暑假预习：不等式的性质5种高频考点专项训练-2026年初升高暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦不等式性质五大高频考点，通过阶梯式题型设计构建从现实情境表征到逻辑推理应用的完整知识链，培养数学眼光与思维。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |用不等式表示不等关系|3例+3变式|实际情境（平流层高度、行程、利润）转化|从具体问题抽象不等关系，奠定数学表达基础| |由性质比较大小|3例+4变式|命题判断与条件关系分析|性质直接应用，强化逻辑推理意识| |作差/商法比较|3例+3变式|代数式大小比较（含指数式）|通过代数变形深化比较方法，培养运算能力| |性质证明不等式|2例+3变式|多条件综合证明|性质综合应用，构建逻辑论证体系| |求取值范围|6例+6变式|多变量范围限定（含多选）|性质逆向应用，提升数学思维严谨性|

暑假预习：不等式的性质5种高频考点专项训练 暑假预习：不等式的性质5种高频考点专项训练 考点目录 用不等式表示不等关系 由不等式的性质比较数（式）的大小 用作差法或作商法比较代数式的大小 由不等式的性质证明不等式 利用不等式求取值范围 考点一 用不等式表示不等关系 例1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求解每个选项中的绝对值不等式对照题意判断即可. 【详解】对于A：由，得，解得，不满足题意，故A不正确； 对于B：由，得，解得，不满足题意，故B不正确； 对于C：由，得，解得，不满足题意，故C不正确； 对于D：由，得，解得，满足题意，故D正确. 故选：D. 例2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意计算每段耗时，相加即可求解. 【详解】由题意汽车所用时间加上动车所用时间小于1小时， 即． 故选：D． 例3．（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意建立不等式模型即可. 【详解】“利润率降低”意味着原来的利润率大于新的利润率，故. 故选：A. 变式1．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设写出方案二n年后的总投资额，再由不等式的描述写出不等关系即可. 【详解】由题意，经过n年后，方案二的总投资为万元， 则“经过n年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的不等式表示为. 故选：B 变式2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合矩形面积公式与不等式定义即可得. 【详解】， 故表示“该矩形的面积不小于20”的是. 故选：B. 变式3．（24-25高一上·河南·阶段检测）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列出不等关系即可. 【详解】由题意得. 故选：D 考点二 由不等式的性质比较数（式）的大小 例1．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质逐一验证即可求解. 【详解】对于A，由，所以，故A错误； 对于B，由，所以，，所以，故B错误； 对于C，若，由，所以，故C错误； 对于D，若，则，故D正确. 例2．（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又因为所以， 故A错误； 因为，所以， 故B错误； 因为，由糖水不等式得，故C正确； 因为，所以，因此，又因为，所以，故D错误.故选C 例3．（25-26高二下·江西九江·期末·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】应用作差法比较大小判断A，由对应函数的单调性判断BC，应用特殊值法，举反例判断D. 【详解】对于A，. 由，得，，故，故A正确； 对于B，由及函数在区间上单调递增，得，故B正确； 对于C，由及函数在区间上单调递减，得，故C正确； 对于D，取，，则，，故D错误. 变式1．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】C 【详解】由， 因为，所以，， 所以，即. 变式2．（25-26高二下·天津河西·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用作差法根据不等式性质即可得充分性成立，取特殊值可知必要性不成立，可得出结论. 【详解】若，则，， 所以，即充分性成立， 令，则，，满足关系，但， 即必要性不成立； 故“”是“”的充分不必要条件. 变式3．（25-26高二下·河南南阳·期末·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，则得，故A正确； 对于B，若取，满足， 此时，不满足，故B错误； 对于C，由题意得，因为， 所以，故C正确； 对于D，由题意得，因为，所以， 则，故D正确. 变式4．（25-26高一下·山东潍坊·期中·多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BCD 【分析】根据不等式的性质，可通过特殊值法、作差法逐一验证选项的正确性. 【详解】对于选项A，取，满足，但，故选项A不正确； 对于选项B，因为，，所以，故选项B正确； 对于选项C，因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确； 对于选项D，当，时，，故选项D正确. 考点三 用作差法或作商法比较代数式的大小 例1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】利用作差法可判断. 【详解】 因为，， 所以，. 所以，得，即. 例2．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 例3．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为 ， 所以. 故答案为： 变式1．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空） 【答案】 > > 【分析】利用作差法得到结论. 【详解】， ∴， ， ∴， 故答案为：>，>. 变式2．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________． 【答案】a<b 【分析】先求出，再证明，即得解. 【详解】， ∵，∴ ∵1816>0,1618>0，∴1816<1618， 即a<b. 故答案为：a<b 变式3．（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 【答案】 【分析】利用作差法可得出、的大小关系. 【详解】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 考点四 由不等式的性质证明不等式 例1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 例2．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 变式1．（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【分析】（1）对平方比较即可； （2）作差得，再根据，得到，即可证明． 【详解】（1），且，所以且，即； （2）， 因为，所以，，即， 所以，即． 变式2．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（1）已知，，，求证： （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质可证结论；（2）利用韦达定理和判别式的符号可证结论. 【详解】（1）因为，所以，因为，所以， 所以，因为，所以. （2）充分性：因为， 所以方程的判别式，且， 所以方程有两个同号且不相等的实根． 必要性：若方程有两个同号且不相等的实根， 则有，解得. 综上，方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是. 变式3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）经过适当变形，结合不等式的性质即可求解； （2）由作差法比较大小即可. 【详解】（1），， ， 所以， （2）证明：因为，则， 又因为，所以 所以，. 考点五 利用不等式求取值范围 例1．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 例2．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 例3．（25-26高三上·云南楚雄·期中·多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项分析判断. 【详解】对于A，由，得，而，则，A错误； 对于B，由，得，而，则，B正确； 对于C，由，得，而，则，C错误； 对于D，由，得；由，得，则， 因此，即，D正确. 故选：BD 例4．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】直接根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以，， 所以，，即A正确，B错误； 所以，，即C错误，D正确； 故选：AD. 例5．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 例6．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质求解即可. 【详解】由于， 则，所以, 即, 则的取值范围为; 故答案为： 变式1．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 变式2．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 【详解】原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 变式3．（25-26高一上·四川成都·期中·多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用不等式的性质即可判断. 【详解】对于A， ，即 ，故A正确； 对于B，由 ，得 ， 所以，即 ，故B正确； 对于C，当 时，得 ， 所以 ，即 ， 所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故C错误； 对于D，当 时，得 ，所以 ， 即 ，所以 ；当 时， ； 当 时，得 ，所以 . 综上可得， ，故D正确. 变式4．（25-26高一上·湖南湘西·期末·多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式性质计算判断A，B，特殊值法判断C，D. 【详解】因为，，则， 则，，A选项正确，B选项正确； 当时，，C选项错误； 当时，，D选项错误； 故选：AB. 变式5．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 【答案】 【分析】先根据的范围求出的范围，再与的范围相加，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即的取值范围为． 故答案为： 变式6．（25-26高一上·广西北海·期末）若实数，满足，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出的范围，然后结合不等式的性质进行计算. 【详解】由于，则； 由于，则， 两式相加，则. 故答案为： 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：不等式的性质5种高频考点专项训练 暑假预习：不等式的性质5种高频考点专项训练 考点目录 用不等式表示不等关系 由不等式的性质比较数（式）的大小 用作差法或作商法比较代数式的大小 由不等式的性质证明不等式 利用不等式求取值范围 考点一 用不等式表示不等关系 例1．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）平流层是地球大气层的第2层，位于对流层之上，特点是空气以水平流动为主，大气稳定且几乎无云雨，是飞机平稳飞行的理想区域．某地平流层是地球表面以上10km（不含）到50km（不含）的区域，下述不等式中能表示平流层高度的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·安徽合肥·期中）某人元旦回家共，准备先坐动车再转汽车，从动车转汽车耗时10min，转汽车时离家还有，已知动车的平均速度为，汽车平均速度为，若从坐动车开始能在1小时内到家，则应该满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·湖南娄底·期中）用表示某产品销售的利润，表示该产品生产的成本，其中销售利润大于生产成本，将称作该商品的成本利润率，通过对该产品进行优化，该产品利润与成本同时增加时，成本利润率却有所降低.基于该事实，可以列出的不等式为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高一上·河北保定·阶段检测）某投资方对某项目提出两个投资方案：方案一为一次性投资1000万元；方案二为第一年投资200万元，以后每年投资30万元．下列不等式表示“经过年后，方案一的总投资不多于方案二的总投资”的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知某矩形的周长为24，且其中一条边长为，则下列不等式表示“该矩形的面积不小于20”的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·河南·阶段检测）在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 考点二 由不等式的性质比较数（式）的大小 例1．（25-26高二下·广西柳州·期末）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2．（25-26高一上·福建泉州·期中）如果，那么下列式子中正确的是（ ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·江西九江·期末·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式1．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知，记，，则（   ） A． B． C． D．以上都有可能 变式2．（25-26高二下·天津河西·期末）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式3．（25-26高二下·河南南阳·期末·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一下·山东潍坊·期中·多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 考点三 用作差法或作商法比较代数式的大小 例1．（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，，记，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 例2．（25-26高一上·北京·阶段检测）设，，则_______（填入“＞”或“＜”）． 例3．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）若，，则与的大小关系为______ 变式1．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）若x为任意实数，____；____（用“＞”或“＜”填空） 变式2．（25-26高一上·福建福州·阶段检测）若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________． 变式3．（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为______． 考点四 由不等式的性质证明不等式 例1．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，. (1)求证：； (2)求证：. 例2．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 变式1．（25-26高一上·黑龙江辽宁·阶段检测）（1）已知 ，求证：； （2）已知，求证： ． 变式2．（25-26高一上·四川广安·阶段检测）（1）已知，，，求证： （2）求证：方程有两个同号且不相等的实根的充要条件是． 变式3．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（1）比较与的大小； （2）已知均为正实数，且，求证：； 考点五 利用不等式求取值范围 例1．（24-25高一上·广西河池·期中）已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一下·四川成都·期中）若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 例3．（25-26高三上·云南楚雄·期中·多选）已知，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 例4．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测·多选）已知，则（   ） A． B． C． D． 例5．（25-26高一下·山东德州·阶段检测）已知，则的取值范围为______ 例6．（25-26高一上·广东汕尾·期末）已知，则的取值范围为___________． 变式1．（25-26高一下·河南商丘·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三下·山西·阶段检测）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一上·四川成都·期中·多选）已知实数a，b满足，，下面说法正确的有（     ） A． B． C． D． 变式4．（25-26高一上·湖南湘西·期末·多选）已知，，则（    ） A． B． C． D． 变式5．（25-26高二上·云南昭通·期末）已知，则的取值范围是___________ 变式6．（25-26高一上·广西北海·期末）若实数，满足，，则的取值范围是________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $