暑假培优：几何图形中的角度计算问题、利用平行线的性质求角度专项训练-2026年七升八暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦几何角度计算与平行线性质应用，通过分层例题与变式训练构建从基础到综合的解题逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形角度计算|4例+4变式|涉及角平分线、垂直、相交线，结合方程思想|从角的基本关系（互余、互补）到角平分线性质，逐步渗透代数方法解决几何问题| |平行线性质求角度|6例+6变式|含三角尺放置、折叠、实际情境，综合探究题占比高|以平行线性质（同位角、内错角）为核心，关联三角形内角和、角平分线，实现从单一性质到多知识点融合应用|

暑假培优：几何图形中的角度计算问题、利用平行线的性质求角度专项训练 暑假培优：几何图形中的角度计算问题、利用平行线的性质求角度专项训练 考点目录 几何图形中的角度计算问题 利用平行线的性质求角度 考点一 几何图形中的角度计算问题 例1．（25-26七年级下·福建厦门·月考）如图，为直角，是的平分线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级下·广东中山·月考）如图，点为直线上一点，过点作射线，，，且始终在的右侧，若平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26七年级下·湖南株洲·月考）如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 例4．（25-26七年级下·吉林四平·期末）如图，直线与直线相交于点，若，，则________度． 变式1．（25-26七年级下·安徽·期末）如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论不正确的是（   ）． A． B． C． D． 变式3．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）如图，、交于点，，垂足为，，则_____． 变式4．（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，直线，相交于点O，于点O，，则_________． 考点二 利用平行线的性质求角度 例 1．（2026·江苏南通·三模）如图，，点F在上且平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26七年级下·天津武清·期末）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置（直角的顶点在纸条的一边上），有下列结论：①；②；③．其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 例3．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（），其中A，B两点分别落在直线m，n上．若，则的度数为______． 例4．（25-26七年级下·重庆忠县·期末）如图所示，已知，点在直线上，平分，若，则__________． 例5．（25-26七年级下·江西抚州·期末）2026年央视春晚上，一群表演武术的机器人科技感爆棚，这个《武》节目中的机器人，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．        (1)【提出问题】图1是机器人练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，，求的度数． (2)【迁移应用】如图2是一款新型扫地机器人的平面示意图，，若，求的度数． 例6．（22-23七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，已知，直线分别交直线，于点E，F，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 变式1．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，将含有角的三角尺的两个顶点叠放在长方形的两条对边上．若，则（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，点D在的延长线上，，，平分，则_______． 变式4．（25-26七年级下·天津武清·期末）如图，，．若，则的大小为__________（度）． 变式5．（25-26七年级下·广东惠州·月考）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边，与分别交于点D，E． (1)若，则的度数为_______________； (2)如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 变式6．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题提出】如图1，已知，点E是直线之间一点，连接，过点E作，，求的度数； (2)【问题解决】如图2，已知，点B在点A左侧，点D在点C左侧，连接平分，平分，与相交于点E，过点E作，若，求的度数； (3)【问题延伸】如图3，，点A在点B左侧，点D在点C左侧，连接平分，平分，与相交于点E，过点E作，若，且，求的度数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：几何图形中的角度计算问题、利用平行线的性质求角度专项训练 暑假培优：几何图形中的角度计算问题、利用平行线的性质求角度专项训练 考点目录 几何图形中的角度计算问题 利用平行线的性质求角度 考点一 几何图形中的角度计算问题 例1．（25-26七年级下·福建厦门·月考）如图，为直角，是的平分线，且，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可求得，进而由角平分线的定义求得，即可求解． 【详解】解：∵为直角，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴． 例2．（25-26七年级下·广东中山·月考）如图，点为直线上一点，过点作射线，，，且始终在的右侧，若平分，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角平分线定义求出，再通过角的和差计算即可． 【详解】解：∵，平分， ∴． ∵， ∴． 例3．（25-26七年级下·湖南株洲·月考）如图，平分，，已知，则的度数为_____________． 【答案】 /120度 【分析】设，则，求出，，得出，即可求出答案． 【详解】解：设，则． ∴． ∵平分， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 例4．（25-26七年级下·吉林四平·期末）如图，直线与直线相交于点，若，，则________度． 【答案】25 【分析】求出的度数，再根据对顶角相等可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 变式1．（25-26七年级下·安徽·期末）如图，直线，相交于点O，于O，，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直的定义可得，再根据平角的定义，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 因为， 所以． 变式2．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论不正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对顶角、垂直定义、角平分线求出图中各个角的度数，再逐一验证四个选项，找出不成立的结论． 【详解】， ， 平分， ，故A正确； ， ， ，故B正确； 与是对顶角， ，故C正确； ，， ， ，故D错误． 变式3．（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）如图，、交于点，，垂足为，，则_____． 【答案】 【分析】根据垂直的定义得出，利用角的和差关系求出的度数，最后根据对顶角相等即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 与是对顶角， ． 变式4．（25-26七年级下·天津滨海新区·期末）如图，直线，相交于点O，于点O，，则_________． 【答案】/55度 【分析】根据对顶角相等求出，根据垂直的定义求出，再由角的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 考点二 利用平行线的性质求角度 例 1．（2026·江苏南通·三模）如图，，点F在上且平分，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 例2．（25-26七年级下·天津武清·期末）将一个直角三角尺与两边平行的纸条如图放置（直角的顶点在纸条的一边上），有下列结论：①；②；③．其中，正确结论的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】解：纸条的两边平行， ，，， ， ，， 结论①③②均正确，正确结论的个数是3． 例3．（25-26七年级下·浙江宁波·期末）已知直线，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（），其中A，B两点分别落在直线m，n上．若，则的度数为______． 【答案】23 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，结合三角板的度数即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 例4．（25-26七年级下·重庆忠县·期末）如图所示，已知，点在直线上，平分，若，则__________． 【答案】/度 【分析】根据角平分线的定义得出，，进而得出，根据平行线的性质得出，，根据平角的定义得出，即可得出． 【详解】解：∵平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴ ∴． 例5．（25-26七年级下·江西抚州·期末）2026年央视春晚上，一群表演武术的机器人科技感爆棚，这个《武》节目中的机器人，将传统文化与尖端技术融为一体，展现了极高的艺术表现力，更体现了中国在机器人技术领域的重大突破．        (1)【提出问题】图1是机器人练习时的侧面示意图，上身与地面垂直，脚面呈水平状态，若，，求的度数． (2)【迁移应用】如图2是一款新型扫地机器人的平面示意图，，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作，过点作，利用平行线的性质即可求解； （2）过点作，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作，过点作，    则． ，， ， ，， ， ， ，， ， ； （2）解：如图所示过点作， 则，   ，， ， ， ． 例6．（22-23七年级下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，已知，直线分别交直线，于点E，F，，． (1)若，求的度数； (2)求证：平分． 【答案】(1) (2)解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，， ∴，即平分． 【分析】本题考查平行线的性质与角平分线的判定，掌握两直线平行，内错角相等、等角的余角相等是解题的关键． （1）利用的内错角相等，得到，再结合的直角性质，用减去求出； （2）通过平行线和已知条件推出，再利用等角的余角相等，证明，从而说明平分． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）略 变式1．（25-26七年级下·山东威海·期末）如图，将含有角的三角尺的两个顶点叠放在长方形的两条对边上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图（见解析），先得出，，，再求出的度数，进而可得的度数，由此即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式2．（25-26七年级下·重庆奉节·期末）如图，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质求出的度数，再根据垂直的定义得出，最后利用角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 变式3．（25-26六年级下·山东威海·期末）如图，点D在的延长线上，，，平分，则_______． 【答案】56 【分析】先根据平行线的判定定理得出的度数，再通过角平分线的性质可得出结论． 【详解】解：， ， ∵平分， ∴， ． 变式4．（25-26七年级下·天津武清·期末）如图，，．若，则的大小为__________（度）． 【答案】118 【分析】根据平行线的性质，结合对顶角相等，进行求解即可. 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴. 变式5．（25-26七年级下·广东惠州·月考）综合与实践 【问题情境】 在综合与实践课上，数学老师让同学们以“两条平行线，和一块含角的直角三角尺”为主题展开数学活动． 【探究发现】 如图1，小明把三角尺中角的顶点B放在上，边，与分别交于点D，E． (1)若，则的度数为_______________； (2)如图2，请你探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)．理由如下： 过点C作交于点， ， ， ，， ， ， ∴． 【分析】（1）过点作交于点，根据平行线的性质计算即可； （2）过点作交于点，结合平行线的性质和平角的定义进行解题． 【详解】（1）解：如图，过点作交于点， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）略 变式6．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）探究不同情境，回答下面问题： (1)【问题提出】如图1，已知，点E是直线之间一点，连接，过点E作，，求的度数； (2)【问题解决】如图2，已知，点B在点A左侧，点D在点C左侧，连接平分，平分，与相交于点E，过点E作，若，求的度数； (3)【问题延伸】如图3，，点A在点B左侧，点D在点C左侧，连接平分，平分，与相交于点E，过点E作，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点E作，根据平行线的性质，得到，根据平行线的传递性，可得，从而可得，即得答案； （2）①过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案； ②设，，则由题意得，，过点E作，根据平行线的性质及角平分线的定义，可逐步求得，，即可求得答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）解：， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （3）设，，则由题意得，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ∵， ∴， 解得， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $