第03讲 绝对值（暑假预习讲义）新七年级数学新教材浙教版

第03讲 绝对值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一个数的绝对值 题型2 化简绝对值符号 题型3 已知绝对值求原数 题型4 绝对值的非负性 题型5 与数轴结合解决简单的距离问题（数形结合） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 绝对值 距离 非负性 1. 理解绝对值的几何意义（数轴上点到原点的距离）与代数定义，会用符号 | a | 表示。 2. 掌握绝对值法则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 3. 会求任意有理数的绝对值，知道绝对值非负（|a|≥0），且互为相反数的两数绝对值相等。 4. 能解决 “已知绝对值求原数” 等简单逆向问题。 学习重点： · 绝对值的概念（几何 + 代数）与非负性。 · 求一个有理数的绝对值。 学习难点： · 从 “距离” 抽象到绝对值概念，理解负数的绝对值是正数。 · 逆向应用：已知 | x|=a（a>0），求 x 的双解（x=±a）。 · 字母表示数下的分类讨论（如 | a | 的化简）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 几何意义 【引入】（1）甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶为正。两车都从O地出发，甲车向东行驶6km到达A处，记作km，乙车向西行驶6km到达B处，记作km。 （2）以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A，B的位置，则A，B两点与原点的距离分别是多少？它们的实际意义是什么？ 答:距离都是6km，表示他们行驶路程相同。 1. 概念 我们把一个数在数轴上对应的的点到原点之间的距离叫作这个数的绝对值。 2. 符号表示 一个数 的绝对值表示为 3. 两点之间的距离 （1）=几何意义：在数轴上表示数a的点与原点之间的距离； （2）的几何意义:在数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离； 知识点02 代数意义 1. 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零. 2. 化简绝对值 3.绝对值的非负性 （1）； （2）若+=0，则a=b=0. 4.绝对值方程 若，则 【易错提醒】 （1）若=a，则a.(千万别漏了等于0) （2）|=2，但不能说=. 题型1 求一个数的绝对值 【例1】1．分别写出的相反数和绝对值． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是； 的相反数是，的绝对值是； 的相反数是，的绝对值是． 【变式练习】 1. 在数轴上画出表示下列各数的点，并求出它们的绝对值． ，，0，，． 【详解】解：各数在数轴上表示如图． ，，，，． 2．求下列各数的绝对值：． 【详解】解：，，． 4．求下列各数的绝对值：12， ，－7.5， 0 【解析】|12|＝12；＝ ， |－7.5|＝7.5，|0|＝0 题型2 化简绝对值符号 【例1】在，0，， ，2，中，正数是______个． 【详解】解：先对原数中含符号的数进行化简：，， 根据正数的定义：大于的数是正数，既不是正数也不是负数， ∴原数中的正数为：，，，，共个. 【例2】有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______； 【详解】∵a<0 ∴; ∵b>0 ∴ 【变式练习】 1．________． 【详解】解． 2．________． 【详解】解：． 3．的相反数是______． 【详解】解： 4．的绝对值是___． 【详解】解：． 5．_______ 【详解】解：∵ ∴ 6．化简下列各式： (1) (2) 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型3 已知绝对值求原数 【例1】绝对值等于6的数是（     ） A．6 B． C． D． 【详解】设绝对值等于6的数为x， 根据绝对值的定义可得：， ∵绝对值等于正数的数有两个，且两个数互为相反数， ∴． 故选：． 【例2】如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵ ，即为非正数， 故选：． 【例3】数轴上到表示的点的距离是3的点所表示的数是（   ） A．1 B． C．1或 D．3 【详解】解：数轴上到表示的点的距离是3的点所表示的数是或． 故选：． 【例4】若，则_________． 【详解】解：∵， ∴， ∴. 【易错点拨】 因为0的相反数等于0，所以绝对值等于它本身的数有正数和0；绝对值等于它相反数的数有负数和0. 【变式练习】 1. 如果，那么_____． 【详解】解：∵， ∴． 2．命题“若，则”是个_____命题（填“真”或“假”） 【详解】解：∵=2 ∴若，则 ∴命题“若，则”是假命题． 故答案为：假． 3．若，则______． 【详解】解：因为，， 所以方程化为． 解得：或． 故答案为：或． 4．请写出下列各数： (1)一个正数，它的绝对值等于7.2． (2)一个负数，它的绝对值等于24． (3)绝对值等于的数． 【详解】（1）解：，是正数， ． （2），是负数， ． （3）， ． 5．下列各判断是否正确？为什么？ (1)有理数的绝对值一定是正数． (2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等． (3)绝对值等于它本身的数一定不是负数． (4)绝对值等于1的数有两个． 【详解】（1）解：∵有理数包括0，0的绝对值是0，0不是正数，∴有理数的绝对值不一定是正数，故错误． （2）解：∵两个数的绝对值相等，这两个数可能相等或互为相反数，例如和，但，∴这两个数不一定相等，故错误． （3）解：∵绝对值等于它本身的数是非负数（即正数或0），而非负数不是负数，∴绝对值等于它本身的数一定不是负数，故正确． （4）解：∵绝对值等于1的数是1和，有两个，∴绝对值等于1的数有两个，正确． 题型4 绝对值的非负性 【例1】 ⑴若|x|+|y|=0，则x=______，y=_______. ⑵若|a-6|+|b|=0，则a=_____，b=_____. 【详解】（1）∵|x|，|y| 又∵|x|+|y|=0， ∴|x|=0，|y|=0， ∴x=y=0. （2）∵|a-6|，|b| 又∵|a-6|+|b|=0， ∴|a-6|=0，|b|=0， ∴a-6=0，b=0 ∴a=6,b= 【变式练习】 1．若 |x-4|+|2y-6|=0，求 |x-y| 的值. 【详解】（1）∵|x-4|，|2y-6| 又∵|x-4|+|2y-6|=0， ∴|x-4|=0，|2y-6|=0， ∴x=4，y=3 ∴ |x-y| =|4-3|=1 2. 判断对错 （1）一定是非负数； （2）一定是非负数 ； （3）若，则； （4）若，则. 【详解】（1）∵一定是非负数∴一定是非正数，所以（1）“错误”； （2）∵一定是非负数，所以（2）“正确”； （3）∵，则或m=，所以（3）“错误”； （4）∵m=，∴m、n互为相反数，∴，所以（4）“正确”； 3. 代数式|a-3|的最小值是 _____|a|+3的最小值是 _____ 【详解】（1）∵|a-3|是个非负数，∴当a=3时，|a-3|的最小值是0； （2）∵一定是非负数，所以当a=0时，|a|+3的最小值是3； 题型5 与数轴结合解决简单的距离问题（数形结合） 【例1】实数、、、在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 【详解】解：根据实数，，，在数轴上的对应点，只有距离原点的距离最远，故这四个数中，绝对值最大的是． 【例2】如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 【详解】解：已知点表示的数为，点表示的数为， 则． 故答案为：． 【例3】数轴上到原点的距离小于个单位长度的点中，表示整数的点共有______个． 【详解】解：画出数轴，如下图 数轴上到原点的距离小于个长度单位的点中，表示整数的点有：，0，1，2共5个． 故答案为：5． 【例4】在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记做． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和4的两点之间的距离可记做______，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做______； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做______；如果这两点之间的距离为2，那么x为______； (3)表示____________________________________，结果等于_____ 【详解】（1）解：数轴上表示2和4的两点之间的距离可记做 或，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做； 故答案为：；； （2）解：数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做； ∵这两点之间的距离为2， ∴， ∴或， 故答案为：；1或； （3）解：表示在数轴上表示-2的点与表3的点之间的距离，结果等于5. 【变式练习】 1. 下列四个数在数轴上对应的点中，离原点最近的是（    ） A．4 B．1 C． D． 【详解】∵ ，，，， ∴ ，即 ． ∴ 对应的点离原点最近． 2．数轴上有，，，四个点，其中绝对值等于的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【详解】点在数轴上表示的数为，所以它的绝对值为，符合题意； 点在数轴上表示的数为，所以它的绝对值为，不符合题意； 点在数轴上表示的数为，所以它的绝对值为，不符合题意； 点在数轴上表示的数为，所以它的绝对值为，不符合题意． 故选A． 3. 绝对值不大于4的整数有（    ）个 A．3 B．4 C．7 D．9 【详解】绝对值不大于4的整数有，共9个， 故选：D． 4. 在数轴上与距离等于6个单位长度的点表示的数是__________． 解：或， ∴与这个点的距离等于6个单位长度的点所表示的数为3或， 故答案为：3或． 一、单选题 1．的相反数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，根据相反数的定义，一个数的相反数是改变其符号后的数. 【详解】解：的相反数是. 故选：B． 2．数轴上，点A表示，点B表示3，则线段的长度为（   ） A．5 B．1 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据数轴上两点距离公式，线段长度等于两点坐标差的绝对值求解即可 【详解】解：A坐标为，点B坐标为3， 故选：A 3．如图，在数轴上有5个点A，B，C，D，E，每两个相邻点之间的距离如图所示，如果点C表示的数是，则点E表示的数是（　　） A．6 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的性质和数轴上两点的距离，熟练掌握数轴的性质是解决本题的关键．先确定原点，根据D和E的距离可得结论． 【详解】解：如果点C表示的数是，则点D表示原点，所以E表示的数是2， 故选：D． 4．如图，圆的周长为4个单位长度，在该圆的四等分点处分别标有0，1，2，3，先让圆上表示数字的点与数轴上表示的点重合，再将圆沿着数轴向右滚动，则数轴上表示2024的点与圆上表示哪个数的点重合？（ ） A．0 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，找出圆运动的规律与数轴上的数字的对应关系是解决此类题目的关键． 根据题意可得4个数为一组循环，再由圆周上的点与重合，可得圆滚动到2024时，经过了个单位长度，即可求解． 【详解】解：圆的周长为4个单位长度，则圆每滚动一圈，圆周上的0，3，2，1分别与数轴上的数一一对应，即4个数为一组循环， ∵圆周上的点与重合， ∴圆滚动到2024时，经过了个单位长度， ∵， ∴圆周上的与数轴上的重合， 故选：B． 5．若，互为相反数且，则下列各组数中一定互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查了相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两数之和为零则互为相反数，计算各组数的和，判断是否为零． 【详解】解：∵ a 和 b 互为相反数， ∴ ； A.，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； B.，该选项两个数互为相反数，符合题意； C. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； D. ，该选项两个数不互为相反数，不符合题意； 故选：B． 6．下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【分析】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是掌握只有符号不同的数是相反数．根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：、和不符合相反数的定义，故不是互为相反数，本选项不符合题意； 、和化简后分别为和，是互为相反数，本选项符合题意； 、和不是互为相反数，本选项不符合题意； 、，，故不是互为相反数，本选项不符合题意． 故选：． 7．在数轴上表示和之间的整数有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的方法解答．根据题意找出满足条件的所有整数即可求解． 【详解】解：如图所示： 在数轴上表示和两点之间的整数有，，，，共个． 故选：A． 8．如图所示，数轴的单位长度为1，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数是（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查有理数与数轴，先根据相反数的定义及，确定点B表示的数，进而可得点C表示的数． 【详解】解：点，B表示的数互为相反数，， 点B表示的数是， 点C表示的数是， 故选：C． 二、填空题 9．若的相反数是，则___________． 【答案】 【分析】本题考查相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行作答即可． 【详解】解：设的相反数为， 由题意得， ∴． 故答案为：． 10．0的相反数是______． 【答案】0 【分析】本题考查了相反数的定义，一个数的相反数是只有符号不同的数，0的相反数是它本身． 根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：由相反数的性质得，0的相反数是0． 故答案为：0． 11．数轴上的点A表示的数为﹣10，点B表示的数为﹣4，则A、B之间的距离为 ___． 【答案】6 【分析】直接利用数轴上两点之间距离求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数是−10，点B表示的数是-4， ∴A，B两点间的距离是：AB＝(﹣4)﹣(﹣10)＝6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，熟练掌握数轴上两点之间距离公式是解题关键． 12．如图，图中数轴的单位长度为1，如果点A、B表示的数互为相反数，那么点C表示的数___． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴及相反数的意义，由题意易得数轴的原点，然后问题可求解． 【详解】解：由点A、B表示的数互为相反数，可得数轴原点如图所示：    ∴由数轴可知点C表示的数为； 故答案为． 13．如图，数轴的一部分被墨水污染，被污染的部分内含有的整数是___． 【答案】-1、0、1、2 【分析】由数轴可知被污染的部分是-1.3至2.9． 【详解】解：由数轴可知：被污染的部分的数为-1.3＜x＜2.9的整数， ∴被污染的整数为：-1、0、1、2， 故答案为：-1、0、1、2． 【点睛】本题考查了数轴，解决本题的关键是找到污染部分的所有整数． 三、解答题 14．请分别写出下列各数的相反数： ，13，0，，． 【答案】5；；0；； 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】的相反数是； 13的相反数是； 0的相反数是0； 的相反数是； ， 的相反数是． 15．画数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 0，，，，，4.5及它们的相反数． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相反数的定义及在数轴上表示数的方法． 根据相反数的定义，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0，可写出已知六个数的相反数；再根据一对相反数在数轴上的位置特点，分别在原点的左右两边，并且与原点的距离相等，可把各数与其相反数在数轴上依次表示出来． 【详解】解：0的相反数是0， 的相反数是2.5， 的相反数是3， 的相反数是， 的相反数是． 4.5的相反数是． 在数轴上可表示为： 16．如图，数轴上的点A，B，C，D，E 分别表示什么数？其中哪些数是互为相反数？ 【答案】点A表示，点B表示，点C表示，点 D表示， 点E表示，和互为相反数，和互为相反数． 【分析】本题考查了用数轴上的点表示数，相反数的定义． 根据数轴写出点A，B，C，D，E分别表示的数，根据相反数的定义作答即可． 【详解】解：由数轴可知，点A表示，点B表示，点C表示，点 D表示， 点E表示， 其中和互为相反数，和互为相反数． 17．请化简下列各数： ，，，． 【答案】；，， 【分析】本题主要考查了化简多重符号．根据同号为正，异号为负进行化简即可． 【详解】解：；，，． 18．把下列各数填入相应的集合中： 正数集合：{                      …}； 分数集合：{                        …}； 非负整数集合：{                     …}． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握分类依据是关键． 先化简多重符号，然后根据有理数的分类进行依次分类即可． 【详解】解：， 正数集合：{ …}； 分数集合：{ …}； 非负整数集合：{，0， …}． 19．点A，B在数轴上的位置如图所示． (1)点B表示的有理数是_______，表示有理数“”的点是______，A，B两点之间的距离为_____个单位长度； (2)写出大于小于2的所有整数． 【答案】(1)3，， (2)，0，1 【分析】本题主要考查了数轴和实数，数轴上两点之间的距离，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． （1）利用数轴上的点和实数的对应关系进行求解即可； （2）利用数轴进行求解即可． 【详解】（1）解：由数轴可得，点B表示的有理数是3， 表示有理数“”的点是， A，B两点之间的距离为， 故答案为：3，，； （2）解：由数轴可得，大于小于2的所有整数为，0，1． 20． 如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点、单位长度为1的数轴上． (1)若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为 ，点D表示的数为 ； (2)若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为 ，点A表示的数为 ； (3)若点A和点D表示的数互为相反数，在数轴上标出原点O的位置，并找出图中另一对表示相反数的点． 【答案】(1)点；4 (2)点； (3)图见解析；点B和点C表示的数互为相反数 【分析】本题考查了相反数，数轴上的点表示有理数等知识，注意数形结合． （1）根据相反数即可求出原点，进而根据有理数在数轴上的表示即可求解； （2）根据相反数即可求出原点，进而根据有理数在数轴上的表示即可求解； （3）根据相反数即可求出原点，进而根据有理数在数轴上的表示结合相反数即可求解． 【详解】（1）解：若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为B，点D表示的数为4， 故答案为：点B；4； （2）解：若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为C，点A表示的数为， 故答案为：点C；； （3）解：如图所示： 点 B 和点 C表示的数互为相反数．一、单选题 1．的绝对值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值的定义计算的绝对值即可得到结果． 【详解】解：，即的绝对值是． 2．的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 【答案】C 【分析】该题考查了绝对值的定义，根据负数的绝对值是其相反数解答即可． 【详解】解：的绝对值是2024． 故选：C． 3．的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值和相反数，先计算绝对值，再求相反数即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的相反数是， ∴的相反数是． 故选A． 4．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了绝对值以及正数和负数的应用， 求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解; ∵， ∴最接近标准， 故选：B． 5．在，，，，中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简绝对值、化简多重符号，将每个数化简为具体数值，再比较大小，通过比较找出最小的数． 【详解】解：，， 化简后数值为：，，，， ， ， 最小的数是． 故选：B． 6．如果，那么下列成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的意义，熟记绝对值的意义是解决问题的关键． 根据绝对值的意义，由可推导出的取值范围，即可得到答案． 【详解】解：∵ ，， ∴， ∴， 故选：D． 7．数轴上表示的点到原点的距离是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值定义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值． 根据绝对值的意义求解即可． 【详解】解：数轴上表示的点到原点的距离是：， 故选：． 8．下列各对数中，是互为相反数的是（　　） A．与 B．与) C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查了相反数的识别，只有符号不同的两个数互为相反数，据此求出各个选项中两个数的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不互为相反数，不符合题意； B、与不互为相反数，不符合题意； C、与互为相反数，符合题意； D、与不互为相反数，不符合题意； 故选：C． 9．下列结论成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】D 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解题的关键． 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此判断即可． 【详解】解：A、若，则，该选项错误，不符合题意； B、若，则，该选项错误，不符合题意； C、当，此时，可知，该选项错误，不符合题意； D、若，则或，该选项正确，符合题意． 故选D． 10．若，则的值为（    ） A．－7 B．7 C．0 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性和代数式求值，正确得到是解题的关键； 根据绝对值的非负性可得，再代值计算即可. 【详解】解：因为， 所以， 所以， 所以； 故选：B. 二、填空题 11．化简___________． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值，根据绝对值的性质进行分析，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 12．若，则______． 【答案】5或 【分析】该题考查了绝对值，根据绝对值的定义，一个数的绝对值等于5，则这个数可以是5或． 【详解】解：由绝对值的定义可知，表示数x到原点的距离为5， 因此或． 故答案为：5或． 13．若，则__________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 14．绝对值小于4的所有整数的和是__________． 【答案】0 【分析】本题考查有理数加法和绝对值的意义，确定出绝对值小于4的所有整数是解题的关键． 找出绝对值小于4的所有整数，再计算这些数的和即可． 【详解】解：绝对值小于4的所有整数有：0，，，， ， 故答案为：0． 15．若，则_________． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，绝对值的非负性，解题的关键是掌握绝对值的非负性，正确求得，的值． 根据绝对值的非负性可得，，解得，，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴，，解得，， 将，代入可得， 原式， 故答案为：． 16．（1）若，则的值为______； （2）若一个数的绝对值是8，则这个数是_______； （3）绝对值小于或等于1的整数有_______． 【答案】 3 8或 0，1， 【分析】本题考查了绝对值的定义和性质，掌握绝对值的定义和性质是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，一个负数的绝对值等于它的相反数即可求解； （2）根据绝对值的定义即可求解； （3）根据绝对值的定义和整数的定义即可求解． 【详解】（1）根据绝对值的性质，一个负数的绝对值等于它的相反数可知， 当时，； （2）根据绝对值的定义可知，一个数的绝对值是8表示数轴上的点到原点距离为8，则这样的数有两个，分别位于原点的两侧且到原点距离为8，所以这个数是8或； （3）由绝对值小于等于1可得，，则，因为为整数，所以，1，． 综上，故答案为：①3  ②8或  ③0，1，． 三、解答题 17．数轴上一个点到原点的距离等于6.2，这个点表示什么数? 【详解】解：数轴上一个点到原点的距离等于6.2， 数轴上一个点到原点的距离等于6.2的数为6.2或． 18．在数轴上画出表示下列各数的点，并回答下列问题： ，2，，0，1.5，3． (1)表示哪两个数的点与原点的距离相等？ (2)表示的点与表示3的点距离几个单位长度？ 【详解】（1）解：如图， 和互为相反数，和互为相反数，和互为相反数， ， 与原点距离相等的两个点有：和3，和2，和1.5； （2）， 表示的点与表示3的点距离为个单位长度． 19．若，且，求的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，或． 20．若，且表示a，b的两个点在数轴上原点的同侧，试比较a，b的大小． 【详解】解：∵， ∴， 当表示a，b的两个点在数轴上原点的左侧时，， ∴； 当表示a，b的两个点在数轴上原点的右侧时， ∴ 综上所述，当表示a，b的两个点在数轴上原点的左侧时，；当表示a，b的两个点在数轴上原点的右侧时，． 21.(1)代数式|a-2|的最小值是 _____ (2)6-|a|有最__值是 _____ 【详解】（1）解：|a-2|是个非负数有最小值是0； （2）解：因为|a|是个非负数，有最小值为0，所以代数式6-|a|有最大值是6. 22.(1)若|x-3|+|2y-2|=0，求||-||的值 (2)若|a|+|-a|=6，则a=_____. 【详解】（1）解：因为|x-3|+|2y-2|=0，所以x-3=0,2y-2=0, 解之得x=3,y=1, 所以||-||=3-1=2. （2）解：因为|a|=|-a|， 所以2|a|=6， 所以|a|=3， 所以a= 23．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 【详解】（1）解：（千米）， 答：收工时该检修小组在A地的东边，距离A地5千米； （2）解：（千米）， 答：该检修小组这一天行驶的总路程为千米． 24． 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为_______，结果是____； (2)数轴上点A用数a表示，则表示_______________________；若=2，则a=____; (3)数轴上点A用数a表示，则表示_______________________；若=2，则a=____; 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离是； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，若=2，那么的值为5或1； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，若=2，那么的值为5或1； 25．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离． 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以x的值为或2． 例2：已知，求x的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以x的值为3或． 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)； (2)． 【详解】（1）解：∵ 在数轴上与原点距离为3的点表示的数为和3， 所以x的值为或3； （2）解：∵ 在数轴上与2对应的点的距离为4的点表示的数为6和， 所以x的值为6或． 25 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 绝对值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一个数的绝对值 题型2 化简绝对值符号 题型3 已知绝对值求原数 题型4 绝对值的非负性 题型5 与数轴结合解决简单的距离问题（数形结合） 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 绝对值 距离 非负性 1. 理解绝对值的几何意义（数轴上点到原点的距离）与代数定义，会用符号 | a | 表示。 2. 掌握绝对值法则：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。 3. 会求任意有理数的绝对值，知道绝对值非负（|a|≥0），且互为相反数的两数绝对值相等。 4. 能解决 “已知绝对值求原数” 等简单逆向问题。 学习重点： · 绝对值的概念（几何 + 代数）与非负性。 · 求一个有理数的绝对值。 学习难点： · 从 “距离” 抽象到绝对值概念，理解负数的绝对值是正数。 · 逆向应用：已知 | x|=a（a>0），求 x 的双解（x=±a）。 · 字母表示数下的分类讨论（如 | a | 的化简）。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 几何意义 【引入】（1）甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶为正。两车都从O地出发，甲车向东行驶6km到达A处，记作km，乙车向西行驶6km到达B处，记作km。 （2）以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A，B的位置，则A，B两点与原点的距离分别是多少？它们的实际意义是什么？ 答:距离都是6km，表示他们行驶路程相同。 1. 概念 我们把一个数在数轴上对应的的点到原点之间的距离叫作这个数的绝对值。 2. 符号表示 一个数 的绝对值表示为 3. 两点之间的距离 （1）=几何意义：在数轴上表示数a的点与原点之间的距离； （2）的几何意义:在数轴上表示数a的点与表示数b的点之间的距离； 知识点02 代数意义 1. 绝对值的代数意义 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零. 2. 化简绝对值 3.绝对值的非负性 （1）； （2）若+=0，则a=b=0. 4.绝对值方程 若，则 【易错提醒】 （1）若=a，则a.(千万别漏了等于0) （2）|=2，但不能说=. 题型1 求一个数的绝对值 【例1】分别写出的相反数和绝对值． 【变式练习】 1. 在数轴上画出表示下列各数的点，并求出它们的绝对值． ，，0，，． 2．求下列各数的绝对值：． 4．求下列各数的绝对值：12， ，－7.5， 0 题型2 化简绝对值符号 【例1】在，0，， ，2，中，正数是______个． 【例2】有理数a、b表示的点在数轴上的位置如图所示： 化简：______；______； 【变式练习】 1．________． 2．________． 3．的相反数是______． 4．的绝对值是___． 5．_______ 6．化简下列各式： (1) (2) 题型3 已知绝对值求原数 【例1】绝对值等于6的数是（     ） A．6 B． C． D． 【例2】如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【例3】数轴上到表示的点的距离是3的点所表示的数是（   ） A．1 B． C．1或 D．3 【例4】若，则_________． 【易错点拨】 因为0的相反数等于0，所以绝对值等于它本身的数有正数和0；绝对值等于它相反数的数有负数和0. 【变式练习】 1. 如果，那么_____． 2．命题“若，则”是个_____命题（填“真”或“假”） 3．若，则______． 4．请写出下列各数： (1)一个正数，它的绝对值等于7.2． (2)一个负数，它的绝对值等于24． (3)绝对值等于的数． 5．下列各判断是否正确？为什么？ (1)有理数的绝对值一定是正数． (2)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数也相等． (3)绝对值等于它本身的数一定不是负数． (4)绝对值等于1的数有两个． 题型4 绝对值的非负性 【例1】 ⑴若|x|+|y|=0，则x=______，y=_______. ⑵若|a-6|+|b|=0，则a=_____，b=_____. 【变式练习】 1．若 |x-4|+|2y-6|=0，求 |x-y| 的值. 2. 判断对错 （1）一定是非负数； （2）一定是非负数 ； （3）若，则； （4）若，则. 3. 代数式|a-3|的最小值是 _____|a|+3的最小值是 _____ 题型5 与数轴结合解决简单的距离问题（数形结合） 【例1】实数、、、在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是（   ） A． B． C． D． 【例2】如图，在数轴上，点、表示的数分别为、，则线段的长为________． 【例3】数轴上到原点的距离小于个单位长度的点中，表示整数的点共有______个． 【例4】在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记做． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和4的两点之间的距离可记做______，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做______； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做______；如果这两点之间的距离为2，那么x为______； (3)表示____________________________________，结果等于_____ 【变式练习】 1. 下列四个数在数轴上对应的点中，离原点最近的是（    ） A．4 B．1 C． D． 2．数轴上有，，，四个点，其中绝对值等于的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 3. 绝对值不大于4的整数有（    ）个 A．3 B．4 C．7 D．9 4. 在数轴上与距离等于6个单位长度的点表示的数是__________． 一、单选题 1．的绝对值是（    ） A．6 B． C． D． 2．的绝对值是（   ） A． B． C．2024 D． 3．的相反数是（   ） A．2024 B． C． D． 4．如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．从轻重的角度看，最接近标准的是（    ） A．   B．   C．   D．   5．在，，，，中，最小的数是（    ） A． B． C． D． 6．如果，那么下列成立的是（   ） A． B． C． D． 7．数轴上表示的点到原点的距离是（  ） A． B． C． D． 8．下列各对数中，是互为相反数的是（　　） A．与 B．与) C．与 D．与 9．下列结论成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 10．若，则的值为（    ） A．－7 B．7 C．0 D．4 二、填空题 11．化简___________． 12．若，则______． 13．若，则__________． 14．绝对值小于4的所有整数的和是__________． 15．若，则_________． 16．（1）若，则的值为______； （2）若一个数的绝对值是8，则这个数是_______； （3）绝对值小于或等于1的整数有_______． 三、解答题 17．数轴上一个点到原点的距离等于6.2，这个点表示什么数? 18．在数轴上画出表示下列各数的点，并回答下列问题： ，2，，0，1.5，3． (1)表示哪两个数的点与原点的距离相等？ (2)表示的点与表示3的点距离几个单位长度？ 19．若，且，求的值． 20．若，且表示a，b的两个点在数轴上原点的同侧，试比较a，b的大小． 21.(1)代数式|a-2|的最小值是 _____ (2)6-|a|有最__值是 _____ 22.(1)若|x-3|+|2y-2|=0，求||-||的值 (2)若|a|+|-a|=6，则a=_____. 23．某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A地出发，在东西向的马路上进行检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：（单位：千米）． (1)收工时该检修小组距离A地多远？ (2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？ 24． 我们知道，可以理解为， 它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为_______，结果是____； (2)数轴上点A用数a表示，则表示_______________________；若=2，则a=____; (3)数轴上点A用数a表示，则表示_______________________；若=2，则a=____; 25．阅读下列材料：我们知道|x|的几何意义是数轴上数x的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，|x|表示数轴上数x与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数x1与数x2对应点之间的距离． 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以x的值为或2． 例2：已知，求x的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以x的值为3或． 仿照材料中的解法，求下列各式中x的值． (1)； (2)． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $