2.3 二次函数与一元二次方程，不等式（9个题型归纳）（原卷版）人教A版2026年必修第一册暑假新高一上学期数学预习讲义

2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【2.3 二次函数与一元二次方程，不等式】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．一元二次不等式的解法 设 表格 判别式 函数图像 ________ ________ ________ 方程的根 __两根______ _二重根_______ ___无实根_____ 不等式解集 ________ ________ ____全体实数____ 不等式解集 ________ ________ ________ 补充：若，先两边乘，不等号反向，再按上表求解. 2．一元二次不等式通用解题步骤 ①___标准化_____：移项整理，保证一侧为 0，二次项系数化为正数； ②__算判别式______：计算，判断根的个数； ③_求方程根_______：时解方程得到零点； ④___图象写解集_____：开口向上，大于取两边，小于取中间；直接根据图象判断. ⑤___拓展补充_____：特殊不等式快速处理 ⑥___含等号_____：解集端点包含根； ⑦___缺一次项_____：，根据二次项系数符号及移项后常数项的符号判断解集； ⑧__缺常数项______：，因式分解. 3．三个“二次”的关系 判别式 二次函数的图像          一元二次方程的根 有两相异实根， 有两相等实根 没有实数根 的解集 ________ ________ R 的解集 ________ ________ ________ 4．一元二次方程根的分布（培优难点） 设，结合四个条件列不等式组： （1）有实根； （2）对称轴位置； （3）区间端点函数值符号； （4）根与区间边界大小关系. 常见基础模型： 两根都大于：________ 两根都小于：________ 一根小于，一根大于 ：仅需 两根落在区间内：________ 5．恒成立问题（高频培优考点） 类型 1：对全体实数恒成立 二次不等式恒成立________ 补充：若，退化为一次不等式 ，不可能对全体实数恒成立. 二次不等式恒成立 ________ 补充：若，当时，不等式为或，当且仅当或时在上恒成立； 当时，退化为一次不等式或，不可能在恒成立. 类型 2：在区间上恒成立 核心思路：转化为区间最值 设 在恒成立________ 在恒成立________ 求区间最值分类讨论依据：对称轴与区间的位置关系 对称轴在区间左侧：函数在区间单调； 对称轴落在区间内部：顶点为最值点； 对称轴在区间右侧：函数在区间单调. 类型 3：区间上有解问题 在有解________ 在有解________ 区分记忆： 恒成立：全区间满足，看最值极限； 有解：至少一处满足，看最值边界. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：解不含参数的一元二次不等式】 【练方法】 公式结论 1.标准形式或 2.判别式 方程两不等实根 方程两相等实根 方程无实数根 3.开口向上：解集；解集 4.先两边乘不等号反向再求解 方法技巧 1.第一步移项整理为二次项系数大于0的标准形式 2.第二步计算判别式求解对应一元二次方程的根 3.第三步画简易二次函数草图根据开口方向写解集 4.带等号不等式解集补充端点根 易错提醒 1.二次项系数为负时变形忘记反转不等号方向 2.时混淆不等号解集解集为全体实数去掉顶点为空集 3.端点取舍出错不含根包含根 4.计算求根公式时分母符号遗漏导致根计算错误 （24-25高一上·广西河池·期中）已知函数，经典例题1例题 (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）解一元二次方程，求出的取值； （2）结合二次函数图象，求出的取值范围； （3）结合二次函数图象，求出的取值范围． 【详解】（1）已知， 当时，，即， 解得， 时，的取值为2，3． （2）函数开口向上， 当时，的取值范围为或．    （3）函数开口向上， 当时，的取值范围为．    （23-24高一上·湖南张家界·期中）解下列不等式：小试牛刀1 (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将不等式等价变形后通过因式分解即可求得其解集； （2）将分式不等式化成一元二次不等式求解即得； （3）将不等式等价变形后，根据对应方程的根的判别式小于零，结合图象即得不等式解集. 【详解】（1）因， 则原不等式的解集为； （2）因， 则原不等式的解集为； （3）因， 因方程的判别式，故原不等式的解集为. （25-26高一上·四川资阳·期末）已知集合，.小试牛刀2 (1)求集合和； (2)求. 【答案】(1)，或； (2)或. 【分析】（1）根据分式不等式的求解方法求出集合，根据二次不等式的求解方法求出集合； （2）先根据补集的运算求得，再求并集即可得解. 【详解】（1）由题得， 对于集合，由，得，解得或， 故集合或; （2）由（1）可得或， 又或， 所以或或或. （25-26高一上·山东济宁·阶段检测）求下列不等式的解集：小试牛刀3 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接化简解出一元二次不等式即可； （2）根据判别式即可得到其解； （3）移项并通分将分式不等式转化为一元二次不等式即可求解. 【详解】（1）将不等式化简为，即 解得x＞1或，则解集为. （2）将不等式化简为， 因为， 所以该不等式无实数解，即解集为. （3）因为，即，所以通分可得， 则，解得， 所以解集为． 【题型2：解含参数的一元二次不等式】 【练方法】 公式结论 1.分三层讨论：二次项系数（一次不等式）、、 2.时再按分判别式讨论根的情况 3.两根含参数时比较两根大小划分参数区间分类写解集 方法技巧 1.先讨论二次项系数是否为0区分一次、二次不等式 2.二次型先算判别式依据正负判断有无实根 3.存在两个含参根时作差比较两根大小分段讨论参数范围 4.每一类讨论结束单独书写对应解集分类清晰不混杂 易错提醒 1.漏掉一次不等式特殊情况直接当成二次不等式求解 2.两根含参数不比较大小随意默认造成解集颠倒 3.参数分界点讨论遗漏区间划分不完整 4.变形未反转不等号解集完全相反 解关于的不等式：．经典例题1例题 【答案】时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为. 【分析】根据一元二次不等式的性质，按分类讨论求解． 【详解】当时，不等式为，其解集为， 当时，， 当时，抛物线开口向下，， 方程的根为，且， 故不等式解集为； 若，抛物线开口向上， 当时，，抛物线与轴无交点，函数值恒大于0，不等式解集为； 当时，，方程的根为， 不等式，则，解集为； 当时，，方程的根为， 则不等式解集为； 综上， 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为； 时，原不等式解集为． （2026高三·全国·专题练习）解不等式．小试牛刀1 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，不等式的解集为 【分析】分、及进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得. 【详解】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：．小试牛刀2 【答案】当时，；当时，；当时，． 【分析】结合不等式的性质，讨论的取值，即可求得答案. 【详解】对不等式进行因式分解得， 当时，原不等式变为，解得，即； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为； 当时，方程有两个根， 故不等式的解集为；． 综上所述，当时，；当时，；当时，． （25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集；小试牛刀3 （2）解关于的不等式：． 【答案】（1）；（2）答案见解析 【分析】（1）将不等式二次项系数化正后直接求解即可； （2）因式分解，结合分类讨论，根据一元二次不等式的解的性质即可求解. 【详解】（1）因， 故原不等式的解集为． （2）由不等式，得， 又因为，所以原不等式等价于， 当时，，此时不等式无解； 当时，，解得； 当时，，解得； 综上：当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【题型3：由一元二次的解集求参数】 【练方法】 公式结论 1.若解集则且是方程两根 2.韦达定理： 方法技巧 1.由解集区间形式判断二次项系数正负区间夹在两根之间则 2.把区间端点当作对应一元二次方程的实数根 3.代入韦达定理列方程组求解参数 4.求出参数后代回验证解集是否匹配题干 易错提醒 1.看到两根区间直接默认忽略夹区间对应开口向下 2.韦达定理符号记反遗漏负号 3.解出参数不回代检验解集与题干不符未舍去错解 4.解集含等号时忽略方程根代入原式等于0的验证 （25-26高二下·河北承德·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______．经典例题1例题 【答案】 【分析】当时，直接代入计算；当时，由关于的不等式的解集为空集，可得，求解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为空集，所以对任意实数，恒成立． 当时，原不等式化为，不等式不成立，所以原不等式的解集为空集，符合条件． 当时，结合二次函数的性质，得抛物线开口向上，与轴最多有1个公共点， 所以，且判别式，解得． 综上，实数的取值范围是． （25-26高一下·山东潍坊·期中）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______.小试牛刀1 【答案】 【详解】已知不等式 的解集为 ，说明二次项系数 ， 且 和 是一元二次方程 的两个实根， 所以，所以 ， 代入不等式 ，得0，因为， 所以，所以，所以, 不等式的解集为 （24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）甲、乙两人解关于x的一元二次不等式，甲写错了常数b，正确计算后得到的解集为；乙写错了常数c，正确计算后得到的解集为．那么原不等式的解集为_________．小试牛刀2 【答案】 【详解】，甲写错了常数，正确计算后得到的解集为，即， 乙写错了常数，正确计算后得到的解集为，即，解得， 因此关于的一元二次不等式为，即，解得， 所以原不等式的解集为. （25-26高一上·重庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为________.小试牛刀3 【答案】 【分析】分析可知，3为的两根，且，结合韦达定理可得，，代入解不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 可知，3为的两根，且， 则，解得，， 因为，即， 等价于，解得， 所以的解集为. 故答案为：. 【题型4：三个二次的关系】 【练方法】 公式结论 1.二次函数 2.一元二次方程根是函数图像与轴交点横坐标 3.一元二次不等式解集是图像在轴上方对应范围 解集是图像在轴下方对应范围 4.判别式决定交点个数：两个交点一个交点无交点 方法技巧 1.数形结合画二次函数图像串联方程根、不等式解集 2.已知任意一个二次条件快速推导另外两个二次的结论 3.开口方向、判别式、根的大小三个要素结合分析 易错提醒 1.割裂三个二次不会用函数图像辅助解方程与不等式 2.开口方向正负混淆上下区间解集写反 3.含义记反误判为无交点 4.混淆函数零点、方程根、不等式边界三者等价关系 （25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ）经典例题1例题 A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 【答案】BC 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，结合韦达定理逐项分析判断即可. 【详解】由题意知，（A错误），且，是方程的两根， 所以，，即，. B：可化为，因为，， 所以不等式的解集是，B正确. C：因为，所以，C正确， D：可化为， 因为，所以，解得或，故D错误. （25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由一元二次不等式的解法可判断A；由根与系数的关系可判断B、C、D. 【详解】由不等式的解集为可知，A正确； 方程有两个根和2， 所以，， 所以，， 则，，B，C错误； ，D正确. 故选：AD. （25-26高一上·湖南邵阳·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A． B．的解集为{x|x<2} C． D．的解集为 【答案】BCD 【分析】由的不等式的解集得到或是的两根，且，根据根与系数的关系得到，分别代入选项一一求解即可. 【详解】的不等式的解集或， 或是的两根，且，故选项A错误； ，，，， ，，，的解集为，故选项B正确； ，，故选项C正确； ，，，， ，， 的解集为，故选项D正确. 故选：BCD. （25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用一元二次不等式的解集用表示，再逐项判断即可. 【详解】由关于的一元二次不等式的解集为或， 得是方程的根，且，则，即，对于A，，A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，不等式，化为，解得，故C正确； 对于D，不等式，化为， 因为，所以，所以， 所以，解得，故D正确. 故选：ACD. 【题型5：一元二次不等式在R上恒成立问题】 【练方法】 公式结论 1.对任意恒成立 2.对任意恒成立 3.对任意恒成立 4.对任意恒成立 5.时退化为一次不等式无法全体实数恒成立 方法技巧 1.先锁定二次型必须同时满足开口方向、判别式两组条件 2.联立不等式组求解参数取值范围 3.单独验证一次不等式无法满足全体实数恒成立 易错提醒 1.只写判别式条件漏掉二次项系数正负开口限制 2.恒大于0误写恒小于0误写 3.忽略一次式不能在全体实数恒成立的特点 4.等号与不等号对应判别式范围混淆 （24-25高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，原不等式化为，显然恒成立； 当时，不等式对一切恒成立，则有 且，即， 解得， 综上可得，. （25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______．小试牛刀1 【答案】 【分析】对参数分和两类讨论，求解范围后合并即可. 【详解】①当时，不等式化为，对任意恒成立，符合题意； ②当时，一元二次不等式对恒成立， 则有 ， 解得. 即实数a的取值范围为. （24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________．小试牛刀2 【答案】 【分析】分二次项系数和两种情况讨论，当时结合一元二次不等式恒成立的条件求解参数范围. 【详解】若不等式对一切实数恒成立的问题，需分和两种情况讨论： 当时： 此时不等式变为：， 该式对所有实数恒成立，故符合条件； 当时： 此时不等式为二次不等式，需满足：， ， 令，即：， 结合，解得：， 综上，的取值范围是. （25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 【题型6：一元二次不等式在某区间的恒成立问题】 【练方法】 公式结论 1.在恒成立 2.在恒成立 方法技巧 1.分类讨论一次函数、开口向上、开口向下三类 2.结合对称轴与给定区间位置求出区间内函数最值 3.最值满足不等关系列参数不等式求解范围 易错提醒 1.直接套用全体实数恒成立条件不结合区间求局部最值 2.对称轴落在区间内外时最值点判断错误错取顶点或端点 3.恒成立最值取反用最大值代替最小值列不等式 4.漏掉一次函数分类讨论 （2026高一·全国·专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______.经典例题1例题 【答案】 【详解】该全称命题“”为假命题， 则其否定“”为真命题，即方程在上有解， 的取值范围就是函数在上的值域. ，这是开口向上，对称轴为的二次函数，. 则最小值在处取得：；最大值在端点处取得：. 因此的值域为，即. （25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数小试牛刀1 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. (2) 【分析】（1）由题意得，结合方程的两根即可求得答案； （2）法一：利用分离参数法得对于恒成立，恒成立，求 的最小值即可求解； 法二：对不等式转化可得，对于恒成立，令，分别讨论对称轴在区间的位置结合单调性即可求解. 【详解】（1）依题意可得：，即， 其对应方程的两根为， 当，即时，不等式的解集为或； 当，即时，解集为R； 当，即时，不等式的解集为或； 综上所述：当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为R； 当时，不等式的解集为或. （2）（1）法一：因为，所以对于恒成立， 因为，所以，因此恒成立. 即. 令，则， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，时取等号. 故，所以. 即实数的取值范围为. 法二：因为，所以， 即对于恒成立， 令，对称轴， 当时，即时， 函数在上单调递增，所以，因此， 又因为，所以. 当时，即时， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，因此， 又因为，所以， 当时，即时， 函数在上单调递减，所以， 因此，又因为，所以不存在. 综上：. （25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为．小试牛刀2 (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为 (3) 【分析】（1）根据和2是方程的两根，利用韦达定理可求的值. （2）对的取值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式解不等式. （3）问题转化为，恒成立，再求，的最大值即可. 【详解】（1）由题意，和2是方程的两根，且， 所以，解得. （2）因为，所以不等式可化为， 即. 当时，不等式可化为 ； 当时，不等式可化为. 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为； 若，即时，不等式的解为. 综上，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为. （3）因为，所以不等式可化为， 因为时，不等式恒成立，即恒成立. 因为，所以，，，所以. 由恒成立，可得 . 即所求的取值范围为. （25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化问题为对任意恒成立，再结合基本不等式求最值即可求解. 【详解】根据题意可得对任意恒成立， 而，当且仅当时等号成立， 则，所以，则的最小值为． 【题型7：一元二次不等式在某区间有解问题】 【练方法】 公式结论 1.在有解 2.在有解 方法技巧 1.区分有解与恒成立有解只需要区间内存在一个满足不等式 2.分讨论区间最大/最小值 3.最值满足条件建立参数不等式求解 易错提醒 1.混淆有解和恒成立把有解当成恒成立用最值反向列式 2.区间最值点判断出错对称轴位置分析不清 3.忽略一次函数特殊情况 4.等号边界取舍错误导致参数范围扩大或缩小 （25-26高一上·山西晋城·期末）（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ）经典例题1例题 A．0 B． C．2 D．4 【答案】BD 【分析】由，和三种情况讨论求解即可. 【详解】当时，原不等式不成立， 时，函数对应的图象是开口向下的抛物线，根据图象特征，一定存在使得原不等式成立． 时，则，即解得， 综上所述，的取值集合是或， 结合选项，所以实数可取值，4， 故选：BD． 若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为_____.小试牛刀1 【答案】 【分析】把不等式转化成求最值的问题，再利用配方法求出最值即可. 【详解】因为， 所以等价于，整理得. 若“存在，使得不等式成立”可转化为 . 因为，当时取等号. 所以，即. 故答案为：. （24-25高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数．小试牛刀2 (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． (2) 【分析】（1）先把二次不等式化为，再分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可． 【详解】（1）， 化简得，即， 若，即，上式可化为：，即，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， ， ， ， 或， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）不等式，即， ， 恒成立， ， 问题转化为：存在，使得成立， ， 设，令，则， （当且仅当，即时取等号）， ，当且仅当时取等号， 综上，的取值范围为． （25-26高一上·河北石家庄·期中）若存在，，则实数的最大值为___________．小试牛刀3 【答案】 【分析】分离参数，根据存在得到，再利用换元法求出的最大值即可. 【详解】原不等式化为 存在 只需， 令，则， 当且仅当，即时，等号成立， ，则实数的最大值为 【题型8：一元二次方程根的分布问题】 【练方法】 公式结论 设对称轴 1.两根均大于： 2.两根均小于： 3.一根小于一根大于： 4.两根在区间内： 方法技巧 1.统一先令二次项系数为负先乘转化开口向上 2.根分布三类判定条件：判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号 3.画函数草图辅助核对条件是否齐全 易错提醒 1.二次项系数不转化直接套用的根分布条件 2.两根存在的题型遗漏有实根前提 3.区间端点函数值不等号写反开口向下向上符号混淆 4.对称轴区间范围边界判断出错 已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______．经典例题1例题 【答案】 【分析】由二次函数的图像性质求解 【详解】令，对称轴为； 根据题意，作函数的图象： 则，解不等式组得. （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________．小试牛刀1 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的分布直接求解． 【详解】方程在上有两个不相等的实数根， ，解得． （25-26高一上·辽宁丹东·期末）方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____．小试牛刀2 【答案】 【分析】若一元二次方程有两个正实根，则需满足，直接列不等式求解即可. 【详解】因为方程有两个正实根 ， 所以 ，解得 ； 实数的取值范围为. 故答案为：. 关于的方程满足下列条件，一个根在内，另一个根在内；求的取值范围．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据方程的所在的区间，得到不等式组，解出即可. 【详解】若方程一个根在内，另一个根在内， 令，则，解得 【题型9：一元二次不等式的实际应用】 【练方法】 公式结论 1.实际问题变量具备现实意义或取正整数 2.利润、面积、成本模型整理为或求解 方法技巧 1.审题设自变量根据等量关系列出二次函数模型 2.转化为一元二次不等式求解解集 3.结合实际定义域截取有效取值（正数、整数、区间限制） 易错提醒 1.忽略实际变量取值限制保留负数、小数等无意义解 2.建模列式等量关系写错二次项符号颠倒 3.解集求出后不结合题意取舍直接写出完整数学解集 4.单位、取值范围不符合现实场景未修正答案 （25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元.经典例题1例题 (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)； (2)的取值范围为； (3)当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大,最大万元. 【分析】（1）由题意知，增加的利润增加的产量售价追加投入投入的其他成本；（2）由题意知，追加的总成本追加投入投入的其他成本，列出不等式求解即可；（3）将函数解析式进行化简，利用换元法再结合基本不等式求解. 【详解】（1）由题知， 又，解得， 所以. （2）由题知追加的总成本， 整理得，解得， 又，所以的取值范围为. （3）由知，令，则， 代入函数解析式得 ， 当且仅当时，等号成立， 此时，. 故当为5万元时，该公司在本季度增加的利润最大，最大万元. （25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）完成下列各题：小试牛刀1 (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】(1)和时，彩带的总长最小值为 (2)①；② 【分析】（1）先根据题意列出等式，然后根据基本不等式的性质求出彩带的总长的最小值. （2）①根据矩形面积公式列出函数解析式即可；②根据题意要求列出不等式，然后求解集即可. 【详解】（1）设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，， 则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. （2）①由题意，（）； ②因为，即， 所以，解得或，又因为，所以， 所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. （25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．其底面为长方形ABCD，其中AD ≥ AB．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．小试牛刀2 (1)若贮水池的总造价不超过312000元，求AD边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低? 最低总造价是多少? 【答案】(1)（单位：m） (2)当，时，贮水池的总造价最低，最低总造价是297600元． 【分析】（1）先设，，且，再根据总容积即可得到的值，再根据总造价可得到关于的一元二次不等式，进而求解即可得到AD边长的范围； （2）结合（1），再根据基本不等式求其最小值即可． 【详解】（1）设，，且， 则依题意可得，则，且， 则，且， 又总造价， 则，即， 整理得，解得， 所以AD边长的范围是（单位：m） （2）结合（1）有， 且总造价， 当且仅当时，等号成立， 所以当，时，贮水池的总造价最低，最低总造价是297600元． 某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ）小试牛刀3 A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 【答案】B 【详解】设下调后的电价为x元/.依题意知用电量增至，电力部门的收益为.依题意有，整理得.又，解得. 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 2．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得和是关于的方程的两个实数根， 所以，解得， 所以， 由得， 当时，， 所以，则的取值范围是，故A正确. 3．（25-26高一上·云南文山·期末）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式的解集确定的符号和关系，再解一元二次不等式即可. 【详解】由图可知，，，，∴，， ∴，. ∴等价于， ∵，∴，解得或， 故解集为. 故选：A 4．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】利用基本不等式，先求的最小值，再依题意建立关于的不等式，求解即得的取值范围. 【详解】由题意，， 当且仅当，即时等号成立. 因对任意这样的，使不等式恒成立. 则需使，解得. 6．（25-26高三上·江苏徐州·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，， ，解得． 7．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，得；解不等式，得， 而集合真包含于集合， 所以“”是“”的必要不充分条件． 二、多选题 8．（24-25高一上·江苏·阶段检测）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】解一元二次不等式判断A；按照和分类讨论，利用一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式求解判断B；由题意对恒成立，利用一次型函数恒成立列不等式组求解判断C；由题意不等式的唯一整数解为，结合二次函数性质列不等式组求解判断D. 【详解】当时，， 所以，解得，故选项A错误. 若不等式对恒成立，则当时，不等式成立， 当时， ，解得，综上，， 则整数的取值集合为.故选项B正确. 若不等式对恒成立，则即对恒成立， 所以，解得，故选项C正确. 若恰有一个整数使得不等式成立，则，即，令， 因为，所以整数， 由题意，解得，故选项D正确. 故选：BCD 三、填空题 9．（25-26高一上·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． 【答案】 【分析】利用判别式与韦达定理求解即可. 【详解】因为有两个不等实根，故. , 设两个正实数根为, 由题可知，有,整理得, 解得,因此. 故答案为：. 10．（25-26高二下·云南昆明·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为_____________________________． 【答案】 【分析】分析可知和是方程的两个实数根，利用韦达定理求的值，代入解分式不等式即可. 【详解】不等式，即的解集为， 则和是方程的两个实数根， 则，解得， 则，等价于，解得 故该不等式的解集为． 四、解答题 11．（23-24高一上·江苏镇江·阶段检测）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 【答案】(1)100 (2)存在， 【分析】（1）由条件“调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资”建立不等关系可求解； （2）根据条件①②建立不等关系，假设存在实数转化为恒成立问题，由基本不等式及一次函数求最值可得结果. 【详解】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均工资为 万元, 则 , 整理得 , 解得 , 因为 且 , 所以 , 故 , 所以要使这 名研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资, 调整后的研发人员的人数最少为 100 人. （2）由条件①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资， 得 , 整理得 ; 由条件②技术人员年人均工资不减少, 得 , 解得 假设存在这样的实数 , 使得技术人员在已知范围内调整后, 满足以上两个条件, 即 恒成立， 因为 , 当且仅当 , 即 时等号成立, 所以 , 又因为 , 当 时, 取得最大值 11 , 所以 所以 , 即 , 即存在这样的 满足条件, 其范围为 . 12．（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 【答案】(1) (2)，宣传单的面积最小，最小的面积为 【分析】（1）根据题意可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围； （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为，根据题意可得出关于的函数关系式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的值，即可得解. 【详解】（1）由宣传单的面积不超过可得：， 化简得，解得， 又，所以，故的最大值为. （2）设cm，则cm，设宣传单的面积为， 则， 当且仅当，即时取等号. 所以当长为，宣传单的面积最小，最小的面积是 13．设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由命题为真命题，求出实数的范围，即可求出命题为假命题时参数范围； （2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得，即得的取值范围. 【详解】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则抛物线开口向上，显然符合题意； 若即，需使，解得， 综上，或. 故命题：是假命题时，； （2）存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 14．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． (2) 【分析】（1）根据一元二次不等式解集的形式可直接得到不等式解集，注意分情况讨论. （2）方法1：分离参数，问题转化为，，再利用基本不等式，求代数式，的最小值即可； 方法2：问题可转化为二次不等式在区间上恒成立的问题，再结合函数的思想求的取值范围. 【详解】（1）由，得， 令，可得或， 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）方法一：因为，可得． 因为，得，所以，即． 因为， 当且仅当，即时等号成立，所以． 因为，所以，即实数a的取值范围是． 方法二：对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立． 令， 当时，即时，，符合题意． 当时，即时，，解得，又，则． 综上所述，实数a的取值范围是． 15．已知函数. (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据含参一元不等式的恒成立，分别讨论，成立的条件，即可得的取值范围； （2）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）由，即对一切实数恒成立， 当时，，有，即，不满足题意； 当时，则满足，即，解得． 综上所述，的取值范围为； （2）由． 得，所以， 若，即，上式可化为，解得； 若，即，上式可化为，解得； 若，即，上式可化为， 当时，，所以或； 当时，，所以； 当时，，所以或； 综上可知： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 16．（25-26高二下·江苏常州·期中）设函数，关于的不等式（为常数）的解集为. (1)若，求实数的值； (2)当时， 恒成立，试求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将问题转化为的两根分别为，利用韦达定理即可； （2）利用韦达定理得出，，再结合一元二次函数的性质求参即可. 【详解】（1）时，的解集为， 则的两根分别为， 故，，得. （2）因为的两根分别为， 所以，，得，，则， 因为当时，恒成立， 所以对恒成立， 则且，得， 故的取值范围为. 17．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）解一元二次不等式即可得答案； （2）将分式不等式转化为整式不等式求解，即得答案； （3）不等式可化为，分类讨论a的取值，即可求得答案. 【详解】（1）由得， 即，解得， 故不等式的解集为. （2）由得， 即，也即为， 故，解得， 故不等式的解集为. （3）不等式可化为， 当时，解得； 当时，原不等式即为， 当时，，. 当时，，此时不等式解集为； 当时，， 当时，原不等式即为， 因为，所以，所以或. 综上所述，原不等式的解集为： 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 18．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知． (1)若的解集为，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式解集与判别式的关系即可求解； （2）根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解． 【详解】（1）由题可知，，解得． （2）由题得，， 当，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 当时，即时，不等式的解集为， 综上所述，时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为， 时，不等式的解集为． 19．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 ；当时解集为；当时解集为 【分析】(1)等价转化为 和 是方程 的两个实根，从而求解a，b的值； (2)对a作分类讨论，分，；对于二次不等式，要先判断二次项系数 a 的正负，它决定了抛物线的开口方向；再继续对二次方程的2个根作比较大小讨论. 【详解】（1）因为不等式的解集为，所以， 且 和 是方程 的两个实根， 可得，， 解得 ，； （2）当 ，不等式为 ，即 ① 当 时，不等式化为 ，解得 ，解集为 ； ② 当 时，若 ，则 ，不等式解集为； 若 ，则 ，不等式为 ，解集为； 若 ，则 ，不等式解集为 ； ③ 当 时，不等式化为 解得或，解集为 . 综上， 当 时，解集为 ； 当 时，解集为 ； 当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为 . 20．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）解不等式，明确集合、，再根据集合的运算法则进行集合的运算. （2）明确集合、的包含关系，再分，，三种情况讨论求的取值范围. 【详解】（1）由 ，所以. 当时，由 ，所以. 所以， 因为或，所以 . （2）由 . 当时，，由 ，结合可得； 当时，，所以时符合题意； 当时，，由 ，结合可得. 综上可知，当时，. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年新高一数学上学期常考题型归纳 【2.3 二次函数与一元二次方程，不等式】 总览 题型梳理 【教材知识梳理】 1．一元二次不等式的解法 设 表格 判别式 函数图像 ________ ________ ________ 方程的根 __两根______ _二重根_______ ___无实根_____ 不等式解集 ________ ________ ____全体实数____ 不等式解集 ________ ________ ________ 补充：若，先两边乘，不等号反向，再按上表求解. 2．一元二次不等式通用解题步骤 ①___标准化_____：移项整理，保证一侧为 0，二次项系数化为正数； ②__算判别式______：计算，判断根的个数； ③_求方程根_______：时解方程得到零点； ④___图象写解集_____：开口向上，大于取两边，小于取中间；直接根据图象判断. ⑤___拓展补充_____：特殊不等式快速处理 ⑥___含等号_____：解集端点包含根； ⑦___缺一次项_____：，根据二次项系数符号及移项后常数项的符号判断解集； ⑧__缺常数项______：，因式分解. 3．三个“二次”的关系 判别式 二次函数的图像          一元二次方程的根 有两相异实根， 有两相等实根 没有实数根 的解集 ________ ________ R 的解集 ________ ________ ________ 4．一元二次方程根的分布（培优难点） 设，结合四个条件列不等式组： （1）有实根； （2）对称轴位置； （3）区间端点函数值符号； （4）根与区间边界大小关系. 常见基础模型： 两根都大于：________ 两根都小于：________ 一根小于，一根大于 ：仅需 两根落在区间内：________ 5．恒成立问题（高频培优考点） 类型 1：对全体实数恒成立 二次不等式恒成立________ 补充：若，退化为一次不等式 ，不可能对全体实数恒成立. 二次不等式恒成立 ________ 补充：若，当时，不等式为或，当且仅当或时在上恒成立； 当时，退化为一次不等式或，不可能在恒成立. 类型 2：在区间上恒成立 核心思路：转化为区间最值 设 在恒成立________ 在恒成立________ 求区间最值分类讨论依据：对称轴与区间的位置关系 对称轴在区间左侧：函数在区间单调； 对称轴落在区间内部：顶点为最值点； 对称轴在区间右侧：函数在区间单调. 类型 3：区间上有解问题 在有解________ 在有解________ 区分记忆： 恒成立：全区间满足，看最值极限； 有解：至少一处满足，看最值边界. 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：解不含参数的一元二次不等式】 【练方法】 公式结论 1.标准形式或 2.判别式 方程两不等实根 方程两相等实根 方程无实数根 3.开口向上：解集；解集 4.先两边乘不等号反向再求解 方法技巧 1.第一步移项整理为二次项系数大于0的标准形式 2.第二步计算判别式求解对应一元二次方程的根 3.第三步画简易二次函数草图根据开口方向写解集 4.带等号不等式解集补充端点根 易错提醒 1.二次项系数为负时变形忘记反转不等号方向 2.时混淆不等号解集解集为全体实数去掉顶点为空集 3.端点取舍出错不含根包含根 4.计算求根公式时分母符号遗漏导致根计算错误 （24-25高一上·广西河池·期中）已知函数，经典例题1例题 (1)求时，的取值； (2)求时，的取值范围； (3)求时，的取值范围． （23-24高一上·湖南张家界·期中）解下列不等式：小试牛刀1 (1)； (2)； (3). （25-26高一上·四川资阳·期末）已知集合，.小试牛刀2 (1)求集合和； (2)求. （25-26高一上·山东济宁·阶段检测）求下列不等式的解集：小试牛刀3 (1)； (2)； (3)． 【题型2：解含参数的一元二次不等式】 【练方法】 公式结论 1.分三层讨论：二次项系数（一次不等式）、、 2.时再按分判别式讨论根的情况 3.两根含参数时比较两根大小划分参数区间分类写解集 方法技巧 1.先讨论二次项系数是否为0区分一次、二次不等式 2.二次型先算判别式依据正负判断有无实根 3.存在两个含参根时作差比较两根大小分段讨论参数范围 4.每一类讨论结束单独书写对应解集分类清晰不混杂 易错提醒 1.漏掉一次不等式特殊情况直接当成二次不等式求解 2.两根含参数不比较大小随意默认造成解集颠倒 3.参数分界点讨论遗漏区间划分不完整 4.变形未反转不等号解集完全相反 解关于的不等式：．经典例题1例题 （2026高三·全国·专题练习）解不等式．小试牛刀1 （25-26高一下·上海·阶段检测）解关于x的不等式：．小试牛刀2 （25-26高一上·广东肇庆·阶段检测）（1）求不等式的解集；小试牛刀3 （2）解关于的不等式：． 【题型3：由一元二次的解集求参数】 【练方法】 公式结论 1.若解集则且是方程两根 2.韦达定理： 方法技巧 1.由解集区间形式判断二次项系数正负区间夹在两根之间则 2.把区间端点当作对应一元二次方程的实数根 3.代入韦达定理列方程组求解参数 4.求出参数后代回验证解集是否匹配题干 易错提醒 1.看到两根区间直接默认忽略夹区间对应开口向下 2.韦达定理符号记反遗漏负号 3.解出参数不回代检验解集与题干不符未舍去错解 4.解集含等号时忽略方程根代入原式等于0的验证 （25-26高二下·河北承德·期末）若关于的不等式的解集为空集，则实数的取值范围是______．经典例题1例题 （25-26高一下·山东潍坊·期中）若关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为______.小试牛刀1 （24-25高一上·陕西榆林·阶段检测）甲、乙两人解关于x的一元二次不等式，甲写错了常数b，正确计算后得到的解集为；乙写错了常数c，正确计算后得到的解集为．那么原不等式的解集为_________．小试牛刀2 （25-26高一上·重庆·期末）已知关于的不等式的解集为，则的解集为________.小试牛刀3 【题型4：三个二次的关系】 【练方法】 公式结论 1.二次函数 2.一元二次方程根是函数图像与轴交点横坐标 3.一元二次不等式解集是图像在轴上方对应范围 解集是图像在轴下方对应范围 4.判别式决定交点个数：两个交点一个交点无交点 方法技巧 1.数形结合画二次函数图像串联方程根、不等式解集 2.已知任意一个二次条件快速推导另外两个二次的结论 3.开口方向、判别式、根的大小三个要素结合分析 易错提醒 1.割裂三个二次不会用函数图像辅助解方程与不等式 2.开口方向正负混淆上下区间解集写反 3.含义记反误判为无交点 4.混淆函数零点、方程根、不等式边界三者等价关系 （25-26高一下·四川成都·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为. 则（   ）经典例题1例题 A． B．不等式的解集是 C． D．不等式 的解集是 （25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·期末）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为，则（   ）小试牛刀1 A． B． C． D． （25-26高一上·湖南邵阳·期中）（多选）已知关于x的不等式的解集或，则下列说法正确的是（    ）小试牛刀2 A． B．的解集为{x|x<2} C． D．的解集为 （25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）（多选）已知关于的一元二次不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ）小试牛刀3 A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【题型5：一元二次不等式在R上恒成立问题】 【练方法】 公式结论 1.对任意恒成立 2.对任意恒成立 3.对任意恒成立 4.对任意恒成立 5.时退化为一次不等式无法全体实数恒成立 方法技巧 1.先锁定二次型必须同时满足开口方向、判别式两组条件 2.联立不等式组求解参数取值范围 3.单独验证一次不等式无法满足全体实数恒成立 易错提醒 1.只写判别式条件漏掉二次项系数正负开口限制 2.恒大于0误写恒小于0误写 3.忽略一次式不能在全体实数恒成立的特点 4.等号与不等号对应判别式范围混淆 （24-25高一上·四川成都·期末）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（    ）经典例题1例题 A． B． C． D． （25-26高一上·福建厦门·阶段检测）若关于的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为_______．小试牛刀1 （24-25高一上·福建厦门·阶段检测）若不等式 对一切实数恒成立，则的取值范围__________．小试牛刀2 （25-26高一下·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型6：一元二次不等式在某区间的恒成立问题】 【练方法】 公式结论 1.在恒成立 2.在恒成立 方法技巧 1.分类讨论一次函数、开口向上、开口向下三类 2.结合对称轴与给定区间位置求出区间内函数最值 3.最值满足不等关系列参数不等式求解范围 易错提醒 1.直接套用全体实数恒成立条件不结合区间求局部最值 2.对称轴落在区间内外时最值点判断错误错取顶点或端点 3.恒成立最值取反用最大值代替最小值列不等式 4.漏掉一次函数分类讨论 （2026高一·全国·专题练习）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是_______.经典例题1例题 （25-26高一上·福建泉州·期中）已知函数小试牛刀1 (1)求关于的不等式的解集. (2)若对于，不等式恒成立，求的取值范围. （25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）已知关于的不等式 的解集为．小试牛刀2 (1)求实数，的值； (2)若，求关于的不等式的解集； (3)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围． （25-26高一下·云南普洱·期中）不等式对任意恒成立，则的最小值是（   ）小试牛刀3 A． B． C． D． 【题型7：一元二次不等式在某区间有解问题】 【练方法】 公式结论 1.在有解 2.在有解 方法技巧 1.区分有解与恒成立有解只需要区间内存在一个满足不等式 2.分讨论区间最大/最小值 3.最值满足条件建立参数不等式求解 易错提醒 1.混淆有解和恒成立把有解当成恒成立用最值反向列式 2.区间最值点判断出错对称轴位置分析不清 3.忽略一次函数特殊情况 4.等号边界取舍错误导致参数范围扩大或缩小 （25-26高一上·山西晋城·期末）（多选）存在使得不等式成立，则实数的取值可以是（   ）经典例题1例题 A．0 B． C．2 D．4 若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为_____.小试牛刀1 （24-25高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数．小试牛刀2 (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． （25-26高一上·河北石家庄·期中）若存在，，则实数的最大值为___________．小试牛刀3 【题型8：一元二次方程根的分布问题】 【练方法】 公式结论 设对称轴 1.两根均大于： 2.两根均小于： 3.一根小于一根大于： 4.两根在区间内： 方法技巧 1.统一先令二次项系数为负先乘转化开口向上 2.根分布三类判定条件：判别式、对称轴位置、区间端点函数值符号 3.画函数草图辅助核对条件是否齐全 易错提醒 1.二次项系数不转化直接套用的根分布条件 2.两根存在的题型遗漏有实根前提 3.区间端点函数值不等号写反开口向下向上符号混淆 4.对称轴区间范围边界判断出错 已知方程的两不相等实根小于2，求实数的取值范围_______．经典例题1例题 （25-26高二下·江苏南京·阶段检测）若在上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为___________．小试牛刀1 （25-26高一上·辽宁丹东·期末）方程有两个正实根，则实数的取值范围为_____．小试牛刀2 关于的方程满足下列条件，一个根在内，另一个根在内；求的取值范围．小试牛刀3 【题型9：一元二次不等式的实际应用】 【练方法】 公式结论 1.实际问题变量具备现实意义或取正整数 2.利润、面积、成本模型整理为或求解 方法技巧 1.审题设自变量根据等量关系列出二次函数模型 2.转化为一元二次不等式求解解集 3.结合实际定义域截取有效取值（正数、整数、区间限制） 易错提醒 1.忽略实际变量取值限制保留负数、小数等无意义解 2.建模列式等量关系写错二次项符号颠倒 3.解集求出后不结合题意取舍直接写出完整数学解集 4.单位、取值范围不符合现实场景未修正答案 （25-26高一上·广东·期末）某公司经市场调研发现，若本季度在某材料上追加投入万元，则该材料的销售量可增加吨，每吨的销售价格为万元，另外生产吨该材料还需要投入其他成本万元.经典例题1例题 (1)求出该公司本季度增加的利润（单位:万元）与之间的函数关系式. (2)若要追加的总成本不超过3万元，求的取值范围. (3)当为多少时，该公司在本季度增加的利润最大？最大为多少万元？ （25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）完成下列各题：小试牛刀1 (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ （25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m．其底面为长方形ABCD，其中AD ≥ AB．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．小试牛刀2 (1)若贮水池的总造价不超过312000元，求AD边长的范围； (2)怎样设计贮水池能使总造价最低? 最低总造价是多少? 某地区上年度电价为0.8元/，年用电量为.本年度计划将电价降到0.55元/至0.75元/之间，而用户期望电价为0.4元/.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）.该地区的电力成本为0.3元/.设，为保证电力部门的收益比上年至少增长20%，则电价最低定为（    ）小试牛刀3 A．0.55元/ B．0.6元/ C．0.7元/ D．0.75元/ 课后针对训练 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 2．（24-25高一上·四川宜宾·期中）已知不等式的解集是，若对于任意，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·云南文山·期末）已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·云南昆明·期中）已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高一上·福建厦门·期中）若两个正实数x，y满足，且对任意的，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 6．（25-26高三上·江苏徐州·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东威海·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 8．（24-25高一上·江苏·阶段检测）（多选）已知不等式，下列说法正确的是（ ） A．若，则不等式的解为 B．若不等式对恒成立，则整数的取值集合为 C．若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 D．若恰有一个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是 三、填空题 9．（25-26高一上·山东泰安·期中）关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值集合是_____． 10．（25-26高二下·云南昆明·期中）若不等式的解集为，则不等式的解集为_____________________________． 四、解答题 11．（23-24高一上·江苏镇江·阶段检测）2022 年 2 月 24 日, 俄乌爆发战争，至今战火未熄. 2023 年 10 月 7 日巴以又爆发冲突.与以往战争不同的是，无人机在战场中起到了侦察和情报收集，攻击敌方目标和反侦察等多种功能，扮演了重要的角色. 某无人机企业原有 200 名科技人员， 年人均工资 万元 ，现加大对无人机研发的投入，该企业把原有科技人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 名 且 ，调整后研发人员的年人均工资增加 ，技术人员的年人均工资调整为 万元. (1)若要使调整后研发人员的年总工资不低于调整前 200 名科技人员的年总工资，求调整后的研发人员的人数最少为多少人? (2)为了激励研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在工资方面要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总工资始终不低于技术人员的年总工资; ②技术人员的年人均工资始终不减少. 请问是否存在这样的实数 ，满足以上两个条件，若存在，求出 的范围; 若不存在,说明理由. 12．（24-25高一上·广东广州·期中）如图是一份矩形的宣传单，其排版面积（矩形）为，左右两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白. (1)若，，且该宣传单的面积不超过，则的最大值是多少？ (2)若，，则当长多少时，宣传单的面积最小？最小的面积是多少？ 13．设函数， (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 14．（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知函数． (1)求关于的不等式的解集； (2)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 15．已知函数. (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式. 16．（25-26高二下·江苏常州·期中）设函数，关于的不等式（为常数）的解集为. (1)若，求实数的值； (2)当时， 恒成立，试求的取值范围. 17．（24-25高一上·内蒙古包头·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3) 18．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知． (1)若的解集为，求a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 19．（25-26高二下·宁夏银川·期中）已知关于的不等式． (1)若不等式的解集为，求a，b的值； (2)若，求已知关于的不等式的解集． 20．（25-26高一上·广西贺州·期中）已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $