, 所以中位数为 . (6 分) (2)由频率分布直方图得，满意度分值在 的频率为 ，人数为 20， (7 分) 在 的频率为 ,人数为 30, 把满意度分值在 记为 ,其平均数 ,方差 ,在 记为 ,其平均数 ,方差 , 所以满意度分值在 的平均数 , (10 分) 根据方差的定义,满意度分值在 的方差为 (12 分) 由 可得 , 同理可得 , 所以 (13 分) (15 分) 17.【解析】证明:(1)连接 ， ，因为侧面 为矩形，所以点 为 的中点， (2 分) 又因为点 为 的中点,所以 , 因为 平面 平面 , 所以 平面 . (6 分) (2)设 ，因为 ， (8 分) 又因为直三棱柱 的所有棱长均相等,所以点 到平面 的距离为 , ,所以 ,解得 . (10 分) 因为等边三角形 的外接圆半径为 ,三棱柱的高 , 所以三棱柱的外接球半径 , (13 分) 所以三棱柱的外接球表面积 . (15 分) (本题也可以建立空间直角坐标系求算) 18.【解析】(1)( i ) . (2 分) ( ii ) . (6 分) (2)设事件 为“第一局乙对丙最终乙获胜”， 为“第一局乙对甲最终乙获胜”， 其中事件 包含三种情况:第一种，第一局乙获胜，第二局乙获胜；第二种，第一局乙获胜，第二局田获胜，第三局丙获胜, 第四局乙获胜; 第三种, 第一局丙获胜, 第二局甲获胜, 第三局乙获胜, 第四局乙获胜, 故 , (9 分) 同理可得 . (12 分) (15 分) 由于 ,故 ,所以 , 故乙的最优指定策略是指定第一局的对手为甲. (17 分) 19.【解析】(1)连接 交 于点 ,连接 . 因为底面 为菱形,所以 为 中点, . (2 分) 因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,所以 平面 . 因为 平面 ,所以 . 因为 为 中点,所以 ,所以 ,所以 . (5 分) (2)点过 作 于点 ， 因为平面 平面 ,平面 平面 平面 ,所以 平面 , 所以 为直线 与平面 所成角,即 . (7 分) 因为 平面 平面 ,所以 . 又 平面 ,所以 平面 . 因为 平面 ,所以 ,结合 ,可知 为 的垂心. 由于底面 是边长为 的菱形, ,故 为等边三角形,因此 为 的重心, 则 . (9 分) 以 为 轴, 为 轴,过 点作平面 的垂线作为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 . 设 ,故 . (10 分) 设平面 的一个法向量为 , 则 令 ,则 . (12 分) 设平面 的一个法向量为 , 则 取 ,则 , (14 分) 设二面角 的平面角为 , 则 , 令 ,则 ,则 , (15 分) 由于 , 则 , 当且仅当 ,即 时取等号,故 的最大值为 , 因此 的最小值为 . (17 分) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一 数学期末 时量:120 分钟 满分:150 分 一、选择题 (本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选 项中, 只有一个选项符合题目要求的. ) 1. 若复数 ( 为虚数单位),则在复平面内,复数 对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知单位向量 满足 ,则 与 夹角的余弦值为 A. B. 0 C. D. 3. 已知两条不同的直线 ，三个不同的平面 ，则下列结论正确的是 A. 若 ,则 B. 若 ,则 C. 若 ,则 D. 若 ,则 4. 已知平面向量 ,则向量 在向量 上的投影向量为 A. B. C. D. 5. 风筝起源于春秋时期，是中国传统手工艺的代表，被称为人类最早的飞行器. 如图所示，在一个简易风筝面的示意图中， 垂直平分 ， 为垂足, ,则 A. -8 B. C. D. 8 6. 已知一个古典概型的样本空间 和事件 ,满足 ( 表示事件包含的样本点的个数),则下列说法正确的是 A. B. C. 事件 与事件 互斥 D. 事件 与事件 独立 7. 某校举行了交通安全知识主题演讲比赛，甲、乙两位同学演讲后，6 位评委对他们的演讲分别进行打分(满分 100 分)，得到如图所示的统计图, 则 A. 甲得分的极差大于乙得分的极差 B. 甲得分的中位数小于乙得分的中位数 C. 甲得分的上四分位数大于乙得分的上四分位数 D. 甲得分的方差大于乙得分的方差 8. 刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容, 我们常用曲率来刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于 2 π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面角的角度用弧度制). 例如:正四面体每个顶点均有 3 个面角，每个面角均为 ，则其各个顶点的曲率均为 若正四棱锥 的侧面与底面的夹角的正切值为 ,则正四棱锥 在顶点 处的曲率为 A. B. C. D. 二、选择题(本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.) 9. 已知 为虚数单位, ,以下选项正确的是 A. 若 ,则 的虚部为 -1 B. 若 ,则 C. 设 ,则 D. 若 ,则 在复平面内所对应的点的集合所构成的图形面积为 10. 下列说法正确的是 A. 用简单随机抽样从含有 50 个个体的总体中抽取一个容量为 10 的样本,个体 被抽到的概率是 0.2 B. 从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为 ,则 为整数的概率是 C. 从装有 3 个红球和 2 个黑球的口袋内任取 2 个球, 至多有一个黑球与至少有一个红球是两个对立的事件 D. 若样本数据 的标准差为 8,则数据 , 的标准差为 16 11. 如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 满足 ,其中 ,则 A. 当 时,点 的轨迹长为 B. 当 时,有且仅有一个点 ,使得 平面 C. 当 时，不存在点 ，使得 D. 当 时，三棱锥 的体积为定值 三、填空题(本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.) 12. 某校高一年级有 900 名学生，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为 81 的样本，其中抽取男生和女生的人数分别为 45,36 ，则该校高一年级的女生人数为_____. 13. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为 2,4 , 它的侧面展开图扇环的圆心角为 ,则这个圆台的侧面积为_____. 14. 如图, 从 1 开始出发, 一次移动是指: 从某一格开始只能移动到邻近的一格,并且总是向右或右上或右下移动,而一条移动路线由若干次移动构成,如从 1 移动到 就是其中一条移动路线. 从 1 移动到数字 的不同路线条数记为 ,从 1 移动到 9 的事件中,经过数字 的事件概率记为 ,则 _____； _____. 四、解答题(本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分 13 分) 在 中，角 的对边分别为 ，已知向量 ,且 . (1)求角 的大小； (2)若 ，求 面积的最大值. 16.(本小题满分 15 分) 漳州古城有着上千年的建城史，是国家级闽南文化生态保护区的重要组成部分，并入选首批“中国历史文化街区”. 五一假期来漳州古城旅游的人数创新高，单日客流峰值达 20 万人次. 为了解游客的旅游体验满意度, 某研究性学习小组用问卷调查的方式随机调查了 100 名游客, 该兴趣小组将收集到的游客满意度分值数据(满分 100 分)分成六段: ,得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中 的值，并估计这 100 名游客满意度分值的众数和中位数(结果保留整数)； (2)已知满意度分值落在 的平均数 ，方差 ，在 , 90)的平均数为 ，方差 ，试求满意度分值在 的平均数 和方差 . 17. (本小题满分 15 分) 如图所示，直三棱柱 的所有棱长均相等，点 为 的中点,点 为 的中点. (1)求证: 平面 ； (2)若三棱锥 的体积为 ，求该三棱柱的外接球表面积. 18.(本小题满分 17 分) 某校举行围棋比赛，甲、乙、丙三个人通过初赛，进入决赛. 已知甲与乙比赛时,甲获胜的概率为 ,甲与丙比赛时,甲获胜的概率为 ,乙与丙比赛时,乙获胜的概率为 . 其中, ,且每局比赛相互独立. 决赛规则如下:首先通过抽签的形式确定甲、乙两人进行第一局比赛， 丙轮空; 第一局比赛结束后, 胜利者和丙进行比赛, 失败者轮空, 以此类推, 每局比赛的胜利者跟本局比赛轮空者进行下一局比赛, 每场比赛胜者积 1 分，负者积 0 分，首先累计到 2 分者获得比赛胜利，比赛结束. (1)假设 . (i)求“两局结束比赛且乙获胜”的概率； (ii)求比赛结束时乙获胜的概率； (2)若 ，假设乙第一局出场，且乙获得了指定首次比赛对手的权利，为获得比赛的胜利，试分析乙的最优指定策略. 19. (本小题满分 17 分) 如图，四棱锥 的底面是边长为 的菱形， ，平面 平面 . (1)证明: ； (2)设直线 与平面 所成角为 . 若点 为棱 上的动点 (不包括端点),求二面角 的正弦值的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $