专题04 稍复杂的分数乘法问题核心考点分类练（九大类）-2026-2027学年六年级上册数学重难考点举一反三（苏教版 新教材）

该小学数学讲义通过九大类核心考点系统构建稍复杂分数乘法问题的知识体系，以“确定单位‘1’-数量关系-实际应用-思维拓展”为脉络，结合典例分析与变式练习呈现知识内在联系，突出单位“1”确定、分率对应等重难点，培养抽象能力与几何直观。 讲义亮点在于分层练习设计，如“比某个量多几分之几”用线段图辅助理解，古算题“百羊问题”渗透模型意识，思维训练题“体重增减变化”提升推理能力。典例详解与易错警示帮助不同学生掌握方法，为教师精准教学提供支持。

专题04 稍复杂的分数乘法问题核心考点分类练（九大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、确定单位“1”，写出数量关系 1 二、把“全部”看作单位“1”类，总量不变是关键 2 三、比某个量多几分之几 3 四、比某个量少几分之几 4 五、用分数解工程问题 5 六、工程类提升：找准对应是关键。 5 七、古书中的分数应用题 7 八、思维训练：灵活运用分率的增减变化解决问题 9 九、易错警示：一定要在变化中找准单位“1” 10 一、确定单位“1”，写出数量关系 【典例分析】 根据已知条件，把数量关系补充完整。 (1)松树的棵数比杨树多。( )＝松树的棵数 (2)电视机的价格比冰箱便宜。冰箱的价格×( )＝电视机的价格。 (3)男生有24人，女生人数占男生人数的。男生和女生的总人数＝男生人数×( )。 【答案】(1)杨树的棵数 (2) (3) 【思路引导】（1）松树的棵数比杨树多，把杨树的棵数当作单位“1”。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法，即可解答。 （2）电视机的价格比冰箱便宜，把冰箱的价格看作单位“1”。1－表示电视机价格是冰箱价格的几分之几。依据分数乘法意义，求一个数的几分之几是多少用乘法，即可解答。 （3）把男生人数看作单位“1”。女生人数是男生人数的，那么总人数就是男生人数的1＋。根据分数乘法意义，求一个数的几分之几是多少用乘法，即可解答。 【详解】（1）求一个数的几分之几是多少用乘法：杨树的棵数×（1＋）＝松树的棵数。 （2）求一个数的几分之几是多少用乘法：冰箱的价格× （1－）＝电视机的价格。 （3）求一个数的几分之几是多少用乘法：男生和女生的总人数＝男生人数×（1＋）。 【变式1】根据条件，把数量关系式补充完整。 打印一份稿件，已经打印，( )×＝( )。 三月份用水量比二月份节约，( )×＝( )。 【变式2】根据题中条件，把数量关系式补充完整。 (1)盒子里有5个红球，是白球个数的。白球有多少个？ ( )的个数×＝( )的个数 (2)甲故事书的页数是乙故事书的。乙故事书有100页，甲故事书有多少页？ ( )的页数×＝( )的页数 【变式3】根据算式，补充条件。 学校有故事书1200本，（    ），科技书有多少本？ （1）1200×条件：（    ）；   （2）1200×（1＋）条件：（    ）； （3）1200×（1－）条件：（    ）。 二、把“全部”看作单位“1”类，总量不变是关键 【典例分析】 一袋大米30千克，已经吃了，吃了( )千克，剩下的占全部的( )。 【答案】 18 【思路引导】（1）求一个数的几分之几是多少，用分数乘法计算； （2）把这袋大米总量看作单位“1”，已经吃了，剩下的占全部的（1－），据此解答。 【详解】（1）30×＝18（千克） （2）1－＝ 【点睛】掌握分数乘法的计算方法是解答题目的关键。 【变式1】春节期间，某超市准备了1500份利是糖，第一周卖了全部的，第二周卖了全部的。 （1）还剩下全部的几分之几没卖？（先画图，再解答） （2）根据已知条件提出一个乘法计算的问题，再解答。 【变式2】聊城古城城墙周长约3.5千米，是运河畔保存至今的明代城垣遗迹。莉莉一家上午走完了古城墙全长的，下午比上午少走了全长的，她们一家共走了全长的几分之几？ 【变式3】庐山旅游风景区去年接待游客约288万人，上半年接待游客数是全年的，下半年一共接待游客多少人？ 三、比某个量多几分之几 【典例分析】 某小学去年有128台计算机，今年比去年增加。今年有多少台计算机？能够确表达题意的线段图是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】从“今年比去年增加”可知，以去年为单位“1”，把单位“1”平均分成4份，今年比去年多4份中的1份，即今年是去年的（1＋）。据此逐选项分析。 【详解】A．表示把去年的128台计算机看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，今年比去年增加，今年应该画5份，所以该选项不符合题意； B．表示把去年的128台计算机看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，今年比去年增加，今年应该画5份，多出来的1份就是去年的，该选项符合题意； C．表示把去年的128台计算机看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，今年比去年减少了。不符合题意。 所以能够确表达题意的线段图是B选项。 故答案为：B 【变式1】林阳小学去年有24个班级，今年的班级数比去年增加了。算式24×（1＋）解决的是哪一个问题？（    ） A．今年比去年增加了多少个班级？ B．今年一共有多少个班级？ C．今年和去年一共有多少个班级？ D．去年比今年减少了多少个班级？ 【变式2】某牧场有山羊50只，绵羊的只数比山羊的多3只，绵羊有多少只？ 【变式3】月星小学去年有64台计算机，今年比去年增加。今年有多少台计算机？ 四、比某个量少几分之几 【典例分析】 人的心跳次数随年龄而变化，10岁儿童平均每分钟心跳约90次。青少年平均每分钟心跳的次数比10岁儿童少。青少年平均每分钟心跳约多少次？ 【答案】72次 【思路引导】把10岁儿童平均每分钟心跳次数看作单位“1”，青少年平均每分钟的心跳次数比10岁儿童的平均每分钟心跳次数少，则青少年平均每分钟心跳次数相当于10岁儿童的（1－），单位“1”已知，用乘法求青少年平均每分钟约心跳的次数。 【详解】90×（1－） ＝90× ＝72（次） 答：青少年平均每分钟心跳约72次。 【点睛】本题的关键是找出单位“1”，已知单位“1”的量求它的几分之几是多少用乘法计算。 【变式1】36千克的是( )千克；比36千克少是( )千克。 【变式2】一种商品先涨价，后降价出售，这种商品的售价（    ）。 A．不变 B．提高了 C．降低了 【变式3】一件儿童服装的原价150元，降价后售价是( )元。现在比原来便宜了( )元。 五、用分数解工程问题 【典例分析】 一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要20小时完成，两人合做，( )小时能加工完这批零件。 【答案】 【思路引导】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，1÷两人效率和＝合做时间，据此列式计算。 【详解】1÷（＋） ＝1÷ ＝（小时） 两人合做，小时能加工完这批零件。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 【变式1】一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要30小时完成。两人合作，几小时能加工完这批零件？ 【变式2】修一条公路，甲工程队单独修要10天完成，乙工程队单独修要8天完成，如果甲、乙两队合作，需要多少天可以修完这条公路？ 【变式3】修一条20千米长的公路，甲队单独修要6天完成，乙队单独修要8天完成。现在甲、乙两队合修需要多少天可以完成？正确的算式是（    ）。 A． B． C． D． 六、工程类提升：找准对应是关键。 【典例分析】 修一段路，甲队单独修需要8天，乙队单独修需要12天。 （1）要解决“两队合修需要几天完成？”这一问题，小明是这样做的：1÷（＋）＝4.8（天）。 这个算式中的“＋”表示（                           ）。 （2）如果甲、乙合作，期间甲队休息了2天，乙队没有休息，一共多少天完成任务？ 【答案】（1）甲队、乙队一天修的长度占全长的几分之几 （2）6天 【思路引导】（1）把修这段路的工作总量看作单位“1”，已知甲队单独修需要8天，即甲队的工作效率是；乙队单独修需要12天，则乙队的工作效率是；把两队的工作效率相加，即是两队的合作工效，据此得出“＋”表示的含义。 （2）如果甲、乙合作，期间甲队休息了2天，乙队没有休息，可以看成乙先单独工作2天，剩下的任务由甲、乙合作完成； 先根据“工作量＝工作效率×工作时间”，用乙队的工作效率乘2，求出乙队2天完成的工作量；再用工作总量减去乙队2天完成的工作量，即是剩下的工作量； 剩下的工作量是由甲、乙两队合作完成，根据“合作工作量÷合作工效＝合作工时”，求出甲、乙两队合作的天数，再加上乙单独做的2天，即是完成任务一共需要的天数。 【详解】（1）要解决“两队合修需要几天完成？”这一问题，小明是这样做的：1÷（＋）＝4.8（天）。 这个算式中的“＋”表示（甲队、乙队一天修的长度占全长的几分之几）。 （2）（1－×2）÷（＋）＋2 ＝（1－）÷（＋）＋2 ＝÷＋2 ＝×＋2 ＝4＋2 ＝6（天） 答：一共6天完成任务。 【变式1】小张和小陈合作完成一项任务，需要24天。如果这项任务先由小张单独做6天，再由小陈单独做4天，最后只能完成这项任务的，那么小张和小陈单独完成这项任务各需要多少天？ 【变式2】修建一条隧道，甲工程队单独修建需要12个月，乙工程队单独修建需要10个月。现在甲乙两队合修3个月后，剩下的由乙工程队独修，还需要几个月完成？ 【变式3】一项工程，甲、乙合做15天完成，先由甲做5天，接着乙做3天，完成工作量的。这项工程如果甲单独做要多少天完成？ 七、古书中的分数应用题 【典例分析】 下面是著名的百羊问题。原文如下： 甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后， 戏问甲及一百否？甲云所说无差谬， 所得这般一群凑，再添半群小半群， 得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？ ——《算法统宗》（明）程大位 原文的意思是说，“一个牧羊人赶着一群羊，有人牵着一只羊从后面跟来，问牧羊人你这群羊有100只吗？”牧羊人说：“如果这一群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的一半的一半，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百只”请问牧羊人赶着多少只羊？ 【答案】36只 【思路引导】将这群羊看成单位“1”，加上一倍是变成原来的2倍，一半是，一半的一半是的；则这一群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的一半的一半是这群羊的2＋＋×＝，这群羊的再加上1只是100只，则这群羊的是99只，用99÷即可出这群羊的只数。 【详解】（100－1）÷（2＋＋×） ＝99÷（2＋＋） ＝99÷ ＝99× ＝36（只） 答：牧羊人赶着36只羊。 【点睛】解决问题的关键在于确认单位“1”，明确分量所对应的分率，也可以设未知数列方程解答。 【变式1】《九章算术》是中国古代的数学专著，它标志着中国古代数学完整体系的形成。请你阅读以下资料，解决问题。 原文：今有凫（fú）起南海，七日至北海。雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起。问：何日相逢？——《九章算术》 译文：一只野鸭从南海飞到北海要用7天，一只大雁从北海飞到南海要用9天。如果它们同时从两地起飞，几天后相遇？ 【变式2】《四物汤》是一个著名的中医药方，被誉为“养血第一方”。它是由当归、熟地黄、川芎、白芍四味中药组成。有一副普通的《四物汤》配方是这样的：当归10克，是熟地黄的，川芎比当归少，当归比白芍多。请写出计算过程，并把这副普通的《四物汤》配方填写在下表中。 《四物汤》配方统计表 成分 当归 熟地黄 川芎 白芍 质量/g 10 熟地黄：    川芎：    白芍： 【变式3】五音（宫、商、角、徵、羽），是中国古代音乐的基本音阶，其发音管的管长可以通过“三分损益法”计算得出，以下是各音管长度之间的关系。 ①徵音管的长度是宫音管的。 ②商音管的长度是徵音管的。 ③羽音管的长度是商音管的。 ④角音管的长度是羽音管的。 在“传承古代音律”活动中，鹏鹏制作的商音管的长度是8寸；悦悦制作的宫音管的长度是9寸。 (1)鹏鹏制作的徵音管的长度是多少寸？ (2)悦悦制作的商音管的长度是多少寸？ 八、思维训练：灵活运用分率的增减变化解决问题 【典例分析】 小军的体重是50kg，他坚持每天早上跳绳。放暑假前小军的体重减少了。过了一个暑假，他的体重又增加了，现在他的体重（    ）。 A．比50kg重 B．比50kg轻 C．没有变化 【答案】B 【思路引导】已知小军原来体重50kg，坚持跳绳，体重减少了，这里把原来体重50kg看作单位“1”，即减少原来体重的，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即减少50×＝5kg，再用原来体重减去减少的体重即为减少后的体重，为50－5＝45kg。 暑假过后，小军体重又增加了，这里把减少后的体重看作单位“1”，即增加减少后体重的，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即增加45×＝4.5kg，再用减少后的体重加上增加的体重即可计算出现在的体重。 最后将现在的体重与原来的体重作比较。 【详解】50－50× ＝50－5 ＝45（kg） 45＋45× ＝45＋4.5 ＝49.5（kg） 49.5＜50 所以现在他的体重比50kg轻。 故答案为：B 【变式1】一部手机原价是5000元，先涨价，再降价，现在的价格和以前的价格比（    ）。 A．不变 B．涨价了 C．降价了 D．无法确定 【变式2】操场上有30名学生在跑步，其中男生人数占总人数的，后来又有几名男生加入，这时男生人数占总人数的一半，后来又加入了( )名男生。 【变式3】．一款电视机原来每台售价3800元，第一次降价后，第二次在第一次降价的基础上又降价。现在该款电视机每台的售价是多少元？ 九、易错警示：一定要在变化中找准单位“1” 【典例分析】 一块蛋糕，小明吃了全部的，小刚吃了剩下的，（    ）吃得多。 A．小明 B．同样多 C．小刚 D．无法比较 【答案】B 【思路引导】本题解题的关键是找准每一步的单位“1”。先把蛋糕总量看作单位“1”，算出小明吃完后剩余蛋糕占总量的分率；再以剩下的蛋糕为新的单位“1”求出小刚吃的蛋糕占整块蛋糕总量的分率，最后比较两人吃的分率大小即可得出结论。 【详解】把整块蛋糕的总量看作单位“1”。 小明吃了全部的。 小明吃完后剩下的蛋糕占总量的分率： 小刚吃了剩下的，这里的单位“1”是小明吃完后剩下的蛋糕，占总量的 小刚吃的蛋糕占整块蛋糕总量的分率 ，所以小明和小刚两人吃得同样多。 【变式1】李阿姨要完成一批剪纸作品，第一天剪了总数的，第二天剪了剩下的，第三天把剩下的15幅全部完成，李阿姨一共要完成_____幅剪纸作品。 【变式2】小陈水果超市进了105千克水果，第一天卖了全部水果的，第二天卖了剩下的。 (1)第一天卖了多少千克？ (2)第二天卖了多少千克？ 【变式3】“一年好景君须记，最是橙黄橘绿时”。某镇直播帮助村民销售柚子，第一天卖了全部的，第二天卖了剩下的，还剩下9吨柚子没有卖完，这批柚子共有多少吨？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 稍复杂的分数乘法问题核心考点分类练（九大类） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 考点目录 一、确定单位“1”，写出数量关系 1 二、把“全部”看作单位“1”类，总量不变是关键 3 三、比某个量多几分之几 6 四、比某个量少几分之几 8 五、用分数解工程问题 9 六、工程类提升：找准对应是关键。 11 七、古书中的分数应用题 15 八、思维训练：灵活运用分率的增减变化解决问题 18 九、易错警示：一定要在变化中找准单位“1” 20 一、确定单位“1”，写出数量关系 【典例分析】 根据已知条件，把数量关系补充完整。 (1)松树的棵数比杨树多。( )＝松树的棵数 (2)电视机的价格比冰箱便宜。冰箱的价格×( )＝电视机的价格。 (3)男生有24人，女生人数占男生人数的。男生和女生的总人数＝男生人数×( )。 【答案】(1)杨树的棵数 (2) (3) 【思路引导】（1）松树的棵数比杨树多，把杨树的棵数当作单位“1”。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法，即可解答。 （2）电视机的价格比冰箱便宜，把冰箱的价格看作单位“1”。1－表示电视机价格是冰箱价格的几分之几。依据分数乘法意义，求一个数的几分之几是多少用乘法，即可解答。 （3）把男生人数看作单位“1”。女生人数是男生人数的，那么总人数就是男生人数的1＋。根据分数乘法意义，求一个数的几分之几是多少用乘法，即可解答。 【详解】（1）求一个数的几分之几是多少用乘法：杨树的棵数×（1＋）＝松树的棵数。 （2）求一个数的几分之几是多少用乘法：冰箱的价格× （1－）＝电视机的价格。 （3）求一个数的几分之几是多少用乘法：男生和女生的总人数＝男生人数×（1＋）。 【变式1】根据条件，把数量关系式补充完整。 打印一份稿件，已经打印，( )×＝( )。 三月份用水量比二月份节约，( )×＝( )。 【答案】 一份稿件的页数 已经打印的页数 二月份用水量 三月份比二月份节约的用水量 【详解】打印一份稿件，已经打印，把一份稿件的页数看作单位“1”，已经打印的页数占它的，根据分数乘法的意义写出数量关系； 三月份用水量比二月份节约，把二月份用水量看作单位“1”，三月份比二月份节约的用水量是二月份用水量的，根据分数乘法的意义写出数量关系。 【详解】打印一份稿件，已经打印，一份稿件的页数×＝已经打印的页数。 三月份用水量比二月份节约，二月份用水量×＝三月份比二月份节约的用水量。 【变式2】根据题中条件，把数量关系式补充完整。 (1)盒子里有5个红球，是白球个数的。白球有多少个？ ( )的个数×＝( )的个数 (2)甲故事书的页数是乙故事书的。乙故事书有100页，甲故事书有多少页？ ( )的页数×＝( )的页数 【答案】(1) 白球 红球 (2) 乙故事书 甲故事书 【思路引导】（1）已知红球个数是白球个数的，即白球个数×＝红球个数。 （2）已知甲故事书页数是乙故事书页数的，即乙故事书页数×＝甲故事书页数。 【详解】（1）红球个数是白球的。 数量关系式为：白球的个数×＝红球的个数。 （2）甲故事书页数是乙的 数量关系式为：乙故事书的页数×＝甲故事书的页数。 【变式3】根据算式，补充条件。 学校有故事书1200本，（    ），科技书有多少本？ （1）1200×条件：（    ）；   （2）1200×（1＋）条件：（    ）； （3）1200×（1－）条件：（    ）。 【答案】（1）科技书是故事书的 （2）科技书比故事书多 （3）科技书比故事书少 【思路引导】（1）根据题意，1200×，把故事书的本数看作单位“1”，说明科技书是故事书的，据此解答； （2）1200×（1＋），把故事书看作单位“1”， 科技书比故事书多，科技书是故事书的（1＋），据此解答； （3）1200×（1－），把故事书看作单位“1”， 科技书比故事书少，科技书是故事书的（1－），据此解答。 【详解】（1）1200×条件：科技书是故事书的； （2）1200×（1＋）条件：科技书比故事书多； （3）1200×（1－）条件：科技书比故事书少。 【点睛】本题考查填充条件，根据求一个数的几分之几是多少，进行解答。 二、把“全部”看作单位“1”类，总量不变是关键 【典例分析】 一袋大米30千克，已经吃了，吃了( )千克，剩下的占全部的( )。 【答案】 18 【思路引导】（1）求一个数的几分之几是多少，用分数乘法计算； （2）把这袋大米总量看作单位“1”，已经吃了，剩下的占全部的（1－），据此解答。 【详解】（1）30×＝18（千克） （2）1－＝ 【点睛】掌握分数乘法的计算方法是解答题目的关键。 【变式1】春节期间，某超市准备了1500份利是糖，第一周卖了全部的，第二周卖了全部的。 （1）还剩下全部的几分之几没卖？（先画图，再解答） （2）根据已知条件提出一个乘法计算的问题，再解答。 【答案】（1）图见详解； （2）示例问题：第二周卖出多少份？500份（答案不唯一） 【思路引导】（1）线段图绘制步骤：先用一条线段代表超市准备的1500份利是糖，标注“1500份”。将其平均分成15份（因为5和3的最小公倍数是15）。第一周卖了全部的，也就是15×＝6（份），这6份标注“第一周卖出”；第二周卖了全部的，也就是15×＝5（份），这5份标注“第二周卖了全部的”；那么剩下的份数就是15－6－5＝4（份），所以剩下的占，这部分标注“还剩下全部的几分之几没卖？”，据此画图。 把超市准备的利是糖总数看作单位“1”，用单位“1”依次减去第一周和第二周卖出的分率，就能得到剩下的分率。 （2）对于第二问，根据已知的分率和总数，利用乘法可以求出卖出的具体数量等问题。例如问题：第二周卖了多少份利是糖？根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，用1500×，即可求出第二周卖了多少份利是糖。 【详解】（1）如图所示： 1－－ 答：还剩下全部的没卖。 （2）问题：第二周卖了多少份利是糖？ 1500×＝500（份） 答：第二周卖了500份利是糖。 （答案不唯一） 【变式2】聊城古城城墙周长约3.5千米，是运河畔保存至今的明代城垣遗迹。莉莉一家上午走完了古城墙全长的，下午比上午少走了全长的，她们一家共走了全长的几分之几？ 【答案】 【思路引导】把古城墙全长看作单位“1”。已知上午走了全长的，下午比上午少走了全长的，则下午走了全长的。求共走了全长的几分之几，就是把上午走的分率与下午走的分率相加。 【详解】 答：她们一家共走了全长的。 【变式3】庐山旅游风景区去年接待游客约288万人，上半年接待游客数是全年的，下半年一共接待游客多少人？ 【答案】176万人 【思路引导】把去年接待游客总数看作单位“1”。已知上半年接待游客数占全年的，则下半年接待游客数占全年的。根据分数乘法的意义，求下半年接待游客人数，就是求万人的是多少，用乘法计算。 【详解】 （万人） 答：下半年一共接待游客176万人。 三、比某个量多几分之几 【典例分析】 某小学去年有128台计算机，今年比去年增加。今年有多少台计算机？能够确表达题意的线段图是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路引导】从“今年比去年增加”可知，以去年为单位“1”，把单位“1”平均分成4份，今年比去年多4份中的1份，即今年是去年的（1＋）。据此逐选项分析。 【详解】A．表示把去年的128台计算机看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，今年比去年增加，今年应该画5份，所以该选项不符合题意； B．表示把去年的128台计算机看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，今年比去年增加，今年应该画5份，多出来的1份就是去年的，该选项符合题意； C．表示把去年的128台计算机看作单位“1”，把单位“1”平均分成4份，今年比去年减少了。不符合题意。 所以能够确表达题意的线段图是B选项。 故答案为：B 【变式1】林阳小学去年有24个班级，今年的班级数比去年增加了。算式24×（1＋）解决的是哪一个问题？（    ） A．今年比去年增加了多少个班级？ B．今年一共有多少个班级？ C．今年和去年一共有多少个班级？ D．去年比今年减少了多少个班级？ 【答案】B 【思路引导】已知去年有24个班级，今年的班级数比去年增加了，令去年的班级数为单位“1”，那么今年的班级数是去年的（1＋），根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，可求出今年的班级数，再分析各选项是否满足题意即可。 【详解】A．去年的班级数乘今年的班级数比去年增加的分率即可得到今年比去年增加的班级数，列式：24×，不符合题干算式解决的问题。 B．去年的班级数乘（1＋）得到今年一共有的班级数，列式：24×（1＋），符合题干算式解决的问题。 C．今年的班级数加去年的班级数得到今年和去年一共有的班级数，列式24＋24×（1＋），不符合题干算式解决的问题。 D．今年的班级数减去去年的班级数得到去年比今年减少的班级数，列式：24×（1＋）－24，不符合题干算式解决的问题。 故答案为：B 【变式2】某牧场有山羊50只，绵羊的只数比山羊的多3只，绵羊有多少只？ 【答案】43只 【详解】50×+3 ＝40+3 ＝43（只） 答：绵羊有43只． 【变式3】月星小学去年有64台计算机，今年比去年增加。今年有多少台计算机？ 【答案】88台 【思路引导】从“今年比去年增加”可知，以去年为单位“1”，今年是去年的（1＋）。根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。用去年的台数×（1＋），即可求出今年的台数。据此解答。 【详解】64×（1＋） ＝64× ＝88（台） 答：今年有88台计算机。 四、比某个量少几分之几 【典例分析】 人的心跳次数随年龄而变化，10岁儿童平均每分钟心跳约90次。青少年平均每分钟心跳的次数比10岁儿童少。青少年平均每分钟心跳约多少次？ 【答案】72次 【思路引导】把10岁儿童平均每分钟心跳次数看作单位“1”，青少年平均每分钟的心跳次数比10岁儿童的平均每分钟心跳次数少，则青少年平均每分钟心跳次数相当于10岁儿童的（1－），单位“1”已知，用乘法求青少年平均每分钟约心跳的次数。 【详解】90×（1－） ＝90× ＝72（次） 答：青少年平均每分钟心跳约72次。 【点睛】本题的关键是找出单位“1”，已知单位“1”的量求它的几分之几是多少用乘法计算。 【变式1】36千克的是( )千克；比36千克少是( )千克。 【答案】 27 27 【详解】求36千克的是多少，直接相乘即可；把36千克看作单位“1”，求比比36千克少是多少，也就是求36千克的（1－）是多少，用乘法计算。 【详解】36×＝27（千克）； 36×（1－） ＝36× ＝27（千克） 【点睛】此题考查了分数乘法的计算，明确求一个数的几分之几用乘法。 【变式2】一种商品先涨价，后降价出售，这种商品的售价（    ）。 A．不变 B．提高了 C．降低了 【答案】C 【思路引导】将原价当作单位“1”，则先涨价后的价格是原价的1＋，再降价后的价格是降价前的1－，根据分数乘法的意义，此时价格是原价的（1＋）×（1－）。 【详解】（1＋）×（1－） ＝× ＝ 即此时价格是原价的，比原价低。 故答案为：C 【点睛】完成本题要注意前后提价与降价分率的单位“1”是不同的。 【变式3】一件儿童服装的原价150元，降价后售价是( )元。现在比原来便宜了( )元。 【答案】 120 30 【思路引导】将服装原价看作单位“1”，降价的含义是现价比原价减少的部分占原价；用原价乘降价的占比，得到现价比原来便宜的钱数；再用原价减去便宜的金额，即得到最终的售价。 【详解】150×＝30（元） 150－30＝120（元） 一件儿童服装的原价150元，降价后售价是120元。现在比原来便宜了30元。 五、用分数解工程问题 【典例分析】 一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要20小时完成，两人合做，( )小时能加工完这批零件。 【答案】 【思路引导】将工作总量看作单位“1”，时间分之一可以看作效率，1÷两人效率和＝合做时间，据此列式计算。 【详解】1÷（＋） ＝1÷ ＝（小时） 两人合做，小时能加工完这批零件。 【点睛】关键是理解工作效率、工作时间、工作总量之间的关系。 【变式1】一批零件，王师傅单独做要15小时完成，李师傅单独做要30小时完成。两人合作，几小时能加工完这批零件？ 【答案】10小时 【思路引导】把加工这批零件的工作量看作单位“1”，先依据工作总量＝工作时间×工作效率，求出王师傅和李师傅的工作效率，两人合作后，把两人工作效率相加，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率和即可解答。 【详解】1÷15＝ 1÷30＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝10（小时） 答：两人合作，10小时能加工完这批零件。 【点睛】本题考查知识点：依据工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系解决问题。 【变式2】修一条公路，甲工程队单独修要10天完成，乙工程队单独修要8天完成，如果甲、乙两队合作，需要多少天可以修完这条公路？ 【答案】天 【思路引导】把工作总量看作单位“1”，先表示出甲工程队的工作效率和乙工程队的工作效率，再根据“工作时间＝工作总量÷（甲队的工作效率＋乙队的工作效率）”求出两队合作需要的工作时间，据此解答。 【详解】假设工作总量为1。 甲队的工作效率：1÷10＝ 乙队的工作效率：1÷8＝ 1÷（＋） ＝1÷ ＝（天） 答：如果甲、乙两队合作，需要天可以修完这条公路。 【点睛】本题主要考查分数除法的应用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系是解答题目的关键。 【变式3】修一条20千米长的公路，甲队单独修要6天完成，乙队单独修要8天完成。现在甲、乙两队合修需要多少天可以完成？正确的算式是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】（1）把这条公路的工作总量看作单位“1”，先根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，分别求出甲队、乙队的工作效率；再用加法求出甲队工作效率与乙队工作效率之和，最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，工作总量是单位“1”，即单位“1”÷工作效率和，求出合修需要的时间； （2）也可以把工作总量看作20千米，根据“工作效率＝工作总量÷工作时间”，先分别求出甲队、乙队的工作效率，进而求出工作效率和，最后根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”，工作总量是20千米，求出甲、乙两队合修需要的时间。 【详解】根据分析（1）可得： 甲的工作效率：1÷6＝ 乙的工作效率：1÷8＝ 工作效率和为：＋ 工作时间：1÷（＋） 根据分析（2）可得： 甲的工作效率：20÷6＝（千米/天） 乙的工作效率：20÷8＝（千米/天） 工作效率和为：＋（千米/天） 工作时间：20÷（＋） 对比选项，正确的算式是：20÷（＋） 六、工程类提升：找准对应是关键。 【典例分析】 修一段路，甲队单独修需要8天，乙队单独修需要12天。 （1）要解决“两队合修需要几天完成？”这一问题，小明是这样做的：1÷（＋）＝4.8（天）。 这个算式中的“＋”表示（                           ）。 （2）如果甲、乙合作，期间甲队休息了2天，乙队没有休息，一共多少天完成任务？ 【答案】（1）甲队、乙队一天修的长度占全长的几分之几 （2）6天 【思路引导】（1）把修这段路的工作总量看作单位“1”，已知甲队单独修需要8天，即甲队的工作效率是；乙队单独修需要12天，则乙队的工作效率是；把两队的工作效率相加，即是两队的合作工效，据此得出“＋”表示的含义。 （2）如果甲、乙合作，期间甲队休息了2天，乙队没有休息，可以看成乙先单独工作2天，剩下的任务由甲、乙合作完成； 先根据“工作量＝工作效率×工作时间”，用乙队的工作效率乘2，求出乙队2天完成的工作量；再用工作总量减去乙队2天完成的工作量，即是剩下的工作量； 剩下的工作量是由甲、乙两队合作完成，根据“合作工作量÷合作工效＝合作工时”，求出甲、乙两队合作的天数，再加上乙单独做的2天，即是完成任务一共需要的天数。 【详解】（1）要解决“两队合修需要几天完成？”这一问题，小明是这样做的：1÷（＋）＝4.8（天）。 这个算式中的“＋”表示（甲队、乙队一天修的长度占全长的几分之几）。 （2）（1－×2）÷（＋）＋2 ＝（1－）÷（＋）＋2 ＝÷＋2 ＝×＋2 ＝4＋2 ＝6（天） 答：一共6天完成任务。 【变式1】小张和小陈合作完成一项任务，需要24天。如果这项任务先由小张单独做6天，再由小陈单独做4天，最后只能完成这项任务的，那么小张和小陈单独完成这项任务各需要多少天？ 【答案】60天；40天 【思路引导】把这项任务总量看作是单位“1”，小张和小陈合作完成一项任务，需要24天，则两人合作一天，能够完成任务的1÷24＝。已知“先由小张单独做6天，再由小陈单独做4天”相当于两人合作4天，两人合作4天完成任务的（），那么小张（6－4）天完成这项任务的（），用（）除以（6－4）就是小张的工作效率；用减去小张的工作效率就是小陈的工作效率，再用单位“1”分别除以两人的工作效率就是两人完成这项任务分别需要的时间。 【详解】1÷24＝ （）÷（6－4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （天） （天） 答：小张单独完成这项任务需要60天，小陈单独完成这项任务需要40天。 【点睛】解题关键是将特殊工作方式转化为合作与单独工作的组合，进而求出两人工作效率，最终算出单独完成任务的时间。 【变式2】修建一条隧道，甲工程队单独修建需要12个月，乙工程队单独修建需要10个月。现在甲乙两队合修3个月后，剩下的由乙工程队独修，还需要几个月完成？ 【答案】4.5月 【思路引导】工作时间＝工作总量÷工作效率，将工作总量看做“1”，先求出甲乙合作3个月之后还剩下多少工作量，用剩下的工作量除以乙的工作效率即可求解。 【详解】1÷12＝ 1÷10＝ 1－3×（＋） ＝1－3× ＝1－ ＝ ÷ ＝×10 ＝4.5（月） 答：剩下的由乙工程队独修，还需要4.5个月完成。 【点睛】此题考查工程问题，求出剩余的工作量是解题的关键。 【变式3】一项工程，甲、乙合做15天完成，先由甲做5天，接着乙做3天，完成工作量的。这项工程如果甲单独做要多少天完成？ 【答案】60天 【思路引导】将这项工程看作单位“1”，因为甲做5天，乙做3天，那么可以看成是甲、乙合作做了3天，甲又单独做了2天，所以甲、乙合作3天完成的工作量＝甲、乙合作每天完成的工作量×3，甲每天完成这项工程的几分之几＝（两人一共完成的工作量－甲、乙合作3天完成的工作量）÷甲又单独做的天数，所以这项工程如果甲单独完成要的天数＝1÷甲每天完成这项工程的几分之几，据此代入数据作答即可。 【详解】×3＝ （－）÷（5－3） ＝÷2 ＝ 1÷＝60（天） 答：甲单独做要60天。 【点睛】明确题目中的数量关系，求出甲的工作效率是解答本题的关键。 七、古书中的分数应用题 【典例分析】 下面是著名的百羊问题。原文如下： 甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后， 戏问甲及一百否？甲云所说无差谬， 所得这般一群凑，再添半群小半群， 得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？ ——《算法统宗》（明）程大位 原文的意思是说，“一个牧羊人赶着一群羊，有人牵着一只羊从后面跟来，问牧羊人你这群羊有100只吗？”牧羊人说：“如果这一群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的一半的一半，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满一百只”请问牧羊人赶着多少只羊？ 【答案】36只 【思路引导】将这群羊看成单位“1”，加上一倍是变成原来的2倍，一半是，一半的一半是的；则这一群羊加上一倍，再加上原来这群羊的一半，又加上原来这群羊的一半的一半是这群羊的2＋＋×＝，这群羊的再加上1只是100只，则这群羊的是99只，用99÷即可出这群羊的只数。 【详解】（100－1）÷（2＋＋×） ＝99÷（2＋＋） ＝99÷ ＝99× ＝36（只） 答：牧羊人赶着36只羊。 【点睛】解决问题的关键在于确认单位“1”，明确分量所对应的分率，也可以设未知数列方程解答。 【变式1】《九章算术》是中国古代的数学专著，它标志着中国古代数学完整体系的形成。请你阅读以下资料，解决问题。 原文：今有凫（fú）起南海，七日至北海。雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起。问：何日相逢？——《九章算术》 译文：一只野鸭从南海飞到北海要用7天，一只大雁从北海飞到南海要用9天。如果它们同时从两地起飞，几天后相遇？ 【答案】天 【思路引导】将北海到南海的距离看作单位“1”，一只野鸭从南海飞到北海要用7天，则每天野鸭飞行的距离占全程的，一只大雁从北海飞到南海要用9天，则每天大雁飞行的距离占全程的； 如果她们同时从两地起飞，则用单位“1”除以野鸭和大雁每天飞行的占比和，即可求出几天后能相遇。 【详解】 （天） 答：天后野鸭和大雁可以相遇。 【变式2】《四物汤》是一个著名的中医药方，被誉为“养血第一方”。它是由当归、熟地黄、川芎、白芍四味中药组成。有一副普通的《四物汤》配方是这样的：当归10克，是熟地黄的，川芎比当归少，当归比白芍多。请写出计算过程，并把这副普通的《四物汤》配方填写在下表中。 《四物汤》配方统计表 成分 当归 熟地黄 川芎 白芍 质量/g 10 熟地黄：    川芎：    白芍： 【答案】表见详解 熟地黄：12克；川芎：8克；白芍：9克 【思路引导】把熟地黄的质量看作单位“1”，它的对应的是当归的质量10克，求单位“1”，用除法，用10÷，求出熟地黄的质量。 把当归的质量看作单位“1”，川芎质量是当归的（1－），求川芎的质量，单位“1”已知，用乘法，用当归的质量×（1－），即10×（1－），求出川芎的质量。 把白芍的质量看作单位“1”，当归的质量是白芍的（1＋），对应的是当归的质量，求单位“1”，用除法，用当归的质量÷（1＋），即10÷（1＋），求出白芍的质量，完成表格，即可解答。 【详解】熟地黄：10÷ ＝10× ＝12（克） 川芎：10×（1－） ＝10× ＝8（克） 白芍：10÷（1＋） ＝10÷ ＝10× ＝9（克） 表如下： 成分 当归 熟地黄 川芎 白芍 质量/g 10 12 8 9 熟地黄：12克    川芎：8克    白芍：9克 【变式3】五音（宫、商、角、徵、羽），是中国古代音乐的基本音阶，其发音管的管长可以通过“三分损益法”计算得出，以下是各音管长度之间的关系。 ①徵音管的长度是宫音管的。 ②商音管的长度是徵音管的。 ③羽音管的长度是商音管的。 ④角音管的长度是羽音管的。 在“传承古代音律”活动中，鹏鹏制作的商音管的长度是8寸；悦悦制作的宫音管的长度是9寸。 (1)鹏鹏制作的徵音管的长度是多少寸？ (2)悦悦制作的商音管的长度是多少寸？ 【答案】(1)6寸 (2)8寸 【思路引导】（1）商音管长度是徵音管长度的，也就是将徵音管长度看成单位“1”，单位“1”未知，用除法计算，徵音管长度就是商音管长度除以。 （2）徵音管长度是宫音管长度的，也就是将宫音管长度看成单位“1”；商音管长度是徵音管长度的，是将徵音管长度看成单位“1”，两步连乘计算。 【详解】（1）8÷ ＝8× ＝6（寸） 答：鹏鹏制作的徵音管长度是6寸。 （2）9×× ＝6× ＝8（寸） 答：悦悦制作的商音管长度是8寸。 八、思维训练：灵活运用分率的增减变化解决问题 【典例分析】 小军的体重是50kg，他坚持每天早上跳绳。放暑假前小军的体重减少了。过了一个暑假，他的体重又增加了，现在他的体重（    ）。 A．比50kg重 B．比50kg轻 C．没有变化 【答案】B 【思路引导】已知小军原来体重50kg，坚持跳绳，体重减少了，这里把原来体重50kg看作单位“1”，即减少原来体重的，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即减少50×＝5kg，再用原来体重减去减少的体重即为减少后的体重，为50－5＝45kg。 暑假过后，小军体重又增加了，这里把减少后的体重看作单位“1”，即增加减少后体重的，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即增加45×＝4.5kg，再用减少后的体重加上增加的体重即可计算出现在的体重。 最后将现在的体重与原来的体重作比较。 【详解】50－50× ＝50－5 ＝45（kg） 45＋45× ＝45＋4.5 ＝49.5（kg） 49.5＜50 所以现在他的体重比50kg轻。 故答案为：B 【变式1】一部手机原价是5000元，先涨价，再降价，现在的价格和以前的价格比（    ）。 A．不变 B．涨价了 C．降价了 D．无法确定 【答案】C 【思路引导】先将原价看作单位“1”，涨价后的价格是原价的；求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，涨价后的价格＝原价×对应分率；再将涨价后的价格看作单位“1”，降价后的价格是涨价后价格的；降价后的价格＝涨价后的价格×对应分率；最后将降价后的价格与原价进行比较。 【详解】 （元） 4950＜5000，所以现在的价格和以前的价格比降价了。 【变式2】操场上有30名学生在跑步，其中男生人数占总人数的，后来又有几名男生加入，这时男生人数占总人数的一半，后来又加入了( )名男生。 【答案】6 【思路引导】分析题目，女生人数一直没有发生变化，先把原来的总人数看作单位“1”，则女生人数占原来总人数的（1－），求一个数的几分之几是多少用乘法，据此列式求出女生人数，再把后来的全班人数看作单位“1”，则女生人数占后来全班总人数的（1－），已知一个数的几分之几是多少求这个数用除法，据此列式求出全班人数，最后用后来的全班人数减去原来的全班人数即可得到加入的男生人数。 【详解】30×（1－）÷（1－） ＝30×÷（1－） ＝18÷ ＝18×2 ＝36（名） 36－30＝6（名） 操场上有30名学生在跑步，其中男生人数占总人数的，后来又有几名男生加入，这时男生人数占总人数的一半，后来又加入了6名男生。 【变式3】．一款电视机原来每台售价3800元，第一次降价后，第二次在第一次降价的基础上又降价。现在该款电视机每台的售价是多少元？ 【答案】2432元 【思路引导】第一次降价是以原价为单位“1”，先求出第一次降价后的价格，第二次降价是以第一次降价后的价格为单位“1”，据此求出现价即可。 【详解】3800×（1－）×（1－） ＝3800×× ＝2432（元） 答：现在该款电视机每台的售价是2432元。 【点睛】本题考查分数乘法的应用，解答本题的关键是找准单位“1”。 九、易错警示：一定要在变化中找准单位“1” 【典例分析】 一块蛋糕，小明吃了全部的，小刚吃了剩下的，（    ）吃得多。 A．小明 B．同样多 C．小刚 D．无法比较 【答案】B 【思路引导】本题解题的关键是找准每一步的单位“1”。先把蛋糕总量看作单位“1”，算出小明吃完后剩余蛋糕占总量的分率；再以剩下的蛋糕为新的单位“1”求出小刚吃的蛋糕占整块蛋糕总量的分率，最后比较两人吃的分率大小即可得出结论。 【详解】把整块蛋糕的总量看作单位“1”。 小明吃了全部的。 小明吃完后剩下的蛋糕占总量的分率： 小刚吃了剩下的，这里的单位“1”是小明吃完后剩下的蛋糕，占总量的 小刚吃的蛋糕占整块蛋糕总量的分率 ，所以小明和小刚两人吃得同样多。 【变式1】李阿姨要完成一批剪纸作品，第一天剪了总数的，第二天剪了剩下的，第三天把剩下的15幅全部完成，李阿姨一共要完成_____幅剪纸作品。 【答案】21 【思路引导】将剪纸的总数看作单位“1”，第一天剪了总数的，则第一天剪完后还剩总数的（1－），第二天剪了剩下的，也就是（1－）的，根据“求一个数的几分之几是多少，用乘法”，将（1－）和相乘就可得到第二天剪了总数的几分之几，再用1减去第一天剪的总数的几分之几和第二天剪的总数的几分之几，得到第三天剪了总数的几分之几，因为第三天把剩下的15幅全部完成，再根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法”，用15除以第三天剪的总数的几分之几，即可求出李阿姨要完成的剪纸作品总数量。 【详解】第二天剪了总数的： ＝ ＝ 第三天剪了总数的： 1－－ ＝－ ＝ 一共要完成的总数：15÷＝15×＝21（幅）。 因此，李阿姨一共要完成21幅剪纸作品。 【点睛】解答本题的关键是求出第三天完成的15幅占剪纸作品总数量的几分之几。 【变式2】小陈水果超市进了105千克水果，第一天卖了全部水果的，第二天卖了剩下的。 (1)第一天卖了多少千克？ (2)第二天卖了多少千克？ 【答案】(1)42千克 (2)21千克 【思路引导】（1）把水果总质量看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算出第一天卖的水果质量。 （2）把剩下的水果质量看作单位“1”，先用水果总质量减去第一天卖的水果质量，求出还剩的水果质量，再根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算出第二天卖的水果质量。 【详解】（1）（千克） 答：第一天卖42千克。 （2）（千克） （千克） 答：第二天卖了21千克。 【变式3】“一年好景君须记，最是橙黄橘绿时”。某镇直播帮助村民销售柚子，第一天卖了全部的，第二天卖了剩下的，还剩下9吨柚子没有卖完，这批柚子共有多少吨？ 【答案】20吨 【思路引导】根据题意可知，第一天卖了全部的，第二天卖了第一天剩下的，还剩下9吨柚子没有卖完，把第一天剩下的柚子重量看作单位“1”，第二天剩下的占第一天剩下的柚子重量的（1－），根据分数除法的意义，用第二天剩下的重量除以（1－）即可求出第一天剩下的重量；再把柚子全部的重量看作单位“1”，第一天剩下的重量占全部的（1－），根据分数除法的意义，用第一天剩下的重量除以（1－）即可求出柚子全部的重量。 【详解】9÷（1－）÷（1－） ＝9÷÷ ＝9×× ＝20（吨） 答：这批柚子共有20吨。 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $