第05讲 有理数的乘法与除法 （知识清单+9大题型+好题必刷）- 【暑假预习】2025年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版2024）

第05讲 有理数的乘法与除法 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 题型九 有理数四则混合运算 知识清单 知识点1．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点2．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点3．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 题型方法 【题型一】两个有理数的乘法运算 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把表示成两个整数的积，共出现的可能性有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）用2，0，2，4这四个数进行如下运算，计算结果最大的式子是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【题型二】多个有理数的乘法运算 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法正确的有（      ） ①最大的负整数是；②有理数分为正有理数和负有理数；③0的绝对值是0；④几非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（   ） A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）绝对值小于的所有整数的积是 ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型三】有理数乘法的实际应用 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某商品原价400元，价格先上调，再下调出售，现价和原价相比，结论正确的是（   ） A．现价比原价高 B．现价比原价低 C．价格相同 D．无法比较 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江·期中）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则的值为（    ） A． B． C．5 D．9 2．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如图，在长方形中，长为，宽为，内部放置2个相同的正方形（两边和长方形的两边重合），且边长是长方形边长的，则阴影部分的面积是 ． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）某仓库在一周内的原料进出记录如下表所示（记运进为正，运出为负，单位：吨）： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 进出数量 5 3 2 进出次数 2 1 3 2 1 2 2 (1)该周仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出，费用都是每吨原料6元； 从节约运费的角度考虑，请你通过计算说明选用哪一种方案比较合适？ 【题型四】倒数 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．1与 B．与3 C．与 D．与 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型五】有理数乘法运算律 【例5】（24-25七年级上·浙江金华·期中）观察算式，在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）计算：的结果是 ． 3．（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【题型六】有理数的除法运算 【例6】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在，2，0，，这5个数中，任取两个数相除，所得的商最小的是（   ） A． B． C． D．0 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）数轴上在与27之间插入三个数，使这五个数中每相邻两个数之间的距离相等，则这三个数的和是 ． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【题型七】有理数除法的应用 【例7】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）汽车油箱中有汽油，行驶的平均耗油量为，则汽车最多能行驶（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江·期中）某辆新能源车每次充电都会把电充满，下表记录了该车相邻两次充电时的情况．（注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程） 充电时间 充电量（度） 充电时的累计里程（千米） 2024年9月30日 10 35000 2024年10月2日 25 35200 在这段时间内，该车每100千米平均耗电量为（   ） A．度 B．12.5度 C．8度 D．7.5度 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）有三个互不相等的有理数，既可表示为1，，；也可表示为0，，的形式，则 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）商店同时卖出两台洗衣机，每台2400元，其中一台比进价高，另一台比进价低．总的来看商店是赚钱还是赔钱？赚（赔）多少元？ 【题型八】有理数乘除混合运算 【例8】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： 的结果是（　　） A． B．16 C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·浙江·开学考试）根据，直接写出下面算式的得数．     3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型九】有理数四则混合运算 【例9】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）温度计有摄氏度和华氏度两种刻度，他们的换算关系是：摄氏度华氏度．今年夏天诸暨温度创历史新高，八月份气象台给出的最高气温达到摄氏度．如果改成华氏度数值则为( )． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算下面各题，能简便的要简便计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 好题必刷 一、单选题 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 2．若三个有理数的乘积为负数，在这三个有理数中，有（    ）个负数． A．1 B．1或3 C．2 D．3 3．下列运算结果等于1的是（    ） A． B． C． D． 4．若使得算式﹣2□0.25的值最小，则“□”中填入的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 5．从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（   ） A． B． C．168 D．无法确定 6．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论： （1）；（2）；（3）；（4）． 其中正确的是（   ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4） 7．下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 8．与101×9.9计算结果相同的是（    ） A．100×9.9＋1 B．100×9.9＋9.9 C．100×9＋100×0.9 D．100×9.9﹣9.9 9．如果，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 10．下列说法： ①如果两个数的和为1，那么这两个数互为倒数； ②如果两个数积为0，那么至少有一个数为0； ③绝对值是其本身的有理数只有0； ④倒数是其本身的数是，0，1； ⑤一个数乘就是它的相反数； ⑥任何一个有理数a的倒数是． 其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11． ． 12．已知有理数a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则的值为 ． 13．最大的负整数与倒数等于本身的数的积是 ． 14．计算的结果是 ． 15．计算的结果为 ． 16．（1）除法法则二：两个有理数相除，同号为正，异号为 ，并把 相除， （2）0除以任何一个不为0的数都得 ． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．把下表中第一个圈内的每个数分别乘，将结果写在第二个圈内相应的位置． 19．用简便方法计算： ． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 21．有两列同方向行驶的火车，快车每秒行米，慢车每秒行米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？ 22．海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 23．小虫从某点O处出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的路程依次为（单位：），，，，，，． (1)小虫经过这7次爬行后是否回到出发点O处？请说明理由． (2)小虫第_____________次爬行后离原出发点O最远？最远距离是_____________cm． (3)在爬行过程中，如果每爬3cm奖励两片嫩叶，那么小虫共得多少片嫩叶？ 24．阅读下列材料：，即当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘法与除法 （知识清单+9大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 倒数 题型五 有理数乘法运算律 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数除法的应用 题型八 有理数乘除混合运算 题型九 有理数四则混合运算 知识清单 知识点1．有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． （3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点2．倒数 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•＝1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点3．有理数的除法 （1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b＝a• （b≠0） （2）方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 题型方法 【题型一】两个有理数的乘法运算 【例1】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）把表示成两个整数的积，共出现的可能性有（　　） A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】C 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查的是有理数的乘法，熟知两数相乘，同号得正；异号得负是解题的关键． 列举出所有情况，找到可能性的种数即可． 【详解】解：把表示成两个整数的积，共出现的可能性有： ①，②，③，④， 共4种情况． 故选：． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）用2，0，2，4这四个数进行如下运算，计算结果最大的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的加减混合运算、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的大小比较，正确求出计算结果是解题关键．先求出各选项的计算结果，再比较大小即可． 【详解】解：A、； B、； C、； D、； ， 计算结果最大的式子是， 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了有理数乘法的计算能力，关键是能准确理解并运用有理数乘法法则进行正确地计算． 运用有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）定义一种新的运算“*”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)60 (2) 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了新定义运算，有理数乘法运算；理解新定义运算是解题的关键． （1）按照新定义表示出算式，再按有理数乘法运算法则进行运算，即可求解； （2）按照新定义分步表示出算式，再按有理数乘法运算法则进行运算，即可求解； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【题型二】多个有理数的乘法运算 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）下列说法正确的有（      ） ①最大的负整数是；②有理数分为正有理数和负有理数；③0的绝对值是0；④几非零数相乘，积的符号由负因数的个数决定． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】有理数的分类、求一个数的绝对值、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的分类及其运算法则．根据有理数的分类判断①②，根据绝对值的性质判断③，根据有理数的乘法法则判断④，由此可解． 【详解】解：最大的负整数是，故①正确； 有理数分为正有理数、0和负有理数，故②错误； 0的绝对值是0，故③正确； 几个不为0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，故④正确； 综上可知，说法正确的有3个， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）在军训期间，701班43名学生做游戏，起初全体学生站立，教官每次任意点m个不同学号的学生，被点到的学生，站立的蹲下，蹲下的站立，且学生都正确完成指令（同一名学生可以多次被点名），则n次点名后（n，m为正整数），下列说法正确的是（   ） A．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 B．当m为奇数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 C．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为奇数个 D．当m为偶数时，无论n何值，蹲下的学生人数不可能为偶数个 【答案】C 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】此题考查了正负数的意义、有理数乘法中积的符号的判断假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时个“”，其乘积为“”，每次改变其中的个数，当为偶数时，每次的改变其中个数，都不改变上一次的符号，则n次点名后，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数；即可获解． 【详解】解：假设站立记为“”，则蹲下为“”，开始时个“”，其乘积为“”． 每次改变其中的个数，经过次点名， ①当为偶数时， 若有偶数个“”偶数个“”，变为偶数个“”偶数个“”，其积的符号不变； 若有奇数个“”奇数个“”，变为奇数个“”奇数个“”，其积的符号不变； 故当为偶数时，每次改变其中的m个数，其积的符号不变，那么n次点名后，乘积仍然是“”， 故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； ②当为奇数时， 若有偶数个“”奇数个“”，变为偶数个“”奇数个“”，其积的符号改变； 若有奇数个“”偶数个“”，变为奇数个“”偶数个“”，其积的符号改变； 故当为奇数时，每次改变其中的个数，其积的符号改变， 那么次点名后， 若为偶数，乘积仍然是“”，故最后出现的“”的个数为偶数，即蹲下的人数为偶数； 若为奇数，乘积最后是“”，故最后出现的“”的个数为奇数，即蹲下的人数为奇数； 综上所述，选项C正确，选项A、B、D均错误； 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）绝对值小于的所有整数的积是 ． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，求一个数的绝对值，有理数比较大小，根据绝对值的意义和有理数比较大小的方法得到绝对值小于的整数有，再根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】解：绝对值小于的整数有， ∴绝对值小于的所有整数的积是， 故答案为：． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)24 (2) (3) (4) 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法的法则及运算律． （1）先确定符号，再用绝对值相乘即可； （2）先确定符号，再用乘法结合律计算即可； （3）先确定符号，把小数化为分数，再按照法则计算即可； （4）先确定符号，把小数化为分数计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型三】有理数乘法的实际应用 【例3】（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）某商品原价400元，价格先上调，再下调出售，现价和原价相比，结论正确的是（   ） A．现价比原价高 B．现价比原价低 C．价格相同 D．无法比较 【答案】B 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据题意，可以计算出现价，然后和原价比较大小，即可解答本题． 【详解】解：∵，， ∴现价比原价低， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江·期中）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等．在图3的“九宫格”中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则的值为（    ） A． B． C．5 D．9 【答案】B 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数减法的实际应用 【分析】此题考查了有理数的减法和乘法运算，解题的关键是正确列出算式． 首先由，得到每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍，然后在图3的“九宫格”中，列式求解即可． 【详解】解：由图2可得， ∴每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，且等于中间的数的3倍 ∴在图3的“九宫格”中，每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和等于 ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）如图，在长方形中，长为，宽为，内部放置2个相同的正方形（两边和长方形的两边重合），且边长是长方形边长的，则阴影部分的面积是 ． 【答案】8 【知识点】有理数减法的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的减法和乘法运算，求阴影部分的面积，理解题意是解题的关键．根据题意，先求出正方形的边长，再根据正方形边长相等，长方形的长相等，宽相等，求出阴影部分长方形的长和宽，再根据长方形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图： ， 因为2个相同的正方形的边长是长方形边长的， 所以， 所以，， 所以，， 所以阴影部分的面积是， 故答案为：8． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期中）某仓库在一周内的原料进出记录如下表所示（记运进为正，运出为负，单位：吨）： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 进出数量 5 3 2 进出次数 2 1 3 2 1 2 2 (1)该周仓库的原料比原来增加或减少了多少吨？ (2)根据实际情况，现有两种方案： 方案一：运进每吨原料费用5元，运出每吨原料费用8元； 方案二：不管运进还是运出，费用都是每吨原料6元； 从节约运费的角度考虑，请你通过计算说明选用哪一种方案比较合适？ 【答案】(1)该周仓库的原料比原来增加了吨 (2)方案二所需运费少，更合适 【知识点】正负数的实际应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查有理数的混合运算的实际应用，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量． （1）求出进出数量乘以进出次数之和，进行判断即可； （2）求出两种方案所需的总运费，进行比较即可． 【详解】（1）解：（吨）； 答：该周仓库的原料比原来增加了吨； （2）方案一：（元）； 方案二：（元）； ∵， 故方案二所需运费少，更合适． 【题型四】倒数 【例4】（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】倒数 【分析】本题考查倒数的概念，熟练掌握倒数的概念和计算是解题的关键，根据乘积为1的两个数互为倒数即可得到答案． 【详解】解：的倒数为：， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江·阶段练习）下列各组数中，互为倒数的是（   ） A．1与 B．与3 C．与 D．与 【答案】D 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、倒数 【详解】A．，故1与不是互为倒数，不符合题意； B．，故与3不是互为倒数，不符合题意； C．，故与不是互为倒数，不符合题意． D．，故与互为倒数，符合题意； 故选D． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期中）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则3的负倒数是 ． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键； 根据互为负倒数的定义可知，用，即可得到3的负倒数； 【详解】解：由题可知， ， 故答案为：． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】倒数 【分析】本题考查倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此解答各题即可． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）根据倒数的定义求解即可； （3）根据倒数的定义求解即可； （4）根据倒数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的倒数是； （2）∵， ∴的倒数是； （3）∵，， ∴的倒数是； （4）∵， ∴的倒数是． 【题型五】有理数乘法运算律 【例5】（24-25七年级上·浙江金华·期中）观察算式，在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是（    ） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．分配律 D．乘法交换律和乘法结合律 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查有理数的乘除，利用交换律和结合律计算可简便计算． 【详解】解：原式 ， 所以在解题过程中，能使运算变得简便的运算律是乘法交换律、结合律． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）分配律用式子可表达为．下列四个计算：①；②；③；④．适合运用分配律来简化计算的算式有（   ）． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 根据乘法分配律逐个判定即可 【详解】解：①，故①适合运用分配律来简化计算； ②不适合运用分配律来简化计算； ③，故③适合运用分配律来简化计算； ④，故④适合运用分配律来简化计算； 故选：D． 2．（22-23七年级上·浙江温州·阶段练习）计算：的结果是 ． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】将算式中的数字适当变形后利用乘法的分配律解答即可． 【详解】原式 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，将算式中的数字适当变形后利用乘法的分配律解答是解题的关键． 3．（24-25七年级上·浙江·期末）学习有理数的乘法后，老师给同学们这样两道题目： 计算：（1）．（2）． 有两位同学的解法如下： （1）． （2）． 请参考上述解法，计算下列两题： (1)． (2)． 【答案】(1) (2)2025 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题考查有理数的乘法运算律： （1）仿照第一位同学的解法解答； （2）仿照第二位同学的解法解答． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 【题型六】有理数的除法运算 【例6】（24-25七年级上·浙江温州·期中）在，2，0，，这5个数中，任取两个数相除，所得的商最小的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【知识点】有理数的除法运算、有理数大小比较 【分析】本题主要考查了有理数的除法，有理数的大小比较，根据最小的负数除以最大的正数即可得到最小的负数． 【详解】解：在数，2，0，，中任取两个数相除，所得商中最小数是， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）若在正方形的四个顶点处依次标上“我”“爱”“数”“学”四个字，且将正方形放置在数轴上，其中“我”“爱”对应的数分别为和，如图，现将正方形绕着顶点按顺时针方向在数轴上向右无滑动地翻滚．例如，第一次翻滚后“数”所对应的数为0，则连续翻滚后数轴上数2024对应的字是（   ） A．我 B．爱 C．数 D．学 【答案】C 【知识点】数轴上的翻折、有理数的除法运算 【分析】本题考查了数轴及翻转的性质，有理数的除法运算，根据翻转变化规律确定每4次翻转为一次循环组是解题的关键． 根据规律可知，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的，由此可以推出连续翻滚后数轴上数2024对应的字． 【详解】由题意得，“我”字是数字除以4余2的，“爱”是除以4余3的，“数”是能被4整除的，“学”是除以4余1的， ， 所以数字对应“数”， 故选：C． 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）数轴上在与27之间插入三个数，使这五个数中每相邻两个数之间的距离相等，则这三个数的和是 ． 【答案】21 【知识点】有理数加法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的加法，解题的关键是确定插入的数字．首先确定共有多少个数字，然后被分成4组，从而确定插入的数字，然后求和即可． 【详解】解：在与27之间插入3个数，使这五个数中每相邻两个数之间的距离相等， 也就是将与27之间分成相等的4份． ， 就是将40进行4等分 即每份的值是， ，，， 这3个数分别是，6，16． 故和为， 故答案为：21． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： (1)当时，求的值． (2)当时，求的值． (3)已知是有理数，当时，试求的值． 【答案】(1)1 (2) (3)2或 【知识点】有理数的除法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题主要考查绝对值的意义及有理数的除法运算，熟练掌握有理数的除法运算及绝对值的意义是解题的关键； （1）把直接代入进行求解即可； （2）根据绝对值的意义及有理数的除法运算可进行求解； （3）由题意可分当和进行分类求解即可． 【详解】（1）解：把代入得：； （2）解：∵， ∴； （3）解：由可分： 当时，则有； 当时，则有； 综上所述，的值为2或． 【题型七】有理数除法的应用 【例7】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）汽车油箱中有汽油，行驶的平均耗油量为，则汽车最多能行驶（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数除法，根据行驶路程等于汽油总量除以平均耗油量计算即可． 【详解】解：汽车最多能行驶：， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江·期中）某辆新能源车每次充电都会把电充满，下表记录了该车相邻两次充电时的情况．（注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程） 充电时间 充电量（度） 充电时的累计里程（千米） 2024年9月30日 10 35000 2024年10月2日 25 35200 在这段时间内，该车每100千米平均耗电量为（   ） A．度 B．12.5度 C．8度 D．7.5度 【答案】B 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数除法的应用．需要学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力．由表格信息，得到该车跑了200千米，用电度，由此得到该车每100千米平均耗油量． 【详解】解：由表格信息，跑了千米，用电度， 所以该车每100千米平均耗电量（度）． 故选：B． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）有三个互不相等的有理数，既可表示为1，，；也可表示为0，，的形式，则 【答案】 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查的是有理数的概念，根据三个互不相等的有理数，既表示为，，的形式，又可以表示为0，，的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，与中有一个是，再根据分式有意义的条件判断出、的值，代入计算即可． 【详解】解：三个互不相等的有理数，既可表示为，，的形式，又可表示为0，的形式， 这两个数组的数分别对应相等． 与中有一个是0，与中有一个是，但若，会使无意义， ，只能，即，于是． 只能是，于是， 的值为， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）商店同时卖出两台洗衣机，每台2400元，其中一台比进价高，另一台比进价低．总的来看商店是赚钱还是赔钱？赚（赔）多少元？ 【答案】赔钱，赔钱200元 【知识点】有理数除法的应用、有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了百分数的应用，解答此题的关键是分清两个不同的单位“1”，并找出单位“1”的百分之几对应的数量，用除法就可以求出单位“1”的量，再进一步求解．根据题意“其中一台比进价高，另一台比进价低”，都是把进价看作单位“1”，这样就可以分别求出两台进价各是多少元，用其与两台的现价进行比较即可得出答案． 【详解】解：（元）， （元） （元）， ∴总的来说还是赔钱了，赔钱200元． 【题型八】有理数乘除混合运算 【例8】（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）计算： 的结果是（　　） A． B．16 C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】先算除法，再计算乘法即可求解． 【详解】解：． 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟知有理数的乘除运算法则，把除法转化为乘法运算是解题关键． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）高斯被认为是历史上最杰出的数学家之一，享有“数学王子”之称．现有一种高斯定义的计算式，已知a是有理数，[a]表示不超过a的最大整数，如，，，等，那么的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查有理数的乘除混合运算，根据新定义求出各个数，再进行乘除运算即可求解． 【详解】解： ， 故选：B． 2．（22-23七年级上·浙江·开学考试）根据，直接写出下面算式的得数．     【答案】 // // 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】根据有理数的乘除混合计算法则先去括号，然后把整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， ， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 3．（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)0 (2) (3)3 (4) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，正确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）先确定符号，然后根据有理数的乘除法计算法则计算即可； （4）先通分，再按照有理数加减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型九】有理数四则混合运算 【例9】（24-25七年级上·浙江温州·阶段练习）将下列运算符号填入算式的“”中，使运算结果最小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算顺序和运算法则是解题的关键．分别计算出四种运算下的结果即可得． 【详解】解： 使运算结果最小的是 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·浙江绍兴·开学考试）温度计有摄氏度和华氏度两种刻度，他们的换算关系是：摄氏度华氏度．今年夏天诸暨温度创历史新高，八月份气象台给出的最高气温达到摄氏度．如果改成华氏度数值则为( )． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用．把摄氏度代入摄氏度华氏度即可得到答案． 【详解】解：∵摄氏度华氏度． ∴八月份气象台给出的最高气温达到摄氏度时，华氏为度； 故答案为： 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数乘除混合运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合计算： （1）根据有理数的加减计算法则求解即可； （2）根据有理数乘除混合计算法则求解即可； （3）先计算乘除法，再计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）计算下面各题，能简便的要简便计算． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3)19 (4)110 (5)2 (6)2 【知识点】有理数加减中的简便运算、两个有理数的乘法运算、有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的计算： （1）先算乘法，再算加法即可； （2）先算乘法，再算加法即可； （3）根据加法交换律和结合律可以简便运算； （4）先将变为，再算即可； （5）先根据乘法分配律计算，再根据加法结合律计算可以简便运算； （6）先算括号内的式子，再算括号外的除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解； . 好题必刷 一、单选题 1．的倒数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据倒数定义解答． 【详解】解：的倒数是-3， 故选：A． 【点睛】此题考查了倒数的定义，熟记定义是解题的关键． 2．若三个有理数的乘积为负数，在这三个有理数中，有（    ）个负数． A．1 B．1或3 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据有理数乘法符号的确定方法，即可求解． 【详解】解：∵三个有理数的乘积为负数， ∴这三个有理数中有一个或三个是负数． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，熟练掌握当负因数的个数是奇数个时积为负；当负因数的个数是偶数个时积为正是解题的关键． 3．下列运算结果等于1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数的加减乘除法则逐项计算判断即可． 【详解】A.(-7)+(-7)=-14，故A不符合题意； B.(-7)-(-7)=0，故C不符合题意； C.-7×(-7)=49，故C不符合题意； D.(-7)÷(-7)=1，故D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键． 4．若使得算式﹣2□0.25的值最小，则“□”中填入的运算符号是（　　） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】将运算符号放入方框，计算即可作出判断． 【详解】解： 而 则使得算式-2□0.25的值最小时，则“□”中填入的运算符号是÷， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除运算，有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 5．从，，，7，5，a（，且a为整数）这6个数中取其中3个不同的数作为因数，则它们积的最小值为（   ） A． B． C．168 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键．根据有理数的乘法解决此题． 【详解】解：∵要使它们积的最小， ∴要取奇数个负数，且绝对值尽可能的大， ∴取，7，5， ∴积的最小值为． 故选A． 6．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的数分别是和，对于以下结论： （1）；（2）；（3）；（4）． 其中正确的是（   ） A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4） 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的含义和求法，数轴的特征及应用，熟练掌握数轴的特征是解题的关键． 根据图示，可得，，据此逐项判断即可． 【详解】解：根据图示，可得，， （1），故错误； （2），故正确； （3），故正确； （4），故错误； ∴正确的是（2）、（3）， 故选：B． 7．下列算式中运用分配律带来简便的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是理解乘法分配律的意义，以及除以一个数等于乘以这个数的倒数，乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把乘得的两个积加起来，掌握概念并灵活运用即可解题． 【详解】解：A、除法不具有分配律，不符合题意． B、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． C、，可以使用分配律，且运算更简便，符合题意． D、，可以使用分配律，但运算没有更简便，不符合题意． 故选：C． 8．与101×9.9计算结果相同的是（    ） A．100×9.9＋1 B．100×9.9＋9.9 C．100×9＋100×0.9 D．100×9.9﹣9.9 【答案】B 【分析】将101转化为( 100+1 )，然后利用乘法分配律解答． 【详解】解∶101×9.9= ( 100+1 ) ×9.9=100×9.9+9.9． 故选∶B． 【点睛】本题主要考查了乘法分配律，熟练掌握乘法分配律是解题的关键． 9．如果，那么下列结论成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数除法的符号法则，同号为正，得到同为正或同为负，再根据两数和为负，得到，同为负，即可． 【详解】解：∵， ∴同为正或同为负， ∵， ∴同为负，即：； 故选B． 10．下列说法： ①如果两个数的和为1，那么这两个数互为倒数； ②如果两个数积为0，那么至少有一个数为0； ③绝对值是其本身的有理数只有0； ④倒数是其本身的数是，0，1； ⑤一个数乘就是它的相反数； ⑥任何一个有理数a的倒数是． 其中错误的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据倒数的概念、有理数乘法法则、绝对值的概念，相反数的概念进行判断即可. 【详解】解：如果两个数的积为1，那么这两个数互为倒数，①错误； 如果两个数积为0，那么至少有一个数为0，②正确； 绝对值等于其本身的有理数是0和正有理数，③错误； 倒数等于其本身的有理数只有1和，④错误； 因为一个数乘后就得到与其本身只有符号不同的另一个数，所以一个数乘就是它的相反数，⑤正确； 0没有倒数，⑥错误． 错误的有①③④⑥，共4个． 故选D． 【点睛】本题主要考查了倒数的概念，有理数乘法法则和绝对值的概念,相反数的概念，熟记概念和法则是解决此题的关键. 二、填空题 11． ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握分配律进行简便计算，是解题的关键．利用分配律，即可求解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 12．已知有理数a、b互为相反数，c、d互为倒数，，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查相反数定义及倒数的定义，根据互为相反的两个数的和为0，互为倒数的两个数积为1代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵a、b互为相反数，c、d互为倒数，， ∴，，， 当时， ， 当时， ， 故答案为：或． 13．最大的负整数与倒数等于本身的数的积是 ． 【答案】 【分析】最大的负整数是，倒数等于本身的数是，据此计算有理数的乘法即可得． 【详解】解：∵最大的负整数是，倒数等于本身的数是， ∴最大的负整数与倒数等于本身的数的积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了倒数、有理数的乘法，熟练掌握有理数的运算法则是解题关键． 14．计算的结果是 ． 【答案】4 【分析】根据乘除混合运算，按照顺序自左到右依次计算即可． 【详解】解：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 15．计算的结果为 ． 【答案】1 【分析】根据有理数乘法运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 由于从到有个连续自然数，可知中有负号， 原式， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数乘法运算，熟记有理数乘法运算法则是解决问题的关键． 16．（1）除法法则二：两个有理数相除，同号为正，异号为 ，并把 相除， （2）0除以任何一个不为0的数都得 ． 【答案】 负 绝对值 0 【解析】略 三、解答题 17．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)18； (3)； (4)． 【分析】（1）利用有理数的加减法运算法则计算即可； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）根据多个有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【点睛】本题考查有理数的加减法运算法则，有理数的乘法法则，解题的关键是熟练掌握有理数的加减法运算法则，有理数的乘法法则，难度不大． 18．把下表中第一个圈内的每个数分别乘，将结果写在第二个圈内相应的位置． 【答案】-9.9，-9.3，6.6，9.3． 【分析】根据题目中的数据，将圈内的每个数分别乘，然后计算结果即可． 【详解】解：， ， ， ， 故第二个圈内的结果是：-9.9，-9.3，6.6，9.3． 【点睛】本题考查了有理数的乘法，熟悉相关运算法则是解题的关键． 19．用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】根据乘法分配律计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，在计算中巧妙运用乘法运算律往往使计算更简便． 20．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)12 (2) (3) (4) (5)5 (6) 【分析】（1）根据有理数的除法法则进行计算即可； （2）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （3）根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （4）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （5）根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可； （6）先把带分数化成假分数，再根据有理数的除法法则，除以一个数等于乘以这个数的倒数，进而求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ； （5）解：原式 ； （6）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的除法法则，熟练掌握有理数的除法法则是解题的关键． 21．有两列同方向行驶的火车，快车每秒行米，慢车每秒行米．如果从两车头对齐开始算，则行20秒后快车超过慢车；如果从两车尾对齐开始算，则行秒后快车超过慢车．那么，两车长分别是多少？如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过多少时间？ 【答案】快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒 【分析】如果从两车头对齐开始算，那么超车距离为快车的车长；如果从两车尾对齐开始算，那么超车距离为慢车车长，即可根据路程÷速度=时间求解． 【详解】快车车长： （米） 慢车车长： （米） 重叠起到车尾相离时间： （秒） 答：快车车长240米，慢车车长300米；如果两车相对行驶，两车从车头重叠起到车尾相离需要经过10秒． 【点睛】本题考查了路程÷速度=时间，根据题意求出快车和慢车的车长是解题的关键． 22．海洋科考队于某天早晨乘船从海岛M出发，在南北走向的海岸线上进行科考活动．规定向北行进为正，向南行进为负．从出发到结束当天的科考活动时，他们的行进里程（单位：海里）记录如下：． (1)结束当天的科考活动时，科考队是在海岛M的北边还是南边？距离海岛M有多远？ (2)从出发到结束当天的科考活动，科考队的船只总共行驶了多少海里？ (3)如果船只每行驶1海里耗油4升，那么在整个科考活动过程中，船只共耗油多少升？ 【答案】(1)科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； (2)科考队的船只总共行驶了海里； (3)船只共耗油升． 【分析】本题考查了正数和负数，有理数的加法和乘法，绝对值的意义等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算，再由结果即可得出答案； （2）根据绝对值的意义求解即可； （3）根据单位耗油量乘以行驶里程即可求解． 【详解】（1）解：（海里）， ∴科考队是在海岛M的北边，距离海岛M有海里； （2）解：由题意可得： （海里）， ∴科考队的船只总共行驶了海里； （3）解：（升）， ∴船只共耗油升． 23．小虫从某点O处出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬行的路程依次为（单位：），，，，，，． (1)小虫经过这7次爬行后是否回到出发点O处？请说明理由． (2)小虫第_____________次爬行后离原出发点O最远？最远距离是_____________cm． (3)在爬行过程中，如果每爬3cm奖励两片嫩叶，那么小虫共得多少片嫩叶？ 【答案】(1)小虫经过这7次爬行后又回到出发点处； (2)3，13； (3)那么小虫共得36片嫩叶． 【分析】本题考查了有理数加法和乘除法的应用，绝对值的应用，熟练掌握有理数的运算法则及绝对值的意义是解答本题的关键． （1）直接把各数相加即可； （2）计算每次爬行小虫与出发点的距离即可； （3）求出小虫爬行的总路程即可得出结论． 【详解】（1）小虫经过7次爬行后又回到点O．理由如下： ， 小虫经过这7次爬行后又回到出发点O处； （2）第一次爬行距离O点， 第二次爬行距离O点， 第三次爬行距离O点， 第四次爬行距离O点， 第五次爬行距离O点， 第六次爬行距离O点， 第七次爬行距离O点， 小虫第3次爬行后离原出发点O最远，最远距离是； 故答案为：；． （3） ， ， 答：那么小虫共得36片嫩叶． 24．阅读下列材料：，即当时，． 用这个结论可以解决下面问题： (1)已知a，b是有理数，当时，求的值； (2)已知a，b是有理数，当时，求的值； (3)已知a，b，c是有理数，，，求的值． 【答案】(1)或0 (2)，或 (3) 【分析】此题考查了有理数的除法，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）分3种情况讨论即可求解； （2）分4种情况讨论即可求解； （3）根据已知得到，，，、、两正一负，进一步计算即可求解． 【详解】（1）已知，是有理数，当时， ①，，； ②，，； ③、异号，． 故或0； （2）已知，，是有理数，当时， ①，，，； ②，，，； ③、、两负一正，； ④、、两正一负，． 故或； （3）已知，，是有理数，，， 则，，，、、两正一负， 则． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$