暑假预习： 证明四边形是菱形、添加条件使四边形是菱形讲义-2026年八升九暑假数学（北师大版）

暑假预习： 证明四边形是菱形、添加条件使四边形是菱形讲义 暑假预习： 证明四边形是菱形、添加条件使四边形是菱形讲义 考点目录 证明四边形是菱形 添加条件使四边形是菱形 考点一 证明四边形是菱形 【知识点解析】 一、核心判定定理（4条，分两类） 路径1：先证平行四边形，再补1个条件（考试最常用） 1. 定义判定：平行四边形 + 一组邻边相等 菱形 1. 对角线判定：平行四边形 + 对角线互相垂直 菱形 路径2：不证平行四边形，直接判定 1. 四边判定：四条边全部相等的四边形 菱形 1. 对角线补充判定：对角线互相垂直平分的四边形 菱形 二、解题原理 1. 审题梳理已知条件，选择最简证明路线： · 题干有多组边相等、中点、线段等量：优先证四边相等； · 题干有对角线垂直、平分、直角：优先证对角线垂直平分； · 题干已有平行、对边平行、对边相等：先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直； 1. 分步书写逻辑链，不可跳过关键步骤： 例：证平行四边形→证一组邻边相等→结论菱形； 1. 图形常用辅助：平行线证平行四边形、全等三角形推边相等、垂直平分线得线段相等； 1. 区分易错边界：仅对角线垂直不能直接证菱形，必须同时满足平分。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，点E、F分别在边上，与相交于点O． (1)求证：； (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 【答案】(1)证明：∵平行四边形， ∴，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． (2)证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 【分析】（1）首先利用平行四边形的性质得到、，结合已知，证明，得到，进而推出且，判定四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分得到． （2）首先由得到是直角三角形，结合角的互余关系证明，得到，结合（1）中已得的四边形是平行四边形，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明． 【详解】（1）略． （2）略． 例2．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵点E是的中点， ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ，， 平分，， ，， ∴平行四边形为菱形； (2) 【分析】（1）先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再证明，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明四边形为菱形，题目得证； （2）由（1）得，，进而结合三角形内角和为得，得，在中，根据勾股定理得计算即可得线段的长． 【详解】（1）略 （2）解：，根据（1）可得，， ，， ， ， ， ， ． 例3．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图1，为的边上一点，连接，，使，过点作，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点，再连接．若，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)证明：， ，， ， ， ，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， (2)证明：，即， 四边形是平行四边形， ，， ， ，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 由（1）知， ，， ， ， 四边形是菱形． 【分析】（1）根据平行线的性质可得，，，进而根据结合平行四边形的性质可得，，证明，进而证明； （2）先证明四边形是平行四边形，进而证明，即可证明四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）如图，点，分别在的边，上，，连接，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2)24 【分析】（1）证明，可得，即可求证； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质可得，，在中，利用勾股定理可得，，再由菱形的面积公式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为． 变式2．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，四边形中，，． (1)请用尺规作图完成作图：作的平分线交于点．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证四边形是菱形． 【答案】(1)解：如图，即为所求． (2)解：如图，连接， 为的平分线， ， ∵ ， ， ， ∵ 四边形为平行四边形 四边形是菱形． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可； （2）结合角平分线的定义以及平行线的性质可得，则，进而可得，则四边形为平行四边形，再根据，即可证出结论． 【详解】（1）略 （2）略 变式3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平行四边形中，点E为对角线的中点，连接，且． (1)如图1，求证：平行四边形是菱形； (2)如图2，，于点F，延长交于点G，连接．在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条线段，每条线段的长度是线段长度的倍． 【答案】(1)证明：点E为对角线的中点，， 是的垂直平分线， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形； (2)，，， 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，从而得出结论； （2）根据菱形的性质易得到、是等边三角形，再求出，根据含角的直角三角形的性质求出、，再利用勾股定理求出，据此求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：、， ， 由（1）知，平行四边形是菱形， ， ， ， 、是等边三角形， ， 在中，， 在中，， ， ， ， 点E为对角线的中点， ， ， ， 在中，， ， ， 综上所述，，，，四条线段，每条线段的长度是线段长度的倍． 考点二 添加条件使四边形是菱形 【知识点解析】 一、核心知识点 题型特征：已知四边形满足部分条件（一般是已知为平行四边形，或已知对角线平分），补充一个条件使其成为菱形。 1. 若已知：四边形是平行四边形 可添加条件二选一： ① 一组邻边相等（如）； ② 对角线互相垂直（如）。 2. 若已知：四边形对角线互相平分（隐含平行四边形） 添加：对角线垂直 或 一组邻边相等。 3. 若仅普通四边形，无平行条件： 最少补充两组条件，如“对角线互相垂直且平分”或“三边相等+一组对边平行”。 4. 禁止无效条件：只对角线垂直、只一组邻边相等，无法判定菱形。 二、解题原理 1. 先判断现有图形基础： · 已经是平行四边形：只需加邻边相等或对角线垂直二选一； · 只是普通四边形：需要补充两组判定条件； 1. 答案写法规范：优先写最简条件（单等式/垂直关系）； 1. 反向验证：添加条件后，套用菱形判定定理能完整推出结论，即为正确答案； 1. 多解题型：写出所有符合要求的条件，不遗漏、不写无效条件。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）要使为菱形，则需要添加的条件是（     ） A． B． C．对角线，互相平分 D．对角线，互相垂直 【答案】D 【分析】已知是平行四边形，结合菱形的判定定理逐一判断选项，即可得到正确结果. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 是平行四边形的固有性质，因此选项A不能判定它是菱形； 对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，因此选项B错误； 对角线互相平分是平行四边形的性质，因此选项C不能判定它是菱形； 根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴添加条件“对角线，互相垂直”可判定为菱形. 例2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意； B、∵，∴，∵，∴是菱形，故本选项不符合题意； C、∵，∴，，∵，∴，∴是矩形，不能判定是菱形，故本选项符合题意； D、∵，，∴是菱形，故本选项不符合题意． 例3．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 【答案】①③或③① 【分析】本题主要考查了菱形的判定定理，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，据此可得到答案． 【详解】解：添加条件①时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故①符合题意； 添加条件②时， ∵四边形是平行四边形，， ∴不能得到四边形是菱形，故②不符合题意； 添加条件③时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，故③符合题意； 故答案为：①③． 例4．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件___________能使四边形是菱形． 【答案】②③/③② 【分析】此题考查了平行四边形和菱形的判定定理，平行线的性质，等角对等边，解题的关键是掌握以上知识点． 首先由，得到四边形是平行四边形，然后根据菱形的判定定理求解即可． 【详解】∵， ∴四边形是平行四边形 若添加条件①，可以证明四边形是矩形，不能证明是菱形，故①不符合题意； 若添加条件②平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故②符合题意； 若添加条件③， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形是菱形，故③符合题意； 综上所述，选择条件②③能使四边形是菱形． 故答案为：②③． 例5．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，点E，F分别在边，上，且． (1)求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ，，．① ， ，② 在与中， ， ③； 上述推理过程从第_________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． (2)在不添加新的点和线的情况下，请你添加一个条件_________，使四边形是菱形．（直接填空，不需说明理由） 【答案】(1)②； 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ∴ 在与中， ， ； (2)（答案不唯一） 【分析】（1）由于，根据平行线的性质得不到，故②错误；根据平行四边形的性质证明出，再由证明全等即可； （2）根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形添加条件即可； 【详解】（1）解：上述推理过程从第②步开始出现错误，因为得不到； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在中，对角线相交于点O，，添加下列条件，能判定为菱形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴当或时，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，能判定为菱形． 观察四个选项，只有选项C符合题意． 变式2．（25-26八年级下·山东·课后作业）在平行四边形中，对角线与相交于点．下列说法不能使平行四边形为菱形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质和特殊平行四边形的判定定理，逐一判断选项即可． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， 对于A，∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，， ∴平行四边形为菱形，A不符合要求； 对于B，∵一组邻边相等的平行四边形是菱形，， ∴平行四边形为菱形，B不符合要求； 对于C，∵对角线相等的平行四边形是矩形，， ∴平行四边形为矩形，不一定是菱形，C符合要求； 对于D，∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形为菱形，D不符合要求． 变式3．（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 【答案】（或或或或等） 【分析】根据菱形的判定定理，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，进行添加条件． 【详解】解：（或） 理由如下：∵，，， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 理由同上； 理由如下： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形是菱形（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）； 变式4．（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 【答案】 （答案不唯一） 【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且，只需证明四边形是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形． 【详解】解：添加条件即可， ，， 四边形是平行四边形， 四边形的对角线互相垂直， 平行四边形是菱形 故可添加为（答案不唯一）． 变式5．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，中，是上任意一点，． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 【答案】(1)平行四边形， (2)平分时，四边形为菱形，理由见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质与判定． （1）根据，可判断四边形为平行四边形； （2）根据为的平分线，得出，根据平行线的性质得出，即可得出，根据等边对等角可得，即可证明四边形为菱形． 【详解】（1）解：，， 四边形为平行四边形； （2）解：平分时，四边形为菱形，理由如下， 四边形为平行四边形， ∴， 当平分时 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴四边形为菱形． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习： 证明四边形是菱形、添加条件使四边形是菱形讲义 暑假预习： 证明四边形是菱形、添加条件使四边形是菱形讲义 考点目录 证明四边形是菱形 添加条件使四边形是菱形 考点一 证明四边形是菱形 【知识点解析】 一、核心判定定理（4条，分两类） 路径1：先证平行四边形，再补1个条件（考试最常用） 1. 定义判定：平行四边形 + 一组邻边相等 菱形 1. 对角线判定：平行四边形 + 对角线互相垂直 菱形 路径2：不证平行四边形，直接判定 1. 四边判定：四条边全部相等的四边形 菱形 1. 对角线补充判定：对角线互相垂直平分的四边形 菱形 二、解题原理 1. 审题梳理已知条件，选择最简证明路线： · 题干有多组边相等、中点、线段等量：优先证四边相等； · 题干有对角线垂直、平分、直角：优先证对角线垂直平分； · 题干已有平行、对边平行、对边相等：先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直； 1. 分步书写逻辑链，不可跳过关键步骤： 例：证平行四边形→证一组邻边相等→结论菱形； 1. 图形常用辅助：平行线证平行四边形、全等三角形推边相等、垂直平分线得线段相等； 1. 区分易错边界：仅对角线垂直不能直接证菱形，必须同时满足平分。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·河南南阳·期末）如图，在中，点E、F分别在边上，与相交于点O． (1)求证：； (2)如果．求证：四边形是一个菱形． 例2．（25-26八年级下·山东临沂·期末）如图，在四边形中，，，点E是的中点，且平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)已知，，求线段的长． 例3．（25-26九年级下·山东淄博·期末）如图1，为的边上一点，连接，，使，过点作，交延长线于点，连接． (1)求证：； (2)如图2，连接，交于点，再连接．若，求证：四边形是菱形． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·贵州遵义·期末）如图，点，分别在的边，上，，连接，，且． (1)求证：四边形是菱形； (2)连接，若，，求菱形的面积． 变式2．（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，四边形中，，． (1)请用尺规作图完成作图：作的平分线交于点．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法） (2)连接，求证四边形是菱形． 变式3．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知：在平行四边形中，点E为对角线的中点，连接，且． (1)如图1，求证：平行四边形是菱形； (2)如图2，，于点F，延长交于点G，连接．在不添加任何辅助线的情况下，直接写出图2中四条线段，每条线段的长度是线段长度的倍． 考点二 添加条件使四边形是菱形 【知识点解析】 一、核心知识点 题型特征：已知四边形满足部分条件（一般是已知为平行四边形，或已知对角线平分），补充一个条件使其成为菱形。 1. 若已知：四边形是平行四边形 可添加条件二选一： ① 一组邻边相等（如）； ② 对角线互相垂直（如）。 2. 若已知：四边形对角线互相平分（隐含平行四边形） 添加：对角线垂直 或 一组邻边相等。 3. 若仅普通四边形，无平行条件： 最少补充两组条件，如“对角线互相垂直且平分”或“三边相等+一组对边平行”。 4. 禁止无效条件：只对角线垂直、只一组邻边相等，无法判定菱形。 二、解题原理 1. 先判断现有图形基础： · 已经是平行四边形：只需加邻边相等或对角线垂直二选一； · 只是普通四边形：需要补充两组判定条件； 1. 答案写法规范：优先写最简条件（单等式/垂直关系）； 1. 反向验证：添加条件后，套用菱形判定定理能完整推出结论，即为正确答案； 1. 多解题型：写出所有符合要求的条件，不遗漏、不写无效条件。 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·安徽亳州·期末）要使为菱形，则需要添加的条件是（     ） A． B． C．对角线，互相平分 D．对角线，互相垂直 例2．（25-26八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，交于点O，添加下列条件后不能判定为菱形的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2025·甘肃庆阳·三模）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，从①；②；③中选择一个作为条件，补充后使四边形是菱形，则应选择_____（限填序号）． 例4．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）如图，在中，D是上一点，，交于点E，，交于点F，有下列条件：①；②平分；③，．选择条件___________能使四边形是菱形． 例5．（25-26八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，点E，F分别在边，上，且． (1)求证：； 下面是小轩的证明过程： 证明：四边形是平行四边形， ，，．① ， ，② 在与中， ， ③； 上述推理过程从第_________步开始出现错误？请写出完整的正确证明过程． (2)在不添加新的点和线的情况下，请你添加一个条件_________，使四边形是菱形．（直接填空，不需说明理由） 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·河南鹤壁·阶段检测）如图，在中，对角线相交于点O，，添加下列条件，能判定为菱形的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·山东·课后作业）在平行四边形中，对角线与相交于点．下列说法不能使平行四边形为菱形的是(    ) A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·北京石景山·期末）如图，在四边形中，，垂足为O，．只需添加一个条件即可证明四边形是菱形，这个条件可以是____________（写出一个即可）． 变式4．（2026·四川凉山·中考真题）四边形的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足，请添加一个适当的条件：_______，使四边形成为菱形．（只需要添加一个条件即可） 变式5．（25-26九年级上·贵州贵阳·阶段检测）如图，中，是上任意一点，． (1)判断四边形的形状是_____； (2)连接，当满足什么条件时，四边形为菱形，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $