第六周 第1天 函数应用（一） 暑假自学配套同步分层练习 - 2026年新高一数学上学期人教A版必修第一册

**基本信息** 2026年新高一暑假自学同步分层练习（第六周第1天函数的应用），以“青铜局-黄金局-王者局”三级分层设计，通过基础巩固、能力提升到综合挑战的进阶路径，培养数学建模与应用能力，适配暑假自主学习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |青铜局|函数关系式建立、简单实际问题的函数应用|以选择、填空为主，如匀速行驶路程问题，夯实函数应用基础概念| |黄金局|分段函数、利润问题的综合应用|含多选题型，如艾宾浩斯遗忘曲线分析，提升知识迁移能力| |王者局|几何与经济情境下的复杂函数建模|解答题为主，如五边形钢板截取矩形最值问题，培养逻辑推理与创新意识|

2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第六周 第 1天 函数的应用（一） 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　) A.y=2t B.y=120t C.y=2t(t≥0) D.y=120t(t≥0) 2.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q=100-5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(　　) A.15元 B.13元 C.11元 D.10元 3.某品种面包进价5元/个，据市场调查，当销售价格x(元/个)在x∈[5，15]时，每天售出该面包个数p(x)=若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为(　　) A.9元 B.11元 C.13元 D.15元 4.某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y=f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　) A.上午10：00 B.中午12：00 C.下午4：00 D.下午6：00 5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为(　　) A.x=15，y=12 B.x=12，y=15 C.x=14，y=10 D.x=10，y=14 7.(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(单位：千元)、乙厂的总费用y2(单位：千元)与印制证书数量x(单位：千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则(　　) A.甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 B.甲厂的总费用y1与印制证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1 C.当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为2元 D.当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与印制证书数量x之间的函数关系式为y2=x+ 8.(5分)在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为　　　　　　安. 9.(5分)已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，则汽车与A地的距离y与时间t之间的函数关系式是　　　　　　　　. 10.(12分)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示. 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 黄金局 提能力·融会贯通 11.(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)=则下列说法正确的是(　　) A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40% D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20% 12.(多选)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系：y=-x+40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25元时，直播在线购买人数为2 015人.假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，则(　　) A.实数m的值为10 000 B.销售单价越低，直播在线购买人数越多 C.当x的值为30时利润最大 D.利润最大值为10 000元 13.(5分)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价收费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需收取燃油附加费1元.若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费　　　　元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了　　　　千米. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 14. 如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米，为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上． (1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求出x的取值范围； (2)求矩形BNPM面积的最大值． 15．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1：y1＝axn，P2：y2＝bx＋c如图所示． (1)求函数y1，y2的解析式； (2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额，才能获得最大利润． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $2026年暑假新高一自学讲义 56个知识点 · 75道经典例题 · 312个巩固演练 2026年新高一暑假自学 配套同步分层练习 第六周 第 1天 函数的应用（一） 青铜局 夯基础·稳扎稳打 1.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　) A.y=2t B.y=120t C.y=2t(t≥0) D.y=120t(t≥0) 答案　D 解析　因为90 min=1.5 h，所以汽车的速度为180÷1.5=120(km/h)，则路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是y=120t(t≥0). 2.小婷经营一花店，每天的房租、水电等固定成本为100元，每束花的进价为6元，若日均销售量Q(束)与销售单价x(元)的关系为Q=100-5x，则当该店每天获利最大时，每束花应定价为(　　) A.15元 B.13元 C.11元 D.10元 答案　B 解析　设每天获利y元，则y=(100-5x)(x-6)-100=-5(x-13)2+145， 由x>0，Q=100-5x≥0，得0<x≤20， 故当x=13时，每天获利最大. 3.某品种面包进价5元/个，据市场调查，当销售价格x(元/个)在x∈[5，15]时，每天售出该面包个数p(x)=若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为(　　) A.9元 B.11元 C.13元 D.15元 答案　D 解析　设每天的利润为y元，则y=(x-5)×=500×5≤x≤15，显然此函数在[5，15]上单调递增，故当x=15时，y取得最大值. 4.某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用x小时后血液中的残留量为y毫克，如图所示为函数y=f(x)的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效.设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为(　　) A.上午10：00 B.中午12：00 C.下午4：00 D.下午6：00 答案　C 解析　由图象知， 当0≤x≤4时，设直线y=k1x，把点(4，320)代入得k1=80，所以y=80x； 当4<x≤20时，设y=f(x)=k2x+b， 将点(4，320)和(20，0)代入得 解得此时y=f(x)=-20x+400， 所以f(x)= 当0≤x≤4时，令80x≥240，得3≤x≤4， 当4<x≤20时，令y=-20x+400≥240， 解得4<x≤8，所以3≤x≤8， 故第二次服药最迟的时间应为8小时后， 即下午4：00. 5.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 答案　B 解析　根据图象，把(t，p)的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式， 得解得 ∴p=-0.2t2+1.5t-2.0=-. 当t==3.75时，p取得最大值， 即最佳加工时间为3.75分钟. 6.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图所示).当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为(　　) A.x=15，y=12 B.x=12，y=15 C.x=14，y=10 D.x=10，y=14 答案　A 解析　结合图形，可得得y=24-则矩形面积S=xy=x=-+24x，所以当x=-=15时，S最大，此时y=24-×15=12. 7.(多选)某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，先收取固定的制版费，再按印刷数量收取印刷费，乙厂直接按印刷数量收取印刷费，甲厂的总费用y1(单位：千元)、乙厂的总费用y2(单位：千元)与印制证书数量x(单位：千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示，则(　　) A.甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元 B.甲厂的总费用y1与印制证书数量x之间的函数关系式为y1=0.5x+1 C.当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为2元 D.当印制证书数量超过2千个时，乙厂的总费用y2与印制证书数量x之间的函数关系式为y2=x+ 答案　ABD 解析　由题图知甲厂的制版费为1千元，印刷费平均每个为0.5元，故A正确；甲厂的总费用y1与印制证书数量x满足的函数关系式为y1=0.5x+1，故B正确；当印制证书数量不超过2千个时，乙厂的印刷费平均每个为3÷2=1.5(元)，故C错误；易知当印制证书数量超过2千个时，y2与x之间的函数关系式为y2=x+故D正确. 8.(5分)在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I(单位：安)与电线半径r(单位：毫米)的三次方成正比.若已知电流通过半径为4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为　　　　　　安. 答案　135 解析　设比例系数为k，则电流强度I=kr3， 由已知可得当r=4时，I=320， 故有320=43k，解得k=5， 所以I=5r3， 则当r=3时，I=5×33=135(安). 9.(5分)已知A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地，在B地停留1 h后再以50 km/h的速度返回A地，则汽车与A地的距离y与时间t之间的函数关系式是　　　　　　　　. 答案　 y= 解析　由题意，得A，B两地相距150 km，某人开汽车以60 km/h的速度从A地到达B地需2.5 h，以50 km/h的速度由B地返回A地需3 h.所以当0≤t≤2.5时，y=60t；当2.5<t≤3.5时，y=150；当3.5<t≤6.5时，y=150-50(t-3.5)=-50t+325.故 y= 10.(12分)某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如表所示. 销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12 日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润？ 解　由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶， 设在进价的基础上增加x元后，日均销售利润为y元， 在此情况下的日均销售量为480-40(x-1)=520-40x(桶). 令520-40x>0，则0<x<13. y=(520-40x)x-200=-40x2+520x-200 =-40(x-6.5)2+1 490，0<x<13. 易知，当x=6.5时，y有最大值. 所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润. 黄金局 提能力·融会贯通 11.(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)=则下列说法正确的是(　　) A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低 B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多 C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40% D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20% 答案　ABC 解析　由函数解析式可知f(x)随着x的增大而减小，故A正确；由图象可得B正确；当1<x≤30时，f(x)=则f(9)==0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C正确；f(26)=×2故D错误. 12.(多选)在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y(单位：人)与某产品销售单价x(单位：元)满足关系：y=-x+40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25元时，直播在线购买人数为2 015人.假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，则(　　) A.实数m的值为10 000 B.销售单价越低，直播在线购买人数越多 C.当x的值为30时利润最大 D.利润最大值为10 000元 答案　ABC 解析　将x=25，y=2 015代入y=-x+40， 得2 015=-25+40， 解得m=10 000，故A正确； 因为y=-x+40是减函数，故B正确； 由题意，得利润为f(x)=(x-20)=-x2+60x+9 200=-(x-30)2+10 100， 所以当x=30时，利润最大，最大利润为10 100元，故C正确，D错误. 13.(5分)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3千米(不超过3千米按起步价收费)；超过3千米但不超过8千米时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8千米时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需收取燃油附加费1元.若某人乘坐出租车行驶了5.6千米，则需付车费　　　　元，若某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此出租车行驶了　　　　千米. 答案　14.59　9 解析　设出租车行驶x千米时，付费y元， 则y= 当x=5.6时，y=8+2.15×2.6+1=14.59. 由y=22.6，知x>8， 由8+2.15×5+2.85(x-8)+1=22.6， 解得x=9. 王者局 迎挑战·勇攀高峰 14. 如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角(阴影三角形)被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米，为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上． (1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求出x的取值范围； (2)求矩形BNPM面积的最大值． 解： (1)如图所示，作PQ⊥AF于点Q， 则PQ＝(8－y)米，EQ＝4－(8－x)＝x－4(米)，其中4≤x≤8. 易知△EPQ∽△EDF，所以＝，即＝， 所以y＝－x＋10，其中x∈[4，8]. (2)设矩形BNPM的面积为S平方米， 则S＝xy＝x＝－(x－10)2＋50，x∈[4，8]， 根据二次函数的性质，可得当x∈[4，8]时，S＝－(x－10)2＋50单调递增，所以当x＝8时，矩形BNPM的面积最大，最大面积为48平方米． 15．某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1：y1＝axn，P2：y2＝bx＋c如图所示． (1)求函数y1，y2的解析式； (2)为使投资获得最大利润，应怎样分配投资额，才能获得最大利润． 解：(1)P1：y1＝axn过点(1，1.25)，(4，2.5)，所以 所以 所以y1＝x，x∈[0，＋∞). P2：y2＝bx＋c过点(0，0)，(4，1)， 所以 所以y2＝x，x∈[0，＋∞). (2)设用x万元投资甲商品，则投资乙商品为(10－x)万元，总利润为y万元． 根据题意得y＝x＋(10－x)＝－()2＋＋＝－＋(0≤x≤10)， 当且仅当＝，即x＝＝6.25时，ymax＝，投资乙商品为10－6.25＝3.75(万元). 所以用6.25万元投资甲商品，3.75万元投资乙商品，才能获得最大利润． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $