精品解析：山东省聊城市东昌府区等3地2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年第二学期期末学业水平检测 八年级数学试题 本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟． 说明： 本试题分第I卷和第II卷两部分，共23题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、解答题，共13小题，90分．所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个不得分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形是轴对称图形”及“一个图形绕某个点旋转180度后仍与原图完全重合的图形是中心对称图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意； C、不是轴对称图形，但是中心对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A：，∴A计算正确； 选项B：，∴B计算错误； 选项C：与不是同类二次根式，不能合并，，∴C计算错误； 选项D：，∴D计算错误． 3. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义逐项判断即可求解． 【详解】解：、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不符合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，不止一个值和它对应，不是的函数，该选项不合题意； 、给定一个的值，有唯一一个值和它对应，是的函数，该选项合题意． 4. 如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵可看成是由旋转得到的， ∴旋转角是和， ∵， ∴旋转角的度数是． 5. 小明抽样调查了A，B两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，并制作了如下的箱线图（图中的时间点为晚上休息的时间，例如表示晚上10点40分）．根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. A组人群休息时间的中位数约为 B. B组人群休息时间的波动范围（极差）比A组大 C. B组中约有的人休息时间早于 D. 若其中一组为“青年组”，另一组为“老年组”，则B组最有可能是“老年组” 【答案】C 【解析】 【分析】根据箱线图的定义一一判断即可． 【详解】解：．A组箱线图的中位数线在和之间，约为，说法正确，故该选项不符合题意； ．A组的最小值约，最大值约；B组的最小值约，最大值约， A组极差大约2小时，B组极差大约2小时30分，所以B组波动范围更大，说法正确，故该选项不符合题意； ．B组的中位数高于，意味着B组中不足的人休息时间早于，说法错误，故该选项符合题意； ．B组整体休息时间更早，符合“老年组”休息时间更早的特点，说法正确，故该选项不符合题意． 6. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①的平方根是2； ②对角线相等的四边形是矩形； ③顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形； ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】逐个判断每个命题的真假，统计真命题的个数即可得到答案． 【详解】解：①，的平方根是，不是，因此①是假命题； ②对角线相等的平行四边形才是矩形，等腰梯形的对角线也相等，但不是矩形，因此②是假命题； ③根据三角形中位线定理，顺次连接任意四边形各边中点所得四边形的两组对边，分别平行于原四边形的两条对角线，因此所得四边形的两组对边分别平行，是平行四边形，因此③是真命题； ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形，这是菱形的判定定理，因此④是真命题； 综上，真命题一共有个． 7. 如图，直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将纵坐标代入正比例函数求出交点的横坐标，得到交点坐标，再根据两直线图象位置关系，交点右侧一次函数图象更高，得出对应不等式解集． 【详解】解：∵点在直线上，且纵坐标为， 把代入得：， 解得， ∴交点坐标为， 直线的图象在直线上方时，对应的的取值范围， 从图中可知：在交点的右侧，即时，在上方，满足不等式， ∴不等式的解集为． 8. 假日里，小亮和爸爸骑自行车郊游．他们8时从家出发，16时返回家中，途中共休息了两次．他们离家的距离（单位：）与时间（单位：）的关系如图所示．根据图中提供的信息，下列结论正确的是（ ） A. 在去程的第一阶段（即），与的函数表达式为 B. 去程中，他们第三阶段的骑行速度比第一阶段慢，但比第二阶段快 C. 他们在全过程中骑行最快的时间段是，这段时间的平均速度为 D. 当时，他们离家 【答案】D 【解析】 【详解】解：设在去程的第一阶段（即），与的函数表达式为， 把点，代入， ， 解得：， 解析式为，故错误； 由图象可得，第三阶段的骑行速度为，第一阶段的骑行速度为，第二阶段的骑行速度为， 第三阶段的骑行速度比第一阶段慢，与第二阶段相等，故错误； 当他们返回时，骑行速度为， 他们在全过程中骑行最快的时间段是，故错误； 设时间段所在直线解析式为， 把点，代入上式， ， 解得：， ， 当时，， 当时，他们离家，故正确． 9. 如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先连接，根据中位线的性质可知，要求最小，即求最小，当时，取得最小值，再根据勾股定理求出答案． 【详解】解：连接， ∵点G，H分别为的中点， ∴是的中位线， ∴． 当时，取最小值，即最小． 在中，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 10. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在直线上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过作于，过作于，根据“”定理证得，，根据全等三角形的性质求出点的坐标为，由待定系数法求出直线的解析式为，设平移后点的坐标为，代入解析式即可求出． 【详解】解：过作于，过作于，如下图， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线：上， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设正方形沿轴向右平移个单位长度后点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得． 第II卷（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数 中， 自变量 x 的取值范围是___________________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，得出，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：且， 故答案为：且． 12. 如图，在中，，将沿方向平移到（点在线段上），若，则平移距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质可知平移距离等于对应点间的距离，即，因此，结合图形中线段的关系，求出，即可解答． 【详解】解：由平移可得， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴平移距离是． 13. 如图，在中，对角线，相交于点O，E为边上任意一点，若的面积为4，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得，进而求出的面积，再根据平行四边形对边平行可得与同底等高，从而得出的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵四边形是平行四边形，  ， ∴点到的距离等于点到的距离， 与同底等高， ． 14. 已知关于的函数是一次函数，且图象经过一、二、四象限，则的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据一次函数列出，求得，再根据经过象限列出不等式组，解得的取值范围，即可得到满足要求的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴，解得， ∵函数图象经过一、二、四象限， ∴，解得， 则． 15. 如图，的对角线，交于点O，的平分线与交于点E，与交于点F，连接，，，．则下列结论：①四边形是等腰梯形②③④，其中正确的有________（填写序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可证是等边三角形，得出，结合可得四边形是等腰梯形，即可判断①．根据三角形外角的性质可得，根据角的和差可得，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得到，再次用勾股定理求出，即可得出的长，从而判断②．根据三角形中位线定理求出，即可判断③；根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，可推导出与的关系，即可判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ． 平分， ， ， 是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴与不平行， ∵， ∴四边形是等腰梯形．故①正确． ∵，， ， ， ， ∵ ， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴在中，， ∴在中，，故②正确． ， 点是的中点， 在中，点是的中点， 是的中位线， ， ∵， ，故③正确． 四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 . 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图，四边形是平行四边形，，，连接、， （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵由（1）有， ∴， ∴， ∵由（1）有， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，即可证明，根据全等三角形的性质得出结论； （2）由平行四边形得到，，结合得出，由得到，，即可证明，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在平面直角坐标系中，直线经过，． （1）求直线的函数表达式； （2）直线沿轴向上平移4个单位长度得到直线． ①求直线与的交点的坐标； ②直线与轴的交点记为点，求的面积． 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据平移规律：左加右减，上加下减，可得将直线向上平移4个单位长度后为，由（1）知求得交点即可； ②由直线，求得点，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：设，代入点，得 解得 则直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：①∵直线沿轴向上平移4个单位长度， ∴直线， 由（1）知， 联立，得 解得 ； ②∵直线， ∴令，解得， 则点， ． 19. 某校开展了“传承非遗，手作风筝”的项目式学习活动．八年级（1）班和（2）班的学生全员参与了风筝制作和放飞测试，活动指导小组对两班学生的风筝放飞留空时间（单位：分钟）进行了测试．为了解两班学生的活动成果，现从两班中各随机抽取了名学生的测试成绩进行整理与分析； 【收集数据】 （1）班名抽测学生的留空时间（分钟）：5，8，7，8，9，，8，6，，9 （2）班名抽测学生的留空时间（分钟）如表1所示（其中放飞留空时间为8分钟的人数由于墨水污损无法看清，记为人）： 表1 留空时间（分钟） 5 6 7 8 9 人数（人） 1 1 2 2 1 【整理、描述数据】 两班抽测学生留空时间数据的平均数、中位数、众数和方差如表2所示： 表2 班级 平均数（分钟） 中位数（分钟） 众数（分钟） 方差 （1）班 （2）班 根据以上信息，解答下列问题： （1）求表1中的值，并直接写出表2中，的值； （2）计算表2中的值（即（1）班抽测学生留空时间数据的方差），并结合平均数和方差，分析哪个班级学生的风筝放飞技术更加成熟，发挥稳定？ （3）若该校八年级共有名学生参加了此次活动，规定“留空时间达到8分钟及以上”为“优秀放飞手”．请你估计该校八年级获得“优秀放飞手”称号的学生共有多少人？ 【答案】（1），， （2）；从平均水平来看，（1）班学生的平均留空时间更长，放飞技术更成熟；从波动程度来看，（2）班学生的放飞水平发挥更加稳定 （3）估计该校八年级获得“优秀放飞手”称号的学生共有人 【解析】 【分析】（1）由抽取的样本总人数即可得到，利用中位数、众数的概念可得到，的值； （2）根据方差的计算公式可得出，分别通过比较平均数、方差来分析，平均数大的平均留空时间更长，方差小的放飞水平发挥更加稳定； （3）算出样本中获得“优秀放飞手”称号的学生所占比例，用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：根据题意得（2）班共抽取了名学生， 则有：， 解得：， （1）班名抽测学生的留空时间（分钟）排序后为：5，6，7，8，8，8，9，9，，10， 所以中位数， （2）班名抽测学生的留空时间中8分钟出现了3次，出现次数最多， 所以众数； 【小问2详解】 解：由题可知，平均数， （1）班数据的方差：， 分析比较： ， 从平均水平来看，（1）班学生的平均留空时间更长，放飞技术更成熟， ， 从波动程度来看，（2）班的方差较小，说明（2）班学生的放飞水平发挥更加稳定； 【小问3详解】 解：在抽测的（1）班名学生中，留空时间达到8分钟及以上的人数为（人）； 在抽测的（2）班名学生中，留空时间达到8分钟及以上的人数为（人）； 所以两班抽取的名学生中，达到“优秀放飞手”标准的人数比例为， 用样本估计总体：（人）， 答：估计该校八年级获得“优秀放飞手”称号的学生共有人． 20. 某商店计划购进甲、乙两种商品，已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价少20元，经过测算，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．售出时，甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． （1）甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，将两种商品全部售出后获利最多是多少？ （3）在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品涨价m元（），乙商品售价不变，如果将两种商品全部售出后的利润至少是8000元，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1）甲商品的进价为60元，乙商品的进价为80元 （2）全部售出后获利最多是6500元． （3） 【解析】 【分析】（1）设甲商品的进价为x元，则乙商品的进价为元，根据“用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同”列出方程，求解并检验即可； （2）设购进甲商品n件，两种商品全部售出后获利w元，列出w关于n的函数解析式，再求出出自变量n的取值范围，根据一次函数的增减性求解即可； （3）列出调价后的利润关于n的函数解析式，结合判断函数增减性，找到最小利润，列不等式求解得到m的范围． 【小问1详解】 解：设甲商品的进价为x元，则乙商品的进价为元，根据题意，得 ， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴． 答：甲商品的进价为60元，乙商品的进价为80元． 【小问2详解】 解：设购进甲商品n件，两种商品全部售出后获利w元，则 ， ∵n应满足， 解得， ∵， ∴w随n的增大而减小， ∴当时，w有最大值，为． 答：将两种商品全部售出后获利最多是6500元． 【小问3详解】 解：根据题意，得两种商品全部售出后总利润 ， ∵， ∴， ∴w随n的增大而增大， ∵由（2）有， ∴当时，w取得最小值，为 ∵要使总利润至少为8000元，即， ∴， 解得， ∴m的取值范围为． 21. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以秒的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以秒的速度向点B运动，若其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长______； （2）当时，求运动时间t的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得：，进一步表示． （2）根据，一种情况是：四边形为平行四边形，可得方程，一种情况是：四边形为等腰梯形，过作于，过作于，进一步可得，解此方程即可求得答案． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：，分为两种情况： ①当四边形为平行四边形时，如图， 即， ∴， 解得：， ②当四边形为等腰梯形时，如图，过作于，过作于， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， 综上：当或时，． 22. 【情景引入】 劳动课上，同学们准备用一块等腰直角三角形实木垫板做手工收纳底座．垫板满足，，木工老师取斜边中点钉上铁钉，把一把直角三角尺的直角顶点套在铁钉上，逆时针转动三角尺进行切割探究． 【观察与发现】 （1）如图1，三角尺旋转后，短直角边交垫板边于，长直角边交垫板边于，求证：； 【思考与探究】 （2）在这一旋转过程中，三角尺与垫板的重叠部分为四边形，猜想四边形的面积是否随三角尺转动发生变化，若变化，请说明如何变化的？若不发生变化，求出其面积； 【拓展与延伸】 （3）将三角尺继续旋转到如图2所示的位置，延长交于，延长交于，猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：连接，如图， 在中，，， ，， ，，， ， 在和中，， ， ； （2） （3）仍然成立， 证明：连接，如图， 在中，，， ，， ， ， ，， ， 在和中，， ， ． 【解析】 【分析】（1）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解； （2）由（1）知：，则有，然后根据割补法可进行求解； （3）连接，同理（1）可得，然后问题可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形的面积不发生变化， 由（1）知：， ， ， 四边形的面积为； 【小问3详解】 略 23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，，，．将平行四边形绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形． （1）点的坐标为__________； （2）求出直线的函数关系式； （3）若点在x轴上，点P在y轴上，Q在直线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）存在点或或，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）连接，过点C作轴于E点，过点作轴于点F，证明，得到，由此得到点； （2）利用待定系数法求出解析式； （3）设，分三种情况①当为边，且点P在y轴下方时，②当为边，且点P在y轴上方时，③当为对角线时，根据平行四边形对角顶点的坐标关系列方程组解答． 【小问1详解】 解：如图，连接，过点C作轴于E点，过点作轴于点F， 由旋转得，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 设直线的函数关系式为， 则， 解得， ∴直线的函数关系式为； 【小问3详解】 设， ①当为边，且点P在y轴下方时，如图， ， 解得， ∴； ②当为边，且点P在y轴上方时，如图， 则， 解得， ∴； ③当为对角线时，如图， 得， 解得， ∴， 综上，存在点或或，使以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末学业水平检测 八年级数学试题 本试卷共8页，满分120分，考试用时120分钟． 说明： 本试题分第I卷和第II卷两部分，共23题．第I卷为选择题，共10小题，30分；第II卷为填空题、解答题，共13小题，90分．所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个不得分． 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列曲线中，能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，可看成是由旋转得到的，则旋转角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 小明抽样调查了A，B两个不同年龄段的人群晚上休息的时间，并制作了如下的箱线图（图中的时间点为晚上休息的时间，例如表示晚上10点40分）．根据图中提供的信息，下列说法错误的是（ ） A. A组人群休息时间的中位数约为 B. B组人群休息时间的波动范围（极差）比A组大 C. B组中约有的人休息时间早于 D. 若其中一组为“青年组”，另一组为“老年组”，则B组最有可能是“老年组” 6. 下列命题中，是真命题的有（ ） ①的平方根是2； ②对角线相等的四边形是矩形； ③顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形； ④对角线互相垂直的平行四边形是菱形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，直线与直线相交于点，已知点的纵坐标为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 假日里，小亮和爸爸骑自行车郊游．他们8时从家出发，16时返回家中，途中共休息了两次．他们离家的距离（单位：）与时间（单位：）的关系如图所示．根据图中提供的信息，下列结论正确的是（ ） A. 在去程的第一阶段（即），与的函数表达式为 B. 去程中，他们第三阶段的骑行速度比第一阶段慢，但比第二阶段快 C. 他们在全过程中骑行最快的时间段是，这段时间的平均速度为 D. 当时，他们离家 9. 如图，中，，．，分别是，上的动点（不含端点），分别是，的中点．则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 10. 如图，正方形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点在直线上．将正方形沿轴正方向向右平移个单位长度后，点恰好落在直线上，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2 第II卷（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数 中， 自变量 x 的取值范围是___________________． 12. 如图，在中，，将沿方向平移到（点在线段上），若，则平移距离是________． 13. 如图，在中，对角线，相交于点O，E为边上任意一点，若的面积为4，则的面积为________． 14. 已知关于的函数是一次函数，且图象经过一、二、四象限，则的值为__________． 15. 如图，的对角线，交于点O，的平分线与交于点E，与交于点F，连接，，，．则下列结论：①四边形是等腰梯形②③④，其中正确的有________（填写序号）． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算下列各题： （1）； （2）． 17. 如图，四边形是平行四边形，，，连接、， （1）求证：； （2）求证：四边形是平行四边形． 18. 在平面直角坐标系中，直线经过，． （1）求直线的函数表达式； （2）直线沿轴向上平移4个单位长度得到直线． ①求直线与的交点的坐标； ②直线与轴的交点记为点，求的面积． 19. 某校开展了“传承非遗，手作风筝”的项目式学习活动．八年级（1）班和（2）班的学生全员参与了风筝制作和放飞测试，活动指导小组对两班学生的风筝放飞留空时间（单位：分钟）进行了测试．为了解两班学生的活动成果，现从两班中各随机抽取了名学生的测试成绩进行整理与分析； 【收集数据】 （1）班名抽测学生的留空时间（分钟）：5，8，7，8，9，，8，6，，9 （2）班名抽测学生的留空时间（分钟）如表1所示（其中放飞留空时间为8分钟的人数由于墨水污损无法看清，记为人）： 表1 留空时间（分钟） 5 6 7 8 9 人数（人） 1 1 2 2 1 【整理、描述数据】 两班抽测学生留空时间数据的平均数、中位数、众数和方差如表2所示： 表2 班级 平均数（分钟） 中位数（分钟） 众数（分钟） 方差 （1）班 （2）班 根据以上信息，解答下列问题： （1）求表1中的值，并直接写出表2中，的值； （2）计算表2中的值（即（1）班抽测学生留空时间数据的方差），并结合平均数和方差，分析哪个班级学生的风筝放飞技术更加成熟，发挥稳定？ （3）若该校八年级共有名学生参加了此次活动，规定“留空时间达到8分钟及以上”为“优秀放飞手”．请你估计该校八年级获得“优秀放飞手”称号的学生共有多少人？ 20. 某商店计划购进甲、乙两种商品，已知每件甲商品的进价比每件乙商品的进价少20元，经过测算，用3000元购进甲商品的数量与用4000元购进乙商品的数量相同．售出时，甲商品售价为每件100元，乙商品售价为每件130元． （1）甲、乙两种商品的进价各是多少元？ （2）商店购进两种商品共150件，其中甲商品的数量不低于乙商品数量的2倍，将两种商品全部售出后获利最多是多少？ （3）在（2）的条件下，商店决定对甲商品售价进行调整，每件甲商品涨价m元（），乙商品售价不变，如果将两种商品全部售出后的利润至少是8000元，请直接写出m的取值范围． 21. 如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发，以秒的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以秒的速度向点B运动，若其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒． （1）用含t的代数式表示线段的长______； （2）当时，求运动时间t的值． 22. 【情景引入】 劳动课上，同学们准备用一块等腰直角三角形实木垫板做手工收纳底座．垫板满足，，木工老师取斜边中点钉上铁钉，把一把直角三角尺的直角顶点套在铁钉上，逆时针转动三角尺进行切割探究． 【观察与发现】 （1）如图1，三角尺旋转后，短直角边交垫板边于，长直角边交垫板边于，求证：； 【思考与探究】 （2）在这一旋转过程中，三角尺与垫板的重叠部分为四边形，猜想四边形的面积是否随三角尺转动发生变化，若变化，请说明如何变化的？若不发生变化，求出其面积； 【拓展与延伸】 （3）将三角尺继续旋转到如图2所示的位置，延长交于，延长交于，猜想与的数量关系，并说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点，，，．将平行四边形绕点O逆时针方向旋转得到平行四边形． （1）点的坐标为__________； （2）求出直线的函数关系式； （3）若点在x轴上，点P在y轴上，Q在直线上，是否存在以A、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $