第01讲1.2菱形的性质与判定暑假预习讲义同步训练2026-2027学年九年级数学上册北师大版

第01讲1.2菱形的性质与判定暑假预习讲义同步训练 新北师大版2026一2027学年九年级数学上册 一、选择题 1.下列平行四边形中，根据图中所标出的数据，不一定是菱形的是() 30°☑ 609 A 30° B 30 120° 60° 60° 60 2.如图，菱形ABCD中，若∠C=110°，则∠ABD的度数是() A B A.20° B.30 C.35° D.45° 3.如图，己知菱形ABCD的边长是8，∠BAD=120°， 则菱形的面积是() A D A.165 B.32V5 C.32 D.16 4.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别是6,8，AE⊥BC于点E,则AE= () 48 A.55 c. D.25 5.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,若OA=5,菱形ABCD的面积为 30,则OB的长为() A A.3 B.5 c.25 D.6 6.如图，在ABCD中，对角线ACBD相交于点O,AB=5,添加下列条件，能判定 口ABCD为菱形的是() A D B A.BD=5 B.AC=5 C.AD=5 D.BO=5 7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，点E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，点A 落在BD上的点F处，连接CF,则∠BFC的度数是() A..E D C A.30° B.45° C.60 D.75° 8.如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC=24,BD=10,点P为线段AC上 的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M,作PN⊥DC于点N,则PM+PN的值为 () DN M A B 120 240 A. 13 B.13 c. D.13 二、填空题 9.如图，菱形ABCD中，∠ACD=30°，BD=6cm,则菱形ABCD的周长为 cm. D B 10.如图，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC⊥BD,若 ∠ABC=60°，BC=4,则BD的长为 B 11.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是菱形，点A在x轴上，若点C的坐标为 (3,4) ,则点B的坐标为 12.已知四边形ABCD为菱形，AC=8,CD=5,P为AC上任意一点，点E为AD上任意 一点 (1)菱形ABCD的面积为 (2)PD+PE的最小值是 D E B 三、解答题 13.如图，在口ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，∠ADE=∠CBF,EF与BD相交 于点O. D E B (1)求证：OE=OF, (2)如果∠ADB=90°，∠ADE=∠A.求证：四边形EBFD是一个菱形. 14.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,过点D作对角线BD的垂线交 BA的延长线于点E. D E (I)证明：四边形ACDE是平行四边形； (2)若AC=8,BD=6,求△ADE的周长. 15.如图，在平行四边形ABCD中，P是边BC上的一点（点P不与B、C重合），连接 AP,交对角线BD于点E,连接CE,且AE=CE. A D E D (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)连接AC,若AB=5,AC=6,设BP长度为x,△ABP的面积为y,求y关于x的函数 表达式，并写出函数的定义域. l6.如图1，P为ABCD的AB边上一点，连接DP,CP,使DP=DC,过点A作AE ∥DP,交CP延长线于点E,连接BE. 图1 图2 (I)求证：△ABE≌△PDA: (2)如图2，连接AC,交DP于点F,再连接EF.若DF=AE,求证：四边形BCFE是菱 形. 17.如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点F,点E是BC边上一点，且 BE=AF,连接EF A D H B E (I)求证：四边形ABEF是菱形： (2)连接AC交EF于点H,若∠CHE=90°，EF=5,CE=8,求AC的长. 18.在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P是对角线BD上一个动点，连接AP,以AP为边向 右侧作等边△APE. B B 图1 图2 (I)如图1，当点E在菱形ABCD内部时，连接CE交BD于点F. ①判断BP与CE的数量关系，并求∠BFC的度数；（温馨提示：若思考有困难，可尝试连 接AC) ②若PF=4,EF=2,求FD的长； (2)如图2，当点E在菱形ABCD外部时，连接CE交BD于点F.若PF=1,EF=7,直接 写出BD= 参考答案 1.C 4.B 5.A 6.C 7.D 8.A 9.24 1045 11,(84) 12. 24 13.(I)证明：：平行四边形ABCD .AB=CD,AD=BC,∠A=∠C, 且∠ADE=∠CBF, .△ADE≌△CBF(ASA) .AE=CF, AB=CD. .BE=DF, ·ABIICD .BE∥DF, ∴.四边形EBFD是平行四边形， ∴.OE=OF (2)证明：.∠ADB=90°」 ∴.∠A+∠ABD=90°，∠ADE+∠EDB=90°， ∠ADE=∠A, ∴.∠ABD=∠EDB .BE=DE, 由(1)知，四边形EBFD是平行四边形， ∴.平行四边形EBFD是菱形 14.(1)证明：四边形ABCD是菱形， .AB∥CD,AC⊥BD ∴.AE∥CD,∠AOB=90° :DE⊥BD,即∠EDB=90°」 .∠AOB=∠EDB. DE∥AC. ∴四边形ACDE是平行四边形 (2)解：四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6, .A0=4,D0=3 AD=VA02+D02=V32+42=5 AD=CD=5. :四边形ACDE是平行四边形， .AE=CD=5 DE=AC=8 ∴△ADE的周长为AD+AE+DE=5+5+8=18 15.(1)证明：如图所示，连接AC交BD于点O, 0 B :四边形ABCD是平行四边形， ..OA=OC 又.AE=CE,OE=OE」 ÷410E≌aC0E(SS) .LACE=∠CCE」 :∠AOE+∠COE=180° .∠AOE=∠COE=90°. .AC⊥BD, :,平行四边形ABCD是菱形： (2)解：如图所示，连接AC交BD于点O, P 由(I)得四边形ABCD是菱形， OC-AC=3.BC=AB=5.BD=20B.ACLRI .OB=BC2-0C2=4 BD=8: 设点A到BC的距离为h, 1 :S菱形HBCD=BCh=号AC.BD】 2 :5h=x6x8 2 24 .hss 5’ 1 28Ph= 12412 55 x(0<x<5) 16.(1)证明：ABCD, .AB CD AB=CD .∠APE=∠DCP」 .AEII DP ∴.∠EAB=∠APD,∠AEP=∠DPC, DP=DC, AB=DP,∠DPC=∠DCP. .∠AEP=∠APE, .AE AP, 在△ABE和△PDA中， 「AE=AP ∠EAB=∠APD AB=DP '.△ABE≌△PDA(SAS) (2)证明：DF=AE,AE‖DP即AE∥DF, ∴四边形ADFE是平行四边形， ∴AD‖EF,AD=EF, 口ABCD, .ADI BC,AD=BC, ∴.EFBC EF=BC ∴四边形BCFE是平行四边形， △ABE≌△PDA, ∴.∠AEB=∠PAD :口ABCD ∠BAD=∠DCB. .∠AEB=∠DCB 由(I)知∠AEP=∠DPC=∠DCP ·∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠DCB=∠DCP+∠BCP .∠BEP=∠BCP ∴BC=BE ∴.四边形BCFE是菱形. 17.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， :ADI∥BC .BE=AF, ∴.四边形ABEF是平行四边形， 又AD∥BC .∠AFB=∠CBF :BF是∠ABC的平分线， ∴.∠ABF=∠CBF, .∠ABF=∠AFB, .AB=AF, .四边形ABEF是菱形 (2)解：由(1)已证：四边形ABEF是菱形， .AB∥EF,AB=BE=EF, EF=5,CE=8, .AB=5,BC=BE+CE=EF+CE=13 又.AB∥EF,∠CHE=90°. ∴.∠BAC=∠CHE=90° :在Rt△ABC中，4C=VBC2-AB=V32-=12 18.【详解】(1)解：①如图，连接AC, B :四边形ABCD是菱形， .AB=BC 又：∠ABC=60° ∴.△ABC是等边三角形， .AB=AC,∠BAC=60° ,△APE是等边三角形， .AP=AE,∠PAE=60° .∠BAC-∠PAC=∠PAE-∠PAC, 即∠BAP=∠CAE :△BAPOCAE(SMS) .BP=CE,∠ABP=∠ACE, ,菱形ABCD中，AB‖CD」 .∠BCD=180°-∠ABC=120°， 又：BD平分∠ABC,AC平分∠BCD .∠ABF=∠CBF=30°，∠BCA=60°， .∠ACE=30°」 :.∠BCE=∠BCA+∠ACE=90° .∠BFC=180°-∠CBF-∠BCE=180°-30°-90°=60°， .BP=CE,∠BFC=60° 如图，连接D,过点E作EM1BD于点M ② 则∠EMF=90° ,∠EFM=∠BFC=60°. .∠FEM=30°， FM=号EF=x2= 1 2 2 .PM-=PF+FM=4+1=5, 同①得△ACD是等边三角形， .CA=CD,∠ACD=60°， .∠ACE=30°， .∠DCE=30°. .∠ACE=∠DCE 又，CE=CE, ,△ACE≌aDCE(SAS) .AE DE, ,△APE是等边三角形， .AE=PE, ∴.PE=DE .PM=MD=5(等腰三角形三线合一)， .PD=10. .FD=PD-PF=10-4=6 (2)解：如图，连接AC交BD于点H, E B ,四边形ABCD是菱形， .AB=BC,AC⊥BD 又：∠ABC=60° ∴.△ABC是等边三角形， AB=AC,∠BAC=60°， ,'△APE是等边三角形， ,AP=AE,∠PAE=60°， .∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC. 即∠BAP=∠CAE, △BAP≌ACAE(SAS) .BP=CE,∠ABP=∠ACE, ,菱形ABCD中，AB‖CD .∠BCD=180°-∠ABC=120°. 又：BD平分∠ABC,AC平分∠BCD, .∠ABF=∠CBF=30°，∠BCA=60°， .∠ACE=30°， ∴.∠BCE=∠BCA+∠ACE=90° .∠BFC=180°-∠CBF-∠BCE=180°-30°-90°=60° ∴.△BCF是含30°的直角三角形， ∴.BF=2CF, 设BP=CE=x,则CF=CE-EF=x-7,BF=BP-PF=x-L, ∴.x-1=2(x-7) x=13 ∴.CF=6,BF=12 BC=VBF2-CF2=122-6=6N3 .-8CCF-F-CH 2 .CH=BC-CF-3 BF BH=BC-CF-V65-(3=9, :BD=2BH=18