专项训练04 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问题（巩固培优）新九年级数学新教材人教版

**基本信息** 聚焦二次函数中三角形存在性问题，构建“几何分类-代数量化-检验修正”的系统性方法体系，强化抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形存在性|2题|“两圆一线”分类（PA=PB/AP=AB/BP=BA）+设参列距离公式平方形式|从几何直观分类到代数方程求解，结合三点不共线检验| |直角三角形存在性|2题|“两垂一圆”分类（∠A/∠B/∠P为直角）+勾股定理列方程|几何定位（垂线、圆）与代数计算结合，强调解的合理性| |等腰直角三角形存在性|3题|综合等腰与直角判定方法，融合几何性质与代数运算|前两模块方法的综合应用，提升模型意识与问题解决能力|

耐学科网·上好课 www.zxxk.com 专项训练04二次函数中的等腰三角形、直角三 知识复盘卡 【知识点1二次函数中的等腰三角形存在性问题】 1.分类原则：按”谁做顶角顶点”分三类 -若已知两点A、B,动点P在抛物线上，则分三种情况讨论： -①PA=PB:P在AB的垂直平分线上： -②AP=AB:以A为圆心、AB为半径的圆上： -③BP=BA:以B为圆心、AB为半径的圆上。 -这即为”两圆一线”法，能直观判断存在性个数。 2.核心解法：设参列距离公式 > 设动点坐标P(,at+bt+c); -用两点间距离公式（平方形式）表示三条边： PA=(t-xA2+yp-ya)2,PB2=(t-xB)2+yp-)2,AB2为定值 -分别令A2=PB2、A?=AB2、PB2=AB2,解方程即可。 3.检验剔除：三点不共线且不重合 -所求得的P必须满足： -不与A或B重合（否则退化为线段）； -A、B、P不共线（否则构不成三角形）： -多解时注意分类讨论的边界条件（如圆与抛物线相切时只有唯一解）。 【知识点2二次函数中的直角三角形存在性问题】 1,分类标准：按直角顶点分类（三足鼎立） 已知两点A、B,找动点P构成直角△ABP,分三类讨论： -①∠A=90°：过点A作AB的垂线，P在该垂线上： -②∠B=90°：过点B作AB的垂线，P在该垂线上； -③∠P=90°：以AB为直径作圆，P在圆上（直径所对圆周角为90°)。 1/8 上好每一堂课 角形存在性问题 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 >口诀：两垂一圆，三类讨论，不重不漏。 2.解题方法：代数法（万能通法） 设动点坐标P(,at+bt4C),用两点间距离公式表示三边平方： -dea?=(t-xa)2+(vp-ya)2 -ds2=(t-xB)2+yp-)2 -d4B2=(代4-xB)2+yA-yB)2（定值) 然后利用勾股定理分三类列方程： -d42+ds2=dB2（∠A=90) -d82+d4s2=d42(∠B=90°) -d42+ds2=das2(∠P=90) 解方程求t,注意剔除P与A或B重合的点。 3.几何法：两垂一圆（快速定位） -两垂：分别过A、B作AB的垂线，与抛物线交点即为P。 -一圆：以AB为直径作圆，与抛物线交点即为P。 -适用场景：快速判断存在性个数或画草图，最终求坐标仍推荐代数法（计算更精确）。 培优拓展训练 ★巩固提升练 【题型1二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题】 1.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴相交于点A(L,0)和点B(3,0),与y轴相交于点C. OA八 B衣 (I)求二次函数的表达式和线段BC的长： (2)在抛物线对称轴上找一点P,使△PBC为等腰三角形？直接写出点P的坐标， 2/8 耐学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.如图，抛物线y=axr2-2x+c(a、c为常数，a≠0)与x轴交于点A(-3,0),B(l,0)两点，与y轴交于点 (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点，连接AP、CP,若△ACP是以AC为底边的等腰三角形，求点P的坐标. 【题型2二次函数中的直角三角形存在性问题】 3.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-3,0),B(L,0),C(0,-3) A B (1)求抛物线的解析式： (2)设点P为对称轴上的一点，若使PB+PC最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D,DE⊥x轴于点E,在y轴上是否存在点M使得△ADM是直角三角形？若存在，请 直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由 4.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2ac-3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交 于点C,该抛物线过点（-2，-3)」 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (1)求该抛物线的解析式及点A、点B的坐标： (2)如图1，连接AC,抛物线的对称轴上是否存在点M,使△ACM是直角三角形？若存在，求出M的坐标： 若不存在，请说明理由. 【题型3二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题】 5.如图，将抛物线y=x2向右平移a(a>0)个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为A,与y轴交于点B, 且△AOB为等腰直角三角形. B (1)求a的值： (2)在新抛物线上是否存在一点C,使△ABC为等腰直角三角形？若存在，请求出点C的坐标；若不存在， 请说明理由， 6.如图，抛物线y=ar+br+c与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点，与y轴交于点C(0,-6),连接BC.若点 P在线段BC上运动（点P不与点BC重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴于点F.设 点P的横坐标为m, 4/8 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 备用图 (1)求抛物线的函数表达式. (2)若PF=3PE,求m的值 (3)在点P的运动过程中，是否存在m使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存 在请说明理由， ★能力培优练 1.如图，己知抛物线y=-x2+bx+c的图像与x轴相交于A(-3,0)、B(1,0)两点，顶点为C,对称轴与x 轴交于点M,点D在线段CM上（不与C、M重合），过点D作x轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于 点E. E D A MOB (1)求抛物线的解析式及顶点C的坐标； (2)若△CEM是以CM为底的等腰三角形，直接写出点E的坐标. 2.如图，抛物线y=ax+br+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,AB=4.抛物线的对称轴x=3 与经过点A的直线y=k-1交于点D,与x轴交于点E 5/8 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 B (1)求抛物线的表达式： (2)若在抛物线上存在点M,使得△ADM,是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标 3.综合与探究 如图，抛物线y=x2-3x-4与x轴交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C,连接BC.若 点P在线段BC上运动（点P不与点B,C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴于点 F.设点P的横坐标为L. y 备用图 (I)求点A,B,C的坐标，并直接写出直线BC的函数解析式， (2)在点P的运动过程中，是否存在使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不 存在，请说明理由 ★7创新拓展练 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x+br+C的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧， B点的坐标为(3,0)，与y轴交于C(0,-3)点. 618 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求这个二次函数的表达式： (2)在直线BC上找一点Q,使得△QOC为等腰三角形，写出O点坐标. 2.如图，抛物线y=x+bx+C与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,作直线BC,其中点A(-l,O) 点C(0,-4) 0 (1)求该抛物线的解析式： (2)若点P在线段BC上运动（点P不与点B,C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E,交x轴于 点F,是否存在点P使得△CPE为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由， 3.如图，抛物线y=x2+br+C与直线y=-x-1相交于A(-1,O),B(4,m)两点，抛物线与x轴的另一个交点是 点C O D (1)求抛物线的解析式. (2)点P是抛物线上的一个动点（不与A,B重合），过点P作PD⊥x轴于点D,交直线AB于点E,连接 BC,EC,是否存在点P,使△BEC为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由. 7/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8/8 专项训练04 二次函数中的等腰三角形、直角三角形存在性问题 【知识点1 二次函数中的等腰三角形存在性问题】 1. 分类原则：按"谁做顶角顶点"分三类 - 若已知两点A、B，动点P在抛物线上，则分三种情况讨论： - ① PA = PB：P在AB的垂直平分线上； - ② AP = AB：以A为圆心、AB为半径的圆上； - ③ BP = BA：以B为圆心、AB为半径的圆上。 - 这即为"两圆一线"法，能直观判断存在性个数。 2. 核心解法：设参列距离公式 - 设动点坐标P(t, at2+bt+c) ； - 用两点间距离公式（平方形式）表示三条边： PA2=(t-xA)2+(yP-yA)2,PB2=(t-xB)2+(yP-yB)2,AB2为定值 - 分别令PA2=PB2、PA2=AB2、PB2=AB2，解方程即可。 3. 检验剔除：三点不共线且不重合 - 所求得的P必须满足： - 不与A或B重合（否则退化为线段）； - A、B、P不共线（否则构不成三角形）； - 多解时注意分类讨论的边界条件（如圆与抛物线相切时只有唯一解）。 【知识点2 二次函数中的直角三角形存在性问题】 1. 分类标准：按直角顶点分类（三足鼎立） 已知两点A、B，找动点P构成直角△ABP，分三类讨论： - ①∠A = 90°：过点A作AB的垂线，P在该垂线上； - ②∠B = 90°：过点B作AB的垂线，P在该垂线上； - ③∠P = 90°：以 AB 为直径作圆，P在圆上（直径所对圆周角为90°）。 > 口诀：两垂一圆，三类讨论，不重不漏。 2. 解题方法：代数法（万能通法） 设动点坐标P(t, at2+bt+c)，用两点间距离公式表示三边平方： - dPA2 = (t-xA)2 + (yP-yA)2 - dPB2 = (t-xB)2+ (yP-yB)2 - dAB2 = (xA-xB)2 + (yA-yB)2 （定值） 然后利用勾股定理分三类列方程： - dPA2+ dAB2= dPB2 （∠A = 90°） - dPB2 + dAB2= dPA2 （∠B = 90°） - dPA2 + dPB2 = dAB2 （∠P = 90°） 解方程求t，注意剔除P与A或B重合的点。 3. 几何法：两垂一圆（快速定位） - 两垂：分别过A、B作AB的垂线，与抛物线交点即为P。 - 一圆：以AB为直径作圆，与抛物线交点即为P。 - 适用场景：快速判断存在性个数或画草图，最终求坐标仍推荐代数法（计算更精确）。 【题型1 二次函数的综合题专训之等腰三角形存在性问题】 1．如图，关于x的二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C． (1)求二次函数的表达式和线段的长； (2)在抛物线对称轴上找一点P，使为等腰三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1)；； (2)或或． 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键． （1）代入和，解方程组即可；令，求出点的坐标，利用两点间距离公式求解即可； （2）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③，分别求解即可． 【详解】（1）解：把和代入可得， 解得：， ∴二次函数的表达式为：； 令抛物线，则， ∴， ∴； （2）存在． 理由：∵， ∴设， ∵，， ∴，， ∵，为等腰三角形， ∴当时，， 解得：，此时； 当时，， 解得，此时； 当时，， 解得：，此时； 综上所述，或或． 2．如图，抛物线（a、c为常数，）与x轴交于点两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是抛物线上的一个动点，连接，若是以为底边的等腰三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)点P的坐标为或． 【分析】本题考查用待定系数法解抛物线的解析式、抛物线与坐标轴的交点、求直线的解析式、直线与抛物线的交点、等腰三角形的性质、二元一次方程组的解法等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． （1）将点A，B代入抛物线解析式中，转化为解二元一次方程组，解方程组，即可解答； （2）求出点C的坐标，可判断出是等腰直角三角形．由是以为底边的等腰三角形，可知，连接，即平分．      过点P作轴于点D，轴于点E，则． 设点P的坐标为，则，求出m值，即可解答． 【详解】（1）解：将代入， 得                              解得 该抛物线的函数表达式为． （2）当时，，则点C的坐标为， 是等腰直角三角形．                         由是以为底边的等腰三角形，可知，连接， 点P，O在线段的垂直平分线上，则，即平分．      过点P作轴于点D，轴于点E，则． 设点P的坐标为，则， ，                                解得， 点P的坐标为或． 【题型2 二次函数中的直角三角形存在性问题】 3．如图，抛物线经过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点P为对称轴上的一点，若使最小，求出此时点P的坐标： (3)设抛物线的顶点为D，轴于点E，在y轴上是否存在点M使得是直角三角形?若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式； （2）连接交对称轴于点P，根据两点之间线段最短，得出此时最小，即最小，求出直线解析式为，得出当时，，即可得出答案； （3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：如图1中，连接交对称轴于点P， 根据对称性可知：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 设直线解析式为，则， 解得， ∴直线解析式为， ∵对称轴为直线， ∴当时，， ∴点P坐标． （3）在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形． 理由如下： ∵， ∴顶点D的坐标为， ∵， ∴， 设点M的坐标为，则： ，， ①当A为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ②当D为直角顶点时，由勾股定理，得， 即， 解得， 所以点M的坐标为； ③当M为直角顶点时，由勾股定理，得，即 ， 解得或， 所以点M的坐标为或； 综上可知，在y轴上存在点M，能够使得是直角三角形，此时点M的坐标为或或或． 4．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，该抛物线过点． (1)求该抛物线的解析式及点A、点B的坐标； (2)如图1，连接AC，抛物线的对称轴上是否存在点M，使是直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)存在，的坐标为或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，勾股定理等，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）把代入可得，故抛物线的解析式为，令解得或，从而； （2）求出，抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，分三种情况，用勾股定理列方程可解得答案． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 在中，令得：， 解得：或， ，； （2）解：抛物线的对称轴上存在点，使是直角三角形，理由如下： 在中，令，得， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ， ，，， ①当为斜边时，， 解得：或， 或， ②当为斜边时，， 解得：， ， ③当为斜边时，， 解得：， 综上所述，的坐标为或或或． 【题型3 二次函数的综合题专训之等腰直角三角形存在性问题】 5．如图，将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线的顶点为，与轴交于点，且为等腰直角三角形． (1)求的值； (2)在新抛物线上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为 【分析】本题考查了二次函数的平移、解一元二次方程、等腰直角三角形的判定以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）找出关于a的一元二次方程；（2）找出点C的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题时，巧妙的利用了抛物线的对称性来寻找点C的位置． （1）根据平移的性质找出平移后的抛物线的解析式，分别求出点A，B的坐标，根据为等腰直角三角形即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可求出a值； （2）作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，根据等腰直角三角形的判定定理找出为等腰直角三角形，由抛物线的对称性结合点B的坐标即可得出点C的坐标． 【详解】（1）解：∵将抛物线向右平移个单位得到新抛物线， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的顶点为， ∴， 当时，， ∴点B的坐标为，即， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴，解得：或0（舍去）， ∴a的值为1； （2）解：存在，理由如下： 如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接，交抛物线的对称轴于点D，则，，， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由（1）得点B的坐标为，对称轴为直线， ∴点C的坐标为， 故在图中的抛物线上存在点C，使为等腰直角三角形，点C的坐标为． 6．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．若点在线段上运动（点不与点重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点．设点的横坐标为． (1)求拋物线的函数表达式． (2)若，求的值． (3)在点的运动过程中，是否存在使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出的值；若不存在请说明理由． 【答案】(1)抛物线解的函数表达式为 (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，等腰直角三角形的判断与性质等知识： （1）根据题意设代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）设，得，，求出，，根据列方程，求出方程的解即可； （3）先证明是等腰直角三角形，得，再分和两种情况列出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴设 代入，得 解得： ∴抛物线解的函数表达式为； （2）解：设直线的解析式为， 把,代入解析式得， ， 解得， ∴直线的解析式为； ∵点P的横坐标为m， ∴点P的坐标为 ∴，， ∴；， ∵， ∴， 整理得，， 解得，或（不合题意，舍去） ∴； （3）解：由②知，，， ∵， ∴， 又轴， ∴ ∴， 若是等腰直角三角形，则有： ①当时，连接，如图， ∴， ∵ ∴ ∴轴， ∴ ∴， 解得，或（不合题意，舍去） ②当时，如图，连接则作于点K， 则且轴， ∴ ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ 解得，或（不符合题意，舍去）， 综上，当或时，为等腰直角三角形 1．如图，已知抛物线的图像与轴相交于、两点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在线段上（不与、重合），过点作轴的平行线交对称轴左侧的抛物线于点． (1)求抛物线的解析式及顶点 C的坐标； (2)若是以为底的等腰三角形，直接写出点 E 的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，求二次函数解析式，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据抛物线的对称轴为直线，得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得出，把代入得：，求出或，即可得出点E的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点A和点B， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为：， 当时，， ∴顶点C的坐标为； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵轴， ∴， ∵是以为底的等腰三角形， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：或， ∵点E在抛物线对称轴的左侧， ∴． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，．抛物线的对称轴与经过点的直线交于点，与轴交于点 (1)求抛物线的表达式； (2)若在抛物线上存在点，使得，是以为直角边的直角三角形，求出所有点的坐标 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，解方程组，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意求出，用待定系数法求函数解析式即可 （2）先求出直线的解析式，分两种情况讨论当时，当时，分别求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴，， ， 将代入得， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：将代入得， ， 直线的解析式为， 抛物线对称轴与轴交于点， 当时，， ， 设，则，，， 当时，由， ， 即， 解方程组得或， 点的坐标为； 当时，， ， 即， 解方程组得或， 点的坐标为或， 综上所述，点的坐标为或或． 3．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点E，交x轴于点F．设点P的横坐标为m． (1)求点A，B，C的坐标，并直接写出直线的函数解析式． (2)在点P的运动过程中，是否存在m使得为等腰直角三角形？若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，， (2)存在，m的值为3或2 【分析】本题是二次函数的综合，考查了二次函数的图象与性质，求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质等知识： （1）令，求出x的值，得点A，B的坐标，令，得y的值，可得点C坐标，再设直线的解析式为，把代入并求出k的值即可； （2）分和两种情况利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得或， ∴，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：存在m使得为等腰直角三角形，理由如下： ∵点P的横坐标为m，且， ∴点P的坐标为， ∴，， ∴， ， ； ∵，， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴，即， 解得或（舍）或（舍）； 当时，， ∴， ∴，即， 解得或（舍）； 综上所述：m的值为3或2． 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为，与y轴交于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)在直线上找一点Q，使得为等腰三角形，写出Q点坐标． 【答案】(1)； (2)Q点坐标为或或或． 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，利用两点之间的距离公式可得，，的值，再分、和三种情况，分别建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点代入二次函数得：， 解得， 则这个二次函数的表达式为； （2）解：设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 当时，， 所以此时点的坐标为； ②当时，为等腰三角形， 则，即， 解得或， 当时，，即， 当时，，即； ③当时，为等腰三角形， 则，即， 解得， 此时， 所以此时点的坐标为， 综上，点的坐标为或或或． 2．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，作直线，其中点，点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若点在线段上运动（点不与点，重合），过点作轴的垂线，交抛物线于点，交轴于点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程，掌握这些知识点的应用是解题的关键． （）把点， 点代入即可求解； （2）分当时和当时两种情况分析即可； 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴，解得：， ∴该抛物线的解析式为； （2）存在，理由： 令，则， 解得， ∴，， 设直线的解析式为， ∵，， ∴，，解得， ∴，直线的解析式为， 设点E的坐标为，则，， ∵轴， ∴， ∴； 当时，，如图， ∴，即解得：，（舍去）， ∴此时； 当时，如图，作于点，则有， ∴，解得：，（舍去）， ∴此时； 综上可知：点的坐标为或． 3．如图，抛物线与直线相交于两点，抛物线与x轴的另一个交点是点C． (1)求抛物线的解析式． (2)点P是抛物线上的一个动点（不与重合），过点P作轴于点D，交直线于点E，连接，是否存在点P，使为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；否则，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、函数图象上点的坐标特点、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式、全面分类是解题的关键； （1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，然后设点，则，，利用两点间的距离公式表示出，再分三种情况：当、、时，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入直线，得， ∴， 把代入抛物线的解析式可得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式是； （2）解：对于，当时，， 解得， ∴， 设点，则，， ∴，，， 若为直角三角形， 则当时，， ∴，即 解得：或（舍去）； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴，即 解得：； 此时点P的坐标为； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上，存在点P，使为直角三角形，且点P的坐标为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $