暑假预习：基本不等式“1”的妙用问题、商式的最值问题、条件等式求最值问题专项训练-2026年初升高暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦基本不等式三大核心应用，通过"问题-典例-变式"三层训练架构，系统培养数学抽象与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本不等式“1”的妙用|6例+6变式|以“已知ax+by=1求分式最值”为主，含多选与填空|从单变量代换到多变量配比，构建常数代换法思维链| |商式的最值问题|4例+4变式|分式结构求最值，涉及函数与不等式综合|通过分式拆分、换元法转化为基本不等式标准型| |条件等式求最值|6例+6变式|含多元变量约束条件，强调等式变形技巧|从二元到三元拓展，训练消元法与配凑法的灵活应用|

暑假预习：基本不等式“1”的妙用问题、商式的最值问题、条件等式求最值问题专项训练 暑假预习：基本不等式“1”的妙用问题、商式的最值问题、条件等式求最值问题专项训练 考点目录 基本不等式“1”的妙用问题 商式的最值问题 条件等式求最值问题 考点一 基本不等式“1”的妙用问题 例1．（25-26高一下·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值. 【详解】由题意，，，， ∴， 当且仅当，即时，代入解得时等号成立 则的最小值为. 例2．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 【答案】C 【详解】因为，因此， 由，，以及基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故. 例3．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测·多选）已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】AB 【分析】根据题意，利用基本不等式，以及“1”的代换，可判定A正确、C错误；B正确；由 ，得到 ，化简得到 ，可判定D不正确. 【详解】因为正数 ，满足 ， 对于A，由 ，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为 ，所以A正确； 对于B，由， 因为 且 ，所以 ， 即，所以，当且仅当 时，等号成立， 所以的最大值为，所以B正确； 对于C，由 ，当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为，所以C错误； 对于D，因为 ，可得 ， 则， 当且仅当时，取得最小值 ，所以D不正确. 例4．（25-26高一下·浙江·阶段检测·多选）已知正实数，满足，则（   ） A． B．的最大值为16 C．的最小值为9 D．的最小值为3 【答案】AC 【分析】根据正数的性质、特值法，结合基本不等式、不等式的性质逐一判断即可. 【详解】因为是正实数， 所以由，所以，故A正确； 当，时，满足，而，故B错误； 由，即，当且仅当时取等号，即当时，的最小值为9，故C正确； 因为为正数， 所以由，由，得，故D错误． 例5．（25-26高一下·广东江门·期中）已知，，且，则的最小值为__________，此时__________. 【答案】 12 【详解】由，，则， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为12，此时. 例6．（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 【答案】 【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得， 令，，则，，， ， 当且仅当，即，时等号成立. 变式1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用已知条件进行常数代换化简所求式，再结合基本不等式求解最小值并验证取等条件． 【详解】因为，，且， 所以，，， 所以， 当且仅当，即，时，等号成立． 变式2．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】， ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 变式3．（25-26高一下·福建福州·阶段检测·多选）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式可判断A选项；由结合二次函数的基本性质可判断B选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可判断D选项. 【详解】因为，，， 对于A选项，由基本不等式可得，即，可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故的最大值为，A正确； 对于B选项，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为，B正确； 对于C选项，， 当且仅当时，即当时，故的最小值为，C正确； 对于D选项， ， 当且仅当，该方程组无解，不符合题意，故等号不成立，D错误. 变式4．（25-26高一下·浙江衢州·期末·多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】利用（为正实数）和基本不等式逐一分析判断各选项即可. 【详解】对于A，由正实数，满足，易得，故A正确； 对于B，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，因为，所以，由B项知，则， 即有最小值为，无最大值，故C错误； 对于D，因为，且为正实数，所以， 当且仅当时，有最小值，故D正确. 变式5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用“”的代换结合基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数满足，所以，所以， ，当且仅当时取等号，即，时，最小值为. 变式6．（2026·湖北荆州·一模）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 【答案】2 【详解】由题可得，所以, 由于,当且仅当，即时取等号， 所以，则的最小值为 考点二 商式的最值问题 例1．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：D. 例2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】由条件可得，可以得到，再根据基本不等式求解即可. 【详解】由条件可得， 所以，所以，所以， 所以，所以， 当且仅当，且，即，，等号成立. 故选：B. 例3．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 【答案】 【分析】将转化为，利用基本不等式求解. 【详解】令， 因为，所以，所以， 当且仅当，即，因为，所以时，等号成立. 例4．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 【答案】 【详解】 ，，当且仅当时取等号， 即函数(）的最大值为． 变式1．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 【答案】A 【分析】化简变形利用基本不等式计算即可． 【详解】易知． 因为，所以，所以， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 故，则的最大值是． 故选：A 变式2．（25-26高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 变式3．（25-26高一上·上海·阶段检测）若对恒有，则的取值范围是_____ 【答案】 【分析】问题化为恒成立，讨论的符号确定代数式的范围，即可得参数范围. 【详解】由， 令，则， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 当时，， 当时，，当且仅当，即时取等号， 若时，，则，此时代数式的范围为， 综上，， 所以对恒有，只需，即. 故答案为： 变式4．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 【答案】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故答案为： 考点三 条件等式求最值问题 例1．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】D 【分析】由得，利用基本不等式逐项验证即可求解. 【详解】由，所以，即， 又，所以，所以，即的取值范围为，故A错误； 由在单调递增，所以，所以无最小值，故B错误； 由， 当时，即时，等号成立，所以的最小值为，故C错误； 由，当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 例2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 【答案】C 【分析】对于ABC：利用基本不等式运算求解即可；对于D：利用乘“1”法结合基本不等式运算求解即可. 【详解】因为正实数满足. 对于选项A：因为，即，解得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为，即，可得， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最大值为，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故D错误. 例3．（25-26高一上·福建厦门·期末·多选）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 【答案】BCD 【分析】对于ABC，由，得，再结合基本不等式逐个判断即可.对于D，结合，,分析整数解即可. 【详解】由，得，又， 所以，即，由得，由,故. 对于A由，令，得，解得， 即，当且仅当时，取等号，A错误； 对于B，，当且仅当时，等号成立，故B正确， 对于C，， 当且仅当时，取等号，故C正确； 对于D，由，,，故当时，；当时，；当时，，不满足整数解； 当时，；当时，，故不满足整数解； 综上，此方程有且仅有3组整数解，分别为，；，；，.故D正确. 故选：BCD 例4．（25-26高一上·广东广州·期末·多选）已知正数，且，满足，则（    ） A．的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，可得，求出的范围判断A；利用基本不等式求出最小值判断BCD. 【详解】对于A，由正数满足，得，所以， 因为，所以，所以，即，所以， 所以的取值范围是，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号， 又，故等号不成立，故，所以的最小值不为2，故B错误； 对于C，由，即， 即，解得， 得，当且仅当时取等号，因此的最小值为，故C正确； 对于D，由，得， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是，故D正确. 故选：ACD. 例5．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本不等式，结合因式分解法进行求解即可； （2）对已知等式进行变形，结合基本不等式进行求解即可； （3）利用换元法，结合基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）因为，为正实数， 所以由，当且仅当时取等号， 因为，为正实数， 所以由 因此当时，有最大值； （2）， 因为，为正实数， 所以， 即，当且仅当时取等号， 所以当时，有最小值； （3）设，即， 所以， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 所以当时，有最小值. 例6．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 【答案】(1)9； (2). 【分析】（1）根据基本不等式“1”的代换，计算即可得答案. （2）根据不等式得，再结合条件得，解出即可得到最大值. 【详解】（1）由，得， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. （2）由基本不等式得，，当且仅当时等号成立， 因为， 所以，当且仅当，再结合a，b，c均为正实数， 即时，等号成立， 解得， 又为正实数，所以， 则b的最大值为. 变式1．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】C 【分析】首先判断的符号，再将待求式变形为可利用基本不等式或其变形的形式，进而求最值. 【详解】因为，所以同号， 又，所以同正. 对于A，由得，故A正确． 对于B，由不等式可得， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确． 对于C， ， 当且仅当，即时等号成立， （或由二维柯西不等式可得，当且仅当时等号成立），故C错误． 对于D， ， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，故D正确. 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 【答案】B 【分析】根据基本不等式及“1”的妙用分别判断各选项即可． 【详解】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A错误； 对于B，， 所以，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，， 当且仅当，即时，等号成立，故C错误； 对于D，因为，所以， 当且仅当时等号成立，故D错误． 变式3．（25-26高一上·福建泉州·期中·多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 变式4．（25-26高一下·山东潍坊·期中·多选）已知a，b，c为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于A，直接用基本不等式即可判断；对于B，将其变形为，利用基本不等式化成关于的一元二次不等式求解判断；对于C，将其变形为，利用基本不等式计算判断；对于D，利用将化成，两次应用基本不等式计算判断. 【详解】对于A，因，则，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，由，且，为正实数，可得， 即，解得，取平方得， 当且仅当，即，时取等号，故B错误； 对于C，由，且，为正实数，则得， 则， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，由C可得， 则， 又因为， 当且仅当，且时，即时取等号，故D正确. 变式5．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知，均为正数，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由条件等式通分结合基本不等式即可求解； （2）由基本不等式常数“1”的等价代换法即可计算求解； （3）由重要不等式结合（1）即可计算求解. 【详解】（1）因为，均为正数，， 所以即，当且仅当时等号成立， 所以，即的最小值为； （2）由题可得，当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为； （3）由（1）可得，当且仅当时等号成立， 所以的最小值. 变式6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 【答案】(1)8 (2)8 (3)． 【分析】（1）利用基本不等式得到，再采取换元法令解出的范围，从而得到的最大值。 （2）由题得到，则再化简使用基本不等式求解即可. （3）直接使用基本不等式得到，再结合求得，取得最小值． 【详解】（1）因为，，，当且仅当时取等号， 令，则，， 化为，所以，故， 当且仅当即时取等号，所以的最大值为8． （2）由得，， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值8； （3），，， ， 当且仅当，即时取等号， 此时取得最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：基本不等式“1”的妙用问题、商式的最值问题、条件等式求最值问题专项训练 暑假预习：基本不等式“1”的妙用问题、商式的最值问题、条件等式求最值问题专项训练 考点目录 基本不等式“1”的妙用问题 商式的最值问题 条件等式求最值问题 考点一 基本不等式“1”的妙用问题 例1．（25-26高一下·广西贵港·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·广西崇左·期末）已知正数，满足，则的最小值为（    ） A．28 B．30 C．32 D．34 例3．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测·多选）已知正数 ，满足 ，则（   ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 例4．（25-26高一下·浙江·阶段检测·多选）已知正实数，满足，则（   ） A． B．的最大值为16 C．的最小值为9 D．的最小值为3 例5．（25-26高一下·广东江门·期中）已知，，且，则的最小值为__________，此时__________. 例6．（25-26高一上·上海·期中）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 变式1．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知，，且，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一下·贵州毕节·期末）若，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 变式3．（25-26高一下·福建福州·阶段检测·多选）已知，，，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为 变式4．（25-26高一下·浙江衢州·期末·多选）若正实数，满足，则下列说法正确的是（      ） A． B．有最大值 C．有最大值 D．有最小值 变式5．（25-26高一下·重庆·阶段检测）已知正实数满足，则的最小值为__________． 变式6．（2026·湖北荆州·一模）已知均为非负数，且，则的最小值为______. 考点二 商式的最值问题 例1．（25-26高一上·河北承德·期末）已知，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例2．（25-26高一上·江苏扬州·期中）若正实数x，y，z满足，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 例3．（25-26高一下·山西长治·期末）若，则的最大值是______． 例4．（25-26高二下·北京·阶段检测）函数(）的最大值为______． 变式1．（25-26高一上·江西·阶段检测）已知，则的最大值是（    ）． A． B． C．5 D．8 变式2．（25-26高一下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·上海·阶段检测）若对恒有，则的取值范围是_____ 变式4．（25-26高三上·福建·阶段检测）已知且，则的最大值为____． 考点三 条件等式求最值问题 例1．（25-26高二下·福建三明·期中）已知正数a，b，且，满足，则（     ） A．a的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最大值为 D．的最小值为 例2．（25-26高一上·江苏南通·阶段检测）设正实数满足，则（ ） A．的最大值是 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值是 例3．（25-26高一上·福建厦门·期末·多选）已知，且，则下列结论正确的有（    ） A．ab的最小值是 B．的最小值为8 C．的最小值为2 D．此方程有且仅有3组整数解 例4．（25-26高一上·广东广州·期末·多选）已知正数，且，满足，则（    ） A．的取值范围是 B．的最小值为2 C．的最小值为 D．的最小值 例5．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知，为正实数，且， (1)求的最大值. (2)求的最小值； (3)求的最小值. 例6．（25-26高一下·广东江门·阶段检测）设a，b，c均为正实数，且． (1)求的最小值； (2)若，求b的最大值． 变式1．（25-26高一上·上海·期中）若实数满足，，则下列结论中错误的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最小值为 变式2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（   ） A．有最大值 B．有最大值 C．有最大值4 D．有最小值 变式3．（25-26高一上·福建泉州·期中·多选）已知实数满足，则（ ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一下·山东潍坊·期中·多选）已知a，b，c为正实数，且，则（    ） A．的最小值为8 B．的最大值为 C．的最小值为5 D．的最小值为 变式5．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）已知，均为正数，. (1)求的最小值； (2)求的最小值； (3)求的最小值. 变式6．（25-26高一上·福建厦门·阶段检测）已知为正实数，且， (1)求的最大值． (2)求的最小值； (3)求的最小值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $