专题03绝对值与有理数大小比较暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题03绝对值与有理数大小比较暑假预习讲义 1.能准确说出绝对值的几何定义与代数定义，会用符号表示一个数的绝对值。 2.会求正数、负数、0、分数、小数的绝对值，理解任何数的绝对值都是非负数。 3.掌握互为相反数的两个数绝对值相等这条规律，能快速运用化简式子。 4.借助数轴理解有理数大小比较规则：数轴右侧的数大于左侧的数。 5.熟练掌握两类数大小比较方法：正数＞0＞负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 6.能独立完成含绝对值的化简、简单大小比较基础习题，规范书写步骤。 7.梳理本节课易混淆知识点，标记看不懂的例题、概念，课堂重点听讲。 8.初步建立数形结合思想，学会用数轴辅助解决绝对值、比大小问题。 预习必备 知识梳理 1.绝对值双重定义 2.绝对值代数法则 3.绝对值五大核心性质 4.基础必考结论 5.有理数大小比较 6.常见题型 7.高频易错点汇总 8. 常考题型 精讲精练 1.绝对值的几何意义 2.求一个数的绝对值 3.绝对值非负性 4.绝对值的其他应用 5.由数轴比较有理数大小 6.有理数的大小比较 7.有理数大小比较的实际应用 8.绝对值中的最值问题 9.新定义运算题 强化题型 解答题7题 知识点01:绝对值几何定义 数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 知识点02:绝对值代数法则（去绝对值核心） 知识点03:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点04基础必考结论 互为相反数的两个数绝对值相等：|a|=|-a| 绝对值等于本身的数：非负数（正数、0） 绝对值等于相反数的数：非正数（负数、0） 绝对值最小的有理数：0 知识点05：有理数大小比较 方法 1：数轴比较法（数形结合） 数轴上，右边的数总大于左边的数。 原点右侧全为正数，左侧全为负数； 正数＞0，负数＜0。 方法 2：分类直接比较法则 正数＞0＞负数； 两个正数比较：数字越大，数值越大； 两个负数比较：绝对值大的，反而更小。 例：比较-5和-2 |-5|=5，|-2|=2，5>2，所以-5 < -2。 方法3：绝对值比较法（仅用于两个负数比较） 适用场景：无需画图，纯数字比较两个负数 完整步骤： 1.分别求出两个负数的绝对值； 2.比较两个绝对值的大小； 3.绝对值更大的那个负数，本身数值更小。 示例：比较-6和-2.5 |-6|=6，|-2.5|=2.5，6>2.5，所以-6<-2.5 知识点06：详细常见题型（全覆盖，包含求绝对值、化简、求值、比大小） 题型 1：基础求一个数的绝对值（最基础必考） 解题思路：判断正负，套代数定义 正数、正分数、正小数：绝对值等于本身 例：|12|=12，|0.7|=0.7，||= 负数、负分数、负小数：绝对值等于相反数 例(|-9|=9，|-1.5|=1.5，|-|= 0 的绝对值：|0|=0 题型 2：已知绝对值，求原数（易漏解题型） 解题思路：绝对值等于正数的数有两个，互为相反数；绝对值为 0 只有 0 基础：若|x|=6，则x=6或x=-6 拓展：若|a|=2.5，a=2.5 特殊：|m|=0，则m=0 题型 3：化简带绝对值的代数式（进阶重点） 解题思路：先判断绝对值内部整体正负，再去绝对值符号 单纯数字化简 例：-|-8|=-8；|-|= 结合数轴化简（数形结合高频题） 已知数轴：b<0<a，化简|a|+|b| 解：a>0，|a|=a；b<0，|b|=-b，原式=a-b 题型 4：利用绝对值非负性求值（单元测试压轴小题） 核心：|a|0，|b|0，两个非负数相加等于 0，只能各自为 0 例：已知|x-2|+|y+3|=0，求x、y 解：x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3 题型 5：单个 / 多个有理数大小比较 （1）.一正一负：正数永远大于负数 例：-3 < 1 （2）.两个负数比较（必考难点） 步骤：①分别求绝对值 ②比较绝对值大小 ③绝对值大的原数更小 例：比较-4.2和-2.8 |-4.2|=4.2，|-2.8|=2.8，4.2>2.8，故-4.2 < -2.8 （3）.多个数从小到大排序 题型 6：结合相反数、绝对值综合求值 例：已知a的相反数是-5，求|a| 解：a=5，|a|=5 题型 7：绝对值与最值问题 |x|最小值：当x=0时，|x|=0最小； |x-1|最小值：x=1时，最小值为 0。 知识点07：高频易错点 1.化简-|-5|容易算成 5，忘记外层负号； 2.两个负数比较大小，直接看数字大小，忽略 “绝对值大反而小”； 3.已知|x|=4只写一个答案，漏掉负数解； 4.认为|a|=-a代表结果是负数，实际a<0时-a是正数； 5.忽略绝对值非负性，认为绝对值可以为负数。 题型1.绝对值的几何意义 【典例】如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【答案】＜ 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．－3 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵数轴上某点到原点的距离等于该点所表示的数的绝对值． ∴分别计算各选项的绝对值∶，，，． 比较大小得， ∴对应的点与原点距离最近． 【跟踪专练2】一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______． 【答案】18或27 【分析】本题考查了数轴上的动点运动规律、绝对值的应用及分类讨论思想，解题的关键是找出第次跳动后位置的表达式，结合到原点的距离列方程求解． 分析每次跳动的方向与距离，分为奇数、偶数两种情况推导第次跳动后的位置表达式，再根据位置的绝对值为23列方程，求解得到的值． 【详解】解：起点为，推导第次跳动后的位置： 当为奇数时，位置为； 当为偶数时，位置为． 由到原点的距离为23，得位置的绝对值为231． 若为奇数：，解得（舍去）； 若为偶数：，解得． 故答案为：18或27． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质和绝对值的性质．根据等式的性质即可依次判断． 【详解】解：A、∵，但与不一定相等，如时，，但此选项错误，不符合题意； B、∵，∴两边同乘得，此选项正确，符合题意； C、∵，∴，但与不一定相等，如时，，但，此选项错误，不符合题意； D、若，需要满足，才能推出，此选项错误，不符合题意； 故选：B． 题型2.求一个数的绝对值 【典例】若，则 __________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 【跟踪专练1】若，则_________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【跟踪专练2】________． 【答案】 【分析】本题主要考查了无理数估算、取绝对值等知识点，掌握无理数估算成为解题的关键． 先估计的大小，然后确定的正负，最后取绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题主要考查与绝对值有关的计算，根据绝对值的定义，可能为或，可能为或，分别计算的绝对值即可． 【详解】解：， 或； ， 或． 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，． 的值为或． 故选：C． 题型3.绝对值非负性 【典例】若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质．根据绝对值的定义分析a的取值范围即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 即a一定是非正数． 故选：C 【跟踪专练1】（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 【跟踪专练2】当___________时，代数式有最大值． 【答案】1 【分析】本题考查了绝对值的非负性，根据绝对值的非负性得出，从而得到当，即时，有最大值，熟练掌握绝对值的非负性是解此题的关键． 【详解】解：， ， ， 当，即时，有最大值． 故答案为：1． 【跟踪专练3】对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性即可得出答案． 【详解】解：A．当时，，则，故A选项不符合题意； B．当时，，故B选项不符合题意； C．，则，不可能为0，故C选项符合题意； D．当时，，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，解题的关键是掌握任何数的绝对值都是非负数，两个非负数的和一定为非负数． 题型4.绝对值的其他应用 【典例】海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球．现检测了四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偏差的绝对值越小，说明足球质量与标准质量的差距越小，即可判断． 【详解】解：∵，，，，且， ∴对应足球最接近标准质量． 【跟踪专练1】若点在数轴上表示的数分别是，若，，则点和点两点间的最大距离为______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值定义、数轴上两点之间距离等知识，熟记数轴上两点之间距离的表示方法是解决问题的关键． 根据绝对值的定义，求出的值，再由数轴上两点之间距离表示分类计算所有组合的距离，比较大小即可得最大距离． 【详解】解：，， ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 点和点两点间的最大距离为， 故答案为：． 【跟踪专练2】当满足________条件时，有最小值，这个最小值是________． 【答案】 5 【分析】分，，三种情况计算． 【详解】当时， ； 当时， ； 当时， ； 故当时，有最小值，且最小值为5， 故答案为：，5． 【点睛】本题考查了分类思想，绝对值的化简，熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 【跟踪专练3】在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数如图检测结果中最接近标准质量的是（    ）      A．＋0.8 B．＋2.6 C．＋2.5 D．－0.7 【答案】D 【分析】本题考查了正数和负数，以及绝对值的意义，根据绝对值最小的最接近标准，可得答案． 【详解】解：，，，， ，则最接近标准的是． 故选：D． 题型5.由数轴比较有理数大小 【典例】如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 【答案】左 【详解】解：∵， ∴表示的点在A点的左边． 【跟踪专练1】实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上点的分布特征，原点右侧表示正数，左侧表示负数，且数轴上右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，据此判断即可． 【详解】解：由数轴图示可知： ． ． 对比各选项，只有 C 选项成立． 【跟踪专练2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示且，则a，b，，的大小关系是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴比较大小． 根据数轴得到，结合判断大小关系即可． 【详解】解：由数轴可知， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示， ∴ ． 题型6.有理数的大小比较 【典例】在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 【详解】解 ，，，， 又 ， 绝对值最小的数是． 【跟踪专练1】比较大小：_____．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据两个负数比较大小的法则，先求出两个数的绝对值，比较绝对值的大小，即可得到原数的大小关系． 【详解】解：将化为分数，得．分别计算两个数的绝对值，得， 因为，即， 所以． 【跟踪专练2】比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的大小比较． 根据负数，绝对值大的反而小；先化简表达式，再比较大小即可． 【详解】解：比较和： ，， 由于，所以， 即． 比较和： ，， 由于，所以． 比较和： ，所以， ， 由于，所以． 故答案为：，，． 【跟踪专练3】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的大小比较，方法一结合数轴进行求解，方法二结合已知条件用特殊值法即可快速得出结果． 【详解】方法一：如图所示， ∴ ． 方法二：∵ ，，，，为有理数 ∴ 取满足条件的特殊值 ， 计算得 ，， ∵ ∴ ． 题型7.有理数大小比较的实际应用 【典例】如图，为保障交通安全，某路段设置了限高警示标识，下列高度的汽车不能通过该路段的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可得，汽车的高度不能超过，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：由图可得，汽车的高度不能超过， A、汽车高度为，，可以通过该路段，不符合题意； B、汽车高度为，，可以通过该路段，不符合题意； C、汽车高度为，，可以通过该路段，不符合题意； D、汽车高度为，，不可以通过该路段，符合题意． 【跟踪专练1】某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 【答案】3 【分析】比较各种房间预订数量的多少可得答案． 【详解】解：∵， ∴三人间市场需求最高， ∴最应该多设置床位数量为3的客房． 【跟踪专练2】下表是某年1月份我国几个城市的平均气温，则下列各城市的平均气温中，最高气温与最低气温的差是______ 北京 上海 沈阳 广州 济南 【答案】 【分析】本题考查有理数的减法，有理数大小比较，熟练掌握有理数的减法法则是解题的关键； 根据对有理数的认识比较各城市温度的高低，计算是最高气温与最低气温即可求解； 【详解】解：根据题意可得：最高气温为广州，最低气温为沈阳； 最高气温与最低气温的差是：； 故答案为： 【跟踪专练3】根据表格提供的四位同学行走的数据，步行速度最快的是（      ） 小杰 小丽 小磊 小明 时间 20秒 30秒 23秒 25秒 距离 68米 100米 64米 80米 A．小杰 B．小丽 C．小磊 D．小明 【答案】A 【详解】解：小杰的速度：＝3.4米/秒， 小丽的速度：＝米/秒， 小磊的速度：＜3米/秒， 小明的速度：＝3.2米/秒， ∵3.4是最大的数， ∴步行速度最快的是小杰； 故选：A． 【点睛】本题考查了行程问题中的速度的计算和有理数大小比较，熟练掌握路程÷时间＝速度是关键． 题型8.绝对值中的最值问题 【典例】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【答案】 【分析】利用绝对值的非负性，得出的最小值进而确定表达式的最大值即可． 【详解】解：为有理数， ， ， ，当且仅当时，即时取等号， 最大值为． 【跟踪专练1】若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 【跟踪专练2】利用绝对值的几何意义，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的几何意义，有理数的减法，理解绝对值的几何意义，数形结合是解题的关键；根据绝对值的几何意义可知的几何意义是表示数轴上x对应点到对应点和2对应点的距离和，当x对应点在对应点和2对应点之间时，距离和最小，即可得解． 【详解】解：几何意义是表示数轴上x对应点到对应点和2对应点的距离和， 当x对应点在对应点和2对应点之间时，距离和最小， 的最小值是， 故选：． 【跟踪专练3】的最小值是________ 【答案】 【分析】表示a的点到表示b的点的距离，根据绝对值的几何意义把问题转化为求x到1，2，3，，2009，2010的距离之和，而当x表示的点处在最中间两个数1005，1006对应的点之间时，距离之和最小，再根据绝对值的化简求解即可． 【详解】表示x到1，2，3， ，2009，2010的距离之和， 当时，距离之和最小， ． 【点睛】对于求的最小值题型，其中，当为奇数时，时取得最小值；当为偶数时，时取得最小值． 题型9.新定义运算题 【典例】用“”，“”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了新定义运算，绝对值与相反数，解题的关键是理解题意．根据新运算的定义，先计算括号内的运算，再根据规则逐步计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：2025． 【跟踪专练1】定义．例如：．若，，则________． 【答案】或或 【分析】本题考查了化简绝对值，已知字母的值求代数式的值．由，，得出，，再结合，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，； 则当，时，； 则当，时，； 当时，则； 则当，时，； 则当，时，； 综上：或或． 故答案为：或或 【跟踪专练2】规定：，．例如，．下列结论中： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④式子的最小值是7． 其中正确的所有结论是（　　） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】①根据新定义运算和非负数的性质求得x、y，再代值计算便可判断①的正误； ②根据新定义运算和绝对值的性质进行计算便可； ③根据新定义运算和绝对值的性质，分两种情况：与分别计算便可； ④根据新定义运算和绝对值的性质，进行解答便可． 【详解】①∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， 故②正确； ③∵，| ∴当时，， 当时，， 故③错误； ④， 当3时，式子有最小值为：， 故④正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了求代数式的值，非负数的性质，绝对值的定义，关键是应用新定义和绝对值的性质解题． 解答题 1．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据绝对值的代数定义，是负数，绝对值为，是正数，绝对值为，的绝对值为． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：． 2．比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵，， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴； （4）解：∵， ∴． 3．回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【答案】(1)0 (2)大，6 【详解】（1）解：，故代数式的最小值是； （2）解：因为是个非负数，有最小值为0， 所以代数式有最大值是6． 4．已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 【答案】(1)第4件样品最符合标准 (2)第1件、第2件和第4件属于正品，第3件是次品，第5件是废品 【分析】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解； （2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定该零件是正品、次品还是废品． 本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴第4件样品的大小最符合要求； （2）解：∵，， ∴第1，2，4件样品是正品； ∵，， ∴第3件样品为次品； ∵， ∴第5件样品为废品． 5．数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或，图见解析 (3)当时，的值最大，最大值为 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的几何意义，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据两点间的距离公式计算即可得出结果； （2）先根据绝对值的意义求出或，再在数轴上标记x所在的位置即可； （3）分区间讨论的化简结果，比较得出最大值即可． 【详解】（1）解：∵点A表示的数是4，点B表示的数是， ∴A，B两点之间的距离是； （2）解：∵， ∴或， ∴或， 在数轴上标记x所在的位置如图所示： （3）解：当时，， 当时，，此时， 当时，， ∴当时，的值最大，最大值为． 6．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】(1)；4； (2)， 【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 【详解】（1）略 （2）略 7．根据条件分别解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数是它本身，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了绝对值，有理数的相关概念，代数式求值，熟练掌握这些知识点是解题的关键． （1）根据绝对值的非负性，列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可； （2）根据题意得到的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数是它本身， ∴，，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03绝对值与有理数大小比较暑假预习讲义 1.能准确说出绝对值的几何定义与代数定义，会用符号表示一个数的绝对值。 2.会求正数、负数、0、分数、小数的绝对值，理解任何数的绝对值都是非负数。 3.掌握互为相反数的两个数绝对值相等这条规律，能快速运用化简式子。 4.借助数轴理解有理数大小比较规则：数轴右侧的数大于左侧的数。 5.熟练掌握两类数大小比较方法：正数＞0＞负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 6.能独立完成含绝对值的化简、简单大小比较基础习题，规范书写步骤。 7.梳理本节课易混淆知识点，标记看不懂的例题、概念，课堂重点听讲。 8.初步建立数形结合思想，学会用数轴辅助解决绝对值、比大小问题。 预习必备 知识梳理 1.绝对值双重定义 2.绝对值代数法则 3.绝对值五大核心性质 4.基础必考结论 5.有理数大小比较 6.常见题型 7.高频易错点汇总 8. 常考题型 精讲精练 1.绝对值的几何意义 2.求一个数的绝对值 3.绝对值非负性 4.绝对值的其他应用 5.由数轴比较有理数大小 6.有理数的大小比较 7.有理数大小比较的实际应用 8.绝对值中的最值问题 9.新定义运算题 强化题型 解答题7题 知识点01:绝对值几何定义 数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 记作：|a|，a为任意有理数。 关键点：距离不可能是负数，因此任意数的绝对值一定是非负数，即 |a|0。 举例：数轴上表示-4的点到原点距离为 4，则|-4|=4；表示0的点就在原点，|0|=0。 知识点02:绝对值代数法则（去绝对值核心） 知识点03:绝对值五大核心性质 1.非负性（最重要） 任意有理数的绝对值|a|0； 推论：若干个绝对值相加等于 0，则每一个绝对值内部都为 0。 例：|x-2|+|y+3|=0，则x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3。 2.互为相反数的两数绝对值相等：|a|=|-a|。 3.若|x|=m(m>0)，则x=m 或 x=-m（一正一负两个解）。 例：|x|=5，x=5或x=-5； 补充：若|x|=0，仅有唯一解x=0。 4.绝对值的乘积、商性质： 5.|a-b|几何含义：数轴上表示a、b两点之间的距离。 知识点04基础必考结论 互为相反数的两个数绝对值相等：|a|=|-a| 绝对值等于本身的数：非负数（正数、0） 绝对值等于相反数的数：非正数（负数、0） 绝对值最小的有理数：0 知识点05：有理数大小比较 方法 1：数轴比较法（数形结合） 数轴上，右边的数总大于左边的数。 原点右侧全为正数，左侧全为负数； 正数＞0，负数＜0。 方法 2：分类直接比较法则 正数＞0＞负数； 两个正数比较：数字越大，数值越大； 两个负数比较：绝对值大的，反而更小。 例：比较-5和-2 |-5|=5，|-2|=2，5>2，所以-5 < -2。 方法3：绝对值比较法（仅用于两个负数比较） 适用场景：无需画图，纯数字比较两个负数 完整步骤： 1.分别求出两个负数的绝对值； 2.比较两个绝对值的大小； 3.绝对值更大的那个负数，本身数值更小。 示例：比较-6和-2.5 |-6|=6，|-2.5|=2.5，6>2.5，所以-6<-2.5 知识点06：详细常见题型（全覆盖，包含求绝对值、化简、求值、比大小） 解题思路：判断正负，套代数定义 正数、正分数、正小数：绝对值等于本身 例：|12|=12，|0.7|=0.7，||= 负数、负分数、负小数：绝对值等于相反数 例(|-9|=9，|-1.5|=1.5，|-|= 0 的绝对值：|0|=0 解题思路：绝对值等于正数的数有两个，互为相反数；绝对值为 0 只有 0 基础：若|x|=6，则x=6或x=-6 拓展：若|a|=2.5，a=2.5 特殊：|m|=0，则m=0 解题思路：先判断绝对值内部整体正负，再去绝对值符号 单纯数字化简 例：-|-8|=-8；|-|= 结合数轴化简（数形结合高频题） 已知数轴：b<0<a，化简|a|+|b| 解：a>0，|a|=a；b<0，|b|=-b，原式=a-b 核心：|a|0，|b|0，两个非负数相加等于 0，只能各自为 0 例：已知|x-2|+|y+3|=0，求x、y 解：x-2=0，y+3=0，得x=2，y=-3 （1）.一正一负：正数永远大于负数 例：-3 < 1 （2）.两个负数比较（必考难点） 步骤：①分别求绝对值 ②比较绝对值大小 ③绝对值大的原数更小 例：比较-4.2和-2.8 |-4.2|=4.2，|-2.8|=2.8，4.2>2.8，故-4.2 < -2.8 （3）.多个数从小到大排序 例：已知a的相反数是-5，求|a| 解：a=5，|a|=5 |x|最小值：当x=0时，|x|=0最小； |x-1|最小值：x=1时，最小值为 0。 知识点07：高频易错点 1.化简-|-5|容易算成 5，忘记外层负号； 2.两个负数比较大小，直接看数字大小，忽略 “绝对值大反而小”； 3.已知|x|=4只写一个答案，漏掉负数解； 4.认为|a|=-a代表结果是负数，实际a<0时-a是正数； 5.忽略绝对值非负性，认为绝对值可以为负数。 题型1.绝对值的几何意义 【典例】如图，实数，在数轴上对应点的位置，则_____（填“>”“<”或“=”）． 【跟踪专练1】用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A．－3 B． C． D．2 【跟踪专练2】一只电子跳蚤在数轴上跳动，它从表示的点出发，第1次向右跳2个单位长度，之后的每次跳动都与前一次方向相反，且比前一次多跳2个单位长度．若电子跳蚤第n次跳动后到原点的距离为23个单位长度，则n的值是______． 【跟踪专练3】下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型2.求一个数的绝对值 【典例】若，则 __________． 【跟踪专练1】若，则_________． 【跟踪专练2】________． 【跟踪专练3】如果，，那么的结果是(        ) A． B． C．或 D．或 题型3.绝对值非负性 【典例】若，一定是（　　） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 【跟踪专练1】（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【跟踪专练2】当___________时，代数式有最大值． 【跟踪专练3】对于任意有理数，下列式子中取值不可能为0的是（    ） A． B． C． D． 题型4.绝对值的其他应用 【典例】海口市2026年中考体育考试所用足球为5号球．现检测了四个足球的质量，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】若点在数轴上表示的数分别是，若，，则点和点两点间的最大距离为______． 【跟踪专练2】当满足________条件时，有最小值，这个最小值是________． 【跟踪专练3】在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数如图检测结果中最接近标准质量的是（    ）      A．＋0.8 B．＋2.6 C．＋2.5 D．－0.7 题型5.由数轴比较有理数大小 【典例】如下图所示，数轴上A点表示，那么表示的点在A点的______边（填入左或者右）． 【跟踪专练1】实数，在数轴上的对应点如图所示，则下列关系成立的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示且，则a，b，，的大小关系是________． 【跟踪专练3】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 题型6.有理数的大小比较 【典例】在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 【跟踪专练1】比较大小：_____．（填“”“”或“”） 【跟踪专练2】比较大小（填“”、“”、“”）： ________；________；________． 【跟踪专练3】若m，n为有理数，，，且，那么m，n，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型7.有理数大小比较的实际应用 【典例】如图，为保障交通安全，某路段设置了限高警示标识，下列高度的汽车不能通过该路段的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】某民宿准备在暑期开设一批新客房，调研了去年暑期客房预订情况如下表： 客房类型 单人间 标准间 三人间 家庭房 床位数量/张 1 2 3 6 预订数量/间 8 11 14 3 为满足更多旅客的需求，该民宿今年暑期最应该多设置床位数量是________的客房． 【跟踪专练2】下表是某年1月份我国几个城市的平均气温，则下列各城市的平均气温中，最高气温与最低气温的差是______ 北京 上海 沈阳 广州 济南 【跟踪专练3】根据表格提供的四位同学行走的数据，步行速度最快的是（      ） 小杰 小丽 小磊 小明 时间 20秒 30秒 23秒 25秒 距离 68米 100米 64米 80米 A．小杰 B．小丽 C．小磊 D．小明 题型8.绝对值中的最值问题 【典例】如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是__________． 【跟踪专练1】若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【跟踪专练2】利用绝对值的几何意义，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【跟踪专练3】的最小值是________ 题型9.新定义运算题 【典例】用“”，“”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【跟踪专练1】定义．例如：．若，，则________． 【跟踪专练2】规定：，．例如，．下列结论中： ①若，则； ②若，则； ③若，则； ④式子的最小值是7． 其中正确的所有结论是（　　） A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 解答题 1．求下列各式的值： (1)； (2)； (3)． 2．比较下列每组数的大小 (1) (2) (3) (4)． 3．回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 4．已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 5．数形结合是解决数学问题的重要方法，数轴上两点之间的距离可以用两数之差的绝对值来表示，点A表示的数是a，点B表示的数是b，则A，B两点之间的距离．例如：若点A表示5，点B表示，则．解决下列问题： (1)若点A表示的数是4，点B表示的数是，则A，B两点之间的距离是_______； (2)当时，请在数轴上标记x所在的位置并写出x的值； (3)是否存在有理数m，使得有最大值？若存在，求出最大值，若不存在，请说明理由． 6．如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． (1)在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； (2)补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 7．根据条件分别解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)若a是最大的负整数，b是最小的正整数，c的相反数是它本身，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $