第八周 第 5天 用二分法求方程的近似解 暑假自学配套同步分层练习 - 2026年新高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层设计清晰，从基础概念到综合应用层层递进，适配暑假自学知识巩固需求，培养数学抽象、推理与应用能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|二分法基本概念与操作步骤|基础选择与填空题，如零点判断、初始区间选择，巩固核心概念| |黄金局|二分法实际应用与误差分析|情境应用题（电路板检测）、计算器辅助计算，提升问题解决能力| |王者局|函数性质与二分法综合应用|证明题与多次二分区间确定，培养逻辑推理与创新意识|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第八周 第 5天 用二分法求方程的近似解 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 答案　C 解析　能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3左右两侧的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件. 2.用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时，初始区间可选为(　　) A.[-1，0] B.[0，1] C.[1，2] D.[2，3] 答案　C 解析　f(-1)=-<0，f(0)=-2<0， f(1)=-1<0，f(2)=1>0，f(3)=5>0， 则f(1)f(2)<0，即初始区间可选[1，2]. 3.(多选)在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时，若第一次所取区间为(-2，4)，则第二次所取区间可能是(　　) A.(-2，-1) B.(-2，1) C.(2，4) D.(1，4) 答案　BD 解析　由题知第一次所取区间为(-2，4)，取中间值=1， 则第二次所取区间可能是(-2，1)或(1，4). 4.用二分法求函数f(x)在(a，b)内唯一零点的近似值时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　) A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001 C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001 答案　B 解析　根据二分法的步骤知当|a-b|小于精确度ε时，便可结束计算. 5.下列函数中，不能用二分法求函数零点的有(　　) A.f(x)=5x+2 B.f(x)=log5x C.f(x)=x2+2x+1 D.f(x)=3x-2 答案　C 解析　选项A，由f(-1)f(1)=-3×7<0， 可得f(x)=5x+2在(-1，1)上存在零点，且可用二分法求此函数零点； 选项B，由f f(5)=-1×1<0，可得f(x)=log5x在上存在零点，且可用二分法求此函数零点； 选项C，f(x)=x2+2x+1=(x+1)2≥0，则其零点为-1，但不存在实数a，b满足f(a)f(b)<0，因而不能用二分法求此函数零点； 选项D，由f(0)f(1)=-1×1<0，可得f(x)=3x-2在(0，1)上存在零点，且可用二分法求此函数零点. 6.(多选)利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表. x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 y=2x 0.3299 0.3789 0.4353 0.5 0.5743 0.6598 0.7579 0.8706 1 y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x=x2有一个根位于区间(a，a+0.4)内，则a可以取(　　) A.-1.4 B.-1 C.-0.8 D.-0.6 答案　BC 解析　令f(x)=2x-x2，则f(-1.6)<0， f(-1.4)<0，f(-1.2)<0， f(-1)<0，f(-0.8)<0，f(-0.6)>0， f(-0.4)>0，f(-0.2)>0，f(0)>0， f(-1.4)f(-1)>0，f(-1)f(-0.6)<0， f(-0.8)f(-0.4)<0，f(-0.6)f(-0.2)>0， 故a可能取-1或-0.8. 7.用二分法求方程ln x-=0在[1，2]上的解时，取中点c=1.5，则下一个有根区间为(　　) A.[1，1.25] B.[1，1.5] C.[1.25，1.5] D.[1.5，2] 答案　D 解析　令f(x)=ln x-易得f(x)为增函数， 又因为f(1)=-1<0， f(2)=ln 2-=ln 2-ln >ln 2-ln =ln 2-ln 2=0， f(1.5)=ln=lnln e=lnln e2=ln 4-2)<0， 所以下一个有根区间为[1.5，2]. 8.(5分)若函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是　　　　　　.  答案　a2=4b 解析　∵函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出， ∴函数f(x)=x2+ax+b的图象与x轴相切， ∴对于x2+ax+b=0，有Δ=a2-4b=0， ∴a2=4b. 9.(5分)“二分法”是求无理数的近似值的一个有效方法，用这个方法求的近似值时，构造的函数是　　　　　，选定的初始区间是　　　　　(答案不唯一，写出一个即可).  答案　f(x)=x2-17　[4，5](答案不唯一) 解析　由于是方程x2-17=0的一个根， 故构造函数f(x)=x2-17， 根据函数零点存在定理，可以选区间[4，5]. 10.(10分)以下是用二分法求方程x3+3x-5=0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论. 设函数f(x)=x3+3x-5，其图象在(-∞，+∞)上是连续不断的一条曲线. 先求值，f(0)=　　　　，f(1)=　　　　，f(2)=　　　　，f(3)=　　　　.  所以f(x)在区间　　　　内存在零点x0.填表：  区间 中点m f(m)的符号 解　因为方程为x3+3x-5=0， 令f(x)=x3+3x-5， 所以f(0)=-5，f(1)=-1，f(2)=9，f(3)=31， f(x)在区间(1，2)内存在零点x0，填表为 区间 中点m f(m)的符号 (1，2) 1.5 + (1，1.5) 1.25 + (1，1.25) 1.125 - (1.125，1.25) 1.187 5 + (1.125，1.187 5) 1.156 25 + 因为|1.187 5-1.125|=0.062 5<0.1， 所以原方程的近似解可取1.187 5. 黄金局 提能力·融会贯通 11.一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出是哪处焊口脱落，至少需要检测(　　) A.4次 B.6次 C.8次 D.30次 答案　B 解析　利用二分法检测，每次取中点，焊接点数减少一半，不妨设需要n次检测，则≤1， 即2n≥60，因为25<60<26，故n的最小值为6，即至少需要检测6次. 12.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a-b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为(　　) A. B. C.[0，ε) D.[0，2ε) 答案　B 解析　真实零点离近似值x0最远即靠近a或b， 而b--a= 所以误差的取值范围为. 13.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)=lg x+x-2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是　　　　.  答案　1.5，1.75，1.875，1.812 5 解析　第一次用二分法计算得区间(1.5，2)，第二次得区间(1.75，2)，第三次得区间(1.75，1.875)，第四次得区间(1.75，1.812 5). 14.(13分)用二分法求方程2x+x=4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2). 参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 解　令f(x)=2x+x-4， 则f(1)=2+1-4<0，f(2)=22+2-4>0. 用二分法的思想，列表如下： 区间 区间中点值xn f(xn)的符号 (1，2) x1=1.5 f(x1)>0 (1，1.5) x2=1.25 f(x2)<0 (1.25，1.5) x3=1.375 f(x3)<0 ∵|1.375-1.5|=0.125<0.2， ∴2x+x=4在[1，2]内的近似解可取为1.375. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)已知函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，都有>0，且f(a)f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]又f=0，则函数f(x)的零点为　　　　.  答案　 解析　因为对任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，都有>0，且f(a)f(b)<0， 所以f(x)在[a，b]上单调递增，且f(a)<0，f(b)>0， 因为a+1>a恒成立， 所以解得 所以f(x)的零点为. 16．已知函数f(x)＝x3－x2＋1. (1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解； (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内． 解析 (1)证明：因为f(0)＝1>0，f(2)＝－<0，所以f(0)·f(2)<0，由函数零点存在定理可得方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解． (2)取x1＝×(0＋2)＝1，得f(1)＝>0， 由此可得f(1)·f(2)<0，下一个有解区间为(1，2). 再取x2＝×(1＋2)＝，得f＝－<0， 所以f(1)·f<0，下一个有解区间为. 再取x3＝×＝，得f＝>0， 所以f·f<0，下一个有解区间为. 综上所述，所求的实数解x0在区间内． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第八周 第 5天 用二分法求方程的近似解 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是(　　) A.x1 B.x2 C.x3 D.x4 2.用二分法求函数f(x)=2x-3的零点时，初始区间可选为(　　) A.[-1，0] B.[0，1] C.[1，2] D.[2，3] 3.(多选)在用“二分法”求函数f(x)零点的近似值时，若第一次所取区间为(-2，4)，则第二次所取区间可能是(　　) A.(-2，-1) B.(-2，1) C.(2，4) D.(1，4) 4.用二分法求函数f(x)在(a，b)内唯一零点的近似值时，精确度为0.001，则结束计算的条件是(　　) A.|a-b|<0.1 B.|a-b|<0.001 C.|a-b|>0.001 D.|a-b|=0.001 5.下列函数中，不能用二分法求函数零点的有(　　) A.f(x)=5x+2 B.f(x)=log5x C.f(x)=x2+2x+1 D.f(x)=3x-2 6.(多选)利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表. x -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 y=2x 0.3299 0.3789 0.4353 0.5 0.5743 0.6598 0.7579 0.8706 1 y=x2 2.56 1.96 1.44 1 0.64 0.36 0.16 0.04 0 若方程2x=x2有一个根位于区间(a，a+0.4)内，则a可以取(　　) A.-1.4 B.-1 C.-0.8 D.-0.6 7.用二分法求方程ln x-=0在[1，2]上的解时，取中点c=1.5，则下一个有根区间为(　　) A.[1，1.25] B.[1，1.5] C.[1.25，1.5] D.[1.5，2] 8.(5分)若函数f(x)=x2+ax+b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是　　　　　　.  9.(5分)“二分法”是求无理数的近似值的一个有效方法，用这个方法求的近似值时，构造的函数是　　　　　，选定的初始区间是　　　　　(答案不唯一，写出一个即可).  10.(10分)以下是用二分法求方程x3+3x-5=0的一个近似解(精确度为0.1)的不完整的过程，请补充完整，并写出结论. 设函数f(x)=x3+3x-5，其图象在(-∞，+∞)上是连续不断的一条曲线. 先求值，f(0)=　　　　，f(1)=　　　　，f(2)=　　　　，f(3)=　　　　.  所以f(x)在区间　　　　内存在零点x0.填表：  区间 中点m f(m)的符号 黄金局 提能力·融会贯通 11.一块电路板的AB线段之间有60个串联的焊接点，知道电路不通的原因是焊口脱落，要想用二分法的思想检测出是哪处焊口脱落，至少需要检测(　　) A.4次 B.6次 C.8次 D.30次 12.用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a-b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0=与真实零点的误差的取值范围为(　　) A. B. C.[0，ε) D.[0，2ε) 13.(5分)某同学在借助计算器求“方程lg x=2-x的近似解(精确度为0.1)”时，设f(x)=lg x+x-2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是　　　　.  14.(13分)用二分法求方程2x+x=4在[1，2]内的近似解(精确度为0.2). 参考数据： x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875 2x 2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67 王者局 迎挑战·勇攀高峰 15.(5分)已知函数f(x)满足：对任意x1，x2∈[a，b]，x1≠x2，都有>0，且f(a)f(b)<0.在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为[a，b]又f=0，则函数f(x)的零点为　　　　.  16．已知函数f(x)＝x3－x2＋1. (1)证明方程f(x)＝0在区间(0，2)内有实数解； (2)使用二分法，取区间的中点三次，指出方程f(x)＝0(x∈[0，2])的实数解x0在哪个较小的区间内． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $