暑假预习：集合的定义、集合的表示、元素与集合的关系、已知元素与集合的关系求参数 专项训练-2026年初升高暑假数学（人教A版）

**基本信息** 聚焦集合基础概念与应用，构建从定义到表示、关系再到参数求解的递进训练体系，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |集合的定义|4例+4变式|判断对象能否构成集合，考查确定性|概念生成基础，区分集合与非集合| |集合的表示|3例+3变式|列举法与描述法表示数集、点集|定义的表达延伸，连接概念与符号| |元素与集合的关系|3例+3变式|判断元素是否属于集合，计数元素个数|表示的直接应用，强化 membership 关系| |已知元素与集合的关系求参数|3例+3变式|据元素所属列方程求参数，含互异性检验|关系的深化拓展，渗透方程思想与逻辑推理|

暑假预习：集合的定义、集合的表示、元素与集合的关系、已知元素与集合的关系求参数专项训练 暑假预习：集合的定义、集合的表示、元素与集合的关系、已知元素与集合的关系求参数专项训练 考点目录 集合的定义 集合的表示 元素与集合的关系 已知元素与集合的关系求参数 考点一 集合的定义 例1．（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 例2．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 例3．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测·多选）下面能组成一个集合的是（    ） A．炳辉中学高一年级聪明的学生 B．较小的实数 C．所有的偶数 D．地球上的四大洋 例4．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测·多选）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．方程的根 变式1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 变式2．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 变式3．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测·多选）给出下列说法，其中正确的有（    ） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 变式4．（24-25高一上·江西·阶段检测·多选）下列各组对象能构成集合的有（   ） A．南昌大学2024级大一新生 B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C．体型庞大的海洋生物 D．唐宋八大家 考点二 集合的表示 例1．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 例2．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 例3．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 变式1．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)由方程的所有实数根组成的集合； (2)不等式的解集. 变式2．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 变式3．（25-26高一上·吉林·阶段检测）选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 考点三 元素与集合的关系 例1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 例2．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）2023___________．（填“”或“”） 变式1．（2026·河北邯郸·三模）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 变式2．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若集合是16和24的公约数，则8______． 考点四 已知元素与集合的关系求参数 例1．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 例2．（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 例3．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 变式1．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 变式2．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 变式3．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：集合的定义、集合的表示、元素与集合的关系、已知元素与集合的关系求参数专项训练 暑假预习：集合的定义、集合的表示、元素与集合的关系、已知元素与集合的关系求参数专项训练 考点目录 集合的定义 集合的表示 元素与集合的关系 已知元素与集合的关系求参数 考点一 集合的定义 例1．（24-25高一上·广西河池·期中）下列给出的对象中，能组成集合的是（   ） A．与给定A，B等距离的点 B．比较小的数 C．的近似值 D．3班的高个子同学 【答案】A 【详解】对于A，描述的对象“与给定A，B等距离的点”确定，是线段的垂直平分线，故A中的对象能构成集合； 对于B，描述的对象“比较小的数”中，“比较小”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故B中的对象不能构成集合； 对于C，描述的对象“的近似值”中，“近似值”没有给出精确度，该对象不具有确定性，故C中的对象不能构成集合； 对于D，描述的对象“3班的高个子同学”中，“高个子”没有明确的界定标准，该对象不具有确定性，故D中的对象不能构成集合. 例2．（25-26高一上·山东济南·期中）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．班级里成绩好的同学 B．校园里漂亮的花朵 C．小于5的正整数 D．喜欢运动的人 【答案】C 【分析】利用集合元素的确定性，逐项判断可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，“成绩好”没有具体的标准，所以班级里成绩好的同学是不确定的， 故班级里成绩好的同学不能构成集合，故A不符合题意； 对于B，“漂亮的花朵”没有具体的标准，所以校园里漂亮的花朵是不确定的， 所以校园里漂亮的花朵不能构成集合，故B不符合题意； 对于C，小于5的正整数是确定的，故小于5的正整数能构成集合，故C符合题意； 对于D，“喜欢运动”没有明确的标准，所以喜欢运动的人是不确定的， 故喜欢运动的人不能构成集合，故D不符合题意。 故选：C. 例3．（25-26高一上·安徽滁州·阶段检测·多选）下面能组成一个集合的是（    ） A．炳辉中学高一年级聪明的学生 B．较小的实数 C．所有的偶数 D．地球上的四大洋 【答案】CD 【分析】根据集合的概念分析判断. 【详解】炳辉中学高一年级聪明的学生，较小的实数，所指元素都不满足集合元素的确定性，故AB错误； 所有的偶数，地球上的四大洋所指元素明确，故CD正确． 故选：CD 例4．（25-26高一上·江苏镇江·阶段检测·多选）考察下列每组对象，能构成集合的是（    ） A．中国各地的美丽乡村 B．直角坐标系中横、纵坐标相等的点 C．不小于3的自然数 D．方程的根 【答案】BCD 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】对于A，美丽乡村不具有确定性，错误， 对于B，直角坐标系中横、纵坐标相等的点，是确定的，正确， 对于C，不小于3的自然数，是确定的，正确， 对于D，解方程， 平方可得：， 移项平方可得：，即，元素确定，正确， 故选：BCD 变式1．（25-26高一上·重庆·阶段检测）下列各组对象中，能构成集合的是（   ） A．2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题 B．重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生 C．人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题 D．美丽的小鸟 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项分析即可得结论. 【详解】对于A，“难题”是不确定的概念，所以“2025年重庆市高考数学全国II卷中的难题”不能构成集合，故A不符合； 对于B，“身高较高”不确定的概念，所以“重庆市某高级中学高一年级身高较高的学生”不能构成集合，故B不符合； 对于C，“人教A版《数学》必修第一册课本中的所有习题”能确定元素是否在给定的整体里面，所以这个整体能够构成集合，故C符合； 对于D，“美丽的”是不确定的概念，所以“美丽的小鸟”不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 变式2．（25-26高一上·天津和平·阶段检测）下列各组对象不能构成集合的是（   ） A．所有的正方形 B．方程的整数解 C．我国较长的河流 D．出席十九届四中全会的全体中央委员 【答案】C 【分析】根据集合元素的特性，判断每个选项，即可得答案. 【详解】对于A，所有的正方形，对象是明确的，元素具有确定性，可以构成集合，A不符合题意； 对于B，方程一旦给定，它的解的情况是确定的，若方程有整数解， 具有确定性，能构成集合；若方程无整数解，将为空集，B不符合题意； 对于C，我国较长的河流，对象不明确，元素不确定，故不能构成集合，C符合题意； 对于D，出席十九届四中全会的全体中央委员是确定的，对象明确，元素具有确定性， 能构成集合，D不符合题意； 故选：C 变式3．（25-26高二上·吉林白城·阶段检测·多选）给出下列说法，其中正确的有（    ） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 【答案】AC 【分析】由集合元素的确定性逐个判断即可. 【详解】A，C中的元素具备确定性，可以构成集合，A，C正确. B中高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误. D中的元素具备确定性能构成集合，D错误. 故选：AC 变式4．（24-25高一上·江西·阶段检测·多选）下列各组对象能构成集合的有（   ） A．南昌大学2024级大一新生 B．我国第一位获得奥运会金牌的运动员 C．体型庞大的海洋生物 D．唐宋八大家 【答案】ABD 【分析】根据集合的定义逐个分析判断即可. 【详解】对于A，因为南昌大学2024级大一新生是确定的，所以能构成集合，所以A正确， 对于B，因为我国第一位获得奥运会金牌的运动员是确定的，所以能构成集合，所以B正确， 对于C，因为体型庞大的海洋生物没有明确的标准，没有确定性，所以不能构成集合，所以C错误， 对于D，因为唐宋八大家是确定的，所以能构成集合，所以D正确. 故选：ABD 考点二 集合的表示 例1．（25-26高一上·安徽六安·阶段检测）用描述法表示下列集合： (1)被5除余3的正整数组成的集合； (2)正偶数组成的集合； (3)函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用描述法来表示集合； （2）利用描述法来表示集合； （3）利用描述法来表示集合； 【详解】（1）被5除余3的正整数组成的集合是. （2）正偶数组成的集合是. （3）函数的图象上所有的点组成的集合是. 例2．（25-26高一上·安徽·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)大于且小于10的偶数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)被3除余2的正整数组成的集合； (4)将抛物线沿轴向下平移一个单位长度后得到的抛物线上所有点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据集合中元素的特点及个数分别选择用列举法、描述法表示即可. 【详解】（1）列举法表示为：； （2）由可得，， 列举法表示： （3）描述法表示为： （4）描述法表示为： 例3．（25-26高一上·河北邯郸·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于且小于的所有整数组成的集合； (3)所有能被整除且大于的整数组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）解方程，再用列举法写出集合即可； （2）根据题意大于且小于的整数为，，，，，再用列举法写出集合即可； （3）根据题意用描述法表示集合即可． 【详解】（1）解方程得或，故集合为； （2）大于且小于的整数为，，，，，故集合为； （3）能被整除且大于的整数可表示为， 故集合为． 变式1．（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）用适当的方法表示下列集合： (1)由方程的所有实数根组成的集合； (2)不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解出方程的根，再利用列举法表示即可； （2）先解不等式，再利用描述法表示即可. 【详解】（1）由，解得， 则该方程所有实数根组成的集合为. （2）由，解得， 则不等式的解集为. 变式2．（25-26高一上·河南信阳·开学考试）用适当的方法表示下列集合： (1)大于0且不超过6的全体偶数组成的集合； (2)被3除余1的所有自然数组成的集合； (3)平面直角坐标系上第二象限的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据表述集合用列举法即可表示； （2）根据表述集合用描述法即可表示； （3）根据表述集合用描述法即可表示. 【详解】（1）用列举法：. （2）用描述法：. （3）用描述法：. 变式3．（25-26高一上·吉林·阶段检测）选择适当方法表示下列集合： (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)二次函数的图象上所有的点组成的集合． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可． 【详解】（1）利用列举法表示集合； （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合． 考点三 元素与集合的关系 例1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 例2．（2026·河南·模拟预测）已知集合，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，时的情况判断AC；分别令，求解对应的，并结合判断BD. 【详解】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，令，解得，故，即B错误； 对于C选项，当时，，故C正确； 对于D选项，令，解得，故，即D 错误； 例3．（25-26高一上·北京海淀·阶段检测）2023___________．（填“”或“”） 【答案】 【分析】令，求出的值，即可判断. 【详解】令，解得， 则. 故答案为：. 变式1．（2026·河北邯郸·三模）已知集合，则集合的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】集合，共有4个元素，故选B. 变式2．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求解不等式的解集，再判断即可. 【详解】由题意得，，故A选项正确，BCD错误. 变式3．（24-25高一上·内蒙古呼和浩特·期中）若集合是16和24的公约数，则8______． 【答案】 【详解】根据集合对元素的描述，用列举法写出集合，即可得结果. 【分析】根据题意求得集合，即可得结果. 因为是16和24的公约数，所以． 故答案为：. 考点四 已知元素与集合的关系求参数 例1．（25-26高二下·重庆·期中）已知集合，且，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】由直接分两种情况：或，可得所求值，再验证集合中的元素是否有重复，进而可得所求值. 【详解】因为集合，且， 当时，即，解得或， 若时，，，集合的元素出现重复，故舍去； 若时，，符合题意. 当时，，此时，集合的元素出现重复，故舍去. 综上所述，. 例2．（25-26高一上·河南商丘·期末）已知，则实数的值是（   ） A． B．1 C．0 D．或1 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系，及集合元素的互异性即可求出的值. 【详解】由题意可知或，解得或． 当时，集合为，符合题意； 当时，，不满足集合中元素的互异性 所以． 故选：A． 例3．（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知集合，若，则________ 【答案】 【分析】分、两种情况讨论，结合集合的互异性可得. 【详解】若，则，此时，集合不满足互异性； 若，则或（舍）， 当时，，符合题意， 综上， 故答案为： 变式1．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【分析】分和讨论即可. 【详解】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 变式2．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）已知，则的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】根据元素与集合、集合元素的互异性可得出关于实数的等式或不等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则或或， 解得或. 故选：B. 变式3．（25-26高三上·山西吕梁·期末）已知集合，，则__________． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系可得出关于的等式，利用集合元素满足互异性可得出实数的值. 【详解】因为，所以或，即或， 由集合的互异性知且且，即且，所以． 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $