专题02 数轴 暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固) 2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题02数轴暑假预习讲义 · 理解数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，熟记数轴完整画法步骤。 · 能准确在数轴上标出有理数对应的点，看懂数轴上点所代表的数字。 · 掌握有理数与数轴上点一一对应的关系，区分正数、负数、0 在数轴上的位置。 · 学会利用数轴比较有理数大小：数轴右侧数字大于左侧数字。 · 理解相反数的几何意义，知道互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 · 能借助数轴解决简单距离问题，初步建立数形结合思想。 · 自主完成课本基础例题与习题，记录不懂的知识点，上课重点听讲。 预习必备 知识梳理 1.数轴的概念与三要素 2.数轴上的点表示有理数 3.数轴上的点与有理数的关系 4.相反数 5.数轴上点的移动问题 6.数轴上两点间距离 7.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.数轴的三要素及其画法 2.用数轴上的点表示有理数 3.数轴上两点之间的距离 4.数轴上点的平移 5.相反数的定义 6.数轴上找原点 7.数轴上整点覆盖问题 8.数轴上的规律探究 9.化简多重符号 10.相反数的应用 强化题型 解答题6题 知识点01：数轴的概念与三要素 1. 数轴定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 相关概念：原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 2. 数轴三大核心要素（三者缺一不可） 原点：直线上取一点，表示数字 0； 正方向：一般规定向右为正方向，画上箭头； 单位长度：选取统一长度作为标准，间隔相等。 3. 数轴的画法 提醒： (1) 画数轴时，原点的位置、正方向的选择、单位长度的大小，都是根据需要独自 “规定” 的，但一经选定后就不能随意改变； (2) 同一数轴上的单位长度必须是统一的； (3) 数轴是一条向两方无限延伸的直线，因此，所画数轴的两端不要描点。 4. 画图常见错误 缺少箭头、无原点、单位长度长短不一； 原点左右数字标注顺序颠倒。 5. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 错误数轴常见问题 错误举例 改正要求 缺少原点（无 0 刻度） 直线只有刻度，没有标注 0 在直线中间标注原点 O，写上数字 0 无正方向箭头 直线两端都没有箭头 直线最右端画出向右箭头 单位长度不统一 刻度一格长、一格短 所有相邻刻度间隔长度完全相同 箭头画在左侧 向左画箭头当作正方向 正方向固定向右，只在右端画箭头 知识点02：用数轴上的点表示有理数（重难点） 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 2.表示正有理数的点在原点的右边，表示负有理数的点在原点的左边，0 用原点表示。 提醒： (1) 一个有理数只能用数轴上的一个点表示； (2) 在数轴上，一部分点表示有理数，另一部分点表示无理数（后面会学到无理数）。 知识点03：数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 数的符号 所在半轴 与原点的距离 示例 正数 a 正半轴（右） a 个单位 3 在原点右侧，距原点 3 格 负数 -a 负半轴（左） a 个单位 -3在原点左侧，距原点 3 格 0 原点 0 个单位 原点本身 3. 核心结论总结 有理数 → 数轴点：每个有理数都对应数轴上唯一的点； 位置判断：正数在右，负数在左，0 在原点； 距离相等：a与-a到原点的距离相同，仅方向相反。 知识点04：相反数（数轴几何意义） 1. 代数定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数是 0。 2. 几何意义（数轴核心考点） 在数轴上，互为相反数的两个点到原点的距离相等，两点关于原点对称。 例：4 与 -4 互为相反数，两点距离原点都是 4 个单位。 知识点05:数轴上点的移动问题（本节难点，考试高频） 1.移动规则 (1)点向右移动：数字变大，做加法； (2)点向左移动：数字变小，做减法。 2.通用计算公式 原数 + 向右移动单位长度 -向左移动单位长度 = 移动后对应的数 典型例题 数轴上点 A 表示-2，先向右移动 3 个单位，再向左移动 5 个单位，终点表示多少？ 解：-2 + 3 - 5 = -4，终点数字为-4。 拓展反向题型 已知点移动后的数字，求原来的数：反向移动，右移变减，左移变加。 知识点06:数轴上两点间的距离 定义：数轴上两点之间线段的长度，距离一定是非负数。 计算方法：两点所表示数字大数 − 小数 例：表示-2和3两点距离：3-(-2)=5。 特殊：一个数到原点的距离，就是这个数去掉正负号后的数值，为后续绝对值铺垫。 知识点07:高频易错点汇总 易错分类 错误示例 正确结论 避坑提醒 数轴三要素缺失 只画直线标数字，不画箭头 / 不标原点 原点、正方向、单位长度三者必须齐全 画图先检查三要素 单位长度不统一 一格代表 1，旁边一格代表 2 整条数轴单位长度保持相同 刻度间隔长短一致 数的位置标反 负数标在原点右侧 原点左负、右正，0 在中间 先分清左右再找点 比较大小逻辑颠倒 左边数字更大 数轴右大左小，越往右数值越大 判断大小先看左右位置 距离计算出现负数 -4\)到1距离：-4-1=-5 距离 = 大数−小数，结果恒为非负 距离没有负数 认为数轴所有点都是有理数 数轴上所有点都能写成分数 含π等无限不循环小数的点不是有 有理数只是数轴上一部分点 题型1.数轴的三要素及其画法 【典例】下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【跟踪专练2】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型2.用数轴上的点表示有理数 【典例】在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________． 【跟踪专练1】下列数轴上的点，所表示的两个数，可能是一对相反数的是（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示__________；如果点表示0，点表示1，则A点表示__________． 【跟踪专练3】数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 题型3.数轴上两点之间的距离 【典例】已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【跟踪专练1】在数轴上，点表示2026，点表示2026的相反数，则点与点的距离是（     ） A．2026 B． C．4052 D． 【跟踪专练2】操作思考：将刻度尺放在图1的数轴上，如图2所示，，则刻度尺上的长度相当于该数轴上的______个长度单位． 【跟踪专练3】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型4.数轴上点的平移 【典例】在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 【跟踪专练1】如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为_____．（用含n的代数式表示） 【跟踪专练3】点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 题型5.相反数的定义 【典例】填空： （1）的相反数是________； （2）的相反数是________； （3）的相反数是________． 【跟踪专练1】如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 【跟踪专练2】在数轴上，点表示的数是，点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离是4，则点表示的数是___________． 【跟踪专练3】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 题型6.数轴上找原点 【典例】如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【跟踪专练1】如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【跟踪专练2】该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【跟踪专练3】有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 题型7.数轴上整点覆盖问题 【典例】如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【跟踪专练1】在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 【跟踪专练2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【跟踪专练3】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 题型8.数轴上的规律探究 【典例】边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【跟踪专练1】如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 【跟踪专练2】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【跟踪专练3】如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 题型9.化简多重符号 【典例】化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 【跟踪专练1】下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 _________（填序号）． 【跟踪专练2】．___________． 【跟踪专练3】下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 题型10.相反数的应用 【典例】的相反数是______，1.7与______互为相反数，0的相反数是________． 【跟踪专练1】下列说法：①与互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练2】用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【跟踪专练3】若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则__________， _________. 解答题 1．已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 2．化简下列各数： (1)    ； (2)． 3．请分别写出下列各数的相反数： ，13，0，，． 4．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 5．已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 6．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02数轴暑假预习讲义 · 理解数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，熟记数轴完整画法步骤。 · 能准确在数轴上标出有理数对应的点，看懂数轴上点所代表的数字。 · 掌握有理数与数轴上点一一对应的关系，区分正数、负数、0 在数轴上的位置。 · 学会利用数轴比较有理数大小：数轴右侧数字大于左侧数字。 · 理解相反数的几何意义，知道互为相反数的两个数在数轴上关于原点对称。 · 能借助数轴解决简单距离问题，初步建立数形结合思想。 · 自主完成课本基础例题与习题，记录不懂的知识点，上课重点听讲。 预习必备 知识梳理 1.数轴的概念与三要素 2.数轴上的点表示有理数 3.数轴上的点与有理数的关系 4.相反数 5.数轴上点的移动问题 6.数轴上两点间距离 7.高频易错点 常考题型 精讲精练 1.数轴的三要素及其画法 2.用数轴上的点表示有理数 3.数轴上两点之间的距离 4.数轴上点的平移 5.相反数的定义 6.数轴上找原点 7.数轴上整点覆盖问题 8.数轴上的规律探究 9.化简多重符号 10.相反数的应用 强化题型 解答题6题 知识点01：数轴的概念与三要素 1. 数轴定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 相关概念：原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 2. 数轴三大核心要素（三者缺一不可） 原点：直线上取一点，表示数字 0； 正方向：一般规定向右为正方向，画上箭头； 单位长度：选取统一长度作为标准，间隔相等。 3. 数轴的画法 提醒： (1) 画数轴时，原点的位置、正方向的选择、单位长度的大小，都是根据需要独自 “规定” 的，但一经选定后就不能随意改变； (2) 同一数轴上的单位长度必须是统一的； (3) 数轴是一条向两方无限延伸的直线，因此，所画数轴的两端不要描点。 4. 画图常见错误 缺少箭头、无原点、单位长度长短不一； 原点左右数字标注顺序颠倒。 5. 判断数轴对错核心标准 只要缺少任意一个要素、单位长度不统一、无向右箭头，都不是规范数轴。 错误数轴常见问题 错误举例 改正要求 缺少原点（无 0 刻度） 直线只有刻度，没有标注 0 在直线中间标注原点 O，写上数字 0 无正方向箭头 直线两端都没有箭头 直线最右端画出向右箭头 单位长度不统一 刻度一格长、一格短 所有相邻刻度间隔长度完全相同 箭头画在左侧 向左画箭头当作正方向 正方向固定向右，只在右端画箭头 知识点02：用数轴上的点表示有理数（重难点） 1.所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数。 2.表示正有理数的点在原点的右边，表示负有理数的点在原点的左边，0 用原点表示。 提醒： (1) 一个有理数只能用数轴上的一个点表示； (2) 在数轴上，一部分点表示有理数，另一部分点表示无理数（后面会学到无理数）。 知识点03：数轴上的点与有理数之间的关系 1. 一一对应关系 每个有理数都可以用数轴上的唯一一点来表示； 也可以说，每个有理数都对应数轴上的唯一一点。 说明： 所有有理数（整数、分数、有限小数、无限循环小数）都能在数轴上找到对应的点； 数轴上的点不仅能表示有理数，还能表示无理数（如π、），但本节课只研究有理数部分。 2. 正负数在数轴上的位置规律 设a是一个正数，则： 表示数a的点在数轴的正半轴（原点右侧），与原点的距离是a个单位长度； 表示数-a的点在数轴的负半轴（原点左侧），与原点的距离是a个单位长度。 数的符号 所在半轴 与原点的距离 示例 正数 a 正半轴（右） a 个单位 3 在原点右侧，距原点 3 格 负数 -a 负半轴（左） a 个单位 -3在原点左侧，距原点 3 格 0 原点 0 个单位 原点本身 3. 核心结论总结 有理数 → 数轴点：每个有理数都对应数轴上唯一的点； 位置判断：正数在右，负数在左，0 在原点； 距离相等：a与-a到原点的距离相同，仅方向相反。 知识点04：相反数（数轴几何意义） 1. 代数定义 只有符号不同的两个数互为相反数；0 的相反数是 0。 2. 几何意义（数轴核心考点） 在数轴上，互为相反数的两个点到原点的距离相等，两点关于原点对称。 例：4 与 -4 互为相反数，两点距离原点都是 4 个单位。 知识点05:数轴上点的移动问题（本节难点，考试高频） 1.移动规则 (1)点向右移动：数字变大，做加法； (2)点向左移动：数字变小，做减法。 2.通用计算公式 原数 + 向右移动单位长度 -向左移动单位长度 = 移动后对应的数 典型例题 数轴上点 A 表示-2，先向右移动 3 个单位，再向左移动 5 个单位，终点表示多少？ 解：-2 + 3 - 5 = -4，终点数字为-4。 拓展反向题型 已知点移动后的数字，求原来的数：反向移动，右移变减，左移变加。 知识点06:数轴上两点间的距离 定义：数轴上两点之间线段的长度，距离一定是非负数。 计算方法：两点所表示数字大数 − 小数 例：表示-2和3两点距离：3-(-2)=5。 特殊：一个数到原点的距离，就是这个数去掉正负号后的数值，为后续绝对值铺垫。 知识点07:高频易错点汇总 易错分类 错误示例 正确结论 避坑提醒 数轴三要素缺失 只画直线标数字，不画箭头 / 不标原点 原点、正方向、单位长度三者必须齐全 画图先检查三要素 单位长度不统一 一格代表 1，旁边一格代表 2 整条数轴单位长度保持相同 刻度间隔长短一致 数的位置标反 负数标在原点右侧 原点左负、右正，0 在中间 先分清左右再找点 比较大小逻辑颠倒 左边数字更大 数轴右大左小，越往右数值越大 判断大小先看左右位置 距离计算出现负数 -4\)到1距离：-4-1=-5 距离 = 大数−小数，结果恒为非负 距离没有负数 认为数轴所有点都是有理数 数轴上所有点都能写成分数 含π等无限不循环小数的点不是有 有理数只是数轴上一部分点 题型1.数轴的三要素及其画法 【典例】下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A． 单位长度不同， 该选项错误，不符合题意； B． 负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意； C． 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D． 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 【跟踪专练1】在直线下面的方框里填整数或小数，上面的方框里填分数． 【答案】见解析 【分析】本题考查数轴．根据数轴上的点表示整数或小数即可． 【详解】解：如图： 【跟踪专练2】下列各图中，是数轴的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的三要素（原点、正方向、单位长度），解题的关键是依据三要素逐一验证选项是否符合数轴的定义． 明确数轴的三要素，依次检查各选项是否包含原点、正方向且单位长度均匀，从而选出符合数轴定义的选项． 【详解】解：选项A：缺少正方向（无箭头），不是数轴； 选项B：单位长度不均匀（“”到“0”的距离与“0”到“1”的距离不一致），不是数轴； 选项C：缺少原点（没有标注“0”），不是数轴； 选项D：包含原点（0）、正方向（右箭头）、单位长度均匀，符合数轴的定义． 故选D 【跟踪专练3】下列各图中，数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素，原点，单位长度，正方向即可得到答案． 【详解】 解：是一条射线，不是数轴，故选项A不符合题意； 单位长度不一致，不是数轴，故选项B不符合题意； 没有正方向且位置错误，不是数轴，故选项C不符合题意； 是数轴，故选项D符合题意； 故选D． 题型2.用数轴上的点表示有理数 【典例】在数轴上，点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等．若点表示的数是6，则点表示的数是________． 【答案】 【分析】根据题意得到点与点表示的数互为相反数是解题的关键. 【详解】解：∵点与点位于原点的两侧，且到原点的距离相等， ∴点与点表示的数互为相反数， 又∵点表示的数为， ∴点表示的数是． 【跟踪专练1】下列数轴上的点，所表示的两个数，可能是一对相反数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在数轴上，表示一个非零数与它的相反数的两个点分别位于原点两侧，并且与原点的距离相等，观察可知，只有选项C符合题意． 【跟踪专练2】下图中，如果A点表示0，点表示1，则点表示__________；如果点表示0，点表示1，则A点表示__________． 【答案】 1.5 【分析】本题考查了数轴的认识，结合正负数知识解答即可． 根据图示，结合数轴知识，如果A点表示0，E点表示1，则每个小格表示0.25，所以G点表示1.5；如果D点表示0，G点表示1，结合正负数知识可知A点表示． 【详解】解：如果A点表示0，E点表示1，则G点表示1.5； 如果D点表示0，G点表示1， 由图知： 所以A点表示． 故答案为：1.5；． 【跟踪专练3】数轴上点A，C表示的数分别为，4．将刻度尺按如图所示的方式放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，与点C对齐的刻度为，则与原点对齐的刻度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出对应数轴上9个单位长度，结合刻度尺上对应长度为，求出数轴1个单位长度对应刻度尺长度，即可解答． 【详解】解：∵数轴上点A表示，点C表示， ∴，即对应数轴上9个单位长度． ∵刻度尺上对应长度为， ∴数轴1个单位长度对应刻度尺长度为：， ∵原点到点A的距离为个单位长度， ∴原点对应的刻度为：． 题型3.数轴上两点之间的距离 【典例】已知数轴上点表示的数是，点表示的数是，则点，之间的距离是________． 【答案】 【分析】直接利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：数轴上点表示的数是，点表示的数是， 点，之间的距离为：． 【跟踪专练1】在数轴上，点表示2026，点表示2026的相反数，则点与点的距离是（     ） A．2026 B． C．4052 D． 【答案】C 【分析】先根据相反数的定义得到点表示的数，再利用数轴上两点间距离的计算方法求解即可． 【详解】解：∵点表示的数为，的相反数为 ∴点表示的数为 ∵数轴上两点间的距离等于两点表示数的差的绝对值 ∴点与点的距离为． 【跟踪专练2】操作思考：将刻度尺放在图1的数轴上，如图2所示，，则刻度尺上的长度相当于该数轴上的______个长度单位． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是掌握数轴知识．先计算数轴上，相当于刻度尺上的，即可解答． 【详解】解：，， 则刻度尺上的长度相当于该数轴上的个长度单位． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的4等分点处分别标上0，1，2，3．先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向左滚动，则数轴上表示的点与圆周上表示哪个数字的点重合？（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了数轴．圆周上的点与重合，滚动到，圆滚动了个单位长度，用除以，余数对应的数即为重合点． 【详解】解：圆周上的点与重合， ， ， ∴圆周上的0与数轴上的重合， 故选：A． 题型4.数轴上点的平移 【典例】在数轴上，点A 向右平移4个单位长度后，所得对应的点B 表示的数是3，则点A 表示的数为___________． 【答案】 【分析】根据数轴的特点，数轴从左到右表示的数越来越大，数轴平移的特点是左减右加，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 点A所表示的数向右平移4个单位长度后，得到的点B所表示的数是3， ∴点A表示的数是：． 【跟踪专练1】如图，把半径为1的圆放到数轴上，圆上一点与表示的点重合．圆沿着数轴向右滚动一周，此时点表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的周长公式．可得出点与起始位置的距离，即可求解． 【详解】解：圆的半径为1， 周长为， 圆沿数轴向右滚动一周，即点A向右平移个单位长度， A点表示的数为． 【跟踪专练2】如图，将钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴上的原点重合，再将钟面紧贴数轴并沿着数轴正方向滚动，使钟面上数字5对应的点与数轴上表示0.5的点重合，钟面上数字4对应的点与数轴上表示1的点重合．若钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为_____．（用含n的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查的是数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，有理数的乘法的实际应用，理解题意，列出正确的代数式表示对应的点是解本题的关键． 根据题意先得到时针一个格表示数轴上个单位长度，再根据向右滚动的圈数可得到答案． 【详解】∵钟面上数字6对应的圆周上的点与数轴原点重合，再将钟面紧贴数轴沿着数轴 正方向滚动，使钟面上的数字5对应的点与数轴上表示的点重合， ∴时针一个格表示数轴上个单位长度， ∵钟面上1圈对应数轴上的线段的长度为（个单位长度）， ∴钟面滚动n圈（n为正整数），对应的线段长度为（个单位长度）， ∴钟面滚动n圈（n为正整数），钟面上数字3对应的点与数轴上的点M重合，则点M表示的数为 故答案为：． 【跟踪专练3】点A、B、M在数轴上，且点M分别到点A、B的距离相等．点A沿着数轴从数字处以每秒3个单位长度的速度向左匀速运动，点B沿着数轴从数字4处以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，点M的运动方式是沿着数轴（    ） A．从数字1处以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动 B．从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动 C．从数字2处以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动 D．从数字2处以每秒0.5个单位长度的速度向右匀速运动 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和列代数式，用到的知识点是数轴上两点之间的距离．设运动时间为t秒，表示出点A和点B的位置，利用点M到A、B距离相等得出点M是A、B的中点，求出点M的位置表达式，从而确定其运动方式． 【详解】解：设运动时间为t（）秒， ∵点A从处以每秒3个单位向左运动， ∴t秒后点A表示的数为：， ∵点B从4处以每秒2个单位向右运动， ∴t秒后点B表示的数为：， ∵点M到点A、B的距离相等， ∴点M是线段的中点， ∴点M表示的数为：， ∴点M从数字1处以每秒0.5个单位长度的速度向左匀速运动． 故选：B． 题型5.相反数的定义 【典例】填空： （1）的相反数是________； （2）的相反数是________； （3）的相反数是________． 【答案】 / 【详解】解：（1）的相反数是； （2）的相反数是； （3）的相反数是． 【跟踪专练1】如图，数轴上有A，B，C，D，E五个点，则与点A表示的数互为相反数的数对应的点是_______．（填“B”或“C”或“D”或“E”） 【答案】B 【分析】从数轴上可以直接看出五个点表示的数，根据相反数的定义即可作答． 【详解】解：点A表示的数是2，与2互为相反数的数是，点B表示的数是， ∴与点A表示的数互为相反数的数对应的点是点B． 【跟踪专练2】在数轴上，点表示的数是，点表示的数互为相反数，且点与点之间的距离是4，则点表示的数是___________． 【答案】5或/或5 【分析】本题考查绝对值和相反数的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先求点表示的数，分点在点的左侧和右侧，再利用相反数的定义求点表示的数． 【详解】在数轴上，点表示的数是，点与点之间的距离是4， 点表示的数是3或， 点表示的数互为相反数， 点表示的数是或5． 【跟踪专练3】下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 【详解】解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． 题型6.数轴上找原点 【典例】如图，在一条不完整的数轴上，标出A、B、C、D四点，若B点表示的数为正数，则可以是原点的为（     ） A．点A B．点C C．点D D．点A或点C 【答案】A 【详解】解：∵B点表示的数为正数， ∴原点在B点的左边， ∴可以是原点的为点A． 【跟踪专练1】如图，若点和点表示的数互为相反数，则原点是点________． 【答案】 【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置． 【详解】解：由图可知，点与点之间相隔个单位长度， 点和点表示的数互为相反数， 原点在线段的中点处， 由图可知，， 原点是点． 【跟踪专练2】该数轴的原点为，向右为正方向．若点A，C所表示的数互为相反数，则该数轴的原点对应直尺上的刻度为______． 【答案】6 【分析】先求出点A、C在直尺上的距离，再根据点、C表示的数互为相反数，得到点O是线段的中点，进而可解答． 【详解】解：∵直尺上点对应刻度2，点C对应刻度10， ∴点A、C在直尺上的距离为， ∵点、C表示的数互为相反数， ∴原点是线段的中点，即到原点的距离为， 又∵数轴向右为正方向， ∴原点对应直尺上的刻度为． 【跟踪专练3】有理数，在一条隐藏原点的数轴上，对应点，的位置如图所示，且，下列推断正确的是（     ）． A．原点一定在点左侧 B．不能确定原点的位置 C．原点一定在中点左侧 D．原点一定在中点右侧 【答案】D 【分析】根据越在数轴的右边数越大，运用，得，则原点一定在中点右侧，即可作答． 【详解】解：∵有理数，在数轴上的对应点，的位置，且， ∴， ∴， ∴的中点位置是小于的， ∴原点一定在中点右侧． 题型7.数轴上整点覆盖问题 【典例】如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点左侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小． 【详解】解：因为被遮住的左边是整数，右边的整数是0， 因此被遮挡的整数是． 【跟踪专练1】在数轴上表示的点与表示1.5的点之间的整数共有______个． 【答案】3 【分析】本题考查数轴上两点之间的整数个数，通过找出所有大于且小于1.5的整数求解即可． 【详解】解：数轴上表示与1.5的点之间的整数有，0，1，共3个． 故答案为：3 【跟踪专练2】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是 ___________． 【答案】2017或2018 【分析】本题主要考查数轴上线段与整点的关系，熟练掌握分情况讨论线段端点与整点的位置关系是解题的关键．分情况讨论线段的端点与整点重合和不重合两种情况，根据线段长度与整点个数的关系求解． 【详解】解：当线段的起点在整点时，盖住的整点个数为个； 当线段的起点不在整点时，盖住的整点个数为个． 故答案为：或． 【跟踪专练3】数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2017厘米的线段，则线段盖住的整点的个数是（   ） A．2017 B．2018 C．2017或2018 D．2017或2016 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分类讨论和数形结合的思想方法，注意分类讨论不要遗漏是关键． 分线段的端点与整点重合和线段AB的端点与整点不重合两种情况考虑，重合时盖住的整点是线段的长度，不重合时盖住的整点是线段的长度，由此即可得出结论． 【详解】解：依题意得：当线段起点在整点时， 则1厘米长的线段盖住2个整点，2017厘米长的线段盖住2018个整点， 当线段起点不在整点时，则1厘米长的线段盖住1个整点，2017厘米长的线段盖住2017个整点． 故选C． 题型8.数轴上的规律探究 【典例】边长为1个单位长度的正方形从如图所示的位置开始在数轴上顺时针滚动，当正方形某个顶点落在数字2025时停止运动，此时与2025重合的点是（   ） A．点C B．点B C．点A D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴和规律探究．根据图形总结出规律是解答本题的关键．由图可知规律，滚动一圈，4个单位为一个循环．由，即可知结果． 【详解】解：根据题意得，正方形的顶点每4次滚动为一个循环组依次落在数轴上． ， 正方形在数轴上经过了次循环后，再进行1次滚动停止运动， 此时与重合的点是C． 故选：A． 【跟踪专练1】如图，圆的周长为个单位长度，在该圆的等分点处分别标上．先让圆周上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示的点与圆周上重合的点表示的数字是____________． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的规律，根据从与数轴上表示的点重合的数字起，每个单位长度即为一个周期，计算到数轴上表示的点经过了多少个周期，根据余数判断此时圆周上重合的数字． 【详解】解：如图所示，每个单位长度即为一个周期， ∵数字的点与数轴上表示的点重合， ∴数字的点与数轴上表示的点重合， ∵， ∴为从数字0和数轴上表示的点重合起，第个周期后的第一个数， 即． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，数轴上点A的初始位置表示的数为2，将点A做如下移动：第1次点A向左移动2个单位长度至点，第2次从点向右移动4个单位长度至点，第3次从点向左移动6个单位长度至点，…按照这种移动方式进行下去，如果点与原点的距离等于116，那么的值是__________． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴上点的移动规律及绝对值的应用，关键是分奇偶次移动总结点表示的数的通项公式，再结合距离条件求解． 【详解】解：点初始表示的数为2，根据移动规则分析： 第1次点向左移动2个单位长度至点，表示的数是， 第2次从点向右移动4个单位长度至点，表示的数是， 第3次从点向左移动6个单位长度至点，表示的数是， 第4次从点向右移动8个单位长度至点，表示的数是， …… 可以归纳出，当为偶数时，第次移动后，点表示的数为；当为奇数时，第次移动后，点表示的数为． 已知点与原点的距离为，即， ①若为偶数，则，解得(舍去负值)； ②若为奇数，则，即，解得(舍去负值)． 故答案为：或． 【跟踪专练3】如图，正六边形（每条边长相等、每个角相等）在数轴上的位置如图所示，点E，F对应的数分别为，．现将正六边形绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点A所对应的数为1，像这样连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（   ） A．C B．B C．E D．F 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上的有理数，数轴上两点之间的距离，图形的规律，理解图形的翻转规律是解题的关键．先求出与之间的距离，再根据正六边形的周长求出翻转周期，最后确定所对应的点即可． 【详解】解：， 正六边形的周长， ∵点F对应的数为， ∴，， ∵， ∴连续翻转168次后点F所对应的数为2015， ∴连续翻转169次后点A所对应的数为2017， ∴连续翻转170次后点B所对应的数为2019， ∴连续翻转171次后点C所对应的数为2021， ∴连续翻转172次后点D所对应的数为2023， ∴连续翻转173次后点E所对应的数为2025， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的是点． 故选：C． 题型9.化简多重符号 【典例】化简的结果是（     ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】利用相反数的性质即可得出结果． 【详解】解：． 【跟踪专练1】下面各组数中：①和；②和；③和；④和；⑤和；⑥和．互为相反数的是 _________（填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】本题主要考查了相反数和多重符号化简，根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号，化简各项数字后再判断求解即可．正确使用相反数的意义对每个数字进行化简是解题的关键． 【详解】解：①和互为相反数； ②，，和互为相反数，和互为相反数； ③，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ④，，和不是互为相反数，和相等，不是互为相反数； ⑤，和互为相反数，和互为相反数； ⑥，和互为相反数，和互为相反数． 互为相反数的是①②⑤⑥． 故答案为：①②⑤⑥． 【跟踪专练2】．___________． 【答案】 【分析】根据多重符号化简法则，判断负号的个数，进而得出结果． 本题主要考查了多重符号的化简，熟练掌握多重符号化简法则（当负号的个数为奇数时，结果为负；当负号的个数为偶数时，结果为正）是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练3】下列各对数中，相等的一对是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】本题主要考查有理数的化简，熟练掌握相反数和绝对值是解题的关键．根据相反数和绝对值的定义进行计算即可． 【详解】解：，故选项A不符合题意； ，故选项B不符合题意； ，故选项C不符合题意； ，故选项D符合题意； 故选D． 题型10.相反数的应用 【典例】的相反数是______，1.7与______互为相反数，0的相反数是________． 【答案】 1 0 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义，对于任意实数a，它的相反数记为，通过此定义进行解答即可． 【详解】解：的相反数在前面加上负号，即，所以， 1.7的相反数在1.7前面加上负号，即， 0的相反数还是0，即； 综上所述，的相反数是1，1.7与互为相反数，0的相反数是0． 故答案为：1，，0． 【跟踪专练1】下列说法：①与互为相反数；②一定是负数；③互为相反数的两个数的符号必相反；④与2互为相反数；⑤任何一个有理数都有相反数．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数，的相反数是0，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：与1互为相反数，故①说法不正确； 当时，则是非负数，故②说法不正确； 的相反数是0，故③说法不正确； ，与互为相反数，故④说法不正确； 任何一个有理数都有相反数，故⑤说法正确； ∴其中正确的有1个 故选：A 【跟踪专练2】用“”，“←”定义新运算：对于任意有理数a，b，都有和，例如：，，则______． 【答案】2025 【分析】本题主要考查了相反数，根据题意，先计算括号内的运算，再根据新定义运算的规则进行解答即可． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练3】若a和b互为相反数，a在b的右边，且表示数a的点到表示数b的点的距离为10，则__________， _________. 【答案】 5 【分析】根据相反数的概念和数轴上两点之间的距离，即可解答． 【详解】解：a和b互为相反数， 在原点的两侧，且到原点的距离相等为， a在b的右边， ， 故答案为：5；． 【点睛】本题考查了相反数的概念和数轴上两点之间的距离，知道互为相反数的两个数距离原点的距离相等是解题的关键． 解答题 1．已知有理数：，2.5，，4，0． (1)画出数轴，并在数轴上表示出上述有理数； (2)在数轴上表示与4的点之间（包括这两个点）有_______个点表示的数是整数，其中表示“非负整数”的数分别是_______； (3)在数轴上，从表示数的点A出发，沿着数轴移动4个单位长度到达点B，则点B表示的数是_______． 【答案】(1)见解析 (2)7；0,1,2,3,4 (3)2或 【分析】本题主要考查了画数轴，在数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离， 对于（1），根据规定了原点，正方向，单位长度的直线画出数轴，并在数轴上描出各点； 对于（2），在数轴上确定整数点，并根据“非负整数”是正整数或0解答； 对于（3），分两种情况解答． 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：在与4之间的整数点有，共有7个点；其中“非负整数”有0,1,2,3,4； 故答案为：7；0,1,2,3,4； （3）解：从表示的点，沿数轴向右移动4个单位长度到达点B，这个数是； 从表示的点，沿数轴向左移动4个单位长度到达点B，这个数是， 所以这个数是2或． 故答案为：2或． 2．化简下列各数： (1)    ； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【分析】多重符号化简依据：可从内向外逐层去括号，括号前为正号时直接去掉括号和正号，括号前为负号时去掉括号和负号后，括号内项符号改变． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．请分别写出下列各数的相反数： ，13，0，，． 【答案】5；；0；； 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】的相反数是； 13的相反数是； 0的相反数是0； 的相反数是； ， 的相反数是． 4．如图的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有多少个？它们对应的数是多少？ 【答案】9个，它们对应的数是 【分析】本题考查了数轴，是基础题，知道数轴上的点是连续的是解题的关键．根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【详解】解：根据数轴的特点，到之间的整数有、、、、共5个， 0到之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有（个）． 它们对应的数是． 5．已知，等边（三条边都相等的三角形）在数轴上的位置如图所示． (1)将从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈（滚动一圈指线段再次落在数轴上），则点表示的数是___________； (2)将从如图所示的位置沿数轴向右滚动，则数2018表示的点与点___________重合； (3)将从如图所示的位置沿数轴滚动，向右滚动的圈数记为正数，向左滚动的圈数记为负数，依次运动情况记录如下：． ①第___________次滚动后，点A离原点最远； ②当结束滚动时，点表示的数是___________． 【答案】(1) (2) (3)三； 【分析】本题考查了数轴的概念、正负数的意义，周期性规律的探究等，解决问题的关键是据题意得到等边滚动一周，等边的顶点移动3个单位． （1）根据等边滚动1周后点A的位置得出点A对应的数； （2）根据等边滚动的规律，即可得出答案； （3）①先判断每次滚动后点A的位置，即可得出点A离原点最远是第几次； ②根据等边结束运动时，点A表示的数即可得出点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以将等边从如图所示的位置沿数轴向左滚动一圈，A表示的数是； 故答案为：； （2）解：因为， 所以将等边从如图所示位置沿数轴向右滚动，数2018表示的点与点重合； 故答案为：； （3）解：因为五次运动后，点A对应的数依次为： ； ； ； ； ； 所以第三次滚动后，点A离原点最远；     由知，运动结束后A点对应的是，所以点对应的数是． 故答案为：三；． 6．如图，有一个玩具火车放置在数轴上，若将火车在数轴上水平移动，则A点移动到点时，点所对应的数为15，当点移动到点时，点所对应的数为3（单位：单位长度），由此可得 （1）玩具火车的长为_______________个单位长度； （2）用上题思考方法解决下面问题： 一天，小如去问奶奶的年龄，奶奶说，“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢；你若是我现在这么大，我已是老寿星，116岁了！”奶奶的年龄为_____________________． 【答案】 4 64岁 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，用数轴解决实际问题，解决问题的关键是弄清题意，找到题目中的等量关系． （1）根据题意画出图形，由数轴观察得三个火车的长为，则可以求一个火车的长； （2）在求奶奶年龄时，借助数轴，把小如与奶奶的年龄差看作火车，类似奶奶和小如一样大时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，小如和奶奶一样时看作当点移动到点时，此时点所对应的数为，由此可知奶奶的年龄． 【详解】解：（1）如图1， 可知：三个火车的长为， 则一个火车的长为， 故答案为：4； （2）同（1）可知：奶奶和小如的年龄差为， 表示的数为，表示的数为116， ，，则52是奶奶和小如的年龄差， ∴， 则奶奶现在的年龄是64岁． 故答案为：64岁． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $