精品解析：山东省德州市禹城市2025-2026学年下学期八年级数学期末试卷

2025~2026学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数不含能开得尽方的因数或因式，依次验证各选项即可． 【详解】解：选项A：，被开方数含能开得尽方的因式，不是最简二次根式； 选项B：的被开方数是质数，不含分母，也不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式定义； 选项C：分母含二次根式，即被开方数含分母，化简后为，不是最简二次根式； 选项D：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式． 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 9，40，41 【答案】D 【解析】 【分析】满足的三个正整数称为勾股数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：，不是“勾股数”，不符合题意； 不是“勾股数”，不符合题意； 不是正整数，故不是“勾股数”，不符合题意； 是“勾股数”，符合题意； 3. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、平行线的判定等知识．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、根据对角线互相平分能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； B、根据两组对边分别相等能判断该四边形是平行四边形，故本选项不符合题意； C、根据图可判断出，一组对边相等，另一组对边平行，不能判断该四边形是平行四边形，本选项符合题意； D、由两组内错角相等，可得两组对边分别平行，根据两组对边分别平行能判断四边形是平行四边形，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：A、添加，根据邻边相等的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； B、添加，根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形，不能得到为矩形，本选项不符合题意； C、添加，不能得到为矩形，本选项不符合题意； D、添加，根据对角线相等的平行四边形是矩形，能得到为矩形，本选项符合题意； 故选：D． 5. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 6. 对于一次函数的图像与性质，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 当时， C. 函数图像不经过第三象限 D. 函数图像与轴交点坐标为 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性，解一元一次不等式，一次函数图象与系数的关系，函数与坐标轴交点的求法，逐一判断各选项即可． 【详解】解：一次函数中，， A选项：∵，∴随的增大而减小，A错误； B选项：当时，，解得，B错误； C选项：∵，，∴函数图像经过第一、二、四象限，不经过第三象限，C正确； D选项：令，得，∴函数图像与轴交点坐标为，D错误． 7. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用及在数轴上表示实数，关键是先利用勾股定理求出的长度，再根据圆的半径相等得到的长度，最后结合数轴上点的位置关系求出点表示的数． 【详解】解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， ∴； ∵于点，， ∴是直角三角形，， 由勾股定理得：； ∴， ∴点表示的数为， 故选：C． 8. 如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表： 时间 2.5 3 3.5 4 5 6 7 频数 1 6 8 12 9 5 1 则该班学生平均周阅读时间的众数是（ ） A. 12 B. 9 C. 7 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】解：由表格可知，平均周阅读时间对应的频数为，是所有频数中的最大值，说明出现次数最多， ∴该班学生平均周阅读时间的众数是． 9. 如图，直线（）与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出直线与轴的交点坐标，再结合图象求解即可． 【详解】解：对于直线， 令，则， ∵， ∴， ∴直线与轴的交点坐标为  由图象可知，两直线交点的横坐标为，当时，直线在直线的上方，即  当时，直线在轴上方，即  ∴关于的不等式的解集为． 10. 如图，在正方形中，，O、E、F、M分别为的中点，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，则；在中，由勾股定理求得，由直角三角形斜边上中线的性质，求得，从而求得． 【详解】解：如图，连接， ∵分别是的中点， ∴； ∵四边形为正方形，， ∴，； ∵点E为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵点F为直角三角形斜边上中点， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式与分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于0，即可求解． 【详解】解：要使有意义，需满足且 ∴且， 因此的取值范围是． 12. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 【答案】7##七 【解析】 【分析】根据题意设多边形边数为，结合多边形内角和定理与多边形外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得：， 即这个多边形的边数为7． 13. 如图，对角线的交点为坐标原点，若点坐标为，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，勾股定理，解题的关键是掌握平行四边形的性质．利用平行四边形的性质求出即可． 【详解】解：， ， 四边形是平行四边形，是对角线的交点， ， 故答案为：． 14. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用点在直线上求出的值，确定交点坐标，进而得出方程组的解． 【详解】解：直线 与直线相交于点，  点在直线 上， ，  点的坐标为 方程组可变形为， 该方程组的解即为直线与的交点坐标， 关于的方程组的解为．. 15. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，根据函数图象中的数据列式计算是解题的关键． 根据函数图象中的数据列式计算即可． 【详解】解：根据函数图象得，慧慧开始的速度为， 聪聪的速度为 ， ， 故答案为：． 16. 如图，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为____ 【答案】 【解析】 【分析】如图所示：连接，在菱形中，得，由，可得四边形是矩形，进而得出，当时，最小，即的最小值，即可得出． 【详解】解：如图所示：连接， ∵在菱形中，， ，，， ， ，， ∴四边形是矩形， ， 的最小值，即最小值， ∴当时，最小， ， ， 最小为， 即的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，三角形的面积等知识，熟练掌握菱形的性质，证明四边形是矩形是解此题的关键． 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 综合与实践： 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了记录表格，请根据表格信息，解答下列问题． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为12米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为20米． ③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内． （1）求线段的长； （2）若想要风筝沿方向再上升19米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】（1）米 （2）小明同学应该再放出17米线 【解析】 【分析】对于本题，重点掌握直角三角形的构造，进而利用勾股定理解决实际问题． （1）过点B作交于点H，对运用勾股定理求解即可； （2）设风筝沿方向再上升19米到达处，则米，再对运用勾股定理求解． 【小问1详解】 解：如图：过点B作交于点H， 由题意得，在中，，米，米， 由勾股定理得（米）， 则（米）； 【小问2详解】 解：设风筝沿方向再上升19米到达处，则（米）， 则此时风筝线的长为（米）， （米）， 答：小明同学应该再放出17米线． 19. 每年4月15日是全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 【收集数据】甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78． 【整理数据】甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 10 乙 6 3 14 2 【分析数据】甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 74.5 86 m 47.5 乙 73.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）a= ；b= ；c= ； （2）m= ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）； （3）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）； （4）甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数． 【答案】（1） （2）乙 （3）甲 （4）估计甲校能参加第二轮比赛的人有240人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布统计表，求中位数，扇形统计图，样本估计总体，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意计算即可得到答案； （2）根据中位数的定义求出的值，再根据乙校成绩在这一组所占比例求出扇形的圆心角即可； （3）根据甲、乙两校的中位数比较，即可得到答案； （4）根据题意得到甲校随机抽取40名学生的成绩不低于75分的有人，用样本估计总体的方法计算即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得甲校成绩在这一组的数据有个， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：甲组成绩排在中间的两个数是， ； 乙校成绩在这一组的扇形的圆心角是； 由于甲校的成绩的方差为、乙校的成绩的方差， 本次测试成绩更整齐的是乙校； 故答案为：；乙； 【小问3详解】 解：甲校的中位数是，乙校的中位数是 在此次测试中，某学生的成绩是分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是甲校的学生， 故答案为：甲； 【小问4详解】 解：（人）， 答：估计甲校能参加第二轮比赛的人有240人． 20. 已知，求的值．小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：_______________； （2）比较大小：_______________（填“”，“”或“”） （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）通过分母有理化直接化简； （2）先将两个二次根式的差变形为同分子的分数，通过比较分母的大小判断原式大小； （3）先对分母有理化，再直接代入计算． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， ∵ ∴  ∴ 【小问3详解】 解：  ∴  ∴ ． 21. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表所示． 机器人型号 每台机器人每小时分拣快递量/件 每台机器人价格/万元 甲 1000 5 乙 800 3 这个公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件． （1）若这10台机器人共花费38万元，则购买甲、乙种型号的机器人各多少台？ （2）在购买的10台机器人中，设甲机器人购买了m台，这10台机器人所花的总费用为y万元，则购买几台甲种型号的机器人能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】（1） 购买甲种型号机器人4台，乙种型号机器人6台 （2） 购买3台甲种型号的机器人能使总费用最少，最少费用为36万元 【解析】 【分析】（1）根据总花费列出一元一次方程，求解后验证分拣量满足条件即可得到结果; （2）先得到总费用y关于购买甲机器人数量m的函数解析式，再根据分拣量的要求得到m的取值范围，结合一次函数的增减性即可求出最小费用． 【小问1详解】 解：设购买甲种型号机器人台，则购买乙种型号机器人台 根据题意，总花费为38万元，可得：  化简得， 解得 则 验证分拣量总和：，符合题意 答：购买甲种型号机器人4台，乙种型号机器人6台； 【小问2详解】 解：由题意，甲机器人购买台，则乙机器人购买台，总费用， 化简得，其中为整数， 根据分拣量总和不少于8500件，可得：  化简得， 解得 ， 随的增大而增大， 当取最小整数值3时，取得最小值， （万元） 答：购买3台甲种型号的机器人能使总费用最少，最少费用为36万元． 22. 如图，是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证，四边形是矩形． （2）若，，求的长及菱形的面积． 【答案】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ，即， 平行四边形是矩形； （2）的长为1；菱形的面积为 【解析】 【分析】（1）由，，可得四边形是平行四边形．由菱形对角线互相垂直，得，即，进而即可证四边形是矩形； （2）由菱形四边相等得，结合，可判定是等边三角形，故，则．由菱形对角线互相垂直，在中由勾股定理得，故．代入菱形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，， 又， 是等边三角形， ． ∴， ， ∴， ， ∴． 23. 小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．如图，表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空；小华从公园返回家的速度为_______________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 【答案】（1）①，，；②；③； （2）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）①由步行速度，得时离家；在书店停留，距离为；在公园停留，距离为；②返回速度为；③按三个运动阶段，根据函数图象进行求解即可； （2）妈妈的距离函数为，分四段讨论：、、、，进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，小华处于从家到书店的步行阶段， 由题意得，步行速度为， ∴离家距离； 当时，小华在书店停留，离家距离为； 当时，小华在公园停留，离家距离为； ②由题意得，从公园回家的路程为，用时， ∴返回速度为； ③当时，小华匀速步行，且步行速度为， ∴； 当时，小华在书店停留，距离不变， ∴； 当时，小华从书店匀速步行到公园，设解析式为， 将点和代入得，， 解得， ∴； ∴小华离家的距离关于时间的函数解析式为； 【小问2详解】 解：妈妈的步行速度为， ∴妈妈离家距离的函数为， 当时，，不满足； 当时，令 解得， ∴此时x的范围为； 当时，令 解得， ∴此时x的范围为； 当时，，，不满足； 综上所述，的取值范围为． 24. 综合探究 【课本再现】如图①，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． 证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形，，． 是边的中点，是边的中点， ，，． ______°，______°． 是正方形外角的平分线，． ______°． ，． 又，． 又，， （______）（填判定方法）． ． （1）请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 【问题解决】（2）如图②，四边形是正方形，是边上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点，则与是否仍然相等？请说明理由． 【拓展探究】（3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 【答案】（1）45 ，135，135，；（2）与仍然相等，理由见解析；（3）的长为5或 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判断及性质、勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）取边的中点，连接．根据正方形的性质结合证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （2）在边上截取，连接，根据正方形的性质结合证明，再根据全等三角形的性质即可得证； （3）分当点E在边上时，当点E在的延长线上时，两种情况，利用正方形的性质及勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形， ，． 是边的中点，是边的中点， ，， ． ，． 是正方形外角的平分线， ． ． ， ． 又， ． 又，， ． ． 故答案为：45，135，135，； （2）与仍然相等，理由如下： 如图2，在边上截取，连接， 四边形是正方形， ，， ， ，，即， ， 是正方形外角的平分线， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ； （3）分两种情况讨论： ①如图3-1，当点E在边上时， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理得， 由（2）可知，， ； ②如图3-2，当点E在的延长线上时，连接，过点F作，交的延长线于点G，在上截取，连接， 同理（2）可得， ， 四边形是正方形， ，， ， 由勾股定理，得， ， 综上所述，的长为或者． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期末教学质量检测 八年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 1，，2 D. 9，40，41 3. 根据所标数据，不能判断下列四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，要使成为矩形，则可添加的一个条件是（ ） A. B. C. D. 5. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ） 水的质量 氢气的质量 A. B. C. D. 6. 对于一次函数的图像与性质，下列结论正确的是（ ） A. 随的增大而增大 B. 当时， C. 函数图像不经过第三象限 D. 函数图像与轴交点坐标为 7. 如图，数轴上的点表示的数是，点表示的数是1，于点，且，以点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点表示的数为（ ） A. B. C. D. 8. 如表是八年级某班学生平均周阅读时间（单位：h）的分布表： 时间 2.5 3 3.5 4 5 6 7 频数 1 6 8 12 9 5 1 则该班学生平均周阅读时间的众数是（ ） A. 12 B. 9 C. 7 D. 4 9. 如图，直线（）与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，，O、E、F、M分别为的中点，则的长等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 若式子有意义，则的取值范围是______． 12. 已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 13. 如图，对角线的交点为坐标原点，若点坐标为，则线段的长为______． 14. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于，的方程组的解为_______________． 15. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人聪聪和慧，他们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的3倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和䠂慧行走的路程分别为与x的函数图象如图所示，则慧慧追上聪聪时，聪聪行走的路程是_______． 16. 如图，四边形是菱形，，点E是边上的一动点，过点E作于点F，于点G，连接，则的最小值为____ 三、解答题（共86分） 17. 计算： （1） （2） 18. 综合与实践： 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了记录表格，请根据表格信息，解答下列问题． 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为12米． ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为20米． ③牵线放风筝的手到地面的距离为米． 说明 点A，B，E，D在同一平面内． （1）求线段的长； （2）若想要风筝沿方向再上升19米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 19. 每年4月15日是全民国家安全教育日．某市为调查学生对国家安全知识的了解情况，组织学生进行相关知识竞赛，从甲、乙两校各随机抽取40名学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对成绩进行了整理和分析．下面给出了部分信息： 【收集数据】甲校成绩在这一组的数据是：70，70，70，71，72，73，73，73，74，75，76，77，78． 【整理数据】甲、乙两校40名学生成绩的频数分布统计表如下： 组别 甲 4 11 10 乙 6 3 14 2 【分析数据】甲、乙两校成绩的平均分、中位数、众数、方差如下： 统计量 平均数 众数 中位数 方差 甲 74.5 86 m 47.5 乙 73.1 84 76 23.6 根据以上信息，回答下列问题： （1）a= ；b= ；c= ； （2）m= ；若将乙校成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是 度；本次测试成绩更整齐的是 校（填“甲”或“乙”）； （3）在此次测试中，某学生的成绩是74分，在他所属学校排在前20名，由表中数据可知该学生是 校的学生（填“甲”或“乙”）； （4）甲校有600名学生都参加此次测试，如果成绩不低于75分可以参加第二轮比赛，请你估计甲校能参加第二轮比赛的人数． 20. 已知，求的值．小明是这样解答的： 解：因为，所以 所以，即，所以 所以． 请根据小明的解答过程，解决下列问题： （1）化简：_______________； （2）比较大小：_______________（填“”，“”或“”） （3）若，求的值． 21. 快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如下表所示． 机器人型号 每台机器人每小时分拣快递量/件 每台机器人价格/万元 甲 1000 5 乙 800 3 这个公司计划购买这两种型号的机器人共10台，并且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8500件． （1）若这10台机器人共花费38万元，则购买甲、乙种型号的机器人各多少台？ （2）在购买的10台机器人中，设甲机器人购买了m台，这10台机器人所花的总费用为y万元，则购买几台甲种型号的机器人能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 22. 如图，是菱形对角线的交点，过点C作，过点D作，与相交于点E． （1）求证，四边形是矩形． （2）若，，求的长及菱形的面积． 23. 小华的家、书店、公园依次在同一条直线上，书店离家，公园离家．小华从家出发，先匀速步行了到书店，在书店停留了，之后匀速步行了到公园，在公园停留后，再用匀速跑步返回家．如图，表示时间，表示离家的距离．图象反映了这个过程中小华离家的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，回答下列问题： （1）①填表： 小华离开家的时间 1 6 18 50 小华离家的距离 ②填空；小华从公园返回家的速度为_______________； ③当时，请直接写出小华离家的距离关于时间的函数解析式； （2）若小华的妈妈与小华同时从家出发，小华的妈妈以的速度散步直接到公园．在从家到公园的过程中，对于同一个的值，小华离家的距离为，小华的妈妈离家的距离为，当时，求的取值范围（直接写出结果即可）． 24. 综合探究 【课本再现】如图①，四边形是正方形，是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点．求证：． 证明：取边的中点，连接． 四边形是正方形，，． 是边的中点，是边的中点， ，，． ______°，______°． 是正方形外角的平分线，． ______°． ，． 又，． 又，， （______）（填判定方法）． ． （1）请将上述证明过程中缺少的内容填在对应的横线上． 【问题解决】（2）如图②，四边形是正方形，是边上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点，则与是否仍然相等？请说明理由． 【拓展探究】（3）如图③，四边形是正方形，是射线上任意一点（不与点，重合），，且交正方形外角的平分线于点．若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $