2026年暑假新高三数学（不等式）复习自测练习苏教版必修一

**基本信息** 2026年暑假高中数学不等式复习自测练习，通过单选、多选、解答等题型，结合奥体中心建设等现实情境，考查不等式性质、解法及应用，强化推理能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|不等式性质、充分必要条件|基础概念辨析，如命题真假判断| |多选题|3/18|基本不等式应用|多选项设计，考查多维度思维，如最值求解| |填空题|3/15|恒成立问题|简洁设问，检测快速运算能力| |解答题|5/77|不等式综合应用、实际建模|结合奥体中心建设情境，如方案优化；引入“闭函数”新概念，提升创新探究|

2026年暑假高中数学（不等式）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．对于实数，有下列命题：①若；②若；③若，则；④若其中真命题的个数是 （ ） A． B． C． D． 2．已知a，b∈R，则“”是“b＞a”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋4＞0的解集为(－，m)∪(，＋)，其中m＜0，则的最小值为（ ） A．－4 B．4 C．5 D．8 4．已知实数，满足，，则的取值范围是 （      ） A． B． C． D． 5．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 （ ） A． B． C． D． 6．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 7．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 8．若满足，则正确的有 （ ） ①； ②； ③； ④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知正实数，则 （ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 10．已知为正实数，，则下列说法正确的是 （ ） A．的最小值为 B． C．的最小值为 D． 的最小值为 11．已知三个不同的实数满足，且，则 （ ） A． B． C． D． 的最小值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．对任意实数，不等式恒成立，则实数x的取值范围是___ _____． 13．已知，，则的取值范围为____ __． 14．对于任意实数，不等式恒成立．（1）则的取值范围是____ _______． （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为___________． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．记命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围． 16．已知，. （1）若，求的最小值及此时，的值； （2）若，求的最小值及此时，的值； （3）若，求的最小值及此时，的值. 17．在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 18．（1）关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若中有且只有三个元素，求实数m的取值范围. 19．已知关于的函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，求在上的最小值； （3）如果函数同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为． 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．试判断（2）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由． 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（不等式）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．对于实数，有下列命题：①若；②若；③若，则；④若其中真命题的个数是 （ A ） A． B． C． D． 2．已知a，b∈R，则“”是“b＞a”的 ( D ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】充分性：取，，则成立，但不成立，充分性不成立； 必要性：取，，则成立，但不成立，必要性不成立. 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D. 3．已知关于x的不等式ax2＋bx＋4＞0的解集为(－，m)∪(，＋)，其中m＜0，则的最小值为（ C ） A．－4 B．4 C．5 D．8 【详解】由题意可知，a＞0，且m，为方程ax2＋bx＋4＝0的两个根，所以m＝，m＋＝－，解得a＝1，m＋＝－b，所以b＝－m－≥2＝4，当且仅当－m＝－，即m＝－2时取等号，此时＝b＋，利用对勾函数的单调性可得，当b＝4时取得最小值，即b＋≥4＋＝5，故答案选C． 4．已知实数，满足，，则的取值范围是 （    B  ） A． B． C． D． 5．若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是 （ D ） A． B． C． D． 6．已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 （ B ） A. B. C. D. 7．若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为 （ C ） A. B. C. D. 【详解】因为，所以.问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”.因为，当时取“”.所以.故选：C 8．若满足，则正确的有 （ C ） ①； ②； ③； ④ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知正实数，则 （ ABD ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 10．已知为正实数，，则下列说法正确的是 （ AD ） A．的最小值为 B． C．的最小值为 D． 的最小值为 11．已知三个不同的实数满足，且，则 （ ABC ） A． B． C． D． 的最小值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．对任意实数，不等式恒成立，则实数x的取值范围是___  _____． 13．已知，，则的取值范围为______． 14．对于任意实数，不等式恒成立．（1）则的取值范围是____ _______． （2）在（1）的条件下，使恒成立，则的取值范围为___________． 【详解】当时，不等式为恒成立；当时，结合二次函数的性质可得，解得；的取值范围是.设，因为，所以一次函数为递增函数， 则当时，，解得， 所以的取值范围为.故答案为：；. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．记命题p：对任意，不等式恒成立，命题q：存在，使得不等式成立． （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围． 15．解：（1）对任意，不等式恒成立， 即在恒成立， 令，则，则，解得， 则实数m的取值范围为. （2）存在，使得不等式成立， 有解，即在上恒成立， 令，根据均值不等式，得， 当且仅当，即时等号成立， ，即，即命题q为真，，则命题q为假，， 又由（1）可知命题为真，，命题为假，或， 当真假时，，解得， 当假真时，与或求交集，解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 16．已知，. （1）若，求的最小值及此时，的值； （2）若，求的最小值及此时，的值； （3）若，求的最小值及此时，的值. 16．解：（1），，， ， 当且仅当，即，时取等号， 当，时，取得最小值； （2）， 当且仅当，即，时取等号， 当，时，取得最小值； （3），， ， 当且仅当，即，时取等号， 当，时，取得最小值. 17．在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，. （1）当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求的值； （2）求的函数解析式，并求报价的最小值； （3）若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 17．解：（1）宽度为8米时，方案二的报价为29700元， 所以，解得， 所以的值为18. （2）设地面长为，， 所以墙面面积为， 所以， 因为，当时取等， 所以，最小值为. （3）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得， 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得上单调递增， ， 又，所以， 所以方案二都比方案一省钱，的取值范围为. 18．（1）关于x的不等式的解集为，求实数a的取值范围； （2）解关于x的不等式； （3）设（1）中a的整数值构成集合A，（2）中不等式的解集是B，若中有且只有三个元素，求实数m的取值范围. 18．解：（1）当时，不等式可化为无解，满足题意； 当时，不等式化为，解得，不符合题意，舍去； 当时，要使得不等式的解集为， 则满足，解得， 综上可得，实数a的取值范围是. （2）由不等式，可得， 即且， 当时，不等式等价于，解得； 当时，由， 不等式且的解集为， 当时，且， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 综上，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）由（1）得， 当中有且只有三个元素，显然不可能， 当时， 因为，不合题意，舍去， 当时，， 因为中有且只有三个元素，所以，，解得， 综上，实数m的取值范围是. 【点睛】解含参数的一元二次不等式的步骤： （1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于0、小于0，还是大于0，然后整理不等式； （2）当二次项系数不为0时，讨论判别式与0的关系，判断方程的根的个数； （3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集的形式. 19．已知关于的函数． （1）若关于的不等式的解集为，求实数的值； （2）当时，求在上的最小值； （3）如果函数同时满足： ①函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； ②在函数的定义域内存在区间，使得函数在区间上的值域为． 则我们称函数是该定义域上的“闭函数”．试判断（2）中是否为“闭函数”？若是，求出的值或关系式；若不是，请说明理由． 19．解：（1）的解集为， 是方程的两个根， 根据韦达定理可得，解得， 故实数的值分别为. （2）函数图像开口向上，对称轴为， ①当时，函数在上单调递增， ； ②当时，函数在上单调递减，在上单调递增， ， 综上，. （3）①当时，， 在上单调递减， 若是 “闭函数”，则，即， 两式相减，得，化简，得， ，，则，即 ，，化简得，解得或， 当时，，满足，但此时不在定义域上，故舍去； 当时，，不满足，舍去， ②当时，，函数在上单调递减， 若是 “闭函数”，则，即， 两式相加得，即，又，且函数在上单调递减，， 综上所述，是 “闭函数”，当时， 7 学科网（北京）股份有限公司 $