第06讲 有理数的乘方与混合运算 （2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测）-讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第06讲 有理数的乘方与混合运算 （2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用科学记数法表示绝对值大于1的数 典型例题二 求一个数的近似数 典型例题三 有理数幂的概念理解 典型例题四 求近似数的精确度 典型例题五 有理数的乘方运算 典型例题六 有理数乘方逆运算 典型例题七 算“24”点 典型例题八 乘方运算的符号规律 典型例题九 含乘方的有理数混合运算 典型例题十 程序流程图与有理数计算 典型例题十一 乘方的应用 典型例题十二 有理数乘方的新定义运算 知识点01 有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若，则的值为（　　） A． B．6 C．10 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的平方，掌握有理数的平方是解本题的关键． 根据指数运算的性质，将已知条件转化为和的值，再代入求解． 【详解】已知，因为，所以， 又已知，因为，所以， 因此，，则． 故选：D． 【即时训练】 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）计算： ． 【答案】/0.125 【分析】本题考查有理数的乘方，根据乘方运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点02 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐一计算即可判断． 【详解】解：A、，此选项错误，不符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项正确，符合题意； D、，此选项错误，不符合题意； 故选：C． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）计算下列各题： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【答案】 0 12 7 【分析】本题考查含乘方的有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法法则计算即可； （2）根据有理数的减法法则计算即可； （3）根据有理数的乘法法则计算即可； （4）根据有理数的除法法则计算即可； （5）先乘方，再计算乘法即可； （6）先乘方，再计算加法即可； 【详解】（1）， （2）， （3）， （4）， （5）， （6）， 故答案为：（1）0，（2），（3）12，（4），（5）7，（6） 【典型例题一 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据521.7亿用科学记数法表示为； 故选C． 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）在2025年初的科技界，一款名为DeepSeek的人工智能应用程序异军突起，引发了全球用户的热烈关注．这款应用于1月11日正式上线，仅仅数周时间就迎来了破亿的下载量，显示了其强大的市场吸引力．根据数据分析，自发布至2月9日，DeepSeek的累计下载量已突破亿．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．将亿用科学记数法表示即可． 【详解】解：亿， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）2025年春节期间，重庆洪崖洞景区接待游客超1370000人次，将数据1370000用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法．直接根据科学记数法的表示方法作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）年“春节”假期，我市国有景区接待游客数量超过万人，将万人用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数，解题关键是掌握科学记数法的一般形式． 直接利用科学记数法求解．科学记数法的一般形式为，其中，为正整数． 【详解】解：万=， 故答案为：． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）经文化和旅游部数据中心测算，2025年春节假期8天，浙江杭州出游人次，将数据用科学记数法表示是（   ） A．． B．． C．． D．． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原来的数，变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数，确定与的值是解题的关键． 【详解】解：． 故选：C． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）将用科学记数法表示为 ． 【答案】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键． 根据科学记数法的定义解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·单元测试）在一次救灾行动中，大约有人需要安置．假如一顶帐篷占地，帐篷内可以放置40个床位，若将上述受灾的人都进行安置，则需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多大面积？ 【答案】6250顶；平方米 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、科学记数法的运算等知识点，掌握有理数的混合运算法则以及科学记数法的表示是解题的关键． 根据帐篷的数量等于总人数除以每一个帐篷所容纳的人数；所占面积等于帐篷数乘以一顶帐篷所占的面积，据此进行计算即可． 【详解】解：根据题意：得顶帐篷，平方米． 答：需要6250顶帐篷，这些帐篷大约要占平方米． 4．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 【答案】(1)克 (2)千克 (3)元 【分析】本题主要考查了用有理数的混合运算，科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． （1）用500粒大米的总重量除以500 ，即可求解； （2）根据题意，列出算式求解即可； （3）根据题意，列出算式求解即可． 【详解】（1）解：（克）， 答：粒大米重约克； （2）解：（千克）， 答：一年大约能节约大米千克； （3）解：（元）， 答：卖得人民币元． 【典型例题二 求一个数的近似数】 【例1】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8 【答案】C 【分析】本题考查近似数．根据精确度的要求和四舍五入法，即可解答本题． 【详解】解：， ∴用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为2.80， 故选：C． 【例2】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）我们把形如的式子叫做二次根式，其中对用四舍五入法取近似值，其中正确的是（   ） A． （精确到百分位） B． （精确到个位） C． （精确到0.0001） D． （精确到0.001） 【答案】D 【分析】本题考查了四舍五入法求近似数，根据近似数的精确度，大于或等于5进一，小于5则舍去，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、 （精确到百分位），故该选项错误，不符合题意； B、 （精确到个位），故该选项错误，不符合题意； C、 （精确到0.0001），故该选项错误，不符合题意； D、 （精确到0.001），故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）把圆周率精确到，其近似值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求一个数的近似数，掌握四舍五入法是解决此题的关键．把万分位上的数字5四舍五入即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）世界上最大的海洋是太平洋，面积是17996800平方千米，改写成以“万”为单位的数为 万平方千米，四舍五入到“万”位是 万平方千米． 【答案】 【分析】本题主要考查整数的改写和求近似数，改写和求近似数时要注意带计数单位．改写成用“万”单位的数，把万位后面点上小数点，然后加上单位“万“字；用四舍五入法省略“万”后面的尾数，需要看千位上的数字，后面的数都省略去，然后加上单位“万”． 【详解】解：万，万． 故答案为：，． 1．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）期中考试后，小明用计算器计算出他六科的平均成绩为分．对小明这六科的平均成绩，下面用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到千分位） B．（精确到） C．（精确到） D．（精确到个位） 【答案】B 【分析】本题考查了求一个数的近似数，精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入即可，熟练掌握精确到哪一位，就对这一位的下一位数字进行四舍五入是解题的关键． 【详解】解：A、（精确到千分位），故选项不符合题同意； B、（精确到），故选项符合题同意； C、（精确到），故选项不符合题同意； D、（精确到个位），故选项不符合题同意； 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·开学考试）一个小数的整数部分是最大的两位数，小数部分的千分位是最小的合数，百分位是最小的质数，十分位是最小的自然数，这个数是 ．用四舍五入法省略百分位后面的尾数求近似数是 ． 【答案】 【分析】先分析出最大的两位数，最小的合数，最小的质数，最小的自然数，再写出这个数即可，根据四舍五入的取值方法进行省略即可． 【详解】解：最大的两位数是99， 最小的合数是4， 最小的质数是2， 最小的自然数是0， 则这个数写作：，用四舍五入法省略百分位后面的尾数求近似数是． 故答案是：， ． 【点睛】本题考查了合数，质数与自然数及近似数，掌握合数，质数与自然数的概念是解题关键． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上． （）（精确到）； ； （）（精确到十分位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到个位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到千分位）． ． 【答案】 【分析】根据近似数的精确度进行求解即可． 【详解】解：（）（精确到）； （）（精确到十分位） ； （）（精确到）； （）（精确到个位）； （）（精确到）； （）（精确到千分位）； 故答案为：；；；；；． 【点睛】此题考查了近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，熟练掌握近似数与精确度的概念是解题的关键． 4．（24-25七年级上·广西崇左·阶段练习）按要求完成下列各题 (1)完成下列各数的近似数            （精确到十分位）                 （精确十位）          （精确到百分位）              （精确到百分位） (2)光年是天文学中的距离单位，1光年大约是，用科学记数法表示为 ． (3)截至年底，我国已建立的国家级自然保护区总面积约，用科学记数法表示为 ． (4)据工信部数据显示，年我国移动电话用户总数达到亿户，用科学记数法表示为 户． (5)地球上已发现的生物约种，用科学记数法表示为 种． 【答案】(1)，，， (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）根据精确到哪一位即对这一位的下一位数字进行四舍五入进行求解即可； （2）（3）（4）（5）根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】（1）解：（精确到十分位）        （精确十位） （精确到百分位）     精确到百分位）； （2）解： ， 故答案为：； （3）解：， 故答案为：； （4）解：亿户户， 故答案为：； （5）解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了科学记数法和近似数，熟知科学记数法的表示方法和近似数的求解方法是解题的关键． 【典型例题三 有理数幂的概念理解】 【例1】（24-25七年级上·河北唐山·期中）化简＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了乘方的意义，根据乘方的意义分别表示出分子分母即可． 【详解】解：由乘方的意义可得分子表示个相乘，表示为；由乘法的意义可得分母表示个相加，表示为， ∴． 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·北京·期中）对乘积记法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解决本题的关键．求n个相同因数的积的运算叫作乘方，根据乘方的定义可解决此题． 【详解】解：， 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·四川成都·期末）杨老师在黑板上写下“”，读作： ，计算的结果是 ． 【答案】 3的平方的相反数 【分析】本题考查了有理数幂的概念理解,有理数的乘方运算，正确理解有理数的乘方运算法则是解题的关键．根据有理数幂的意义，即可正确解答，根据有理数的乘方运算法则即可计算结果． 【详解】解：“”，读作：3的平方的相反数； 故答案为：3的平方的相反数； ． 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·云南曲靖·期中）计算的结果可用幂的形式表示为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数乘方，根据有理数乘方的定义解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据乘方的意义，可知：，即可得出答案． 【详解】解：∵， 又∵是的倍， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了乘方的意义，掌握乘方的意义是解题的关键． 2．（2025七年级上·浙江杭州·专题练习）填空： ； ； ； ； ； ． 【答案】 9 / 【分析】根据乘方的意义计算即可． 【详解】解：；；；；； 故答案为：9，，，，，． 【点睛】本题考查乘方运算，理解乘方的意义进行计算是解决问题的关键． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）写出下列各幂的底数与指数： （1）在()6中，底数是________，指数是________； （2）在a4中，底数是________，指数是________； （3）在(－6)4中，底数是________，指数是________ 【答案】（1）；6；（2）a；4；（3）-6；4 【分析】（1）根据底数的定义和指数的定义即可得出结论； （2）根据底数的定义和指数的定义即可得出结论； （3）根据底数的定义和指数的定义即可得出结论． 【详解】解：（1）在()6中，底数是，指数是6； 故答案为：；6； （2）在a4中，底数是a，指数是4； 故答案为：a；4； （3）在(－6)4中，底数是-6，指数是4 故答案为：-6；4． 【点睛】此题考查的是有理数乘方的相关概念，掌握底数的定义和指数的定义是解决此题的关键． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【答案】初步探究（1）；；（2）C；深入思考（1），，；（2）；（3）． 【分析】理解除方运算，利用除方运算的法则和意义解决初步探究，通过除方的法则，把深入思考的除方写成幂的形式解决（1），总结（1）得到通项（2）．根据法则计算出（3）的结果． 【详解】初步探究 解：初步探究 （1）， 故答案为：，； （2）A、任何非零数的圈2次方就是两个相同数相除，所以都等于1； 所以选项A正确； B、因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数，都等于1； 所以选项B正确； C、，，则； 所以选项C错误； D、负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确； 本题选择说法错误的，故选C； 深入思考 （1）； ； ； 故答案为：，，． （2）． 故答案为：． （3） ． 【点睛】本题考查了新运算，幂的运算．解决问题的关键是掌握新运算的法则，理解新运算的意义． 【典型例题四 求近似数的精确度】 【例1】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（   ） A．0.2与0.20精确度相同 B．精确到了十万位 C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度判断，需根据各选项还原数值并确定其最后一位有效数字所在的数位；根据题目要求逐项判断即可． 【详解】A. 0.2精确到十分位，0.20精确到百分位，精确度不同，错误； B. 还原为10,700,000，末位7位于十万位，故精确到十万位，正确； C. 还原为1100，末位0位于十位，精确到十位，而非十分位，错误； D. 1.2万还原为12000，末位2位于千位，精确到千位，而非万位，错误； 故选：B． 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）用四舍五入法对取近似数，得到的结果不正确的是（   ） A．（精确到万分位） B．（精确到） C．（精确到） D．（精确到百分位） 【答案】A 【分析】本题考查了精确度，近似数，经过四舍五入得到的数为近似数，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据四舍五入，分别把精确到万分位，千分位，百分位，十分位上即可． 【详解】解：A. （精确到万分位），故选项符合题意 B. （精确到），故选项不符合题意 C. （精确到），故选项不符合题意 D. （精确到百分位），故选项不符合题意． 故选：A． 【例3】（2025·山东烟台·模拟预测）近似数精确到 位． 【答案】千 【分析】本题考查了近似数，精确度由所得近似数的最后一位有效数字在该数中的位置决定．近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位． 【详解】解：近似数中的3位于百万位，则1位于十万位，5位于万位，位于千位，即精确到了千位． 故答案为：千． 【例4】（23-24七年级上·四川乐山·期末）精确到 位，万精确到 位． 【答案】 百分 百 【分析】本题考查近似数的精确度，近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位．根据近似数的精确度求解． 【详解】解：精确到百分位，万精确到百位． 故答案为：百分，百． 1．（2024七年级上·云南·专题练习）下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，近似数精确到哪一位，看末位数字实际在哪一位即可，掌握近似数的有关知识是解题的关键． 【详解】解：近似数精确到百分位，故①错误； ∵万， ∴近似数万精确到百位，故②错误； 近似数精确到十分位，近似数精确到百分位，故③错误； 综上，正确的说法有个， 故选：． 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）近似数2.67万精确到 ， 的倒数是 ，  单项式－的系数为 . 【答案】 百位 【分析】根据近似数的精确度得到近似数2.67万精确到百位；根据倒数的定义可得的倒数是；根据单项式的有关概念得到-的系数是． 【详解】近似数2.67万=26700，故精确到百位；由得的倒数是；单项式－的系数为， 故答案为百位；；， 【点睛】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数称为近似数；也考查了倒数和单项式的有关概念． 3．（2025七年级·浙江杭州·专题练习）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 【答案】(1)万位 (2)百位 (3)千万位 (4)千位 【分析】（1）根据近似数的精确度求解； （2）根据近似数的精确度求解； （3）根据近似数的精确度求解； （4）根据近似数的精确度求解． 【详解】（1）解：∵600万的末尾为万位， ∴600万精确到万位； （2）解：∵7.03万的末尾为百位， ∴7.03万精确到百位； （3）解：∵5.8亿的末尾为千万位， ∴5.8亿精确到千万位； （4）解：∵3.30×105的末尾为千位， ∴3.30×105亿精确到千位； 【点睛】本题考查了近似数和有效数字∶近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示，一般有，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法，熟练掌握近似数的意义是解题的关键． 4．（24-25六年级下·江苏南京·期末）据南京智慧旅游大数据运行监测平台显示，2025年端午假期全市接待游客568万人次，乡村旅游点游客量达429300人次，其中，外地游客文旅消费总额亿元，同比增长． (1)乡村旅游点游客量改写成用“万”作单位是( )万人次；外地游客文旅消费总额精确到“亿”位约是( )亿元． (2)568万是一个近似数，请在数轴上用“· ”表示出来． 【答案】(1) 18 (2)见解析 【分析】本题考查了精确数与近似数、在数轴上表示有理数，掌握近似数的概念是解题的关键． （1）根据题意即可作答； （2）根据题意，在数轴上表示568万即可． 【详解】（1）解：万， ∴乡村旅游点游客量改写成用“万”作单位是万人次； ， ∴外地游客文旅消费总额精确到“亿”位约是18亿元． 故答案为：；18． （2）解：568万表示在数轴上如图所示： 【典型例题五 有理数的乘方运算】 【例1】（24-25七年级上·河北保定·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法和乘方运算，根据有理数的乘法和乘方运算法则计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【例2】（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了乘法分配律的逆用,乘方运算．乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，运用乘法的分配律简便计算． 【详解】解：原式 ． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算，把原式变形为，据此计算求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）已知，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数的非负性，熟练掌握性质是解题的关键． 根据偶次幂和绝对值的非负性计算即可． 【详解】解：∵ ，且 ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）若，则对、、、排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义、有理数的乘方运算、有理数的大小比较等知识点，熟练掌握特殊值法是解答本题的关键． 令，然后计算后比较大小即可． 【详解】解：令，则，，， ∵， ∴． 故选B． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上三个数的和都等于，则 【答案】17 【分析】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则，理解题意是解题的关键．根据题意，得到每相邻两个字母的和，逐一验证，即可得到结果． 【详解】解：根据图形可得：每条边上三个数的和都等于， ∴，，，，， ∵a，b，c，d，e为正整数， ∴，且为正整数， 当时，则，，，， ∴； 当时，则，，，，，不符合题意， 当时，，，，不符合题意， ∴， 故答案为：17． 3．（2024七年级上·江苏无锡·竞赛）设四位数满足，求出满足条件的所有的四位数． 【答案】2010或2011或1112或1130或1131 【分析】此题考查了数字的表示方法与有关性质．解此题的关键是依据已知，求得a，b，c，d的取值范围，利用分类讨论思想求解．首先根据题意确定a，b，c，d的取值范围，再分类讨论求解即可． 【详解】解：根据题意可得：a，b，c，d是小于10的自然数， ∵， ∴是两位数， ∴a，b，c，d均为小于5的自然数， 如果，则，此时这个四位数为2010， 如果，则，此时这个四位数为2011， 如果，则，此时这个四位数为1112， 如果，找不到符合要求的数， 如果，则，此时这个四位数为1130， 如果，则，此时这个四位数为1131， 如果，则，不符合题意， ∴此四位数可能为：2010或2011或1112或1130或1131． 4．（24-25七年级上·河南漯河·期中）规定：如果，那么称a为b的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是a、b两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：______； (2)劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则，．根据运算性质，填空： ①______（b为正数）； ②若，则______，______；（答案精确到小数点后一位） ③当，，，写出a，b，c之间的等量关系，并说明理由． 【答案】(1)2 (2)①3；②1.5，；③ 【分析】本题考查了有理数的乘方，解答此题的关键是理解劳格数的定义与性质． （1）根据劳格数的定义解答即可； （2）根据劳格数的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：根据劳格数的定义，； （2）解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∵， ∴； ③∵，，， ∴， ∴，即． 【典型例题六 有理数乘方逆运算】 【例1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【答案】D 【分析】此题考查有理数的乘方．直接利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴a是：4或−4． 故选：D． 【例2】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，弄懂题意并掌握乘方的运算法则是解答的关键． 【详解】解：根据题意，第一天后剩尺， 两天之后剩（尺）， 第三天后剩（尺）， … 第n天后剩（尺）， 第五天后这个“一尺之棰”还剩（尺）． 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数乘方的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【例4】（24-25七年级上·广东汕头·期中）中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为，类似的，表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算的含义，乘方的逆运算，理解乘方的逆运算是解题关键．根据题干乘方的逆运算法则列式解即可． 【详解】解：∵式子可以变形为，也可以变形为， ∴表示为， 故答案为：． 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 2．（2025七年级·江苏·专题练习）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 ． 【答案】56 【分析】设，根据新运算可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：设 ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，会用新定义解答问题． 3．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的运算，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． （1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：，； （2）解： ． 4．（24-25七年级上·重庆云阳·期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果  的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． (1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①；② (2)将下列对数式改为指数式： ①=2 ② (3)计算： 【答案】(1)①；② (2)①；② (3)6 【分析】（1）根据对数的定义求解； （2）利用对数的定义写成幂的形式； （3）先利用乘方的意义得到，然后根据对数的定义求解． 【详解】（1）解：①； 对数式记作：； ②； 对数式记作：； （2）①； 指数式为， ②； 指数式为； （3）， ． 【点睛】本题考查了有理数乘方：求个相同因数积的运算，叫做乘方． 也考查了阅读理解能力． 【典型例题七 算“24”点】 【例1】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【例2】（24-25七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 【例3】（24-25七年级上·重庆·期末）有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，根据有理数的四则混合计算法则计算24点即可． 【详解】解：由题意，得． 答案为：． 【例4】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 【答案】或或（答案不唯一，任选一个） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则列式即可，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：符合规则的算式为或或， 故答案为：或或． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则逐项计算可得答案． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意；     D．，故不符合题意； 故选A． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）七（1）班数学学习兴趣小组在学习了有理数的加、减、乘、除运算后，按照苏科版数学课本七年级上册第1章“数学探究”《算“24”》中的方法玩算“24”游戏，即一副扑克牌（去掉“大王”、“小王”）中任意抽4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24．其中，，分别代表11，12，13，并规定黑桃、梅花为正数，红桃、方块为负数．若某一次游戏中抽到的4张牌分别是黑桃3、方块4、梅花6、红桃．则可列出“24”的算式为： 24． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了算24点，掌握有理数加减乘除混合运算是解题的关键．根据加减乘除进行计算即可求解． 【详解】解：抽到的4张牌分别是黑桃3、方块4、梅花6、红桃，代表12， ∴可列出“24”的算式为， 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·广东汕头·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算的法则是解题的关键． （1）依据题干要求选取3，，列式运算即可； （2）依据题干要求选取1，，列式运算即可； （3）按要求列式运算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴从中取出2张卡片，数字相减的差最大，最大值是． （2）解：从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是 ． （3）解：由题意得：； ∴取出的4个数进行的运算式为． 4．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【答案】（1），（答案不唯一）（2）（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先根据题意可得图1中的4张牌分别代表，再根据和列出算式即可得； （2）先根据题意可得图2中的4张牌分别代表，再根据列出算式即可得． 【详解】解：（1）由题意得：图1中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：，， 故答案为：，（答案不唯一）． （2）由题意得：图2中的4张牌分别代表， 则运算结果为24的算式：， 故答案为：（答案不唯一）． 【典型例题八 乘方运算的符号规律】 【例1】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是乘方运算的符号规律，分别根据，，进行探究即可得到答案． 【详解】解：当，则， 当，则， 当，则，则， ∴当，则， 故选：C 【例2】（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【答案】C 【分析】根据已知条件可以得到这样的规律：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成． 【详解】解：根据已知条件可以得到这样的规律： 11的平方是121，中间的数字是2，111的平方是12321，中间的数字是3，…… 由此可以推断出：对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成；所以的结果是1234567654321， 故选C． 【点睛】本题主要考查了观察式子找规律，找到对于由1组成的数字，当平方后最中间的数字是几，这个数字就是由几个1组成的规律是解题的关键． 【例3】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查乘方的非负性．熟练乘方的非负性是解题的关键． 根据乘方的非负性，确定最大值即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴的最大值为：； 故答案为：． 【例4】（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 【答案】0 【分析】本题考查了有理数的加法运算，有理数的乘方，根据有理数的乘方找到规律，计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：0． 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 【答案】B 【分析】根据三组数的运算的规律逐个判断即可得． 【详解】解：由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子①错误； 由三组数的运算得：， ， ， 归纳类推得：当时，，式子②正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 2．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了尾数特征的应用，先分别得出前几个的末位数字，得出末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5，据此即可解答． 【详解】解：根据题意可得： 1的末位数字为1， 的末位数字为3， 的末位数字为7， 的末位数字为5， 的末位数字为1， 末位数字每4个为一组，依次为1、3、7、5， ， 则该式末位数字为第506组的第四个数字， 的末位数字是5， 故答案为：5． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知关于x的方程的解是，试求的值． 【答案】 【分析】将代入原方程得：，解得：，代入原式即可解得． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， 原式 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是把代入求出的值． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)128，64， (2)， (3)存在， 【分析】此题考查数字的变化规律，有理数的乘方运算，找出数字的变化规律，得出行之间的运算方法解决问题． （1）根据题干中的数字规律求解即可； （2）利用（1）中的数据找到规律即可； （3）首先得到第③行的第n个数为，然后根据得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵2、、8、、32、……① ∴，，，，… ∴当时，； ∵1、、4、、16、……② ∴，，，，， ∴当时，； ∵0、6、、18、、66……③ ∴，，，，， ∴； （2）解：由（1）可得，第①行的第n个数为； 第②行的第n个数； （3）解：由（1）可得，第③行的第n个数为， ∵ ∴ ∴． 【典型例题九 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（24-25七年级上·广西河池·期末）请把二进制数转换成十进制数（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，二进制数与十进制数的转换，解题的关键是熟练掌握二进制数与十进制数的转换方法．利用二进制数与十进制数的转换方法得，求解即可． 【详解】解：二进制数转换成十进制数为， 故选：D． 【例2】（24-25七年级上·云南保山·期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查有理数含乘方的混合运算，按照有理数的运算顺序与法则依次进行判断即可． 【详解】解：，故甲计算错误； ，故乙计算正确； ，故丙计算错误； ，故丁计算错误； 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算的结果是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是含乘方运算的混合运算，先计算乘方，再计算乘法运算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【例4】（2025·宁夏银川·模拟预测）根据《易经》中的结绳记数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 【答案】73 【分析】先明确图2中每一位对应的七进制数位，再根据满七进一的规则，用各位数字乘以对应的幂次，最后求和得到十进制表示的天数．本题主要考查了七进制与十进制的转换，熟练掌握满七进一规则及不同数位对应的幂次运算是解题的关键． 【详解】解：由图2可知，七进制数从右到左各位数字对应的的幂次依次为、 、． 各位数字分别为（对应位 ）、（对应位 ）、（对应位 ） ． 则孩子出生后的天数（天） 故答案为：73. 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，如图①是同学和同学在绳子上打结记录的背单词的总数量，图②是同学比同学多背诵的单词数量．则在这一天，同学背诵的单词数量是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算的实际应用，由题意得两人背单词的总数量为个，进而即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意得，两人背单词的总数量为个， 同学比同学多背诵的单词数量为个， ∴同学背诵的单词数量为个， 故选：． 2．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）七年级（1）班在综合与实践“进位制的认识与探究”学习中认识了进位制并理解了不同进位制的数之间的转换．奋进小组在研学过程中绘制了二进制与十进制的比较表格如下： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 … 二进制 0 1 10 11 100 101 110 … 请你将二进制数写成十进制数为 ． 【答案】41 【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，读懂题目信息，理解二进制与十进制的转化方法是解题的关键． 根据题意，理解二进制与十进制的转化方法，根据二进制数写成十进制数为，计算求解即可． 【详解】解：由题意，寻找规律： ∴， 故答案为：41． 3．（24-25七年级上·重庆·自主招生）快速计算，直接填空 (1) (2) (3) (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将小数化为分数，再计算括号里的，最后计算括号外的即可； （2）根据加法交换律计算即可； （3）先计算加法交换律，再求公分母，最后计算加法即可； （4）先将带分数化为假分数，再计算乘法，最后计算加法即可； （5）先将原式化为，再根据乘法结合律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ． 4．（24-25七年级上·广东揭阳·期末）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_______，_______； （2）下列关于除方说法中，错误的是：_______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n， C： D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： _______，_______． （4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______． （5）计算：． 【答案】（1）；4；（2）C；（3）， ；（4）；（5） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，也是一个新定义的理解与运用；一方面考查了有理数的乘除法及乘方运算，另一方面也考查了学生的阅读理解能力；注意：负数的奇数次方为负数，负数的偶数次方为正数，同时也要注意分数的乘方要加括号，对新定义，其实就是多个数的除法运算，要注意运算顺序． （1）分别按除方公式进行计算即可； （2）根据定义依次判定即可； （3）把除法化为乘法，根据幂的乘方进行计算； （4）根据幂的乘方进行计算即可得到答案 （5）先根据新运算代入，再根据积的乘方与幂的乘方直接计算即可得到答案； 【详解】解：（1）由题意可得， ，， 故答案为：；4； （2）由题意可得， A选项任何非零数的圈2次方都等于1； 所以选项A正确， B选项因为多少个1相除都是1，所以对于任何正整数n，都等于1， 所以选项B正确， C选项，，则； 所以选项C错误， D选项负数的圈奇数次方，相当于奇数个负数相除，则结果是负数，负数的圈偶数次方，相当于偶数个负数相除，则结果是正数．所以选项D正确， 本题选择说法错误的，故选C； （3）由题意可得， ，， 故答案为：， ； （4）由题意可得， ； （5）由题意可得， 原式 【典型例题十 程序流程图与有理数计算】 【例1】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）一个数值运算程序如图所示，当输入的值为时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是根据运算程序的要求进行计算，到符合要求时输出结果． 【详解】解：第一次输入，可得：， ， 把输入计算，可得：， ， 把输入计算，可得：， ， 应输出， 输出结果为． 故选：A ． 【例2】（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数字的变化规律．计算出时前8次运算的结果，找出规律再进行解答即可． 【详解】解：若， 第1次结果为：3， 第2次结果是：10， 第3次结果为：5， 第4次结果为：16， 第5次结果为：1， 第6次结果为：4， 第7次结果为：1， 第8次结果为：4， … 可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现， 且当次数为奇数时，结果是1；次数是偶数时，结果是4， 而2025次是奇数，因此最后结果是1． 故选：A． 【例3】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是 ．    【答案】 【分析】此题考查的是根据程序图求值，掌握程序图中的条件和有理数的各个运算法则是解决此题的关键．将按照程序图运算，结果不满足 ，就将结果重复程序图中的运算，直到结果，输出结果即可． 【详解】解：把代入，得， 把代入，得， 故答案为：． 【例4】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，是一个计算装置示意图，A、B是数据输入口，C是计算输出口，计算过程是由A、B分别输入自然数m和n，经计算后得整数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质： ①若，时，； ②若m输入任何固定的自然数不变，n输入自然数增大1，则k比原来增大2； ③若n输入任何固定的自然数不变，m输入自然数增大1，则k为原来的2倍． 试解答以下问题： （1）当，时，k的值为 ； （2）当，时，k的值为 ； （3）当A输入自然数m，B输入1时，k的值为 ． 【答案】 5 2或0 【分析】本题主要考查了程序图中有理数的运算， 对于（1），当m输入的自然数不变，n输入的自然数增大1，k就比原来增大2，可解答； 对于（2），考虑两种情况，①先n输入的自然数增，大1，m输入的自然数不变，再m输入的自然数增大1，n输入的自然数不变，②先m输入的自然数增大1，n输入的自然数不变，再n输入的自然数增大1，m输入的自然数不变； 对于（3），A输入自然数m，n输入的自然数不变，A输入的自然数增大了，k就为原来的倍． 【详解】（1）解：∵，时，，若m输入任何固定的自然数不变，n输入自然数增大1，则k比原来增大2， ∴当，时，； 当，时，； 当，时，. 故答案为：5； （2）解：①∵，时，，若m输入任何固定的自然数不变，n输入自然数增大1，则k比原来增大2， ∴当，时，， 当，时，； ②∵，时，，若n输入任何固定的自然数不变，m输入自然数增大1，则k为原来的2倍， ∴当，时，，当，时，. 故答案为：2或0； （3）解：∵当A输入自然数m，B输入1时，若n输入任何固定的自然数不变，m输入自然数增大1，则k为原来的2倍， ∴B输入1不变，A输入的自然数增大了， ∴. 故答案为：． 1．（23-24七年级上·四川眉山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，根据运算法则可得从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为，据此即可求解，找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，当时， 第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， ， ∴从第五次开始，奇数次输出的结果为，偶数次输出的结果为， ∴第次“运算”的结果是， 故选：． 2．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）如图所示，这是一个运算程序示意图，若第一次输入k的值为24，则第2023次输出的结果是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的运算，根据题中已知条件进行计算，找到输出数据的变化规律即可得到第2023次输出的结果了． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， … 由此可知，从第5次输出开始，输出结果是按“2、1”的顺序循环出现的， ∴，即输出的结果是2． 故答案为：2． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 【答案】； 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出相应的算式，计算即可． 【详解】解：当输入的数是时，，相反数是， ； 当输入的数是时， ， ． 4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ (2)当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 【答案】(1) (2)或11 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算： （1）根据流程图，列出算式进行计算即可； （2）分2种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：， 是正数，输出； 故输出的结果为； （2）当计算结果为时：； 当计算结果为4时：； 综上：被墨水污染的数为或11． 【典型例题十一 乘方的应用】 【例1】24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，用边长为2的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据大正方形面积等于两个小正方形面积和即可得到答案． 【详解】解：设大正方形边长为a，由题意可得， ， ∵， ∴大正方形的边长最接近的整数是3， 故选B． 【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是根据题意找到有大正方形的边长的等式． 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）阅读材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么（    ） A．7 B．11 C．13 D．17 【答案】A 【分析】根据新定义进行计算便可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数乘方，有理数加法，定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题的关键． 【例3】（24-25七年级上·浙江·期末）若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：2，． 【例4】（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 【答案】256 【分析】此题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：∵第1次后可拉出2根， 第2次后可拉出根， 第3次后可拉出根， … ∴第8次后可拉出根，， 故答案为：256． 1．（24-25七年级·全国·假期作业）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是；若，则第2017次运算结果是（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意所给的定义新运算可得当时，第一次经运算是32，第二次经运算是1，第三次经运算是8，第四次经运算是，由此规律可进行求解． 【详解】解：由题意时，第一次经运算是32，第二次经运算是1，第三次经运算是8，第四次经运算是； 以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， 第2017次运算结果8， 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，关键是从题中所给新运算得出数字的一般规律，然后可进行求解． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】8 【分析】先根据已知等式发现个位数字是以为一循环，再根据即可得． 【详解】因为，，，，，，…， 所以个位数字是以为一循环，且， 又因为，， 所以的结果的个位数字是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键． 3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； (2)第②行的第n个数是__________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）观察可得从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； （2）观察可得第②行每个数等于第①行对应的数减去2，据此求解即可； （3）观察可得第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； 【详解】（1）解：第①行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第①行的第n个数可以表示为：， 第①行的第8个数是， 第①行的第n个数是， 故答案为：，； （2）解：观察可得，第②行每个数等于第①行对应的数减去2， ∴第②行的第n个数是； （3）解：第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第③行的第n个数可以表示为：， 第①行的第10个数是，第②行的第10个数是，第③行的第10个数， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的乘方和探究数的规律，找到并表示出数列的规律是解题的关键． 4．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）【阅读】求值． 【运用】仿照此法计算： 解：设① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②①得：， 即：， (1)； (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作次，依次得到小正方形．      完成下列问题： ①小正方形的面积等于 ； ②求正方形的面积和． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）根据例题，原式乘以5，然后两式相减即可求解． （2）①根据有理数乘方的意义，表示出，找到规律即可求解． ②根据（1）的方法，进行计算即可求解． 【详解】（1）设 ，得： ，得： 则 （2）①∵，……， ∴， 故答案为：； ②①， 得：②， 得：， ∴， 即． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解例题的解法是解题的关键． 【典型例题十二 有理数乘方的新定义运算】 【例1】 （24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）定义一种新的运算：a*b＝ab，如－4*2＝（－4）2＝16，则－1*2019的值是（      ） A．－2019 B．1 C．－1 D．2019 【答案】C 【分析】根据a*b＝ab，直接计算即可. 【详解】解：∵a*b＝ab， ∴－1*2019＝（－1）2019＝－1， 故选C. 【点睛】本题考查了有理数的乘方运算，熟练掌握运算法则并正确理解新定义是解题关键. 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）定义：对于任意有理数a，b，都满足aⓧb=(a-b)2+4ab，若x2-18x+y2+20y+181=0，则xⓧy=（  ） A．1 B．-1 C．361 D．-361 【答案】A 【分析】先把x2-18x+y2+20y+181=0变形为(x-9)2+(y+10)2=0，由非负数的性质可求出x和y的值，把求得的x和y的值代入到xⓧy，按照新定义的算理计算即可． 【详解】解：∵x2-18x+y2+20y+181=0， ∴(x-9)2+(y+10)2=0， ∴x-9=0，y+10=0， ∴x=9，y=-10， ∵aⓧb=(a-b)2+4ab=(a+b)2， ∴当x=9，y=-10时， xⓧy=(9-10)2=1． 故选A． 【点睛】本题考查了非负数的性质，新定义运算，完全平方公式的变形求值，根据非负数的性质可求出x和y的值是解答本题的关键． 【例3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）根据乘方的定义，补全计算过程： ． 【答案】 【分析】根据乘方的意义即可解答． 【详解】解：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，掌握表示m个相乘是解答本题的关键． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： （1） ；（2） ； 【答案】 / 【分析】本题主要考查了有理数的乘方计算： （1）根据题意即可得到答案； （2）先把原式变形为，进而得到，据此计算求解即可． 【详解】解；（1）由题意得，， 故答案为：； （2） ， 故答案为：． 1．（24-25七年级·浙江温州·阶段练习）现规定一种新运算“*”：a*b=，如3*2==9，则（）*3=（ ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：根据新运算法则可知（）*3= ．故选C． 考点：有理数的乘方． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）我们规定一个新数“”，使其满足，，并且进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有， ，，．那么= ，= ． 【答案】 - 0 【分析】由从而可得第一空的答案；由结合从而可得第二空的答案． 【详解】解： 所以：上式＝ 故答案为： 【点睛】本题考查新定义情境下的有理数的运算，考查了运算中的规律发现与概括，掌握新定义的含义及总结运算规律是解题的关键． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)_________； (2)_________； (3)计算：． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据乘方的定义求解即可； （2）根据乘方的定义求解即可； （3）首先根据乘方的定义将（﹣）2022，化成（﹣）2021×（﹣），再根据乘方的定义求解即可． 【详解】（1）解：（1）52×62＝=900=  ， 故答案为：； （2）解：m2×n2＝(mn)2， 故答案为：(mn)2； （3）解：（﹣2）2021×（﹣）2022 ＝（﹣2）2021×（﹣）2021×（﹣） ＝ ＝ ＝ ． 【点睛】本题考查乘方的定义，解答本题的关键是熟知乘方的定义． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 【答案】(1)， (2)B (3)； (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解与运用； （1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）根据题意确定出所求即可； （3）利用题中的新定义计算即可求出值； （4）原式变形后，计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 故答案为：；； （2）A．任何非零数的次商都等于，说法正确，不符合题意； B．对于任何正整数，当为奇数时，；当为偶数时，，原说法错误，符合题意； C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，说法正确，不符合题意； D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，不符合题意． 故选：B； （3）解： 故答案为：；． （4） 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）2024年，我国粮食产量首次跃上14000亿斤新台阶，“14000亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：14000亿． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）古书中，太阴、玄兔，婵娟、玉盘都可代指月亮，目前已测出月球与地球的近地点距离约为36.33万千米，近似数36.33万精确到（   ） A．百位 B．百分位 C．千分位 D．万位 【答案】A 【分析】本题考查了近似数，由36.33万即可得解，熟练掌握近似数的相关知识点是解此题的关键． 【详解】解：36.33万， 故近似数36.33万精确到百位， 故选：A． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期末）甲、乙、丙、丁四位同学，学了有理数的乘方之后，发表了一下自己的见解： 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果；丙：中底数是，指数是5； 丁：是个7相乘． 其中，观点正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的乘方，有理数幂的概念理解,熟练掌握有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则是解题的关键．根据有理数的乘方的意义以及有理数乘方法则以及有理数幂的概念理解逐个判断即可． 【详解】解：是5个2相乘；故甲观点错误， ，，与是相同的结果，故乙观点正确， 中底数是，指数是5，故丙观点正确， 是7个m相乘，故丁观点错误， 故观点正确的有1个， 故选：B 4．（2025·山东威海·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，理解例题的计算方法，按照例题代入计算即可． 将二进制数转换为三进制数，需先将二进制数转换为十进制数，再将十进制数转换为三进制数． 【详解】∵二进制数的各位权值从右到左依次为， 对应数值为： ∴二进制数对应的十进制数为 11． 将十进制数 11 转换为三进制数，采用“除3取余法”： ，余数为2； ，余数为0； ，余数为1． 将余数倒序排列，得到三进制数为． 故选：A． 5．（24-25七年级上·四川资阳·阶段练习）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大，保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力，看似“码码相同”，实则“码码相同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码，根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：等于； JXND（觉醒年代）：的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大． 其中对的理解错误的网友是（      ） A．YYDS B．DDDD C．JXND D．QGYW 【答案】B 【分析】由乘方的定义可知，就是200个2相乘，是2个200相乘；通过计算可得的尾数2，4，8，6循环，由循环规律可确定的个位数字是6；由积的乘方运算可得，，由此可得，从而可求解． 【详解】解：就是200个2相乘， （永远的神）的说法正确； 就是200个2相乘，是2个200相乘， 不等于， （懂的都懂）说法不正确； ，，，，，， 的尾数2，4，8，6循环， ， 的个位数字是6， （觉醒年代）说法正确； ，， ，， ， ， （强国有我）说法正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的性质，积的乘方运算法则，尾数的循环规律是解题的关键． 6．（24-25九年级·江苏南京·自主招生）3，4，5，6算“24点”，写出算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的混合运算，进行计算即可求解． 【详解】解：； 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 7．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 【答案】 奇数 0 【分析】的奇次方为，的偶次方为；再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当整数为奇数时，； 当整数为奇数时，则为偶数， ∴， 当整数为偶数时，则为奇数， ； 故答案为：奇数，0 【点睛】本题考查的是负1的奇次方与偶次方，熟记乘方的含义与乘方的符号确定方法是解本题的关键． 8．（24-25七年级上·山东青岛·期末）用图1所示的科学计算器按图2的按键顺序进行操作，则计算结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据按键顺序列出式子，计算即可，熟知科学计算器，熟练进行运算是解题的关键． 【详解】解：由题意可列出式子， 故答案为：． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 【答案】 444444888889 【分析】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25即可； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． 【详解】（1）计算末位是5的两位整数的平方，将十位上的数乘比它大1的数，所得结果后面添上25， 如：，即； ：，即； ：，即； （2）结果中4的个数比底数中6的个数多1，8的个数等于底数中的6的个数﹐最末位数字都是9． ∴． 故答案为：；；． 【点睛】本题主要考查有理数乘方规律应用，找到题中数字规律是解题的关键． 10．（24-25七年级上·云南昆明·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．我们最常用的是十进制，约定逢十进一就是十进制，基数是10，基数是2；八进制就是逢八进一；不同的进位制数之间可以进行相互转换．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 如二进制数1011转换为十进制数是11，即， 其中规定； 三进制数1011转换为十进制数是31，即； 八进制数135转换为十进制数是93，即； 则七进制数202转换为十进制数是 ．（只填计算结果） 【答案】100 【分析】本题考查有理数的混合运算的应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解： ， 即七进制数202转换为十进制数是100， 故答案为：100． 11．（24-25七年级上·河南商丘·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查的是有理数的加减混合运算，有理数的混合运算． 利用有理数的加减混合运算的运算法则进行计算即可； 利用有理数的混合运算的运算法则进行计算即可； 先将给出的式子进行变形，然后利用乘法分配律进行展开求解即可； 利用有理数的混合运算的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式= ； （4）解：原式 12．（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知． (1)求x，y的值； (2)求的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）首先根据绝对值及平方的非负性求出x，y的值，然后代入即可求出答案； （2）先将x，y的值代入，然后根据有理数的乘法计算，即可求解； （2）先将x，y的值代入，然后将每一项拆分成两项之差的形式，可以抵消中间项，最后计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查代数式的求值，掌握绝对值和平方的非负性求出x，y的值是关键． 13．（23-24七年级上·吉林松原·期中）请你参加计算游戏： (1)“算24点”游戏：有四个数，可以按下面方式计算：，．利用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号），每个数必须用一次且只能用一次，最终计算结果为24．下面有四个数：，请列出一个符合要求的算式，并写出计算全过程； (2)请在内填上中的一个，使计算更加简便，然后计算． 计算：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过四个数的组合运算，列出结果为24的算式即可． （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解：答案不唯一，例如 方法一： ； 方法二： ； （2）内的符号应是； ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，利用了“24”点游戏为背景，蕴含了对混合运算的法则和顺序的考查，是一道开放性试题． 14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）（1）填表：     　 　   　 　 　 　 （2）通过填表，小明发现：当为正整数时，无论、取何值，代数式和的值总相等，并写出了如下说理过程，请你将它补充完整． （_______________________） =_______________________（乘法交换律、___________） =． 【答案】（1），，；（2）乘方的定义，，结合律. 【分析】（1）将，的值代入计算即可求解； （2）根据乘方的定义以及乘法运算律完成填空即可． 【详解】（1）， ， ． 故答案为：，，． （2） （乘方的定义） （乘法交换律、结合律） ． 故答案为：乘方的定义，，结合律． 【点睛】本题考查了乘方的定义，乘法运算律，掌握乘方的意义是解题的关键． 15．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 有理数的乘方与混合运算 （2大知识点+12大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 用科学记数法表示绝对值大于1的数 典型例题二 求一个数的近似数 典型例题三 有理数幂的概念理解 典型例题四 求近似数的精确度 典型例题五 有理数的乘方运算 典型例题六 有理数乘方逆运算 典型例题七 算“24”点 典型例题八 乘方运算的符号规律 典型例题九 含乘方的有理数混合运算 典型例题十 程序流程图与有理数计算 典型例题十一 乘方的应用 典型例题十二 有理数乘方的新定义运算 知识点01 有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）若，则的值为（　　） A． B．6 C．10 D．16 【即时训练】 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）计算： ． 知识点02 有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【即时训练】 1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）下列计算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）计算下列各题： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 【典型例题一 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）安徽省2025年第一季度工业用电量为521.7亿千瓦时，其中521.7亿用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·期中）在2025年初的科技界，一款名为DeepSeek的人工智能应用程序异军突起，引发了全球用户的热烈关注．这款应用于1月11日正式上线，仅仅数周时间就迎来了破亿的下载量，显示了其强大的市场吸引力．根据数据分析，自发布至2月9日，DeepSeek的累计下载量已突破亿．将数据亿用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·浙江温州·期末）2025年春节期间，重庆洪崖洞景区接待游客超1370000人次，将数据1370000用科学记数法表示为 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江衢州·期中）年“春节”假期，我市国有景区接待游客数量超过万人，将万人用科学记数法表示为 ． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）经文化和旅游部数据中心测算，2025年春节假期8天，浙江杭州出游人次，将数据用科学记数法表示是（   ） A．． B．． C．． D．． 2．（2025·浙江绍兴·模拟预测）将用科学记数法表示为 ． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·单元测试）在一次救灾行动中，大约有人需要安置．假如一顶帐篷占地，帐篷内可以放置40个床位，若将上述受灾的人都进行安置，则需要多少顶帐篷？这些帐篷大约要占多大面积？ 4．（24-25七年级上·贵州安顺·期中）综合与实践． 活动主题：估算大米有多重 实际操作：一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食的现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得500粒大米约重10克． 拓展运用： (1)一粒大米约重多少克？ (2)按我国现有人口14亿，每年365天计算，若每人每天节约一粒大米，一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） (3)假若我们把一年节约的大米按5元/千克的价格出售，可卖得多少元？（用科学记数法表示） 【典型例题二 求一个数的近似数】 【例1】（24-25七年级上·陕西渭南·期中）用四舍五入法将2.796精确到百分位，所得到的近似数为（   ） A．2.79 B．2.7 C．2.80 D．2.8 【例2】（24-25七年级上·四川宜宾·期末）我们把形如的式子叫做二次根式，其中对用四舍五入法取近似值，其中正确的是（   ） A． （精确到百分位） B． （精确到个位） C． （精确到0.0001） D． （精确到0.001） 【例3】（24-25七年级上·江苏苏州·期末）把圆周率精确到，其近似值为 ． 【例4】（24-25七年级上·山东青岛·开学考试）世界上最大的海洋是太平洋，面积是17996800平方千米，改写成以“万”为单位的数为 万平方千米，四舍五入到“万”位是 万平方千米． 1．（23-24七年级上·四川凉山·阶段练习）期中考试后，小明用计算器计算出他六科的平均成绩为分．对小明这六科的平均成绩，下面用四舍五入法按要求取近似值，其中错误的是（    ） A．（精确到千分位） B．（精确到） C．（精确到） D．（精确到个位） 2．（24-25七年级上·湖南长沙·开学考试）一个小数的整数部分是最大的两位数，小数部分的千分位是最小的合数，百分位是最小的质数，十分位是最小的自然数，这个数是 ．用四舍五入法省略百分位后面的尾数求近似数是 ． 3．（23-24七年级上·浙江杭州·课堂例题）按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数，并将结果写在后面的横线上． （）（精确到）； ； （）（精确到十分位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到个位）； ； （）（精确到）； ； （）（精确到千分位）． ． 4．（24-25七年级上·广西崇左·阶段练习）按要求完成下列各题 (1)完成下列各数的近似数            （精确到十分位）                 （精确十位）          （精确到百分位）              （精确到百分位） (2)光年是天文学中的距离单位，1光年大约是，用科学记数法表示为 ． (3)截至年底，我国已建立的国家级自然保护区总面积约，用科学记数法表示为 ． (4)据工信部数据显示，年我国移动电话用户总数达到亿户，用科学记数法表示为 户． (5)地球上已发现的生物约种，用科学记数法表示为 种．   【典型例题三 有理数幂的概念理解】 【例1】（24-25七年级上·河北唐山·期中）化简＝（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·北京·期中）对乘积记法正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·四川成都·期末）杨老师在黑板上写下“”，读作： ，计算的结果是 ． 【例4】（24-25七年级上·云南曲靖·期中）计算的结果可用幂的形式表示为 ． 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）若是的倍，则的值是（　　） A．2 B．8 C． D． 2．（2025七年级上·浙江杭州·专题练习）填空： ； ； ； ； ； ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）写出下列各幂的底数与指数： （1）在()6中，底数是________，指数是________； （2）在a4中，底数是________，指数是________； （3）在(－6)4中，底数是________，指数是________ 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）概念学习 规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等．类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把（a≠0）记作，读作“a的圈n次方”． 初步探究 （1）直接写出计算结果： = ，= ； （2）关于除方，下列说法错误的是 A．任何非零数的圈2次方都等于1；    B．对于任何正整数n，1的圈n次方都等于1；    C．       D．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数． 深入思考： 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式． 的圈4次方＝　 　；5的圈5次方＝　 　；的圈6次方＝　 　． （2）想一想：将一个非零有理数a的圈n次方写成幂的形式等于________； （3）算一算：． 【典型例题四 求近似数的精确度】 【例1】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（   ） A．0.2与0.20精确度相同 B．精确到了十万位 C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位 【例2】（24-25七年级上·浙江宁波·期中）用四舍五入法对取近似数，得到的结果不正确的是（   ） A．（精确到万分位） B．（精确到） C．（精确到） D．（精确到百分位） 【例3】（2025·山东烟台·模拟预测）近似数精确到 位． 【例4】（23-24七年级上·四川乐山·期末）精确到 位，万精确到 位． 1．（2024七年级上·云南·专题练习）下列关于近似数的说法： ①近似数精确到十分位； ②近似数万精确到； ③近似数和近似数的精确度相同． 其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）近似数2.67万精确到 ， 的倒数是 ，  单项式－的系数为 . 3．（2025七年级·浙江杭州·专题练习）下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？ (1)600万 (2)7.03万 (3)5.8亿 (4)3.30×105 4．（24-25六年级下·江苏南京·期末）据南京智慧旅游大数据运行监测平台显示，2025年端午假期全市接待游客568万人次，乡村旅游点游客量达429300人次，其中，外地游客文旅消费总额亿元，同比增长． (1)乡村旅游点游客量改写成用“万”作单位是( )万人次；外地游客文旅消费总额精确到“亿”位约是( )亿元． (2)568万是一个近似数，请在数轴上用“· ”表示出来． 【典型例题五 有理数的乘方运算】 【例1】（24-25七年级上·河北保定·期中）（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·湖南永州·期中）计算的值是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： ．（用2的乘方表示） 【例4】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）已知，则的值是 ． 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）若，则对、、、排列正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）如图，在正五边形中，已知a，b，c，d，e为正整数，且每条边上三个数的和都等于，则 3．（2024七年级上·江苏无锡·竞赛）设四位数满足，求出满足条件的所有的四位数． 4．（24-25七年级上·河南漯河·期中）规定：如果，那么称a为b的劳格数，记为，由定义可知：与所表示的是a、b两个量之间的同一关系． (1)根据劳格数的定义，填空：______； (2)劳格数有如下运算性质：若m、n为正数，则，．根据运算性质，填空： ①______（b为正数）； ②若，则______，______；（答案精确到小数点后一位） ③当，，，写出a，b，c之间的等量关系，并说明理由． 【典型例题六 有理数乘方逆运算】 【例1】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如果，则是（   ） A．8或 B． C．4 D．4或 【例2】（23-24七年级上·甘肃兰州·期中）《庄子·天下篇》讲到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”意思是说一尺长的木棍，每天截取它的一半，千秋万代也截不完．一天之后“一尺之棰”剩尺，两天之后剩尺，那么五天之后，这个“一尺之棰”还剩（    ） A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【例3】（24-25七年级上·福建厦门·期中）若，则 ． 【例4】（24-25七年级上·广东汕头·期中）中学数学中，我们知道加减运算是互逆运算，乘除运算也是互逆运算；其实乘方运算也有逆运算，如式子可以变形为，也可以变形为，类似的，表示为 ． 1．（2025·山东枣庄·模拟预测）定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 2．（2025七年级·江苏·专题练习）定义一种新运算，若，则，例，．已知，则x的值为 ． 3．（24-25七年级上·云南昭通·阶段练习）阅读下列各式：，，，… 解答下列问题： (1)写出 ，猜想： ． (2)计算：． 4．（24-25七年级上·重庆云阳·期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题． 如果  的次幂等于，即指数式，那么数叫做以为底的对数，对数式记作：例如： ①因为指数式，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：； ②因为指数式，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：． (1)请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式： ①；② (2)将下列对数式改为指数式： ①=2 ② (3)计算： 【典型例题七 算“24”点】 【例1】（23-24七年级上·广东佛山·开学考试）“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【例2】（24-25七年级上·湖北鄂州·期末）“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【例3】（24-25七年级上·重庆·期末）有一种“24点”游戏规则：根据提供的四个数（每个数必须都使用一次且不能使用这四个数之外的其他数）用加、减、乘、除四则运算（可用括号）列出一个结果等于24的算式．现有四个数：，请你列出一个“24点”算式： ． 【例4】（24-25七年级上·广东佛山·期末）游戏“点”规则如下：从一副扑克牌（去掉大王、小王）中任意抽取张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次），使得运算结果为，其中红色（方块、红桃）扑克牌代表负数，黑色（梅花、黑桃）扑克牌代表正数．请用如图抽取出的张牌，写出一个符合规则的算式： ． 1．（24-25七年级上·浙江温州·期中）有一种算“24点”的游戏，其游戏规则如下：取四个数，将这四个数（每个数只能用一次）进行加减乘除运算，使其结果等于24．现有四个有理数：3，4，，10，运用上述规则，下列算式中不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）七（1）班数学学习兴趣小组在学习了有理数的加、减、乘、除运算后，按照苏科版数学课本七年级上册第1章“数学探究”《算“24”》中的方法玩算“24”游戏，即一副扑克牌（去掉“大王”、“小王”）中任意抽4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌只能用一次），使得运算结果为24．其中，，分别代表11，12，13，并规定黑桃、梅花为正数，红桃、方块为负数．若某一次游戏中抽到的4张牌分别是黑桃3、方块4、梅花6、红桃．则可列出“24”的算式为： 24． 3．（24-25七年级上·广东汕头·期中）红红有5张写着以下数字的卡片，请你按要求抽出卡片，解决下列问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相减的差最大，最大值是______． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上的数字相除的商最小，最小值是______． (3)从中取出0以外的4张卡片，将这4个数字进行加、减、乘、除、乘方混合运算，使结果为24，写出一种符合要求的运算等式．（注：每个数字只能用一次）． 4．（24-25七年级上·广东佛山·期中）24点游戏是一种使用扑克牌来进行的益智类游戏，游戏内容是：从一副扑克牌（去掉大王、小王剩下52张）中任意抽取4张牌，把牌面上的数字进行混合运算，使得运算结果为24．每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号．其中♥，♦表示正，♣，♠表示负，分别代表1，11，12，13． （1）在玩“24点”游戏时，小明抽到图1的4张牌，请你帮他写出2个运算结果为24的算式：______，______； （2）在玩“24点”游戏时，小刚抽到图2的4张牌，请你帮他写出1个运算结果为24的算式：______． 【典型例题八 乘方运算的符号规律】 【例1】（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段练习）若 ，则一定有（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·河北唐山·期中）通过计算器计算发现：，，……，按照以上的规律计算的结果是（    ） A．123454321 B．1234564321 C．1234567654321 D．123456787654321 【例3】（24-25七年级上·四川南充·期中）已知的最大值为 ． 【例4】（23-24七年级上·广东揭阳·期末）计算： 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）观察下列三组数的运算：，；，；，．联系这些具体数的乘方，可以发现规律．下列用字母表示的式子：①当时，；②当时，．其中表示的规律正确的是（    ） A．① B．② C．①、②都正确 D．①、②都不正确 2．（24-25七年级上·甘肃白银·期中）观察下列算式：根据上述算式中的规律，你认为的末位数字是 ． 3．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）已知关于x的方程的解是，试求的值． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）观察下面三行数： 2、、8、、32、……① 1、、4、、16、……② 0、6、、18、、66……③ 取每一行的第n个数，依次记为a，b，c． 例如上图中，当时，，，， (1)当时，________，________，________； (2)写出第①行的第n个数________；第②行的第n个数________； (3)是否存在某一列的三个数a，b，c使得？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由． 【典型例题九 含乘方的有理数混合运算】 【例1】（24-25七年级上·广西河池·期末）请把二进制数转换成十进制数（  ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·云南保山·期末）在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四名同学分别做了一道有理数计算题，你认为做对的同学是（    ） 甲：    乙： 丙：    丁： A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【例3】（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算的结果是 ． 【例4】（2025·宁夏银川·模拟预测）根据《易经》中的结绳记数方法，满七进一，将七进制数转换为十进制数来计算孩子自出生后的天数．如图1，孩子出生后的天数（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是 天． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）我国古代《易经》一书中记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，按照从右到左的顺序满五进一，即“结绳计数”．某天两同学背单词比赛，如图①是同学和同学在绳子上打结记录的背单词的总数量，图②是同学比同学多背诵的单词数量．则在这一天，同学背诵的单词数量是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（24-25七年级上·辽宁营口·期末）七年级（1）班在综合与实践“进位制的认识与探究”学习中认识了进位制并理解了不同进位制的数之间的转换．奋进小组在研学过程中绘制了二进制与十进制的比较表格如下： 十进制 0 1 2 3 4 5 6 … 二进制 0 1 10 11 100 101 110 … 请你将二进制数写成十进制数为 ． 3．（24-25七年级上·重庆·自主招生）快速计算，直接填空 (1) (2) (3) (4) (5) 4．（24-25七年级上·广东揭阳·期末）【概念学习】 现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如：，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作n个，读作“a的圈n次方”． 【初步探究】 （1）直接写出计算结果：_______，_______； （2）下列关于除方说法中，错误的是：_______． A：任何非零数的圈2次方都等于1 B：对于任何正整数n， C： D：负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 【深入思考】 我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ （3）试一试：仿照上面的算式，把下列除方运算直接写成幂的形式： _______，_______． （4）想一想：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：_______． （5）计算：． 【典型例题十 程序流程图与有理数计算】 【例1】（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）一个数值运算程序如图所示，当输入的值为时，输出结果为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·山东聊城·模拟预测）定义一种对正整数的“”运算：当为奇数时，；当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数），两种运算交替进行，例如，取，则有，按此规律继续计算，则第次“”运算的结果是（　　） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·山东青岛·期中）如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是 ．    【例4】（23-24七年级上·河北石家庄·期中）如图，是一个计算装置示意图，A、B是数据输入口，C是计算输出口，计算过程是由A、B分别输入自然数m和n，经计算后得整数k由C输出，此种计算装置完成的计算满足以下三个性质： ①若，时，； ②若m输入任何固定的自然数不变，n输入自然数增大1，则k比原来增大2； ③若n输入任何固定的自然数不变，m输入自然数增大1，则k为原来的2倍． 试解答以下问题： （1）当，时，k的值为 ； （2）当，时，k的值为 ； （3）当A输入自然数m，B输入1时，k的值为 ． 1．（23-24七年级上·四川眉山·期末）定义一种对正整数的“运算”：①当为奇数时，结果为；②当为偶数时，结果为（其中是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如：时，其“运算”如下： 若，则第次“运算”的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）如图所示，这是一个运算程序示意图，若第一次输入k的值为24，则第2023次输出的结果是 ． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期中）仔细观察下图的操作步骤，然后回答问题．（写出计算过程） 求当输入的数分别是和4时，输出的数分别是多少？ 4．（24-25七年级上·上海宝山·期末）根据如图所示的程序回答问题： (1)当小红输入和这两个数时，请计算说明：她的输出的结果是多少？ (2)当小王输入和这两个数时．输出的结果是4，试求被墨水污染的数． 【典型例题十一 乘方的应用】 【例1】24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图，用边长为2的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据大正方形面积等于两个小正方形面积和即可得到答案． 【详解】解：设大正方形边长为a，由题意可得， ， ∵， ∴大正方形的边长最接近的整数是3， 故选B． 【点睛】本题考查幂的运算，解题的关键是根据题意找到有大正方形的边长的等式． 【例2】（24-25七年级上·浙江温州·期中）阅读材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为．如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么（    ） A．7 B．11 C．13 D．17 【答案】A 【分析】根据新定义进行计算便可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数乘方，有理数加法，定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题的关键． 【例3】（24-25七年级上·浙江·期末）若，则 ， ． 【答案】 2 【分析】本题考查了非负数的性质，①非负数有最小值是零；②有限个非负数之和仍然是非负数；③有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零．根据非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：2，． 【例4】（23-24七年级上·浙江湖州·阶段练习）你喜欢吃拉面吗？拉面馆的师傅，用一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再拉伸，反复几次，如草图所示．这样捏合到第8次后可拉出 根细面条． 【答案】256 【分析】此题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：∵第1次后可拉出2根， 第2次后可拉出根， 第3次后可拉出根， … ∴第8次后可拉出根，， 故答案为：256． 1．（24-25七年级·全国·假期作业）定义一种关于整数的“”运算： （1）当是奇数时，结果为； （2）当是偶数时，结果是（其中是使是奇数的正整数），并且运算重复进行． 例如：取，第一次经运算是29，第二次经运算是92，第三次经运算是23，第四次经运算是；若，则第2017次运算结果是（    ） A．1 B．2 C．7 D．8 【答案】D 【分析】由题意所给的定义新运算可得当时，第一次经运算是32，第二次经运算是1，第三次经运算是8，第四次经运算是，由此规律可进行求解． 【详解】解：由题意时，第一次经运算是32，第二次经运算是1，第三次经运算是8，第四次经运算是； 以后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1， 第2017次运算结果8， 故选：D． 【点睛】本题主要考查有理数混合运算的应用，关键是从题中所给新运算得出数字的一般规律，然后可进行求解． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期末）观察下列等式：，，，，，，…，根据其中的规律可得的结果的个位数字是 ． 【答案】8 【分析】先根据已知等式发现个位数字是以为一循环，再根据即可得． 【详解】因为，，，，，，…， 所以个位数字是以为一循环，且， 又因为，， 所以的结果的个位数字是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了有理数乘方的规律型问题，根据已知等式正确发现个位数字的变化规律是解题关键． 3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）观察下面三行数： 2，，8，，32，，…；① 0，，6，，30，，…；② ，2，，8，，32，…；③ 观察发现：每一行的数都是按一定的规律排列的．通过你发现的规律，解决下列问题． (1)第①行的第8个数是__________，第n个数是__________； (2)第②行的第n个数是__________； (3)取每行数的第10个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）观察可得从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； （2）观察可得第②行每个数等于第①行对应的数减去2，据此求解即可； （3）观察可得第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以，据此求解即可； 【详解】（1）解：第①行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第①行的第n个数可以表示为：， 第①行的第8个数是， 第①行的第n个数是， 故答案为：，； （2）解：观察可得，第②行每个数等于第①行对应的数减去2， ∴第②行的第n个数是； （3）解：第③行，从第2个数开始，后面的数等于前面的数乘以， ∴第③行的第n个数可以表示为：， 第①行的第10个数是，第②行的第10个数是，第③行的第10个数， ∴． 【点睛】本题考查了有理数的乘方和探究数的规律，找到并表示出数列的规律是解题的关键． 4．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）【阅读】求值． 【运用】仿照此法计算： 解：设① 将等式①的两边同时乘以2得：② 由②①得：， 即：， (1)； (2)【延伸】如图，将边长为1的正方形分成个完全一样的小正方形，得到左上角一个小正方形为，选取右下角的小正方形进行第二次操作，又得到左上角更小的正方形，依次操作次，依次得到小正方形．      完成下列问题： ①小正方形的面积等于 ； ②求正方形的面积和． 【答案】(1)； (2)①；②． 【分析】（1）根据例题，原式乘以5，然后两式相减即可求解． （2）①根据有理数乘方的意义，表示出，找到规律即可求解． ②根据（1）的方法，进行计算即可求解． 【详解】（1）设 ，得： ，得： 则 （2）①∵，……， ∴， 故答案为：； ②①， 得：②， 得：， ∴， 即． 【点睛】本题考查了有理数乘方的应用，理解例题的解法是解题的关键． 【典型例题十二 有理数乘方的新定义运算】 【例1】 （24-25七年级上·浙江衢州·阶段练习）定义一种新的运算：a*b＝ab，如－4*2＝（－4）2＝16，则－1*2019的值是（      ） A．－2019 B．1 C．－1 D．2019 【例2】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）定义：对于任意有理数a，b，都满足aⓧb=(a-b)2+4ab，若x2-18x+y2+20y+181=0，则xⓧy=（  ） A．1 B．-1 C．361 D．-361 【例3】（24-25七年级上·浙江湖州·期末）根据乘方的定义，补全计算过程： ． 【例4】（24-25七年级上·浙江宁波·期末）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： （1） ；（2） ； 1．（24-25七年级·浙江温州·阶段练习）现规定一种新运算“*”：a*b=，如3*2==9，则（）*3=（ ） A． B．8 C． D． 2．（24-25七年级上·浙江金华·期中）我们规定一个新数“”，使其满足，，并且进一步规定：一切有理数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有， ，，．那么= ，= ． 3．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）由乘方的定义可知：（n个a相乘）．观察下列算式回答问题： (1)_________； (2)_________； (3)计算：． 4．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）2024年，我国粮食产量首次跃上14000亿斤新台阶，“14000亿”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）古书中，太阴、玄兔，婵娟、玉盘都可代指月亮，目前已测出月球与地球的近地点距离约为36.33万千米，近似数36.33万精确到（   ） A．百位 B．百分位 C．千分位 D．万位 3．（24-25七年级上·山东淄博·期末）甲、乙、丙、丁四位同学，学了有理数的乘方之后，发表了一下自己的见解： 甲：是2个5相加； 乙：与是不同的结果；丙：中底数是，指数是5； 丁：是个7相乘． 其中，观点正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．（2025·山东威海·模拟预测）2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功．与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率． 二进制数的组成数字为0，1．十进制数22化为二进制数： ． 传统三进制数的组成数字为0，1，2．十进制数22化为三进制数： ． 将二进制数化为三进制数为（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·四川资阳·阶段练习）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大，保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力，看似“码码相同”，实则“码码相同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码，根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：等于； JXND（觉醒年代）：的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大． 其中对的理解错误的网友是（      ） A．YYDS B．DDDD C．JXND D．QGYW 6．（24-25九年级·江苏南京·自主招生）3，4，5，6算“24点”，写出算式 ． 7．（23-24七年级上·河南漯河·阶段练习）当整数为 时，；若是正整数，则 ． 8．（24-25七年级上·山东青岛·期末）用图1所示的科学计算器按图2的按键顺序进行操作，则计算结果为 ． 9．（23-24七年级上·浙江杭州·课后作业）【问题解决】 例如：观察下面式子，根据规律填空： （1），，，，…， ， ． （2），，，，…， ． 10．（24-25七年级上·云南昆明·期末）进位制是人们为了记数和运算方便而约定的记数系统．我们最常用的是十进制，约定逢十进一就是十进制，基数是10，基数是2；八进制就是逢八进一；不同的进位制数之间可以进行相互转换．一个数可以表示成各数位上的数字与基数的幂的乘积之和的形式． 如二进制数1011转换为十进制数是11，即， 其中规定； 三进制数1011转换为十进制数是31，即； 八进制数135转换为十进制数是93，即； 则七进制数202转换为十进制数是 ．（只填计算结果） 11．（24-25七年级上·河南商丘·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 12．（24-25七年级上·湖南永州·期中）已知． (1)求x，y的值； (2)求的值； (3)求的值． 13．（23-24七年级上·吉林松原·期中）请你参加计算游戏： (1)“算24点”游戏：有四个数，可以按下面方式计算：，．利用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号），每个数必须用一次且只能用一次，最终计算结果为24．下面有四个数：，请列出一个符合要求的算式，并写出计算全过程； (2)请在内填上中的一个，使计算更加简便，然后计算． 计算：． 14．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）（1）填表：     　 　   　 　 　 　 （2）通过填表，小明发现：当为正整数时，无论、取何值，代数式和的值总相等，并写出了如下说理过程，请你将它补充完整． （_______________________） =_______________________（乘法交换律、___________） =． 15．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$