第04讲 有理数的加减运算（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（浙教版2024）

第04讲 有理数的加减运算（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数加法运算 典型例题二 有理数的减法运算 典型例题三 有理数加法运算律 典型例题四 有理数加法中的符号问题 典型例题五 省略加法和括号的形式 典型例题六 有理数的加减混合运算 典型例题七 有理数加减中的简便运算 典型例题八 有理数加减混合运算的应用 知识点01 有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（2025·浙江湖州·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）计算：（1） ； （2） ． 知识点02 运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期末）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 【即时训练】 2．（23-24七年级上·浙江舟山·阶段练习），即 ； 知识点03 有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）在后面括号内的横线上填上一个数，使计算结果为负数：（ ）． 知识点04 有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）将写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）股民李金上星期五买进某公司的股票，每股27元，如表为本周内该股票的涨跌情况（股市周末不交易） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 （与前一天相比） 星期三收盘时．每股是 元． 【典型例题一 有理数加法运算】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）计算：（    ） A．1 B． C．9 D． 【例2】（2025·浙江金华·模拟预测）下列数中与3相加和为0的是（    ） A．1 B． C． D．0 【例3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）绝对值大于1.5且小于的所有整数的和是 ． 【例4】（24-25七年级上·浙江·阶段练习） ． 1．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）如果，且．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a，b为正数，c为负数 B．a，c为正数，b为负数 C．c为正数，a为负数 D．c为负数，a为负数 2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据这种表示方法，图1表示的是和，图2表示的两数之和是 ． 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）如图，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入它所在数集的圈里． 3.5，，0，，，3，，．    （2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示____________数的集合． （3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和． 4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料： 计等：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【典型例题二 有理数的减法运算】 【例1】（24-25九年级下·安徽·阶段练习）将中的绝对值符号化去后，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·四川资阳·期末）某水库上周日的水位是，下表是该水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量），那么本周水位最低的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/ A．星期日 B．星期三 C．星期四 D．星期六 【例3】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算： ． 【例4】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在下图中点A表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知点A与点B的距离是5个单位长度，则点B表示的数为 ． 1．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，则的值是（） A． B． C．或 D．1或3 2．（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）计算： ． 3．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）比较与的大小可用以下方法： ，，， ，即． (1)你能对照上述方法比较与的大小吗？ (2)比较与的大小． 4．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下面材料： 点在数轴上分别表示数．两点之间的距离表示为．则数轴上两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____________；数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是____________，如果，那么为__________； (3)当取最小值时，符合条件的整数有____________； (4)令，问当取何值时，最小，最小值为多少？请求解． 【典型例题三 有理数加法运算律】 【例1】（23-24七年级上·浙江湖州·期中）计算，比较合适的做法是（　　） A．把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合 B．把第一、二两个加数结合，第三、四两个加数结合 C．把第一、四两个加数结合，第二、三两个加数结合 D．把第一、二、四这三个加数结合 【例2】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是嘉淇计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据，其中不正确的是（    ） 解：原式（①） （②） （③） （④） ． A．①是有理数减法法则 B．②是分配律 C．③是加法结合律 D．④是有理数加法法则 【例3】（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图，步骤①的运算依据是 ． 【例4】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：，则写成两个埃及分数的和的形式为为= ． 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）一名粗心的同学在进行加法运算时，将“”错写成“”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（    ） A．少5 B．少10 C．多5 D．多10 2．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 4．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【典型例题四 有理数加法中的符号问题】 【例1】（23-24七年级上·浙江绍兴·课后作业）已知两个数的和为正数，则（   ） A．一个加数为正，另一个加数为零 B．两个加数都为正数 C．两个加数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．以上三种都有可能 【例2】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【例3】（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【例4】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若、、是非零有理数，，则的值为 ． 1．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）若x>0，y<0，且，则x+y一定是（  ） A．负数 B．整数 C．0 D．无法确定符号 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等． ①则必有俩数和为 ． ②若将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，且、、三个数的乘积为负数，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·山东潍坊·期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的A，B，C把数轴分成①②③④四部分，，点A，B，C对应的数分别是、、，且，． (1)原点在第______部分（填序号）． (2)比较：、、的大小． (3)若，且，求点表示的数． 4．（24-25七年级上·湖南·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则，在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考，下面请探索思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①负数，②正数，③0．你认为结果可能为______（只填序号）； （2）若，a、b为整数，则的最大值为______． 【拓展】 （3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若，试比较与0的大小． 【典型例题五 省略加法和括号的形式】 【例1】（23-24七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）把算式写成省略括号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·四川巴中·阶段练习）把式子改写成省略括号的和的形式 ． 【例4】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）把写成统一成加法的形式是　 ，写成省略加号的和形式　 ，读作：　 ，或　 ． 1．（24-25七年级上·广西防城港·期中）为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 2．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）将下列省略加号和括号的形式添上加号和括号，并计算出结果： （1）30-20-10+15=____________________=_______； （2）-4-28+25-22=____________________=_______. 3．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： （2）【我计算】请计算： 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算”的思考过程进行了以下梳理． ①确定和的绝对值：； ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”； ⑤判断出是两个有理数相加的问题； ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加． 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________ 【我会算】请计算： 【典型例题六 有理数的加减混合运算】 【例1】（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）按如图所示的程序输入进行计算，请写出输出结果（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【例2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）把写成省略加号和的形式为（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）计算： ． 【例4】（24-25六年级上·山东泰安·期中）去掉绝对值符号． 计算．得 1．（24-25七年级上·重庆石柱·阶段练习）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数． （    ） 例如：，．则下列结论正确的有 ①；     ②； ③若，则的取值范围是； ④当时，的值为0、1、2． A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式转化为．请你观察图②，求算式的值是 ． 3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 4．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________； ②________． 【拓广应用】 （2）计算：． 【典型例题七 有理数加减中的简便运算】 【例1】（2024·浙江·模拟预测）已知一列数：a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…则＝（　　） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D．50 【例3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若a-b=-7，c+d=2013，则(b+c)-(a-d)的值是 . 【例4】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）黑板上写有1，，，，…，共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+1，则经过 次操作后，黑板上只剩下一个数，这个数是 ． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=，则1※2+2※3+3※4+…+2019※2020的值为（　　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算： ． 3．（23-24七年级上·浙江·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 4．（2024七年级上·全国·专题练习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【典型例题八 有理数加减法的综合应用】 【例1】（23-24七年级上·浙江衢州·开学考试）某一个月中，星期一、二、三、四、五都只有4个，星期六和星期天都有5个，这个月的1号是（    ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）4路公交到A站下了15人上了17人，到了B站又下了13人，车上还有21人．4路公交车上原有 人． 【例3】（24-25七年级上·浙江期中·期末）某班级对15名同学的数学竞赛成绩进行了统计，以80分为基准分，高于基准分的部分记为正数，低于基准分的部分记为负数，得到的记录如下：，，，，，，，，，，0，，，，． (1)这15名同学中，数学竞赛的最高分是多少？最低分是多少？ (2)求这15名同学的数学竞赛平均成绩． 【例4】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）小茗从学校了解到，上周五学校超市共售出牛奶500袋，喜欢数学的他统计了本周周一到周五学校超市牛奶的销量，以500袋为标准，超过500袋的数量记为“”，不足500袋的数量记为“”，统计表格如下： 周一 周二 周三 周四 周五 (1)本周哪一天学校超市牛奶的销量最大，数量是多少袋？ (2)本周售出的所有牛奶分为两种，种牛奶3元一袋，种牛奶4元一袋．其中种牛奶的销量是种牛奶的2倍，求本周售出的所有牛奶的总金额． 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）王明同学记录了他所在的城市5月2日至5月6日每天最高气温的变化情况，且5月1日的最高气温为25 ℃，则气温最高的是(　　) 时间 2日 3日 4日 5日 6日 每天最高气温的变化 (与前一天比较) 升2 ℃ 降3 ℃ 升6 ℃ 降5 ℃ 降4 ℃ A．5月2日 B．5月3日 C．5月4日 D．5月6日 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）下面是一页账单，但是有一部分破损了，请你根据上面残余的数字算出2011年8月12日的结余是 元． 日期 支出或存入 结余 备注 2011/5/26 ﹣120 9546 2011/6/12 ﹣150 2011/6/25 280 2011/7/5 ﹣315 2011/8/12 ﹣540 3．（24-25七年级上·北京·期中）如图为北京市地铁1号线地图的一部分，某天，雨佳参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向西为正，向东为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下(单位：站)：； (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次雨佳志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 4．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，某段时间内，出租车司机小王从博物馆开始在东西走向的复兴大道上载客，以博物馆为出发点，向东为“＋”，向西为“－”．例如，向东行驶，记为“”，向西行驶，记为“－5km”．这段时间内小王共载客行驶八次，行驶路程情况（单位：）记录如下表： 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 行驶路程情况/km (1)在第八次载客结束时，小王在博物馆西边处，则表中空白处应该填______． (2)求小王离博物馆的最远距离，并说明小王此时是在博物馆的东边还是西边． (3)在（1）的条件下，已知出租车的起步价为5元，里程为，超过的部分，每千米收2元，另外出租车每千米的油费是0.3元，问这段时间内八次载客共赚多少元？    1．（2025·天津南开·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·新疆喀什·模拟预测）的结果是（    ） A． B．4 C．2 D． 3．（2025·河北·模拟预测）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   4．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）定义关于有理数，的新运算：，其中，为整数且．例如：若，，则．若，则的结果为（     ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，我们称为集合，若集合中的元素均相同，则只保留一个，如{4，4}记作{4}，其中的每一个数称为该集合的元素，若一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，86}是一个对称集合，以下结论正确的是（　　） ①集合是一个对称集合； ②若一个对称集合中最大的一个元素是2024，则该集合中最小的元素是1936； ③在所有的对称集合中，元素个数最少的集合是； ④若一个对称集合中有个元素，则这个元素的和为． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 6．（24-25六年级上·上海·期末）计算： ． 7．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）计算∶1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2024-2520= ． 8．（24-25六年级上·山东淄博·期末）符号“”，“”分别表示一种运算，它们对一些数的运算结果如下： ①，，，，，…； ②，，，，，…． 利用以上规律计算： ． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空： ． 10．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1表示的是，根据刘徽的这种表示法，可推算图表示的算式及其结果为 ． 11．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 12．（24-25七年级上·山西吕梁·期中）观察下列式子： ；；；． (1)根据上面式子的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①____________； ②____________； (2)计算： 13．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 14．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图，一只甲虫在的方格(每个方格边长均为1)上沿着网格线爬行．规定：在如图所示的网格中，向上(或向右)爬行记为“”，向下(或向左)爬行记为“”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．例如：从A到B记为，从D到C记为． 思考与应用： (1)从B到C记为( ___，___ )，从C到D记为( ___ ，___ )； (2)若甲虫从A到P的爬行路线依次为→→，请在图中画出甲虫的爬行路线，并标出点P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫爬行过的总路程S． 15．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）综合与实践：魔术中的数学密码 温馨提示：一副扑克牌通常有54张牌，其中包括：52张正牌：分为4种花色（黑桃♠，红心♥，梅花♣，方块◆），每种花色有13张牌，分别是A、、J、Q、K．2张副牌：大王和小王．本题通过扑克牌魔术的规则，考察数学中的排列组合和简单计算．所有扑克牌点数对应规则为： ，其他数字牌按实际数值计算． 花色优先级：黑桃♠梅花♣方块◆红桃♥（点数相同时使用）． 【魔术规则】 观众从一副标准的扑克牌（共52张，不含大小王）中随机抽取5张牌交给魔术师的助手，助手从中选择一张让观众藏起来，并把剩余的4张牌（明牌）正面朝上放在桌上，然后，魔术师查看桌子上的4张明牌，便能准确地说出隐藏之牌（暗牌）的花色和点数． 【魔术原理】 一、花色定位： 步骤1：从5张牌中必能找到2张同花色牌． 步骤2：若这2张同花色牌点数之差的绝对值小于等于6，则助手将点数较小的牌放在最左边；若点数之差的绝对值大于6，则助手将点数较大的牌放在最左边，这张牌称为花色指示牌，用它指示暗牌的花色，随后，助手将另外一张牌交给观众藏起来． 如果助手将黑桃5放在最左边，那么暗牌的花色一定是________； 二、点数计算： 1．将剩下3张牌比较大小，若点数相同，再比花色．例如：①红桃♥9②梅花♣3③方块◆9，若按照从小到大排序，顺序为________（填写序号） 2．根据这3张牌的摆放顺序，对应一个密码数字（1～6）（如图1）． 密码数字 3张牌的摆放顺序（从左到右） 示例（3张牌为 1 小中大 2 小大中 3 中小大 4 中大小 5 大小中 6 大中小 （图1） 若这3张牌摆成“”，则对应的密码数字是________； 3．暗牌点数＝指示牌点数＋密码数字．（如图2，扑克牌顺时针从（1）K（13）再回到A（1），点数像钟表一样循环，若结果超过13，则减去13）． 若指示牌是梅花J，密码数字为5，则暗牌的点数是________； 【魔术应用】 如图3，观众随机抽取的5张牌为： 利用上面的原理，助手需选择一张牌作为暗牌，将其余4张牌作为明牌，则明牌摆放顺序从左到右依次应为________． A．梅花♣3、方块◆7、红桃♥K、黑桃♠K B．梅花♣3、红桃♥K、黑桃♠K、方块◆7 C．梅花♣K、黑桃♠K、红桃♥K、方块◆7 D．梅花♣K、黑桃♠K、方块◆7、红桃♥K 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 有理数的加减运算（4大知识点+8大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 有理数加法运算 典型例题二 有理数的减法运算 典型例题三 有理数加法运算律 典型例题四 有理数加法中的符号问题 典型例题五 省略加法和括号的形式 典型例题六 有理数的加减混合运算 典型例题七 有理数加减中的简便运算 典型例题八 有理数加减混合运算的应用 知识点01 有理数的加法 1.定义：把两个（或多个）有理数相加的过程叫有理数的加法。（两个有理数相加，和是一个有理数）。 2.法则：（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和；（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数中绝对值较大者与较小者的差；互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数． 注意：1）有理数的运算分两步走，第一步，确定符号，第二步，确定绝对值；2）计算的时候要看清符号，同时要熟练掌握计算法则. 【即时训练】 1．（2025·浙江湖州·模拟预测）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． 根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）计算：（1） ； （2） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法运算，根据有理数的加法法则求解即可． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：，． 知识点02 运算律 1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变；即a+b＝b+a。 2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变；即(a+b)+c＝a+(b+c)。 注意：1）利用加法交换律、结合律，可以使运算简化，认识运算律对于理解运算有很重要的意义。 2）注意两种运算律的正用和反用，以及混合运用。 【即时训练】 1．（23-24七年级上·浙江温州·期末）是应用了（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．移项 【答案】A 【分析】根据题意结合运算律即可得到答案，此题考查了加法交换律，． 【详解】解：是应用了加法交换律， 故选：A 【即时训练】 2．（23-24七年级上·浙江舟山·阶段练习），即 ； 【答案】 【分析】根据加法的交换律进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了加法的交换律，解题的关键是熟练掌握加法的运算律． 知识点03 有理数的减法 1. 定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。 注意：（1）任意两个数都可以进行减法运算。 （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数的绝对值。 2. 法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：。 注意： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数。 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 【即时训练】 1．（2025·浙江杭州·模拟预测）计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的减法，掌握有理数减法运算法则是解题的关键． 根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：B ． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）在后面括号内的横线上填上一个数，使计算结果为负数：（ ）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减运算，掌握其运算法则是解题的关键． 根据有理数加减运算法则即可求解． 【详解】解：∵计算结果为负数， ∴，符合题意， 故答案为：（答案不唯一） ． 知识点04 有理数的加减混合运算 1）根据有理数减法法则，将减法全部转化为加法； 2）观察式子是否可以运用加法运算律进行简便计算； 3）根据有理数加法法则进行计算得出结果。 注意：1）减法转化为加法的时候注意符号的改变；2）多利用运算律，能使计算更加简便。 【即时训练】 1．（23-24七年级上·浙江衢州·期中）将写成省略括号和加号的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项都不改变正负号；括号前面是“−”号，把括号和它前面的“−”号去掉，括号里各项都改变正负号．根据减去一个数等于加上这个数的相反数，变为连加，加号和括号省略，即可． 【详解】解：， 故选：B． 【即时训练】 2．（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）股民李金上星期五买进某公司的股票，每股27元，如表为本周内该股票的涨跌情况（股市周末不交易） 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌 （与前一天相比） 星期三收盘时．每股是 元． 【答案】 【分析】本题考查了有理数加减混合运算的应用，正确理解图表中数据的意义是关键．由上星期五买进时股票的价格，利用表格得出本周星期三收盘时的价格即可． 【详解】解：星期一的股价：（元）； 星期二的股价：（元）； 星期三的股价：（元）； 则星期三收盘时，每股是元． 故答案为：． 【典型例题一 有理数加法运算】 【例1】（2025·浙江·模拟预测）计算：（    ） A．1 B． C．9 D． 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据有理数的加法运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：B． 【例2】（2025·浙江金华·模拟预测）下列数中与3相加和为0的是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加法运算，据此运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 【例3】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）绝对值大于1.5且小于的所有整数的和是 ． 【答案】0 【分析】本题考查绝对值及有理数的加法，熟知绝对值的定义是解题的关键． 先求出绝对值大于1.5而小于的所有整数，再求他们的和即可． 【详解】解：∵绝对值大于1.5而小于的所有整数是：，，， ∴． 故答案为：0． 【例4】（24-25七年级上·浙江·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，根据异号两数相加，去绝对值较大数的符号，再用绝对值较大减去较小数即可． 【详解】解： 故答案为：． 1．（23-24七年级上·浙江嘉兴·期末）如果，且．则下列说法中可能成立的是（　　） A．a，b为正数，c为负数 B．a，c为正数，b为负数 C．c为正数，a为负数 D．c为负数，a为负数 【答案】C 【分析】先依据a+b+c=0，确定义其中肯定有一个负数和一个正数，然后再结合条件|a|>|b|>|c|进行判断即可． 【详解】解：∵a+b+c=0， ∴它们中肯定有一个负数和一个正数， ∴a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况， A. 若a，b为正数，c为负数，而，所以，故该选项不成立； B. 若a，c为正数，b为负数，而，所以，故该选项不成立； C.若 c为正数，a为负数，则b正数时，有可能，故该选项有可能成立； D. c为负数，a为负数，则无论b为什么数时，，故该选项不成立． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键． 2．（24-25七年级上·河北唐山·期末）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据这种表示方法，图1表示的是和，图2表示的两数之和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，读懂题意正确列出算式是解题的关键． 由题意得图2表示的是和，然后根据有理数的加法法则计算即可． 【详解】解：由题意得，图2表示的是和， 所以， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）（1）如图，下面两个图分别表示负数集合和分数集合，请你把下列各数填入它所在数集的圈里． 3.5，，0，，，3，，．    （2）在（1）图中两个圈的重叠部分表示____________数的集合． （3）列式并计算：在（1）的数据中，求最大的数与最小的数的和． 【答案】（1）见解析 （2）负分 （3） 【分析】（1）根据负数和分数的定义分类即可； （2）两个圈重叠的部分表示负分数集合； （3）最大的数为3.5，最小的数为，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得：    （2）这两个圈的重叠部分表示负分数集合； 故答案为：负分； （3）在（1）的数据中，最大的数为3.5，最小的数为， ． 【点睛】本题考查有理数的运算和有理数的分类；熟练掌握有理数的分类，并能准确对有理数的加减法进行运算是解题的关键． 4．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学刘老师在多媒体上列出了如下的材料： 计等：． 解：原式 ． 上述这种方法叫做拆项法； 请仿照上面的方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的加法运算律，掌握有理数的加法运算法则是解题的关键． （1）先根据拆项法拆项，再根据有理数的加法法则及加法运算律进行计算即可； （2）先根据拆项法拆项，再根据有理数的加法法则及加法运算律进行计算即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典型例题二 有理数的减法运算】 【例1】（24-25九年级下·安徽·阶段练习）将中的绝对值符号化去后，下列结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查化简绝对值，根据绝对值的意义，负数的绝对值是它的相反数，进行求解即可． 【详解】解：， 故选D． 【例2】（24-25七年级上·四川资阳·期末）某水库上周日的水位是，下表是该水库一周内水位高低的变化情况（用正数记水位比前一日上升量，用负数记水位比前一日下降量），那么本周水位最低的是（   ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化/ A．星期日 B．星期三 C．星期四 D．星期六 【答案】D 【分析】本题考查了正数，负数，有理数的加减法运算，有理数的大小比较，熟练掌握运算法则是解题的关键. 根据表格中的数据，求出每天的水位，在比较大小即可. 【详解】解：根据题意得， 星期一的水位：； 星期二的水位：； 星期三的水位：； 星期四的水位：； 星期五的水位：； 星期六的水位：； 星期日的水位：； ， 本周水位最低的是星期六， 故选：D. 【例3】（24-25七年级上·广东佛山·阶段练习）计算： ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了有理数的减法．直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：2． 【例4】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在下图中点A表示的数是3，点B被墨水遮住了，已知点A与点B的距离是5个单位长度，则点B表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴、有理数的减法，理解题意是解题的关键．根据题意，点B在点A的左侧，且点A与点B的距离是5个单位长度，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，点B表示的数为． 故答案为：． 1．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若，，且，则的值是（） A． B． C．或 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查了绝对值的意义和有理数的减法，根据绝对值的意义先确定的值，再代入求值，根据绝对值的意义确定的值是解决本题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴当，或，时，满足， 当，时，， 当，时，， ∴的值是或， 故选：D． 2．（24-25七年级·湖北武汉·阶段练习）计算： ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了有理数的减法、绝对值等知识点，掌握去绝对值符号的法则以及有理数减法运算法则是解题的关键． 根据负数的绝对值是它的相反数，据此去绝对值，然后根据有理数的减法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：0． 3．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）比较与的大小可用以下方法： ，，， ，即． (1)你能对照上述方法比较与的大小吗？ (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数大小的比较，熟练掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据与的大小得出结论即可； （2）根据与的大小得出结论即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2）解：，，， ， ． 4．（24-25七年级上·广东惠州·阶段练习）阅读下面材料： 点在数轴上分别表示数．两点之间的距离表示为．则数轴上两点之间的距离．回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____________；数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上表示和的两点和之间的距离是____________，如果，那么为__________； (3)当取最小值时，符合条件的整数有____________； (4)令，问当取何值时，最小，最小值为多少？请求解． 【答案】(1)5，4 (2)，1或 (3)，，0，1，2，3 (4)当时，y最小，最小值是5 【分析】本题考查数轴与绝对值，有理数的加减计算，熟练掌握数轴上两点之间距离的计算方法是解题的关键． （1）根据两点间的距离的求解列式计算即可得解； （2）根据两点之间的距离表示列式并计算即可； （3）首先根据题意得到可以表示为表示x的数到的距离加上表示x的数到3的距离，然后推出当x在和3之间时，取最小值，进而求解即可； （4）首先根据题意得到y可以表示为表示x的数到的距离加上表示x的数到2的距离加上表示x的数到4的距离，推出当时，有最小值，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：数轴上表示1和的两点之间的距离是：； 数轴上表示和的两点之间的距离是： ； （2）解：数轴上表示和的两点和之间的距离是， 如果，则， ∴或 解得：或； （3）解：可以表示为表示x的数到的距离加上表示x的数到3的距离， ∴当x在和3之间时，取最小值， ∴符合条件的整数x有，，0，1，2，3； （4）解：∵ ∴y可以表示为表示x的数到的距离加上表示x的数到2的距离加上表示x的数到4的距离， ∴当时，有最小值， ∴此时． 【典型例题三 有理数加法运算律】 【例1】（23-24七年级上·浙江湖州·期中）计算，比较合适的做法是（　　） A．把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合 B．把第一、二两个加数结合，第三、四两个加数结合 C．把第一、四两个加数结合，第二、三两个加数结合 D．把第一、二、四这三个加数结合 【答案】A 【分析】根据凑整法利用加法运算律把一、三两个加数结合，二、四两个加数结合，计算即可． 【详解】解：计算，比较合适的做法是把第一、三两个加数结合，第二、四两个加数结合， 故选A． 【点睛】本题考查了有理数的加法，熟练掌握加法运算律是解题关键． 【例2】（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）如图是嘉淇计算的过程，现在运算步骤后的括号内填写运算依据，其中不正确的是（    ） 解：原式（①） （②） （③） （④） ． A．①是有理数减法法则 B．②是分配律 C．③是加法结合律 D．④是有理数加法法则 【答案】B 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据题目中的解答过程，可以发现第二步的依据错误，然后即可判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：由题目中的解答过程可知，第二步的依据是加法的交换律，而不是分配律． 故选：B． 【例3】（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图，步骤①的运算依据是 ． 【答案】加法交换律 【分析】利用有理数的加法交换律来分析即可． 【详解】解∶ ， 此运算交换了13与的位置，依据了加法的交换律． 故答案为∶加法交换律． 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算中的加法交换律，解题的关键是掌握加法交换律． 【例4】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数，我们注意到，某些真分数恰好可以写成两个埃及分数的和，例如：，则写成两个埃及分数的和的形式为为= ． 【答案】 【分析】根据题目给出的埃及分数的定义，即可解答． 【详解】解：∵只使用分子是1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法，读懂题目，明确埃及分数的定义是解决本题的关键． 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）一名粗心的同学在进行加法运算时，将“”错写成“”进行运算，这样他得到的结果比正确答案（    ） A．少5 B．少10 C．多5 D．多10 【答案】B 【分析】根据有理数的加法运算法则判断即可． 【详解】根据题意可得，， ∴他得到的结果比正确答案少10． 故选：B． 【点睛】此题考查了有理数的加法运算法则，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算法则． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）定义一种新运算：，其中，比如：，则的值为 ． 【答案】 【分析】将各数代入计算，发现第一项和最后一项的值的和为3，第二项和倒数第二项的和为3，据此分组计算即可． 【详解】解：原式 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数的加法及其运算律，发现各项之间的规律是解题的关键． 3．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算下列各题： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）． 【答案】（1）100；（2）；（3）；（4）2；（5）50；（6）；（7）；（8） 【分析】根据有理数加法法则准确计算即可． 【详解】解：（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， （5） ， （6） ， （7） ， （8） ． 【点睛】本题考查了有理数的加法运算，解题的关键是正确根据式子的特点确定运算顺序． 4．（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）高斯上小学时，有一次数学老师让同学们计算 “从到这个正整数的和”，许多同学都采用了依次累加的计算方法，计算起来非常烦琐，并且容易出错，聪明的小高斯经过探索后，给出了下面漂亮的解答过程： 解：设，① 则，② ，得 ． ，，③ ． 后来人们将小高斯的这种解答方法概括为“倒序相加法” (1)请你运用高斯的“倒序相加法”计算：； (2)请你认真观察上面解答过程中的③式及你运算过程中出现类似的③式，猜想___________（用含的代数式表示）； 【答案】(1)1275 (2) 【分析】此题考查了数的运算规律，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1 ）原式利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值； （2 ）归纳总结得到一般性规律，写出即可，利用高斯的“倒序相加法”计算即可求出值． 【详解】（1）解：设 则， ，得， 所以， ， 所以； （2）解：由（1 ）及题目例题的解析可得： ， 设 则， ，得， 所以， ， 所以． 故答案为：． 【典型例题四 有理数加法中的符号问题】 【例1】（23-24七年级上·浙江绍兴·课后作业）已知两个数的和为正数，则（   ） A．一个加数为正，另一个加数为零 B．两个加数都为正数 C．两个加数一正一负，且正数的绝对值大于负数的绝对值 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】根据有理数加法法则对选项进行判断． 【详解】解：两个数的和为正数，这一定有一个加数为正数，而另一个加数可能为0，也可能为正数，若另一个加数为负数，则正数的绝对值大于负数的绝对值． 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数加法法则，解题的关键是掌握同号相加，取相同符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数． 【例2】（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）规定以下两种变换：①，如；②，如．按照以上变换有：，那么等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的新定义运算，正确运用公式是解题关键． 根据新定义的运算法则求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 【例3】（23-24七年级上·广东中山·阶段练习）将改写成省略加号的和的形式应为 ． 【答案】 【分析】根据如果括号前面是正号，直接去掉括号，括号内的数不变号，如果括号前面是负号，去掉括号，括号内的数变为原来的相反数，据此进行运算，即可得出答案． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查了去括号法则，熟练掌握知识点是解题的关键． 【例4】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若、、是非零有理数，，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据a、b、c是非零有理数，a+b+c=0，利用分类讨论的方法可以求得所求式子的值． 【详解】∵a、b、c是非零有理数，a+b+c=0， ∴当a、b、c中一正两负时， 不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则a=-（b+c）， 故=1+（-1）+（-1）-2=-3； 当a、b、c中两正一负时， 不妨设a＞0，b＞0，c＜0，则c=-（a+b）， 故=1+1+（-1）+2=3； 故答案为：-3或3． 【点睛】本题考查有理数的乘法、绝对值、有理数的加法，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答． 1．（24-25七年级上·山东泰安·阶段练习）若x>0，y<0，且，则x+y一定是（  ） A．负数 B．整数 C．0 D．无法确定符号 【答案】A 【分析】根据有理数加法法则解答． 【详解】∵x>0，y<0，且， ∴x+y<0， 故选：A． 【点睛】此题考查有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加等于0． 2．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）在数轴上有点、、分别表示有理数、、．若这三个数的和与其中的一个数相等． ①则必有俩数和为 ． ②若将点向左移动2个单位得到点，点向左移动4个单位得到点，且、、三个数的乘积为负数，则的值为 ． 【答案】 0 【分析】本题考查有理数的加法与乘法，数轴上的平移； ①根据这三个数的和与其中的一个数相等可得另外两个数的和为0，即可求解； ②由平移表示出、，再结合必有俩数和为0和三个数乘积为负数求解即可． 【详解】解：①∵这三个数的和与其中的一个数相等， ∴另外两个数的和为0，即必有俩数和为0； 故答案为：0； ②将点向左移动2个单位得到点，则， 点向左移动4个单位得到点，则， ∵、、三个数的乘积为负数， ∴、、三个数中有一个负数或者3个负数， ∵必有俩数和为0， ∴只能一个负数，且， ∴， 解得， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·山东潍坊·期中）如图，在一条不完整的数轴上，从左到右的A，B，C把数轴分成①②③④四部分，，点A，B，C对应的数分别是、、，且，． (1)原点在第______部分（填序号）． (2)比较：、、的大小． (3)若，且，求点表示的数． 【答案】(1)② (2) (3)表示的数为2 【分析】（1）由且得出，，从而得出原点的位置； （2）根据，，，得到，根据，，得到，即可得到； （3）根据非负数的性质求，，进而求出，根据求出，即可出点表示的数为． 【详解】（1）解：， 、异号， 由数轴知， ，， 原点在第②部分． 故答案为：②； （2）解：，，， ， ， ，， ， ； （3）解：， 又，， ，， ，， ∴， ， ， ∴点表示的数为， 即点表示的数为2． 【点睛】本题考查了数轴，非负数的性质，数轴上两点之间的距离，有理数的加法法则，乘法法则等知识，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 4．（24-25七年级上·湖南·阶段练习）【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则，在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考，下面请探索思考． 【探索】 （1）若，则的值为：①负数，②正数，③0．你认为结果可能为______（只填序号）； （2）若，a、b为整数，则的最大值为______． 【拓展】 （3）数轴上A、B两点分别对应有理数a、b，若，试比较与0的大小． 【答案】（1）①②③；（2）6；（3）见解析 【分析】本题主要考查的是有理数的加法和有理数的乘法． （1）为正数，则只要有一个正数，然后分类计算即可； （2）要使最大，则，必须同为负号，然后，利用有理数的乘法法则进行计算即可； （3），则只要有一个为正数，然后分类讨论即可． 【详解】解：（1）∵，则： 若，，则，则①成立； 若，，则，则②成立； 若，，则，则③成立． 故答案为：①②③； （2），且、为整数，要使得的最大值，则，必须同为负号， ，， 的最大值为6， 故答案为：6； （3）∵， ∴、至少有一个正数， ①当、都为正数时，为正，； ②当一个为正数、另一个为0时，； ③当一个为正数、另一个为负数；且正数的绝对值大于负数的绝对值时，． 【典型例题五 省略加法和括号的形式】 【例1】（23-24七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【详解】解：原式 故选：A． 【例2】（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）把算式写成省略括号的和的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数去括号法则即可求解. 【详解】= 故选C. 【点睛】此题主要考查有理数的加减，解题的关键是熟知去括号的方法. 【例3】（24-25七年级上·四川巴中·阶段练习）把式子改写成省略括号的和的形式 ． 【答案】21减6减15加7或正21、负6、负15、正7的和 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的和的形式即可． 【详解】解：， 所以把式子改写成省略括号的和的形式为21减6减15加7或正21、负6、负15、正7的和． 故答案为：21减6减15加7或正21、负6、负15、正7的和． 【例4】（24-25七年级上·福建漳州·阶段练习）把写成统一成加法的形式是　 ，写成省略加号的和形式　 ，读作：　 ，或　 ． 【答案】，，的和，或负2减4加8加1． 【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：++得+，--得+，-+得-，+-得- 【详解】统一成加法的形式是， 省略加号的和形式， 读作：，或负2减4加8加1． 故答案为，，的和，或负2减4加8加1． 【点睛】正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 1．（24-25七年级上·广西防城港·期中）为计算简便，把(﹣1.4)﹣(﹣3.7)﹣(+0.5)+(+2.4)+(﹣3.5)写成省略加号的和的形式，并按要求交换加数的位置正确的是(    ) A．﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5 B．﹣1.4+2.4+3.7+0.5﹣3.5 C．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5﹣3.5 D．﹣1.4+2.4﹣3.7﹣0.5+3.5 【答案】A 【分析】根据有理数的运算法则计算即可. 【详解】原式＝﹣1.4+3.7﹣0.5+2.4﹣3.5 ＝﹣1.4+2.4+3.7﹣0.5﹣3.5， 故选A. 【点睛】考查有理数的运算，解题的关键是熟记和运用有理数的计算法则． 2．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）将下列省略加号和括号的形式添上加号和括号，并计算出结果： （1）30-20-10+15=____________________=_______； （2）-4-28+25-22=____________________=_______. 【答案】（1）30+（-20）+（-10）+15，15；（2）（-4）+（-28）+25+（-22），-29. 【详解】试题解析：（1）30-20-10+15=30+（-20）+（-10）+15= 15； （2）-4-28+25-22=（-4）+（-28）+25+（-22）=-29. 故答案为(1). 30+（-20）+（-10）+15；15；(2). （-4）+（-28）+25+（-22）；-29. 3．（24-25七年级上·浙江杭州·课后作业）将下列式子写成省略括号的和的形式，并说出它的两种读法： （1）； （2）． 【答案】（1），读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 ；（2），负，负，负，正，正，正4的和；负减减加加； 【分析】（1）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可； （2）利用减法法则把减法改为加法，省略加号即可，按运算顺序与算式的意义读出即可． 【详解】解：（1）原式； 读作：正3.7，正2.5，负3.5，负2.4的和；3.7加2.5减3.5减2.4 （2）原式． 读作：负，负，负，正，正，正4的和； 负减减加加； 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4．（24-25七年级上·河南南阳·期中）（1）把下列各式写成省略加号的和的形式，并写出它们的两种读法： （2）【我计算】请计算： 【我排序】明明在做完上题之后，对“计算”的思考过程进行了以下梳理． ①确定和的绝对值：； ②确定和的符号：计算出加数+2和-3的绝对值，分别是2和3，通过比较它们的绝对值发现，加数-3的绝对值较大，写出和的符号为“-”； ③写出计算结果； ④决定应用有理数加法法则中“异号的两个数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值”； ⑤判断出是两个有理数相加的问题； ⑥观察两个加数的符号，发现是异号两数相加． 明明同学不小心把顺序写乱了，请你仔细阅读他的思考过程，写出正确的顺序为（只写出对应的顺序号即可）：___________ 【我会算】请计算： 【答案】（1）；读法见解析；（2）；⑤⑥④②①③；． 【分析】（1）利用有理数的加减运算法则变形得到结果，写出读法即可； （2）根据有理数的加法运算即可得到答案；根据有理数的加法法则即可排出正确的顺序；根据有理数的除法法则，先确定结果的符号，同时除法转化为乘法，再根据陈发法则计算即可得到结果． 【详解】解：（1）； 两种读法：①加减减；②、、、的和； （2）“我计算”； “我排序” 正确的顺序为⑤⑥④②①③， 答案为：⑤⑥④②①③； “我会算” ． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【典型例题六 有理数的加减混合运算】 【例1】（2024七年级上·浙江杭州·专题练习）按如图所示的程序输入进行计算，请写出输出结果（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的加减运算法则；根据程序列算式计算求解即可． 【详解】解：把代入程序中得：， 把0代入程序中得：， 把2代入程序中得：， 输出结果为4， 故选：． 【例2】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）把写成省略加号和的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，能把减法变成加法是解此题的关键，先根据有理数的减法法则把减法变成加法，再把加号和括号去掉即可． 【详解】解：把写成省略加号和的形式为， 故选：D． 【例3】（24-25七年级上·四川达州·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减运算，掌握运算法则是解题的关键． 根据题意，第一个和第二个结合，第三个和第四个结合，依此类推，得到，，由此即可求解． 【详解】解： ， ， 故答案为： ． 【例4】（24-25六年级上·山东泰安·期中）去掉绝对值符号． 计算．得 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，化简绝对值，先根据题意化简绝对值，再根据有理数的加减计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 1．（24-25七年级上·重庆石柱·阶段练习）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数． （    ） 例如：，．则下列结论正确的有 ①；     ②； ③若，则的取值范围是； ④当时，的值为0、1、2． A．1 个 B．2个 C．3 个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解决本题的关键是明确表示不超过的最大整数． 根据定义，计算求解判断． 【详解】解：根据定义，得，故①正确； 当x是整数时，； 当x是正小数时，且整数为a，； 当x是负小数时，且整数为a，；故②错误； 若，则，解得，故③错误； 当时，，， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 的值不可能为0， 综上的值为，，故④错误； 故正确的个数有1个， 故选：A． 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）“转化”是一种解决问题的常用策略，有时画图可以帮助我们找到转化的方法．例如借助图①，可以把算式转化为．请你观察图②，求算式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算和数据分析能力，同时还考查了数据的推理能力．根据图形观察发现，把正方形看作单位“1”，即算式可以转化成，再求出答案即可． 【详解】解：把正方形看作单位“1”，由图可得， 故答案为：． 3．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、加法运算律等知识点，掌握相关运算法则和运算定律是解题的关键． （1）根据有理数的加减运算法则进行计算即可； （2）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可； （3）先进行绝对值运算，再运用有理数加减法运算法则求解即可； （4）根据加法交换律和结合律进行简便计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 4．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①________； ②________． 【拓广应用】 （2）计算：． 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算和绝对值的性质，解题关键是熟练掌握绝对值的性质和有理数的加减法则． （1）①根据负数的绝对值是其相反数可得答案；②根据负数的绝对值是其相反数可得答案； （2）根据绝对值的性质化简后计算可得答案． 【详解】解：（1）由题目规律可得：负数的绝对值是其相反数，正数的绝对值等于本身； ①； ②； （2） ． 【典型例题七 有理数加减中的简便运算】 【例1】（2024·浙江·模拟预测）已知一列数：a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，…则＝（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用裂项求和方法进行解答． 【详解】解：∵a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，… ∴ . 故选D． 【点睛】本题考查了规律型的数字变化类，解题的关键是找到拆项的方法． 【例2】（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）计算：（    ） A． B． C． D．50 【答案】C 【分析】根据每两项的和为进行简便运算即可． 【详解】解：； 故选C． 【点睛】本题考查有理数的加减运算．解题技巧是：通过观察找到每两项的和相同，利用每两项的和×项数进行简便计算． 【例3】（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若a-b=-7，c+d=2013，则(b+c)-(a-d)的值是 . 【答案】2020 【分析】把所求代数式变换得b+c-a+d=(b-a)+(c+d)，把已知数值代入计算即可． 【详解】代数式变换，可得(b+c)-(a-d) =(b-a)+(c+d)， 由已知，a-b=-7，c+d=2013， ∴原式=7+2013=2020， 故答案为：2020． 【点睛】本题考查了整式加法交换律和结合律的运算，整体代换思想的应用，掌握整式加法运算律的应用是解题的关键． 【例4】（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）黑板上写有1，，，，…，共100个数字，每次操作先从黑板上的数中选取2个数a，b，然后删去a，b，并在黑板上写上数a+b+1，则经过 次操作后，黑板上只剩下一个数，这个数是 ． 【答案】 99 【分析】将所给数化为＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣，再根据题意可知，在操作的过程中，这100个数都要求和，操作99次后剩余一个数，则可得黑板最后剩下的是+99＝． 【详解】解：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，…，＝﹣， 每次取两个数a，b，删去a，b，并在黑板上写上数a+b+1， ∵这100个数的和是1++++…+=1+1﹣﹣﹣﹣＝2﹣＝， 则黑板上的数求和后，每次再加1， 每次都是去掉2个数，添加一个数，故黑板最后剩一个数，则操作99次， ∴黑板最后剩下的是+99＝． 故答案为：99；． 【点睛】本题考查数字的变化规律以及有理数的加法等知识，理解题意并将所给式子进行拆项相加是解题的关键． 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期中）对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：a※b=，则1※2+2※3+3※4+…+2019※2020的值为（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目定义的运算，将原式给展开，可以化简成，算出结果． 【详解】解：∵a※b=， ∴1※2+2※3+3※4+…+2019※2020 = = =． 故答案为：D． 【点睛】本题考查新定义运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． 2．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算： ． 【答案】 【分析】根据题意及图形可得=1-，+=1-，++=1-，….依此规律可进行求解． 【详解】解：由图及题意可得： =1-，+=1-，++=1-，…； 依此规律可得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查有理数的加减，关键是根据题意及图形得到规律，然后进行求解即可． 3．（23-24七年级上·浙江·阶段练习）用简便方法计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算的简便计算，熟练掌握加法交换律和乘法分配律可简化计算是解题的关键； （1）用加法交换律将和先算，再进行加减计算即可； （2）用乘法分配律将原式变为，再进行计算即可； （3）利用乘法交换律，先算，即可求解； （4）用乘法分配律将原式变为子，再进行计算即可； 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 4．（2024七年级上·全国·专题练习）规律探究： 计算：； 如果一个个顺次相加显然太烦琐，我们仔细观察这个式子的特点，发现运用加法的运算律可简化计算，提高计算速度． . 计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2)2550 【分析】本题主要考查了有理数加法中的简便计算，熟练掌握有理数加法运算法则，是解题的关键． （1）将原式变形为，然后进行运算即可； （2）将原式变形为，然后进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典型例题八 有理数加减法的综合应用】 【例1】（23-24七年级上·浙江衢州·开学考试）某一个月中，星期一、二、三、四、五都只有4个，星期六和星期天都有5个，这个月的1号是（    ） A．星期五 B．星期六 C．星期天 【答案】B 【分析】本题考查了对日历星期的认识，结合一周有七天，按着星期一、二、三、四、五、六、天排序，周而复始，结合“星期一、二、三、四、五都只有4个，星期六和星期天都有5个”进行分类讨论，即可作答． 【详解】这个月总共的天数为（天）． （天）， （天）， 这多出的两天只能是星期六和星期天． 如果1号是星期六，则2号是星期天， 3~30号正好四个星期，满足题目要求． 如果1号是星期天，则30号是星期一，有5个了，不符合题意． 故选：B 【例2】（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）4路公交到A站下了15人上了17人，到了B站又下了13人，车上还有21人．4路公交车上原有 人． 【答案】32 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算的应用，读懂题意正确列式是解题的关键． 利用有理数的混合运算计算． 【详解】解：（人）． 故答案为：32． 【例3】（24-25七年级上·浙江期中·期末）某班级对15名同学的数学竞赛成绩进行了统计，以80分为基准分，高于基准分的部分记为正数，低于基准分的部分记为负数，得到的记录如下：，，，，，，，，，，0，，，，． (1)这15名同学中，数学竞赛的最高分是多少？最低分是多少？ (2)求这15名同学的数学竞赛平均成绩． 【答案】(1)这15名同学中，数学竞赛的最高分是100分，最低分是70分 (2)83分 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意得出：最高分用，最低分用即可； （2）首先算出：，，，，，，，，，，0，，，，的平均分，再加上80即可． 【详解】（1）解：由题意得： 这15名同学中最高分是：（分）， 最低分是：（分）； 答：这15名同学中，数学竞赛的最高分是100分，最低分是70分； （2）解：由题意得： （分）， 这十五名同学的平均成绩是：（分）； 答：这15名同学的数学竞赛平均成绩为83分． 【例4】（24-25七年级上·浙江嘉兴·期中）小茗从学校了解到，上周五学校超市共售出牛奶500袋，喜欢数学的他统计了本周周一到周五学校超市牛奶的销量，以500袋为标准，超过500袋的数量记为“”，不足500袋的数量记为“”，统计表格如下： 周一 周二 周三 周四 周五 (1)本周哪一天学校超市牛奶的销量最大，数量是多少袋？ (2)本周售出的所有牛奶分为两种，种牛奶3元一袋，种牛奶4元一袋．其中种牛奶的销量是种牛奶的2倍，求本周售出的所有牛奶的总金额． 【答案】(1)周四；548袋 (2)8400元 【分析】题目主要考查有理数的乘法运算及加减运算的应用，理解题意，列式计算是解题关键． （1）根据有理数的大小比较方法求解即可； （2）先求出本周牛奶的总销量，然后计算种牛奶和种牛奶的销量，求解费用即可． 【详解】（1）解：因为 所以周四的销量最大， 最大数量是（袋） （2）本周牛奶的总销量为：（袋） 根据题意：其中种牛奶数量为（袋） 种牛奶数量为（袋） 总金额为（元） 答：本周售出的所有牛奶的总金额为8400元． 1．（23-24七年级上·全国·课后作业）王明同学记录了他所在的城市5月2日至5月6日每天最高气温的变化情况，且5月1日的最高气温为25 ℃，则气温最高的是(　　) 时间 2日 3日 4日 5日 6日 每天最高气温的变化 (与前一天比较) 升2 ℃ 降3 ℃ 升6 ℃ 降5 ℃ 降4 ℃ A．5月2日 B．5月3日 C．5月4日 D．5月6日 【答案】C 【分析】根据5月1日的最高气温为25 ℃,根据温度上升为+,温度下降为-,列式计算即可. 【详解】根据题意可得: 5月2日,气温是25+2=27(℃), 5月3日,气温是27-3=24(℃), 5月4日,气温是24+3=30(℃), 5月5日,气温是30-5=25(℃), 5月6日,气温是25-4=21(℃), 所以5月4日的气温最高. 故选C. 【点睛】本题考查有理数加减法应用,解决本题的关键是要根据表格利用有理数加减法列式计算. 2．（23-24七年级上·浙江绍兴·期中）下面是一页账单，但是有一部分破损了，请你根据上面残余的数字算出2011年8月12日的结余是 元． 日期 支出或存入 结余 备注 2011/5/26 ﹣120 9546 2011/6/12 ﹣150 2011/6/25 280 2011/7/5 ﹣315 2011/8/12 ﹣540 【答案】8821 【分析】根据有理数加减法法则，可把9546+（﹣150）+280+（﹣315）+（﹣540）写成省略加号和括号的和的形式，再进行有理数的加减运算即可． 【详解】解：9546+（﹣150）+280+（﹣315）+（﹣540）＝9546﹣150+280﹣315﹣540＝8821． 故答案为：8821． 【点睛】本题主要考查了有理数加减法法则的应用，准确计算是解题的关键． 3．（24-25七年级上·北京·期中）如图为北京市地铁1号线地图的一部分，某天，雨佳参加志愿者服务活动，从西单站出发，到从A站出站时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向西为正，向东为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下(单位：站)：； (1)请通过计算说明A站是哪一站？ (2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次雨佳志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是多少千米？ 【答案】(1)A站是永安里站 (2)这次雨佳志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是55.2千米 【分析】本题考查用正负数表示的相反意义的量的应用题，关键理解基准量，和正负数表示的意义，会计算相反意义的量和，会解释结果正负表示的意义，理解相反意义的量的绝对值是解题关键． （1）根据题意，通过计算，得到最后的站数，结合符号得到方向来确定即可； （2）计算所有站数的绝对值的和，再乘以1.2即可． 【详解】（1）解： ∴A站是永安里站； （2）解：， （千米）， 答：这次雨佳志愿服务期间乘坐地铁行进的总路程约是55.2千米． 4．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）如图，某段时间内，出租车司机小王从博物馆开始在东西走向的复兴大道上载客，以博物馆为出发点，向东为“＋”，向西为“－”．例如，向东行驶，记为“”，向西行驶，记为“－5km”．这段时间内小王共载客行驶八次，行驶路程情况（单位：）记录如下表： 次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 第八次 行驶路程情况/km (1)在第八次载客结束时，小王在博物馆西边处，则表中空白处应该填______． (2)求小王离博物馆的最远距离，并说明小王此时是在博物馆的东边还是西边． (3)在（1）的条件下，已知出租车的起步价为5元，里程为，超过的部分，每千米收2元，另外出租车每千米的油费是0.3元，问这段时间内八次载客共赚多少元？    【答案】(1) (2)第四次载客结束时，离博物馆最远，最远距离是在博物馆的东边处 (3)这段时间内八次载客共赚元 【分析】本题主要考查了有理数运算的实际应用，绝对值的应用等知识点，读懂题意，正确的列出算式是解题的关键． （1）需要根据前面几次行程的结果以及最终的位置求出第八次行程的数据即可得解； （2）要分别计算每次离博物馆的距离并找出最大值及其方向即可得解； （3）先算出总行程以及每次载客的收入，再减去总油费得到总利润即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴第七次载客结束时，小王在博物馆东边处， ∵第八次载客结束时，小王在博物馆西边处， ∴小王在第七次载客结束后又向西边走了， ∴第八次载客结束时，表中空白处应， 故答案为：； （2）解：由题意得，第一次：，小王在博物馆东边处， 第二次：，小王在博物馆东边处， 第三次：，小王在博物馆东边处， 第四次：，小王在博物馆东边处， 第五次：，小王在博物馆东边处， 第六次：，小王回到了博物馆， 第七次：，小王在博物馆东边处， 第八次：，小王在博物馆西边处， ∵， ∴第四次载客结束时，离博物馆最远，最远距离是在博物馆的东边处； （3）解：∵ ∴出租车总油费是(元）， ∵第一次行驶，起步价元，超过的部分是，额外费用为（元）， ∴总收入为（元）， ∵第二次行驶，起步价元，超过的部分是，额外费用为（元）， ∴总收入为（元）， ∵第三次行驶，起步价元，超过的部分是，额外费用为（元）， ∴总收入为（元）， ∵第四次行驶，起步价元，超过的部分是，额外费用为（元）， ∴总收入为（元）， ∵第五次行驶，起步价元，超过的部分是，额外费用为（元）， ∴总收入为（元）， ∵第六次行驶，起步价元，超过的部分是，额外费用为（元）， ∴总收入为（元）， ∵第七次行驶，起步价元，超过的部分是，额外费用为（元）， ∴总收入为（元）， ∵第八次行驶，起步价元，超过的部分是，额外费用为（元）， ∴总收入为（元）， ∴八次载客的总收入为（元）， ∴八次载客共赚（元）， 答：这段时间内八次载客共赚元． 1．（2025·天津南开·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的加法运算，掌握加法运算法则是关键；根据有理数加法法则计算即可． 【详解】解：； 故选：A． 2．（2025·新疆喀什·模拟预测）的结果是（    ） A． B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的减法运算，根据有理数的减法法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选A． 3．（2025·河北·模拟预测）从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解． 【详解】解： 故选：B． 4．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）定义关于有理数，的新运算：，其中，为整数且．例如：若，，则．若，则的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是掌握新定义的运算法则．根据可推出，再根据，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 5．（24-25七年级上·重庆綦江·期中）把几个互不相同的数用大括号括起来，相邻两个数之间用逗号隔开，如：{1，2}，{1，4，7，…}，我们称为集合，若集合中的元素均相同，则只保留一个，如{4，4}记作{4}，其中的每一个数称为该集合的元素，若一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数是集合的一个元素时，也必是这个集合的元素，这样的集合我们又称为对称集合，例如{2，86}是一个对称集合，以下结论正确的是（　　） ①集合是一个对称集合； ②若一个对称集合中最大的一个元素是2024，则该集合中最小的元素是1936； ③在所有的对称集合中，元素个数最少的集合是； ④若一个对称集合中有个元素，则这个元素的和为． A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了新定义及有理数的减法，理解定义是解题的关键． 根据对称集合的定义，即可判断①②③，根据对称集合的定义，可得集合中的元素，根据有理数的加法，即可判断④． 【详解】解：，， 集合是一个对称集合，故①正确； ， 若一个对称集合中最大的一个元素是2024，则该集合中最小的元素是，故②错误； ， 在所有的对称集合中，元素个数最少的集合是，故③正确； 若一个对称集合中有个元素，则有对和为的对应元素， 这个元素的和为，故④正确； 故选B． 6．（24-25六年级上·上海·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的加法运算，根据绝对值不相等的异号的两数相加的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 7．（24-25七年级上·辽宁抚顺·阶段练习）计算∶1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2024-2520= ． 【答案】 【分析】通过观察算式可得从第二个数开始，每4个数的和为0，根据找到的规律求解即可． 【详解】解：1+2-3-4+5+6-7-8+9+10-11-12……+2013+2014-2015-2016+2017+2018-2024-2520 故答案为：-2020． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，解题的关键是正确分析式子中的运算规律． 8．（24-25六年级上·山东淄博·期末）符号“”，“”分别表示一种运算，它们对一些数的运算结果如下： ①，，，，，…； ②，，，，，…． 利用以上规律计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的减法运算，根据题目中的式子的运算法则得出，，从而可以求得所求式子的值． 【详解】解：根据题意可知：，， 则， 故答案为：1． 9．（24-25七年级上·湖南永州·期中）观察算式：按规律填空： ． 【答案】2500 【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算，根据题中材料可知规律为：第一个数与最后一个数的和再乘以第一个数与最后一个数的和的一半，再除以2． 【详解】解：根据题意得： ， 故答案为：2500． 10．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．如图1表示的是，根据刘徽的这种表示法，可推算图表示的算式及其结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，根据正放表示正数，斜放表示负数，列出算式计算即可，看懂题意是解题的关键． 【详解】解：∵正放表示正数，斜放表示负数， ∴由图可得，， 故答案为： 11．（24-25六年级下·上海·假期作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加法运算法则计算； （2）根据有理数的加法运算法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．（24-25七年级上·山西吕梁·期中）观察下列式子： ；；；． (1)根据上面式子的规律，写出下列各式去掉绝对值符号后的形式（不要计算出结果）： ①____________； ②____________； (2)计算： 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题主要考查了去绝对值，有理数的加减法计算： （1）根据进行求解即可； （2）根据化简绝对值，然后计算加减法即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴； ②∵． ∴； 故答案为：①；②； （2）解：由题意得，    ． 13．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）阅读计算的方法，再用这种方法解答下列各题． 解：原式 ． (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）用提供提供的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 14．（24-25七年级上·河南南阳·期中）如图，一只甲虫在的方格(每个方格边长均为1)上沿着网格线爬行．规定：在如图所示的网格中，向上(或向右)爬行记为“”，向下(或向左)爬行记为“”，并且第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．例如：从A到B记为，从D到C记为． 思考与应用： (1)从B到C记为( ___，___ )，从C到D记为( ___ ，___ )； (2)若甲虫从A到P的爬行路线依次为→→，请在图中画出甲虫的爬行路线，并标出点P的位置． (3)若甲虫的行走路线为，请计算该甲虫爬行过的总路程S． 【答案】(1)， (2)图形见解析 (3)18 【分析】此题考查正负数的意义和有理数的加减混合运算，注意在方格内对于运动方向规定的正负． （1）只向右走格；先向右走格，再向下走格，由此写出即可． （2）由题可知从A处右移格，上移2格，再右移格，上移格，右移格，下移格即是甲虫P处的位置； （3）由题可知：先向右移动格，向上移动格，向右移动格，再向右移动格，向下移动格，最后向左移动格，向下移动格，把移动的距离相加即可． 【详解】（1）解：从B到C记为，从C到D记为， 故答案为：，； （2）在图中画出甲虫的爬行路线，并标出点P的位置如图所示： （3）解：该甲虫爬行过的总路程为：． 15．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）综合与实践：魔术中的数学密码 温馨提示：一副扑克牌通常有54张牌，其中包括：52张正牌：分为4种花色（黑桃♠，红心♥，梅花♣，方块◆），每种花色有13张牌，分别是A、、J、Q、K．2张副牌：大王和小王．本题通过扑克牌魔术的规则，考察数学中的排列组合和简单计算．所有扑克牌点数对应规则为： ，其他数字牌按实际数值计算． 花色优先级：黑桃♠梅花♣方块◆红桃♥（点数相同时使用）． 【魔术规则】 观众从一副标准的扑克牌（共52张，不含大小王）中随机抽取5张牌交给魔术师的助手，助手从中选择一张让观众藏起来，并把剩余的4张牌（明牌）正面朝上放在桌上，然后，魔术师查看桌子上的4张明牌，便能准确地说出隐藏之牌（暗牌）的花色和点数． 【魔术原理】 一、花色定位： 步骤1：从5张牌中必能找到2张同花色牌． 步骤2：若这2张同花色牌点数之差的绝对值小于等于6，则助手将点数较小的牌放在最左边；若点数之差的绝对值大于6，则助手将点数较大的牌放在最左边，这张牌称为花色指示牌，用它指示暗牌的花色，随后，助手将另外一张牌交给观众藏起来． 如果助手将黑桃5放在最左边，那么暗牌的花色一定是________； 二、点数计算： 1．将剩下3张牌比较大小，若点数相同，再比花色．例如：①红桃♥9②梅花♣3③方块◆9，若按照从小到大排序，顺序为________（填写序号） 2．根据这3张牌的摆放顺序，对应一个密码数字（1～6）（如图1）． 密码数字 3张牌的摆放顺序（从左到右） 示例（3张牌为 1 小中大 2 小大中 3 中小大 4 中大小 5 大小中 6 大中小 （图1） 若这3张牌摆成“”，则对应的密码数字是________； 3．暗牌点数＝指示牌点数＋密码数字．（如图2，扑克牌顺时针从（1）K（13）再回到A（1），点数像钟表一样循环，若结果超过13，则减去13）． 若指示牌是梅花J，密码数字为5，则暗牌的点数是________； 【魔术应用】 如图3，观众随机抽取的5张牌为： 利用上面的原理，助手需选择一张牌作为暗牌，将其余4张牌作为明牌，则明牌摆放顺序从左到右依次应为________． A．梅花♣3、方块◆7、红桃♥K、黑桃♠K B．梅花♣3、红桃♥K、黑桃♠K、方块◆7 C．梅花♣K、黑桃♠K、红桃♥K、方块◆7 D．梅花♣K、黑桃♠K、方块◆7、红桃♥K 【答案】一、花色定位：黑桃；二、1．②③①；2.   4；3.   3；魔术应用：D． 【分析】本题考查的是有理数的加减混合运算的应用， 一、花色定位：根据题意得出最左边牌色即暗牌颜色； 二、点数计算：1.根据规则确定大小即可； 2.先确定大小，再根据表格确定密码数字； 3.根据暗牌点数＝指示牌点数＋密码数字确定暗牌点数； 魔术应用：按照花色定位、点数计算及暗牌点数计算方法确定选项即可． 【详解】解：一、花色定位： 由题意得：如果助手将黑桃5放在最左边， 那么暗牌的花色一定是黑桃， 故答案为：黑桃； 二、 1．①红桃♥9②梅花♣3③方块◆9，若按照从小到大排序，顺序为②③①， 故答案为：②③①； 2．若这3张牌摆成“”， 则3张牌的摆放大小顺序（从左到右）为：中大小， 则对应的密码数字是：4， 故答案为：4； 3．根据暗牌点数＝指示牌点数＋密码数字，若指示牌是梅花J，密码数字为5， 则暗牌的点数是， 故答案为：3； 魔术应用： 花色定位：五张牌中，花色相同的是梅花3和梅花K，点数差大于6， 则助手将点数较大的牌放在最左边，即梅花K为花色指示牌，故选项A、B错误， 所以暗牌一定是梅花3， 点数计算：选项C中，大小顺序为中大小，故对应的密码数字是：4， 则暗牌的点数是，与暗牌一定是梅花3相矛盾，故选项C错误， 选项D中，大小顺序为中小大，故对应的密码数字是：3， 则暗牌的点数是，与暗牌一定是梅花3相一致，故选项D正确， 故选：D． 学科网（北京）股份有限公司 $$