专题04有理数加法与减法暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题04有理数加法与减法暑假预习讲义 1.结合数轴理解有理数加法的意义，熟记有理数加法五条运算法则，能区分同号、异号、与 0 相加三种情况。 2.掌握有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，明白减法可统一转化为加法运算。 3.会正确进行整数、分数、小数的有理数加减基础计算，规范书写运算步骤。 4.理解加法交换律、加法结合律，能运用运算律简化连加算式，学会凑整、同号归类简便计算。 5.能将加减混合算式统一写成省略加号的和式，熟练读出化简后的算式。 6.会利用有理数加减解决实际相反意义量应用题（行程、收支、温度变化等）。 7.区分运算符号与性质符号，减少符号写错、漏写负号等计算错误。 8.标记预习中看不懂的法则、易错计算题，课堂重点听讲纠错。 预习必备 知识梳理 1.有理数加法-数轴数形理解 2.有理数加法法则 3.加法运算律 4.有理数减法转化法则 5.加减混合运算化简规范 6.加减混合运算解题步骤 7.经典必考题型 8.高频易错汇总 常考题型 精讲精练. 1.有理数加法运算 2.有理数加法中的符号问题 3.有理数加法在生活中的应用 4.有理数加法运算律 5.有理数减法运算 6.有理数减法的实际应用 7.有理数的加减混合运算 8.有理数加减中的简便运算 9.有理数加减混合运算的应用 10.省略加法和括号的形式 11.有理数混合运算中的规律题 12.新定义运算 强化题型 解答题6题 知识点 01 有理数加法 —— 数轴数形理解 规定向右为正，向左为负，借助数轴移动直观理解加法含义： 1.同号两数相加：两次移动方向相同，总路程相加，最终方向不变； 2.异号两数相加：两次移动方向相反，最终位置为两段距离之差，偏向绝对值更大的数一侧； 3.一个数加 0：数轴上位置无变化，结果仍为原数。 知识点02:有理数加法法则（四大分类，必考背诵） 设两数a、b，分四类情况： 1.同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 例 1：(+3)+(+5)=+(3+5)=8 例 2：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 2.异号两数相加（绝对值不相等） 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例 1：(-8)+(+3)=-(8-3)=-5 例 2：(+9)+(-4)=+(9-4)=5 3.互为相反数的两数相加 法则：和为 0。 例：(-7)+7=0，3.2+(-3.2)=0 4.一个数与 0 相加 法则：仍得这个数。 例：0+(-6)=-6，12+0=12 5.加法运算步骤 (1)判断两数符号，区分同号、异号、含 0 三种情况； (2)确定和的符号； (3)计算绝对值的和或差； (4)组合符号与数值，得出结果。 6.有理数加法分类对比记忆表 相加两数类型 符号怎么定 绝对值怎么算 例题 同正 结果为正 绝对值相加 4+6=10 同负 结果为负 绝对值相加 (-4)+(-6)=-10 异号，负数绝对值更大 结果为负 大绝对值减小绝对值 (-9)+5=-4 异号，正数绝对值更大 结果为正 大绝对值减小绝对值 9+(-5)=4 互为相反数 结果为 0 两绝对值相等相减得 0 -2.5+2.5=0 任意数加 0 原数符号不变 绝对值不变 0+(−1.3)=−1.3 知识点 03 加法运算律（简便计算专用） 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变； 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，可优先结合部分加数简化计算。 1 同号结合：正数、负数分开分组相加； 2 凑零结合：互为相反数先相加，和为 0； 3 凑整结合：小数、分数搭配凑整数； 4 同分母分数优先结合计算。 知识点 04 有理数减法转化法则（本节重中之重） 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 字母公式a-b=a+(-b) 转化关键：两变一不变 1 运算符号改变：减号变加号； 2 减数符号改变：减数变为自身相反数； 3 被减数保持不变。 举例5-8=5+(-8)；-4-(-6)=-4+6；-3-7=-3+(-7) 知识点 05 有理数加减混合运算化简规范 转化步骤：全部减法统一换成加法，写成省略加号的和式 例题：(-6)-(+3)+(-2)-(-5) 原式=-6+(-3)+(-2)+5=-6-3-2+5 两种标准读法（考试书写、口述都要求掌握） 读法 1（和式标准读法）：负 6、负 3、负 2、正 5 的和； 读法 2（运算读法）：负 6 减 3 减 2 加 5。 知识点 06 加减混合运算标准解题步骤 1.化减为加：依据减法法则，全部减法转化加法； 2.去括号整理，写成省略加号的和式； 3.运用交换律、结合律分组简便运算； 4.各组分别求和，合并得到最终答案。 知识点 07 本节全类型经典必考题型 题型 1 基础单步有理数加法 分同号、异号、加 0 三类，直接套用加法法则计算。 例题：(-12)+(-18)；15+(-21)；0+(-7.5) 题型 2 基础有理数减法计算 牢记 “两变一不变”，先转化加法再计算。 例题：9-16；-5-(-13)；-4-9 题型 3 加减混合简便运算（单元必考大题） 灵活使用运算律凑零、凑整，减少计算失误。 例题：-3.4+7+3.4-10；--+ 题型 4 含绝对值的加减混合计算 先化简绝对值，再完成加减运算。 例题：|-5|-9+(-3)；7+|-2|-|-12| 题型 5 有理数加减实际应用题 常见场景：温度升降、收支盈亏、数轴行程、基准称重、水位变化； 解题逻辑：规定正负代表相反意义的量，列式计算，最后结合题意作答。 题型 6 相反数、绝对值综合加减求值 例题：已知|a|=4，b是-3的相反数，求a-b的值。 知识点08:高频易错点汇总（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 标准正确解法 出错根源 异号相加先算符号再算绝对值颠倒 -7+3=4 -7+3=-4 分不清取绝对值大数的符号 减法只变符号，不转换运算 5-(-2)=5-2=3 5-(-2)=5+2=7 忘记 “减负数 = 加正数” 两步变换 去多重括号符号混乱 -3-(5-2)=-3-5-2 -3-(5-2)=-3-5+2 括号前是负号，括号内全部变号 简便分组漏带数字符号 -8+6-2=-(8+2)+6 (-8-2)+6 移动数字时，符号要跟着数字走 互为相反数相加算错 6+(-6)=12 6+(-6)=0 未记住相反数相加和为 0 混合运算漏转化减法直接计算 -4-6=-2 -4+(-6)=-10 两个负数相减，忘记统一为加法 题型1.有理数加法运算 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】甲、乙两支同样的温度计按如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数正对着乙温度计的度数，那么此时甲温度计的度数正对着乙温度计的度数是______． 【跟踪专练3】有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 题型2.有理数加法中的符号问题 【典例】如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 【跟踪专练1】如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 题型3.有理数加法在生活中的应用 【典例】某日早晨气温是，到中午时气温上升了，则中午的气温是___________． 【跟踪专练1】春节假期期间某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】十分奇怪，我们家的七个成年人的生日非常接近，七个日期是：1月1日、1月31日、2月2日、2月20日、2月21日、2月23日和2月27日，为了方便起见，我们决定只举行一次生日宴会，选择的日期与每个生日的距离之和应当最小，选择的日期是（    ） A．1月31日 B．2月1日 C．2月9日 D．2月20日 【跟踪专练3】某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与n的对应关系如表： 投入（万元）渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 - - - - 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向_____渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为_____千人． 题型4.有理数加法运算律 【典例】嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】填空： ＝（加法______律） ＝（加法______律） ＝（______）＋（______）＝______． 【跟踪专练2】填空： _______+_____________+____________． 从中可知，分别把 ____数和 ____数结合在一起相加，计算更简便． 【跟踪专练3】下列运算结果正确的个数为（   ） ①；     ②； ③；           ④． A．4 B．3 C．2 D．1 题型5.有理数减法运算 【典例】下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 【跟踪专练1】对于有理数，若，则_____．（填“”“”或“”） 【跟踪专练2】小丽在计算1.39加一个一位小数时，错误地把数的末尾对齐，结果得到1.84，正确的得数是_________． 【跟踪专练3】小华用1个“”表示“”，用1个“”表示“”，借助图1解释了算式“”的运算过程与结果类似的，可以用图2解释的算式是（    ） A． B． C． D． 题型6.有理数减法的实际应用 【典例】中国是历史上最早认识和使用负数的国家．某地某天最高气温为零上6摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，则该地这天最高气温比最低气温高________摄氏度． 【跟踪专练1】某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 最低气温 其中温差最大的是（     ） A．1月1日 B．1月2日 C．1月3日 D．1月4日 【跟踪专练2】如图，一个的正方形网格中每个单元格中刚开始都写有数字0，之后每变化一次，其中的小正方形中的4个数字都减少1，该过程重复多次，最终得到第二张图片的形状，但有些数字被覆盖了，则表示的数字是______． 0 0 0 0 0 0 0 0 0 【跟踪专练3】某地的国际标准时间（）是指该地与格林尼治（）的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数） 城市 伦敦 北京 东京 多伦多 纽约 国际标准时间 0 北京时间早晨8点时，纽约的当地时间是（　　）点． A．前一天晚上7点 B．当天晚上7点 C．当天凌晨1点 D．前一天下午5点 题型7.有理数的加减混合运算 【典例】与相等的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】把算式写成代数和的形式：______． 【跟踪专练2】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是___________． 【跟踪专练3】题目：“表示不超过x（x是有理数）的最大整数，例如：，，计算：”该题的答案是2，后来式子中的一个数不小心被墨水污染了，甲、乙、丙三名同学尝试还原被污染的数，给出的结果为：甲，被污染的数是小于但大于的有理数；乙，被污染的数是；丙，被污染的数是大于但小于的有理数．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲对 C．只有丙对 D．只有乙和丙对 题型8.有理数加减中的简便运算 【典例】计算的结果是_________． 【跟踪专练1】请指出下面计算从哪一步开始出错（   ） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 【跟踪专练2】“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【跟踪专练3】计算：的值为（  ） A． B． C． D． 题型9.有理数加减混合运算的应用 【典例】泰州高港区某码头在长江水位监测中，记录了某日水位变化情况．若当日凌晨水位为米（以警戒水位为基准），中午上涨了米，下午又下降了米，则下午的水位为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【跟踪专练1】潜水艇上升为正，下降为负．若潜水艇先在距水面深处，两次记录情况分别是，，那么此时潜水艇在距水面 _______ 深处． 【跟踪专练2】某一电子昆虫落在数轴上的某点，从点开始跳动，第次向左跳个单位长度到，第次由向右跳个单位长度到，第次由向左跳个单位长度到，第次由向右跳个单位长度到，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，电子昆虫在数轴上的落点表示的数恰好是，则电子昆虫的初始位置所表示的数是______． 【跟踪专练3】计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 S 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（   ） A．195 B．2B C．6E D．C3 题型10.省略加法和括号的形式 【典例】把写成省略加号和括号的形式______． 【跟踪专练1】不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】写成省略加号的和的形式为 ___________． 【跟踪专练3】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 题型11.有理数混合运算中的规律题 【典例】一个点从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第二次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动个单位；则第次移动后这个点在数轴上表示的数是___________ 【跟踪专练1】如图，数轴上，点的初始位置表示的数为，现点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，点表示的数，是__________，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是__________． 【跟踪专练2】按按如下规律操作                 每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动个单位长度，第二次向反方向移动个单位长度，第三次向正方向移动个单位长度，第四次向反方向移动个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（    ） A． B． C． D． 题型12.新定义运算 【典例】规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： __________． 【跟踪专练1】对于有理数，，我们规定运算“”；． （1）计算：____； （2）对于任意有理数，，，若成立，则称运算“”满足结合律．请判断运算“”是否满足结合律：____（填“满足”或“不满足”）． 【跟踪专练2】定义：对于若干个有理数，先将每两个数作差(大数减小数，相等的数的差为0)，再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如：对于1，2，3进行“非负差值运算”，，则对于，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是_______． 【跟踪专练3】符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （），，，，； （），，，，． 利用以上规律计算：______． 解答题 1．计算 2．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 3．计算： (1) (2) (3) (4) 4．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 5．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 6．临近春节，小芳和妈妈买了一盒酥饼（总共枚），包装标注一盒酥饼总质量合格标准为（）克．为检验质量，小芳选取一个恰当值作为单枚标准质量，并将各枚与标准的差值（单位：克）记为正或负，称重后得到如下不完全的数据表： 第枚 质量（克） 与标准质量的差（克） 根据上述内容解答下列问题： (1)小芳选取的标准质量是_______克， _______， _______； (2)请你帮忙判断小芳妈妈买的酥饼在总质量上是不是合格的，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04有理数加法与减法暑假预习讲义 1.结合数轴理解有理数加法的意义，熟记有理数加法五条运算法则，能区分同号、异号、与 0 相加三种情况。 2.掌握有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数，明白减法可统一转化为加法运算。 3.会正确进行整数、分数、小数的有理数加减基础计算，规范书写运算步骤。 4.理解加法交换律、加法结合律，能运用运算律简化连加算式，学会凑整、同号归类简便计算。 5.能将加减混合算式统一写成省略加号的和式，熟练读出化简后的算式。 6.会利用有理数加减解决实际相反意义量应用题（行程、收支、温度变化等）。 7.区分运算符号与性质符号，减少符号写错、漏写负号等计算错误。 8.标记预习中看不懂的法则、易错计算题，课堂重点听讲纠错。 预习必备 知识梳理 1.有理数加法-数轴数形理解 2.有理数加法法则 3.加法运算律 4.有理数减法转化法则 5.加减混合运算化简规范 6.加减混合运算解题步骤 7.经典必考题型 8.高频易错汇总 常考题型 精讲精练. 1.有理数加法运算 2.有理数加法中的符号问题 3.有理数加法在生活中的应用 4.有理数加法运算律 5.有理数减法运算 6.有理数减法的实际应用 7.有理数的加减混合运算 8.有理数加减中的简便运算 9.有理数加减混合运算的应用 10.省略加法和括号的形式 11.有理数混合运算中的规律题 12.新定义运算 强化题型 解答题6题 知识点 01 有理数加法 —— 数轴数形理解 规定向右为正，向左为负，借助数轴移动直观理解加法含义： 1.同号两数相加：两次移动方向相同，总路程相加，最终方向不变； 2.异号两数相加：两次移动方向相反，最终位置为两段距离之差，偏向绝对值更大的数一侧； 3.一个数加 0：数轴上位置无变化，结果仍为原数。 知识点02:有理数加法法则（四大分类，必考背诵） 设两数a、b，分四类情况： 1.同号两数相加 法则：取相同的符号，并把绝对值相加。 例 1：(+3)+(+5)=+(3+5)=8 例 2：(-3)+(-5)=-(3+5)=-8 2.异号两数相加（绝对值不相等） 法则：取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 例 1：(-8)+(+3)=-(8-3)=-5 例 2：(+9)+(-4)=+(9-4)=5 3.互为相反数的两数相加 法则：和为 0。 例：(-7)+7=0，3.2+(-3.2)=0 4.一个数与 0 相加 法则：仍得这个数。 例：0+(-6)=-6，12+0=12 5.加法运算步骤 (1)判断两数符号，区分同号、异号、含 0 三种情况； (2)确定和的符号； (3)计算绝对值的和或差； (4)组合符号与数值，得出结果。 6.有理数加法分类对比记忆表 相加两数类型 符号怎么定 绝对值怎么算 例题 同正 结果为正 绝对值相加 4+6=10 同负 结果为负 绝对值相加 (-4)+(-6)=-10 异号，负数绝对值更大 结果为负 大绝对值减小绝对值 (-9)+5=-4 异号，正数绝对值更大 结果为正 大绝对值减小绝对值 9+(-5)=4 互为相反数 结果为 0 两绝对值相等相减得 0 -2.5+2.5=0 任意数加 0 原数符号不变 绝对值不变 0+(−1.3)=−1.3 知识点 03 加法运算律（简便计算专用） 加法交换律：a+b=b+a，交换加数位置，和不变； 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)，可优先结合部分加数简化计算。 四大简便分组技巧 1 同号结合：正数、负数分开分组相加； 2 凑零结合：互为相反数先相加，和为 0； 3 凑整结合：小数、分数搭配凑整数； 4 同分母分数优先结合计算。 知识点 04 有理数减法转化法则（本节重中之重） 法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数 字母公式a-b=a+(-b) 转化关键：两变一不变 1 运算符号改变：减号变加号； 2 减数符号改变：减数变为自身相反数； 3 被减数保持不变。 举例5-8=5+(-8)；-4-(-6)=-4+6；-3-7=-3+(-7) 知识点 05 有理数加减混合运算化简规范 转化步骤：全部减法统一换成加法，写成省略加号的和式 例题：(-6)-(+3)+(-2)-(-5) 原式=-6+(-3)+(-2)+5=-6-3-2+5 两种标准读法（考试书写、口述都要求掌握） 读法 1（和式标准读法）：负 6、负 3、负 2、正 5 的和； 读法 2（运算读法）：负 6 减 3 减 2 加 5。 知识点 06 加减混合运算标准解题步骤 1.化减为加：依据减法法则，全部减法转化加法； 2.去括号整理，写成省略加号的和式； 3.运用交换律、结合律分组简便运算； 4.各组分别求和，合并得到最终答案。 知识点 07 本节全类型经典必考题型 题型 1 基础单步有理数加法 分同号、异号、加 0 三类，直接套用加法法则计算。 例题：(-12)+(-18)；15+(-21)；0+(-7.5) 题型 2 基础有理数减法计算 牢记 “两变一不变”，先转化加法再计算。 例题：9-16；-5-(-13)；-4-9 题型 3 加减混合简便运算（单元必考大题） 灵活使用运算律凑零、凑整，减少计算失误。 例题：-3.4+7+3.4-10；--+ 题型 4 含绝对值的加减混合计算 先化简绝对值，再完成加减运算。 例题：|-5|-9+(-3)；7+|-2|-|-12| 题型 5 有理数加减实际应用题 常见场景：温度升降、收支盈亏、数轴行程、基准称重、水位变化； 解题逻辑：规定正负代表相反意义的量，列式计算，最后结合题意作答。 题型 6 相反数、绝对值综合加减求值 例题：已知|a|=4，b是-3的相反数，求a-b的值。 知识点08:高频易错点汇总（教师批改重点扣分点） 易错类型 错误示例 标准正确解法 出错根源 异号相加先算符号再算绝对值颠倒 -7+3=4 -7+3=-4 分不清取绝对值大数的符号 减法只变符号，不转换运算 5-(-2)=5-2=3 5-(-2)=5+2=7 忘记 “减负数 = 加正数” 两步变换 去多重括号符号混乱 -3-(5-2)=-3-5-2 -3-(5-2)=-3-5+2 括号前是负号，括号内全部变号 简便分组漏带数字符号 -8+6-2=-(8+2)+6 (-8-2)+6 移动数字时，符号要跟着数字走 互为相反数相加算错 6+(-6)=12 6+(-6)=0 未记住相反数相加和为 0 混合运算漏转化减法直接计算 -4-6=-2 -4+(-6)=-10 两个负数相减，忘记统一为加法 题型1.有理数加法运算 【典例】计算：________． 【答案】 【详解】解： 【跟踪专练1】将统一为加法运算，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的加减法法则，即可求解． 【详解】解：把统一为加法运算为． 【跟踪专练2】甲、乙两支同样的温度计按如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数正对着乙温度计的度数，那么此时甲温度计的度数正对着乙温度计的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，从度数移动到度数，则移动了个单位长度，又度数正对着乙温度计的度数，则甲温度计的度数正对着乙温度计的度数是，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意，从度数移动到度数，则移动了个单位长度， ∵度数正对着乙温度计的度数， ∴甲温度计的度数正对着乙温度计的度数是， 故答案为：． 【跟踪专练3】有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，．．．，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上．如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则卡片上的数最大的编号记为（   ） 卡片编号 A，B B，C C，D D，E A，E 两数的和 71 48 54 66 59 A．D B．C C．B D．A 【答案】A 【分析】将五个相邻两数之和的等式相加，求出五个数的总和，再结合已知条件依次求出各数，比较大小即可． 【详解】解：由题意得：，，，，， 将以上五式相加得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，，，， ∵，即， ∴卡片上的数最大的编号记为D． 题型2.有理数加法中的符号问题 【典例】如图，数轴上，两点分别对应数、，则___________0．（用＞，＜或＝填空） 【答案】 【分析】绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，再结合，，可得答案. 【详解】解：由题意可得：，， ∴. 故答案为：. 【点睛】本题考查的是有理数的加法运算中的符号确定，掌握“绝对值不相等的异号两数相加，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同”是解本题的关键. 【跟踪专练1】如果，且，那么a、b、、的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数加法的运算法则和有理数的大小比较，根据题目条件分析出a是正数，且a的绝对值大于b的绝对值，即可比较大小． 【详解】解：∵，且， ∴，且， ∴， 故选：B． 【跟踪专练2】下列各式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据把有理数加法写成省略括号和加号的代数和，逐项计算并判定即可． 【详解】解：A、，正确，故此选项不符合题意； B、，正确，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项不符合题意； D、，原式错误，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查有理数加法，熟练掌握把有理数加法写成省略括号和加号的代数和的形式是解题的关键． 【跟踪专练3】若，，，则下列关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数大小比较的方法，由于，，，则，，进而可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 题型3.有理数加法在生活中的应用 【典例】某日早晨气温是，到中午时气温上升了，则中午的气温是___________． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据有理数加法法则，计算上升后的气温，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． 【详解】解：∵某日早晨气温是，到中午时气温上升了， ∴中午的气温是， 故答案为：． 【跟踪专练1】春节假期期间某一天早晨的气温是，中午上升了，则中午的气温是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：早晨气温为，中午上升了， 中午的气温为． 【跟踪专练2】十分奇怪，我们家的七个成年人的生日非常接近，七个日期是：1月1日、1月31日、2月2日、2月20日、2月21日、2月23日和2月27日，为了方便起见，我们决定只举行一次生日宴会，选择的日期与每个生日的距离之和应当最小，选择的日期是（    ） A．1月31日 B．2月1日 C．2月9日 D．2月20日 【答案】D 【分析】本题考查了有理数加法的应用，把每个生日作为生日宴会日期，分别计算选择的日期与每个生日的距离之和，找到距离最小的值即可确定选择的日期． 【详解】解：若选择1月1日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天）， 若选择1月31日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天）， 若选择2月2日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天）， 若选择2月20日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天）， 若选择2月21日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天）， 若选择2月23日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天）， 若选择2月27日举行宴会，与每个生日的距离之和为（天）， 所以选择2月20日举行宴会，与每个生日的距离之和应当最小， 故选：D． 【跟踪专练3】某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入n万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与n的对应关系如表： 投入（万元）渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 - - - - 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向_____渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为_____千人． 【答案】 甲 180 【分析】（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量进行比较； （2）将方案列出来找到最大值即可． 【详解】解：（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量： 若向丁渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向丙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向乙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向甲渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； ， 如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向甲渠道投入2万元； （2）方案如下： 甲 乙 丙 丁 总新增用户量 0 0 0 6 0 0 1 5 0 0 2 4 0 0 4 2 0 0 3 3 0 0 6 0 0 0 5 1 0 1 0 5 0 1 1 4 0 1 2 3 0 1 3 2 0 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 4 0 2 1 3 0 2 2 2 0 2 3 1 0 2 4 0 0 3 0 3 0 3 1 2 0 3 2 1 0 3 3 0 0 4 0 2 0 4 1 1 0 4 2 0 0 5 0 1 0 5 1 0 0 6 0 0 1 0 0 5 1 0 1 4 1 0 2 3 1 0 3 2 1 0 4 1 1 0 5 0 1 1 0 4 1 1 1 3 1 1 2 2 1 1 4 0 1 1 3 1 1 2 0 3 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 0 1 3 0 2 1 3 1 1 1 3 2 0 1 4 0 1 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 0 4 2 0 1 3 2 0 2 2 2 0 3 1 2 0 4 0 2 1 0 3 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 0 2 2 0 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2 3 0 1 2 4 0 0 2 3 1 0 ∴如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为180千人． 题型4.有理数加法运算律 【典例】嘉琪在计算时，如要使计算简便，则■中可以填下列中的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的加法运算律，熟练掌握有理数的加法运算律是解题的关键；要使计算简便，应选择分母与已知分数相同的选项，从而利用结合律先计算同分母分数之和，然后问题可求解． 【详解】解：∵原式为， 若，则先计算， 再计算，过程简便； 其他选项分母均不同，无法直接简化计算； ∴■中应填； 故选D． 【跟踪专练1】填空： ＝（加法______律） ＝（加法______律） ＝（______）＋（______）＝______． 【答案】 交换 结合 2 【分析】本题考查了有理数加法的运算律，解题关键是综合应用加法交换律和结合律，简化计算．运用加法交换律和加法结合律正确计算即可． 【详解】解： （加法交换律） （加法结合律） ． 故答案为：交换，结合，，，2． 【跟踪专练2】填空： _______+_____________+____________． 从中可知，分别把 ____数和 ____数结合在一起相加，计算更简便． 【答案】 正 负 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，解题关键是熟练掌握有理数加法运算律． 先交换加数的位置，然后根据加法的结合律，把正数和正数，负数和负数相结合，进行简便计算即可． 【详解】解： ， 从中可知，分别把正数和负数结合在一起相加，计算更简便， 故答案为：，，，，，正，负． 【跟踪专练3】下列运算结果正确的个数为（   ） ①；     ②； ③；           ④． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的加法，根据有理数的加法法则逐一计算即可判断． 【详解】解：①，此小题计算正确； ②，此小题计算正确； ③，此小题计算正确； ④，此小题计算正确． 综上，四个运算均正确， 故选：A． 题型5.有理数减法运算 【典例】下列数中比小1的数是（     ） A． B．1 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意列出算式，按照有理数减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：， 即符合要求的数是． 【跟踪专练1】对于有理数，若，则_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的比较大小，关键是作差法的应用；通过比较和 的差进行分析． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， 故答案为：． 【跟踪专练2】小丽在计算1.39加一个一位小数时，错误地把数的末尾对齐，结果得到1.84，正确的得数是_________． 【答案】5.89 【分析】因末尾对齐，结果是1.84，加数是1.39，可求出它把这个一位小数当成了的数是多少，然后移动小数点可得到这个一位小数是多少．据此解答．本题的关键是根据加减法之间的关系，求出把这个一位小数当做的数是多少． 【详解】解：， 原一位小数应是4.5， ， 故答案为：5.89． 【跟踪专练3】小华用1个“”表示“”，用1个“”表示“”，借助图1解释了算式“”的运算过程与结果类似的，可以用图2解释的算式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，理解图示是解题的关键． 根据图示可知图2表示的是7减去的计算，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，借助图2可以解释算式的运算过程与结果， 故选：A． 题型6.有理数减法的实际应用 【典例】中国是历史上最早认识和使用负数的国家．某地某天最高气温为零上6摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，则该地这天最高气温比最低气温高________摄氏度． 【答案】 【分析】先根据正负数的意义表示出最高气温和最低气温，再利用有理数的减法法则计算最高气温与最低气温的差值即可． 【详解】解：规定零上温度为正，则该地这天最高气温为，最低气温为． ∴该地这天最高气温比最低气温高． 【跟踪专练1】某地今年1月1日至4日每天的最高气温与最低气温如下表： 日期 1月1日 1月2日 1月3日 1月4日 最高气温 最低气温 其中温差最大的是（     ） A．1月1日 B．1月2日 C．1月3日 D．1月4日 【答案】A 【分析】温差为最高气温与最低气温的差，先根据有理数减法计算出每天的温差，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵ 温差最高气温最低气温， 分别计算每天的温差： 1月1日：， 1月2日：， 1月3日：， 1月4日：， ∵， ∴温差最大的是1月1日． 【跟踪专练2】如图，一个的正方形网格中每个单元格中刚开始都写有数字0，之后每变化一次，其中的小正方形中的4个数字都减少1，该过程重复多次，最终得到第二张图片的形状，但有些数字被覆盖了，则表示的数字是______． 0 0 0 0 0 0 0 0 0 【答案】 【分析】本题考查了有理数减法的应用，理解题意分析并正确列式计算即可． 【详解】解：由题意可知，第一行中间格属于左上的小正方形，也属于右上的小正方形， 则第一行中间格的数字为左上和右上正方形的变化次数之和， 第三行第一个格和第三个格分别为左下的小正方形和右下的小正方形独有， 则第三行第一个格的数字为左下正方形的变化次数，第三行第三个格的数字为右下正方形的变化次数， 正中间的格子为的小正方形都包含， 则正中间的格子的数字为左上、右上、左下、右下的变化数之和， 即， 故答案为：． 【跟踪专练3】某地的国际标准时间（）是指该地与格林尼治（）的时差．以下为同一时刻5个城市的国际标准时间（正数表示当地时间比格林尼治时间早的时数，负数表示当地时间比格林尼治时间迟的时数） 城市 伦敦 北京 东京 多伦多 纽约 国际标准时间 0 北京时间早晨8点时，纽约的当地时间是（　　）点． A．前一天晚上7点 B．当天晚上7点 C．当天凌晨1点 D．前一天下午5点 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数及有理数运算，结合已知条件列出正确的算式是解答本题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：，则北京时间早晨8点时，格林尼治时间为前一天的晚上24点， （时）， 此时是纽约的前一天晚上7点． 故选：A． 题型7.有理数的加减混合运算 【典例】与相等的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 【跟踪专练1】把算式写成代数和的形式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数加减混合运算；将算式中的减法运算转化为加法运算，写成代数和的形式即可． 【详解】解：算式写成代数和的形式：， 故答案为：． 【跟踪专练2】“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼》中，现将1，2，3，4，5，7，8，9这八个数字填入如图1所示的“幻方”中，使得每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，若按同样的要求重新填数如图2所示，则的值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的运算，理解题意是解题关键．先设中间正方形四个顶点中右上角的数字为，左下角的数字为，再根据题意列出关系式，整理可得答案． 【详解】解：根据图，设中间正方形四个顶点中右上角的数字为，左下角的数字为． 根据题意，得， 将上式变形，得． 故答案为：． 【跟踪专练3】题目：“表示不超过x（x是有理数）的最大整数，例如：，，计算：”该题的答案是2，后来式子中的一个数不小心被墨水污染了，甲、乙、丙三名同学尝试还原被污染的数，给出的结果为：甲，被污染的数是小于但大于的有理数；乙，被污染的数是；丙，被污染的数是大于但小于的有理数．下列判断正确的是（　　） A．甲、乙、丙都对 B．只有甲对 C．只有丙对 D．只有乙和丙对 【答案】D 【分析】 本题考查了有理数的加减，新定义运算，由题意可得，，再结合运算法则得出，从而即可得出结果，理解新定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得，， ∵计算：”该题的答案是2， ∴， ∴， ∴被污染的数是大于等于，小于的有理数， ∴只有乙和丙对， 故选：D． 题型8.有理数加减中的简便运算 【典例】计算的结果是_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算， 先将分数化成小数，再根据有理数的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式 . 【跟踪专练1】请指出下面计算从哪一步开始出错（   ） ① ② ③ ．④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据计算过程并结合运算法则分析即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 由计算过程可得，计算错在第②步， 故选：B． 【跟踪专练2】“数形结合思想”是数学学习中非常重要的一种数学思想，我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休．”在计算时，可以联想到图（1），则．请观察图（2），计算_____． 【答案】 【分析】直接根据图（2）作答即可． 【详解】解：由图（2）可知． 【跟踪专练3】计算：的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法．观察每个分母为两个连续整数的乘积，利用裂项法将每个分数拆分为两个分数的差，然后求和时中间项相互抵消，从而简化计算. 【详解】解：∵，，，，， ∴原式. 故选：C． 题型9.有理数加减混合运算的应用 【典例】泰州高港区某码头在长江水位监测中，记录了某日水位变化情况．若当日凌晨水位为米（以警戒水位为基准），中午上涨了米，下午又下降了米，则下午的水位为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【详解】解： 米， 所以下午的水位为米． 【跟踪专练1】潜水艇上升为正，下降为负．若潜水艇先在距水面深处，两次记录情况分别是，，那么此时潜水艇在距水面 _______ 深处． 【答案】70 【分析】本题考查了正负数的意义，有理数的加减混合运算，解题的关键是理解“正”和“负”的相对性．根据上升为正、下降为负的含义，进行列式计算即可． 【详解】解：规定水面为，则初始位置为，两次记录的变化量为和， 所以最后的位置为：， 所以此时潜水艇在距水面深处． 故答案为：70． 【跟踪专练2】某一电子昆虫落在数轴上的某点，从点开始跳动，第次向左跳个单位长度到，第次由向右跳个单位长度到，第次由向左跳个单位长度到，第次由向右跳个单位长度到，依此规律跳下去，当它跳第次落下时，电子昆虫在数轴上的落点表示的数恰好是，则电子昆虫的初始位置所表示的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴与有理数，正负数的实际应用，有理数加减的实际应用，根据题意列出算式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设所表示的数是， 则， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】计算机中常用的十六进制是一种逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数字的对应关系如表： 十六进制 0 1 2 3 4 5 6 7 十进制 0 1 2 3 4 S 6 7 十六进制 8 9 A B C D E F 十进制 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示，用十进制表示也就是，则用十六进制表示（   ） A．195 B．2B C．6E D．C3 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，十进制数与十六进制数的转换，根据十进制求出的乘积，再把结果转化成十六进制，即可求解．理解十进制和十六进制之间的换算是解题的关键． 【详解】解：由表格得 对应的十进制的数是，对应的十进制的数是， ， 由十进制表示得：， 在十六进制中为， ， 故选：D． 题型10.省略加法和括号的形式 【典例】把写成省略加号和括号的形式______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 先将减法转化为加法，再省略加号和括号即可得到省略形式． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【跟踪专练1】不改变原式的值，把写成省略加号的和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了省略加法和括号的形式． 直接根据有理数的减法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 【跟踪专练2】写成省略加号的和的形式为 ___________． 【答案】 【分析】利用有理数减法法则，减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号省略即可 【详解】解：∵ ∴写成省略加号的和的形式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算中的符号化简，熟练掌握有理数减法的法则，符号化简法则，是解题的关键． 【跟踪专练3】为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【答案】A 【分析】根据有理数的运算法则计算即可. 【详解】原式＝﹣1.4+3.7﹣0.5+2.4﹣3.5 ＝﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5， 故选A. 【点睛】考查有理数的运算，解题的关键是熟记和运用有理数的计算法则． 题型11.有理数混合运算中的规律题 【典例】一个点从数轴上表示的点开始移动，第一次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第二次先向左移动个单位，再向右移动个单位；第三次先向左移动个单位，再向右移动个单位；则第次移动后这个点在数轴上表示的数是___________ 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上的规律探究，掌握知识点的应用是解题的关键．根据第一次移动后这个点在数轴上表示的数是；第二次移动后这个点在数轴上表示的数是；第三次移动后这个点在数轴上表示的数是；第四次移动后这个点在数轴上表示的数是；；从而得出第次移动后这个点在数轴上表示的数． 【详解】解：第一次移动后这个点在数轴上表示的数是； 第二次移动后这个点在数轴上表示的数是； 第三次移动后这个点在数轴上表示的数是； 第四次移动后这个点在数轴上表示的数是； ； 第次移动后这个点在数轴上表示的数是； 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，数轴上，点的初始位置表示的数为，现点做如下移动：第次点向左移动个单位长度至点，第次从点向右移动个单位长度至点，第次从点向左移动个单位长度至点，，按照这种移动方式进行下去，点表示的数，是__________，如果点与原点的距离不小于，那么的最小值是__________． 【答案】 7 13 【分析】本题考查了规律型：认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律．序号为奇数的点在点的左边，各点所表示的数依次减少，序号为偶数的点在点的右侧，各点所表示的数依次增加，于是可得到表示的数为，表示的数为，表示的数为，则可判断点与原点的距离不小于时，的最小值是． 【详解】解：第一次点向左移动个单位长度至点，则表示的数，； 第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向右移动个单位长度至点，则表示的数为； 第次从点向左移动个单位长度至点，则表示的数为； ； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 所以点与原点的距离不小于， 那么的最小值是． 故答案为：，． 【跟踪专练2】按按如下规律操作                 每个式子得到一个整数分别为3、1、4、2，按照先后顺序写成一个数组{3，1，4，2}，那么这个数组叫做由 生成的整数组；已知某个数所生成的整数组为{}，那么这个数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，涉及连分数展开的概念，给定整数组 ，对应的连分数为 ，计算此连分数即可得到原始分数. 【详解】解：∵ 连分数展开式为 先计算最内层： 然后： 最后： ∴ 原始分数为 故选A. 【跟踪专练3】一只蜗牛从数轴上表示的点出发，第一次向正方向移动个单位长度，第二次向反方向移动个单位长度，第三次向正方向移动个单位长度，第四次向反方向移动个单位长度，…，按这样的规律，则蜗牛第次移动后在数轴上的位置所表示的有理数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上点的平移、有理数的加减混合运算．数轴上点的移动规律是“左减右加”，蜗牛从数轴上表示的点出发，移动规律为：奇数次向正方向移动，移动距离为移动次数；偶数次向反方向移动，移动距离为移动次数．根据向正方向移动的加，向反方向移动的减，列式计算第次（奇数次）移动后的位置． 【详解】解： ． 故选：A． 题型12.新定义运算 【典例】规定一种新运算“*”：，，，，，，据“*”运算的法则，计算： __________． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据新定义进行正确的计算是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】对于有理数，，我们规定运算“”；． （1）计算：____； （2）对于任意有理数，，，若成立，则称运算“”满足结合律．请判断运算“”是否满足结合律：____（填“满足”或“不满足”）． 【答案】 ； 不满足． 【分析】根据题中的新定义运算即可求解． 【详解】（）由题意可知：， 故答案为：； （）由， ∴，即， 由， ∴，即， ∴， 故答案为：不满足． 【点睛】此题考查了新定义运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． 【跟踪专练2】定义：对于若干个有理数，先将每两个数作差(大数减小数，相等的数的差为0)，再将这些差进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“非负差值运算”，例如：对于1，2，3进行“非负差值运算”，，则对于，3，5，9进行“非负差值运算”的结果是_______． 【答案】35 【分析】本题考查了新定义运算，有理数加减混合运算，理解新定义是解题的关键． 根据“非负差值运算”的定义，对于给定的四个有理数，需计算所有两数组合的差（大数减小数），再将这些差进行求和． 【详解】解：由题意得， ，，，，，， ， 故答案为：35． 【跟踪专练3】符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下： （），，，，； （），，，，． 利用以上规律计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的减法运算，根据“”的运算法则计算即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∴， 故答案为：． 解答题 1．计算 【答案】0 【分析】运用交换律和结合律进行计算即可． 【详解】观察发现和可以凑成整数，两个可以凑成， 原式． 2．计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【分析】本题主要考查有理数的加法、减法运算，熟练掌握有理数的加减运算是解题的关键； （1）根据有理数的加法运算可进行求解； （2）根据有理数的加法法则可进行求解； （3）根据有理数的加法法则可进行求解； （4）根据有理数的减法法则可进行求解； （5）根据有理数的加法运算律可进行求解； （6）根据有理数的加法运算律可进行求解； （7）根据有理数的加减混合运算可进行求解； （8）根据有理数的加减混合运算可进行求解． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式； （7）解：原式； （8）解：原式． 3．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 4．足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位： ）： ， ， ， ， ， ， ， ．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离达多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过 （不包括 ），则对方球员挑射极可能造成破门．问：在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上 (2)25米 (3)4次，理由如下： 由（2）可知守门员每次离开球门线的距离分别为：10米，8米，13米，25米，19米，10米，14米，0，则符合题意的有：13，25，19，14． ∴对方球员有4次挑射破门的机会． 【分析】（1）根据有理数加减法的规则进行计算，因为初始位置为球门线，对应数值0，所以只需将所有跑动记录的数值相加，判断和是否为0即可； （2）如果要找离开球门线的最远距离，那么需要依次计算每次跑动后守门员相对于球门线的位置，取最大值； （3）因为需要统计距离超过10m的次数，所以需逐一核对每次跑动后位置，统计其中大于10的次数即可． 【详解】（1）解：根据题意得： 米， ∴守门员最后回到了球门线上； （2）解：第一次跑距离开球门线10米 ； 第二次距离开球门线 （米）； 第三次距离开球门线 （米）； 第四次距离开球门线 （米）； 第五次距离开球门线 （米）； 第六次距离开球门线 （米）； 第七次距离开球门线 （米）； 第八次距离开球门线 （米）． ∴守门员离开球门线的最远距离为25米； （3）略． 5．“十一”黄金周期间，某风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如表：（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人），已知9月30日游客为2万． 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化 (1)求10月2日游客的人数为多少？ (2)请判断7天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？它们相差多少万人？ 【答案】(1)10月2日游客的人数为4.4万人 (2)3日人数最多，7日人数最少，它们相差2.2万人 【分析】（1）将9月30日游客人数加上1日和2日增加的人数就是10月2日的游客人数； （2）先计算出这7天每天的人数，比较得到人数最多和最少的天数，计算出相差多少万人即可； 【详解】（1）解：10月2日游客的人数为：（万人）； （2）解：10月1日有游客：（万人）； 10月2日游客的人数为（万人）； 10月3日游客的人数为（万人）； 10月4日游客的人数为（万人）； 10月5日游客的人数为（万人）； 10月6日游客的人数为（万人）； 10月7日游客的人数为（万人）； 所以游客最多的是10月3日，最少的是10月7日，它们相差（万人）； 6．临近春节，小芳和妈妈买了一盒酥饼（总共枚），包装标注一盒酥饼总质量合格标准为（）克．为检验质量，小芳选取一个恰当值作为单枚标准质量，并将各枚与标准的差值（单位：克）记为正或负，称重后得到如下不完全的数据表： 第枚 质量（克） 与标准质量的差（克） 根据上述内容解答下列问题： (1)小芳选取的标准质量是_______克， _______， _______； (2)请你帮忙判断小芳妈妈买的酥饼在总质量上是不是合格的，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)小芳妈妈买的酥饼在总质量上是合格的 【分析】本题考查正数与负数的意义，有理数的加减运算，绝对值的应用，将质量合格问题转化为数学计算问题是解题关键． （1）先利用第枚酥饼的质量和偏差求出标准质量，再用各枚酥饼的实际质量减去标准质量，得到对应的偏差值； （2）先计算所有酥饼的偏差总和，再判断其绝对值是否在合格范围（克）内，从而判断总质量是否合格． 【详解】（1）解：已知第枚酥饼质量克，与标准质量的差为克， 则标准质量为克， 第枚酥饼质量为克，则克， 第枚酥饼质量为克，则克． 答：，，． （2）解：各枚酥饼质量与标准质量的差的和为克， ，故酥饼在总质量上是合格的． 答：小芳妈妈买的酥饼在总质量上是合格的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $