精品解析：山东省烟台市烟台经济技术开发区2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

2025——2026学年度第二学期期末八年级数学监测题 温馨提示： 1．本试卷共4页，试题满分118，卷面2分，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．对于尺规作图题，用2B铅笔作图． 6．数学考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 7．在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件：1、被开方数不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数不含分母． 【详解】解：∵选项A中，，被开方数含能开得尽方的因数，∴不是最简二次根式； ∵选项B中，，被开方数含能开得尽方的因式，∴不是最简二次根式； ∵选项C中，的被开方数不含能开得尽方的因式，也不含分母，满足最简二次根式的定义，∴是最简二次根式； ∵选项D中，，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 2. 已知关于x的一元二次方程ax2﹣3bx﹣5＝0有一根为x＝2，则4a﹣6b的值是（　　） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】由于方程的根为2，根据方程根的定义即可知道其满足方程，代入方程即可得到4a−6b−5＝0，由此可求出4a−6b的值． 【详解】解：当x＝2时，方程变为4a−6b−5＝0， ∴4a−6b＝5． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了方程的根的定义，根据方程的根满足方程即可得到关于所求代数式相关的形式，利用它就可以解决问题． 3. 已知反比例函数的图象过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵反比例函数的图象过点， ∴将代入， 得， 解得． 4. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简得到，，，，然后根据同类二次根式分别进行判断． 【详解】解：A、，与的被开方数不同，所以A选项错误； B、，，与的被开方数不同，所以B选项错误； C、，，与的被开方数相同，所以C选项正确； D、，，与的被开方数不同，所以D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的同号实数根 D. 有两个不相等的异号实数根 【答案】D 【解析】 【分析】先计算根的判别式判断根的个数，再根据两根之积的符号判断根的符号，即可得到结论． 【详解】∵对于一元二次方程，，，， ∴根的判别式， ∵， ∴，方程有两个不相等的实数根， 设方程的两根为，，由根与系数的关系得， ∴方程的两根异号， ∴方程有两个不相等的异号实数根． 6. 关于x的一元二次方程有一个解为，则该方程的另一个解为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，则：，即：； 故选D． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握两根之积等于，是解题的关键． 7. 已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值为( ) A. -1 B. 0 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据根的判别式即可求出a的范围． 【详解】由题意可知：△＞0， ∴1﹣4（﹣a+）＞0， 解得：a＞ 故满足条件的最小整数a的值是1， 故选D． 【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式. 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱可得一株椽的价钱为文，再根据总价钱等于一株椽的价钱乘以椽的数量建立方程即可． 【详解】解：由题意得：一株椽的价钱为文， 则可列方程为， 故选：D． 【点睛】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键． 9. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由重心的性质可得，由相似三角形的性质可得面积与的面积之比． 【详解】解：点恰好是的重心， ， 将沿边上的中线平移到的位置， ，， ， ， ，， ，， ， 面积与的面积之比． 10. 如图，点为正方形对角线的中点，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，则以下五个结论中①；②；③；④，⑤．正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】①只要证明是△的中位线即可得出结论； ②根据四边形是正方形，是的平分线可求出即可求出结论； ③是的中位线等已知条件可得出，设正方形的边长为，表示出、即可得出结论； ④由相似三角形的判定定理得出，根据相似三角形的性质即可得出结论． ⑤结合④和③即可判断． 【详解】解：①在正方形中，，， ， ， ， ， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 点为正方形对角线的中点， ， 是的中位线， ，故①正确； 四边形是正方形，是的平分线， ， ， ， 是的中点， ， ， ，故②正确； ③是的中位线， ，， ， 是的平分线， ， ， ， 设正方形的边长为，则，，， ， ， ， ，故③不正确； ④由②知， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； ， ， ，即是的中点 ， ， ，， ， ， ， ，故⑤正确． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共计18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得被开方数大于0，据此列不等式求解即可. 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 移项得， 系数化为得 12. 反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质． 根据反比例函数的性质可得，当时，在每个象限内，随的增大而增大；当时，在每个象限内，随的增大而减小，据此可得，求解即可． 【详解】解：反比例函数 中， ， 由题意，当 时随的增大而增大， 所以，即，解得 ， 故答案为 ． 13. 设，是方程的两个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得到，则，再整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，， ∴， ∴ ． 14. 某公司生产的桶装水在2025年7月的销售量约为20万桶，9月的销售量增长至约万桶，若设这两个月销售量的平均增长率为x，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设这两个月销售量的平均增长率为x，则9月的销售量为万桶，再根据9月的销售量为万桶列出方程即可． 【详解】解：设这两个月销售量的平均增长率为x， 由题意得，， 故答案为：． 15. 如图，线段两个点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段缩小得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用点B和点D的坐标之间的关系得到线段AB缩小2.5倍得到线段CD，然后确定C点坐标． 【详解】解：∵将线段AB缩小得到线段CD，点B（5，0）的对应点D的坐标为（2.0）， ∴线段AB缩小2.5倍得到线段CD， ∴点C的坐标为（1，2）． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 16. 如图，在△ABC中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于2，则k的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，表示出点、点，过点作轴交于点，证明出，再结合的面积求出的值． 【详解】解：设，则， ， ，， 过点作轴于点，则， ，， ， ， ，点在反比例函数图象上， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数比例图象上点的特征、等腰三角形三线合一的性质、相似三角形的性质和三角形的面积，解题的关键是掌握设而不求的方法求解． 三、解答题（本大题共8个题，满分70分） 17. 化简下列各式： （1）． （2）已知，，为的三边长，化简代数式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，进而确定的符号，然后根据二次根式的性质和绝对值的意义化简即可； （2）首先根据构成三角形的条件判断被开方数的底数的符号，进而利用化简即可． 【小问1详解】 解：∵二次根式有意义， ， 解得． ． ； 【小问2详解】 解：，，为的三边长， ，， 即，． ． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】（1）证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； （2）的周长为或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 19. 如图在中，AD是角平分线，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】过点C作交AD延长线于E，得到△ABD∽△ECD，从而得出，再运用角平分线的性质得出AC=CE，即可得证. 【详解】证明：过点C作交AD延长线于E， ∴△ABD∽△ECD， ∴ , ∵AD是△ABC的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴AC=CE， ∴. 【点睛】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质以及相似三角形，画出辅助线，构建好图形是解题的关键. 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2） 解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【小问1详解】 解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 21. 暑假期间某文旅公司生产一种文创产品，按照控制成本降价促销的原则，使生产的文创产品能够及时售出．据市场调查：每个文创产品按元销售时，每天可销售个．若销售单价每降低元，则每天可多售出个．已知每个文创产品的成本为元，并要求销售单价不得低于元．问这种文创产品的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润元？ 【答案】这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元 【解析】 【分析】设这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元，然后根据利润公式建立一元二次方程求解． 【详解】解：设这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元，根据题意得 解得，． ∵销售单价不得低于元， ． 答：这种文创产品的销售单价为元时，厂家每天可获利润元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． （1）求的值； （2）连接，，求和的面积； 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【小问1详解】 解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． 【小问2详解】 解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． 23. 【原题呈现】 （1）如图，，．当点在内部时，直线与交于点，与交于点，此时的值是________； 【变式探究】 （2）如图，将（1）中的绕点旋转一定的角度，使点在外部，且（1）中的其它条件不变． ①求的值； ②写出和的数量关系并证明； 【应用拓广】 （3）如图，矩形中，，，点在边上且，连接．点在线段的延长线上，作，连接，．若，求的长． 【答案】（1） （2）①；②． 证明：， ． ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）由相似三角形的性质可得，从而得出，再证明，即可得出结果； （2）①由相似三角形的性质可得，从而得出，再证明，即可得出结果； ②连接，由①得，利用角度转换即可解答； （3）证明，可得，再求得，即可解答． 【小问1详解】 解：， ，， ，即， ， ． ． 【小问2详解】 解：①， ，． ，即， ， ， ； ②略 【小问3详解】 解：， ，， ， ，， ， ． ， ， ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． （1）求的值； （2）若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）通过解一元二次方程得到m，n的值，得到点的坐标，再根据矩形的性质即可得到点B的坐标，然后代入反比例函数即可解答； （2）根据中点的定义得到，利用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，，分3种情况讨论：①与互相平分；②与互相平分；③与互相平分，分别列出方程组，求出的值，即可得到Q点的坐标； （3）先利用A、D两点坐标求出直线解析式，联立直线与反比例函数，通过一元二次方程判别式算出双曲线与线段有一个交点时的临界；再求出双曲线过点B时的临界，分区间分析双曲线与四边形边的交点数量，得到恰好有两个交点时k的取值范围。 【小问1详解】 解：， ， 解得：，， 由题意得，，， ，， ，， 四边形是矩形， ， 点的坐标为； 将代入，得． 【小问2详解】 解：存在， 点是的中点，， ， ， 反比例函数的解析式为， 设，， 以P，Q，A，D为顶点的四边形是平行四边形， 下面分3种情况讨论： ①当与互相平分，则 解得， ； ②当与互相平分，则 解得， ； ③当与互相平分，则 解得， ； 综上所述，点的坐标为或或． 【小问3详解】 已知，，设直线解析式为， 将两点代入得： 把代入，得 ， 解得， 直线的解析式为． 当的图象与直线恰好有一个交点时，联立方程： 两边同乘整理得：， 只有一个交点， 一元二次方程判别式， ， 解得． 当反比例函数图象经过点时，， 此时双曲线仅与四边形交于点，只有1个交点． 当时，双曲线与线段产生2个交点，交点总数超过2个，不符合题意； 当时，双曲线仅与线段、线段各有1个交点，恰好共2个交点； 当时，双曲线与四边形无交点． 反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度第二学期期末八年级数学监测题 温馨提示： 1．本试卷共4页，试题满分118，卷面2分，共120分；考试时间120分钟．考试结束后，请将本试卷与答题卡一并交回． 2．答题前，务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号填写在答题卡规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡指定区域内相应位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 5．对于尺规作图题，用2B铅笔作图． 6．数学考试过程中允许考生进行剪、拼、折叠等实验． 7．在试卷上和答题卡指定区域外的答案无效． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列根式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程ax2﹣3bx﹣5＝0有一根为x＝2，则4a﹣6b的值是（　　） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 3. 已知反比例函数的图象过点，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 下列二次根式中与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的同号实数根 D. 有两个不相等的异号实数根 6. 关于x的一元二次方程有一个解为，则该方程的另一个解为（ ） A. 0 B. C. 2 D. 7. 已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则满足条件的最小整数的值为( ) A. -1 B. 0 C. 2 D. 1 8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将沿边上的中线平移到的位置，如果点恰好是的重心，，分别与交于点，，那么的面积与的面积之比是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点为正方形对角线的中点，平分交于点，延长到点，使，连接交的延长线于点，连接交于点，连接，则以下五个结论中①；②；③；④，⑤．正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共计18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 反比例函数，当时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是______． 13. 设，是方程的两个根，则________． 14. 某公司生产的桶装水在2025年7月的销售量约为20万桶，9月的销售量增长至约万桶，若设这两个月销售量的平均增长率为x，则可列方程______． 15. 如图，线段两个点的坐标分别为，，以原点为位似中心，将线段缩小得到线段，若点的坐标为，则点的坐标为______． 16. 如图，在△ABC中，，点A在反比例函数的图象上，点B，C在x轴上，延长AC交y轴于点D，连接BD，若△BCD的面积等于2，则k的值为______． 三、解答题（本大题共8个题，满分70分） 17. 化简下列各式： （1）． （2）已知，，为的三边长，化简代数式． 18. 已知关于的方程． （1）求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； （2）若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 19. 如图在中，AD是角平分线，求证：． 20. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）． （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 21. 暑假期间某文旅公司生产一种文创产品，按照控制成本降价促销的原则，使生产的文创产品能够及时售出．据市场调查：每个文创产品按元销售时，每天可销售个．若销售单价每降低元，则每天可多售出个．已知每个文创产品的成本为元，并要求销售单价不得低于元．问这种文创产品的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润元？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． （1）求的值； （2）连接，，求和的面积； 23. 【原题呈现】 （1）如图，，．当点在内部时，直线与交于点，与交于点，此时的值是________； 【变式探究】 （2）如图，将（1）中的绕点旋转一定的角度，使点在外部，且（1）中的其它条件不变． ①求的值； ②写出和的数量关系并证明； 【应用拓广】 （3）如图，矩形中，，，点在边上且，连接．点在线段的延长线上，作，连接，．若，求的长． 24. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在轴上，顶点在轴上．已知反比例函数的图象经过点，且，是关于的方程的两个根（），点的坐标为，点的坐标为，是的中点，连接． （1）求的值； （2）若为轴上一点，为反比例函数图象上一点，是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若反比例函数的图象恰好与四边形的边有两个交点，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $