暑假培优：添加条件成为平行四边形问题、平行四边形的证明问题专项训练2026年八升九暑假数学（北师大版）

**基本信息** 聚焦平行四边形判定的条件补充与证明，通过分层例题与变式题构建系统性训练，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |添加条件成为平行四边形问题|8题（4例+4变式）|结合边、角、对角线关系补充判定条件，含选择与开放题型|从判定定理直接应用到复杂图形变式，形成条件关联逻辑| |平行四边形的证明问题|6题（3例+3变式）|综合性质与全等三角形等证明，含性质应用与探究|构建“性质应用-判定推理-综合探究”的递进逻辑链|

暑假培优：添加条件成为平行四边形问题、平行四边形的证明问题专项训练 暑假培优：添加条件成为平行四边形问题、平行四边形的证明问题专项训练 考点目录 添加条件成为平行四边形问题 平行四边形的证明问题 考点一 添加条件成为平行四边形问题 例1．（25-26八年级下·云南文山·期末）在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（     ） A． B． C． D． 例2．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（     ） ①如果再添加条件“”， ②如果再添加条件“”， ③如果再添加条件“”， ④如果再添加条件“”． A．①或② B．①或③或④ C．②或③ D．②或③或④ 例3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 例4．（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 变式1．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，点，分别在的边，上，点在的延长线上，且．添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列条件正确的是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·云南怒江·期中）如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 变式4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 考点二 平行四边形的证明问题 例1．（25-26八年级下·北京东城·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点且与分别相交于点E，F，连接和．判断与的数量关系，并说明理由． 例2．（25-26八年级下·广西柳州·期末）如图，已知平行四边形中，、分别是边、上的点，． (1)若，，求平行四边形的周长． (2)求证：四边形是平行四边形． 例3．（25-26八年级下·河南三门峡·期末）如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）中作图的基础上，连接，，判断和的关系，并说明理由． 变式1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，已知，在边上，连接，过点作，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 变式2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在等腰梯形中，，，平分，延长到点，连接，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 变式3．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，、分别是、边上的中点，点、分别在边、上移动（不与端点重合），且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在点、移动的过程中，请判断四边形的面积是否发生变化．如果不变，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假培优：添加条件成为平行四边形问题、平行四边形的证明问题专项训练 暑假培优：添加条件成为平行四边形问题、平行四边形的证明问题专项训练 考点目录 添加条件成为平行四边形问题 平行四边形的证明问题 考点一 添加条件成为平行四边形问题 例1．（25-26八年级下·云南文山·期末）在四边形中，，要使四边形成为平行四边形，则应添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知四边形中已有，根据平行四边形的判定定理逐一判断各选项即可． 【详解】已知在四边形中，， 对选项A：∵，∴ 四边形中两组对边分别平行，∴ 四边形是平行四边形，符合要求； 对选项B：，时，四边形可能为等腰梯形，无法判定四边形是平行四边形，不符合； 对选项C：，时，四边形可能为等腰梯形，无法判定四边形是平行四边形，不符合； 对选项D：∵ ，∴，与已知条件一致，无法进一步判定四边形是平行四边形，不符合． 例2．（25-26八年级下·浙江杭州·阶段检测）如图，在四边形中，与相交于点，如果只给出条件“”，还不能判定四边形为平行四边形，若想使四边形为平行四边形，要添加一个条件，这个条件可以是（     ） ①如果再添加条件“”， ②如果再添加条件“”， ③如果再添加条件“”， ④如果再添加条件“”． A．①或② B．①或③或④ C．②或③ D．②或③或④ 【答案】C 【分析】根据已有条件：，结合平行四边形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：如图，已有条件：， ①添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； ②添加， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ③添加，根据可得， 又， ∴， ∴， ∴可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定，故符合题意； ④添加，不能使四边形是平行四边形，故不合题意； 综上：C符合题意． 例3．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，这个条件可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】给出一组对边相等，那么只需要这一组对边平行或者另一组对边相等即可，当然也可以添加条件证明这一组对边平行或者证明另一组对边相等． 【详解】解：∵， 当添加时，则四边形为平行四边形； 或添加时，四边形为平行四边形． 例4．（25-26九年级下·黑龙江牡丹江·阶段检测）如图，已知，，，，在一条直线上，，请添加一个条件______，使四边形是平行四边形． 【答案】（或或或） 【分析】利用全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定证明即可． 【详解】解：， ； 添加， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形； 添加， ， ，， ，， 四边形是平行四边形； 故答案为：（或或或）． 变式1．（25-26八年级下·江苏盐城·期末）如图，点，分别在的边，上，点在的延长线上，且．添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定条件，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、当时，可得， ， 四边形是平行四边形，故A不符合题意； B、，， 四边形是平行四边形，故B不符合题意； C、根据，，不能判断四边形是平行四边形，故C符合题意； D、，， 四边形是平行四边形，故D不符合题意． 变式2．（25-26八年级下·河南周口·期末）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平行四边形，则下列条件正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的判定逐项判断即可． 【详解】解：由题意已有，还差或； A、，一边平行，另一边相等，不能判定四边形是平行四边形； B、，不能判定四边形是平行四边形； C、由可得，不能判定四边形是平行四边形； D、，则，根据两组对边平行的四边形是平行四边形，能判定四边形是平行四边形． 变式3．（25-26八年级下·云南怒江·期中）如图，在四边形中，，请添加一个条件使四边形是平行四边形，可添加的条件是_____（只填一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的判定定理解答即可． 【详解】解：添加， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 变式4．（25-26八年级下·北京·期中）如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 考点二 平行四边形的证明问题 例1．（25-26八年级下·北京东城·期末）如图，在四边形中，对角线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)过点且与分别相交于点E，F，连接和．判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； (2)解：，理由如下： 由（1）得四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【分析】（1）可证明，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明结论； （2）由平行四边形的性质得到，证明，得到，则可证明四边形是平行四边形，进而可得． 【详解】（1）略 （2）略 例2．（25-26八年级下·广西柳州·期末）如图，已知平行四边形中，、分别是边、上的点，． (1)若，，求平行四边形的周长． (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴平行四边形的周长为； （2）略 例3．（25-26八年级下·河南三门峡·期末）如图，在中，对角线，交于点，平分，交于点． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）中作图的基础上，连接，，判断和的关系，并说明理由． 【答案】(1)解：即为所求： (2)解：和的数量关系为，位置关系为，理由如下： 连接，，如图， 在中，，， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵， 则由，可得， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，且， 故和的数量关系为，位置关系为． 【分析】（1）以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交，于点，点，再分别以点，点为圆心，大于长度的一半为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，则即为所求； （2）判断出四边形为平行四边形，由此可得数量关系和位置关系． 【详解】（1）略 （2）略 变式1．（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，已知，在边上，连接，过点作，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：， ， 又， 四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，可证，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可证结论成立； （2）利用勾股定理求出的长度，再根据平行四边形对边相等可得的长度． 【详解】（1）略 （2）解：，，， ， 四边形是平行四边形， ． 变式2．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）如图，在等腰梯形中，，，平分，延长到点，连接，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）通过平行线以及角平分线证明，再由三角形的外角性质证明，即可得到，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）过点作于点，求出，然后根据含角直角三角形的性质求出，，然后由勾股定理求解，而，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴四边形的面积． 变式3．（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，、分别是、边上的中点，点、分别在边、上移动（不与端点重合），且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在点、移动的过程中，请判断四边形的面积是否发生变化．如果不变，请说明理由． 【答案】(1)证明：已知四边形是平行四边形， ，，，． 、分别是、中点， ，， 得，． 又， 在和中： ， ， ． 由，， 得， 即． 在和中： ， ， ． 四边形两组对边分别相等， 四边形是平行四边形． (2)四边形的面积不变， 理由如下： 连接． ， ，四边形、四边形均为平行四边形， 且， 设平行四边形中，与间距离为， ， 设平行四边形中，与间距离为， ， ， ， 面积为定值，与、移动位置无关， 点、移动过程中，四边形的面积不变． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到边角相等，结合中点条件与，证明，，得到两组对边分别相等，从而判定平行四边形； （2）连接，将平行四边形分成两个面积相等的平行四边形、，分别证明面积是面积的一半，面积是面积的一半，相加后四边形面积恒等于，故面积不变． 【详解】（1）略 （2）略 2 学科网（北京）股份有限公司 $