2.3 垂径定理 （同步练习题） 2025-2026学年湘教版（2012）数学九年级下册

2.3 垂径定理 同步练习题 一．选择题 1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝6，CD＝4，则⊙O的半径长是（　　） A． B．3 C．4 D．5 2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，AE＝2，BE＝10，∠AEC＝30°，则CD的长为（　　） A． B．8 C． D．10 3．半径为12的圆中，垂直平分半径的弦长为（　　） A．3 B．12 C．6 D．18 4．一个圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则高度CD的长为（　　） A．2m B．4m C．6m D．8m 5．如图，已知⊙O的直径为26，弦AB＝24，动点P、Q在⊙O上，弦PQ＝10，若点M、N分别是弦AB、PQ的中点，则线段MN的取值范围是（　　） A．7≤MN≤17 B．14≤MN≤34 C．7＜MN＜17 D．6≤MN≤16 6．如图，在正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（　　） A．点P B．点Q C．点R D．点M 7．如图，在扇形OAB中，点D在OA上，点C在上，∠AOB＝∠BCD＝90°．若CD＝3，BC＝4，则⊙O的半径为（　　） A．4 B．4.8 C．2 D．3 8．如图，PQ是半⊙O的直径，两正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的边长为2cm，则该半圆的直径PQ的长为（　　） A．cm B．cm C．cm D．cm 9．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，以边CD为直径作半圆O，E是半圆O上的动点，EF⊥DA于点F，EP⊥AB于点P，设EF＝x，EP＝y，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 二．填空题 10．如图，⊙O的半径为10，AB为弦，OC⊥AB，垂足为E，如果OE＝6，那么AB的长是　 　 ． 11．数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝16cm，CD＝4cm，则圆形工件的半径为　 　 cm． 12．如图，有一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为5cm，瓶内液体已经过半，截面圆中弦AB的长为cm，则最大深度CD的长为　 　 ． 13．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，以C为圆心，CD为半径画弧交直径AB于点E，连结CE并延长交⊙O于点F，连结DF．若AB＝8，则DF的长为 　 　 ． 14．如图，在平面直角坐标系xOy中，所在圆的圆心坐标是　 　 ． 15．如图，已知⊙O中，直径AF⊥弦BC于点H，点D在上，，过点A作AE⊥CD交CD于点E，已知AE＝3，且BC＝4，则⊙O的半径长为　 　 ． 三．解答题 16．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F．若BD＝16cm，AE＝4cm，求⊙O的半径及OF的长． 17．已知AB是⊙O的直径，AB＝8，点E是OB上一点，且AE＝7EB，弦CD过点E． （1）如图1，当CD⊥AB时，求CD的长； （2）如图2，当点C是半圆AB中点时，求CD的长． 18．如图，两个圆都是以O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点． （1）求证：AC＝BD； （2）若AB＝8，BD＝1，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值． 19．“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明代科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB长为8米时，水面下盛水筒的最大深度为2米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求⊙O的半径． （2）当水面下降导致圆被水面截得的弦AB长从原来的8米变为6米时，水面下盛水筒的最大深度为 　 　 米． 20．只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为7cm，AB＝6cm，CD＝8cm．请你帮忙计算纸杯的直径． 21．如图所示的拱桥，用表示桥拱． （1）若所在圆的圆心为O，EF是弦CD的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O．（不写作法，但要保留作图 痕迹） （2）若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m，拱高（的中点到弦AB的距离）为4m，求拱桥的半径R． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 A A B B A B C D D 二．填空题 10．16． 11．10． 12．7cm． 13．4． 14．（﹣3，2）． 15．． 三．解答题 16．解：连接OB，设半径为rcm，则OE＝（r﹣4）cm， ∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AO于E，BD＝16cm， ∴BE＝DEBD＝8cm， 在Rt△OBE中，∵OE2+BE2＝OB2， ∴（r﹣4）2+82＝r2， ∴r＝10cm； ∴AC＝20cm，EC＝16cm，BE＝DE＝8cm， ∴BC8（cm）， ∵OF⊥BC， ∴S△BCOBC•OFOC•BE， ∴8•OF＝10×8， ∴OF＝2， 即⊙O的半径为10cm，OF的长2cm． 17．解：（1）连接OC， 由条件可知，， ∴OE＝AE﹣AO＝3， ∵CD⊥AB， ∴， ∵CD⊥AB， ∴； （2）连接OC，过O作OF⊥CD于F， 由条件可知， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴， 在Rt△COF中，OF2＝OC2﹣CF2＝42﹣CF2， 在Rt△OEF中，OF2＝OE2﹣EF2＝32﹣（5﹣CF）2， ∴42﹣CF2＝32﹣（5﹣CF）2， 解得CF＝3.2， ∵OF⊥CD， ∴CD＝2CF＝6.4． 18．（1）证明：作OE⊥AB于E， ∴AE＝BE，CE＝DE， ∴BE﹣DE＝AE﹣CE， ∴AC＝BD； （2）解：连接OD，OB， ∵OE⊥AB，AB＝8，BD＝1， ∴BE＝AE＝4，DE＝4﹣1＝3， 在Rt△OBE中，由勾股定理，得OE2＝OB2﹣BE2， 和Rt△ODE中，由勾股定理，得OE2＝OD2﹣DE2， ∴OD2﹣DE2＝OB2﹣BE2， ∴52﹣32＝OB2﹣42， 解得： ∴大圆的半径为． 19．解：（1）如图，作OD⊥AB于点E，交圆于点D， 则AEAB＝4米，DE＝2米， 设圆的半径为r米， 在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2， ∴42+（r﹣2）2＝r2， 解得r＝5， ∴⊙O的半径为5米； （2）如图，当AB＝6米时，AEAB＝3米， 在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2， ∴32+OE2＝52， ∴OE＝4米， ∴ED＝5﹣4＝1（米）， 故答案为：1． 20．解：由题意得：MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB， ∴MN＝7cm， ∵CD∥AB， ∴MN⊥CD， ∴DMCD8＝4（cm），BNAB6＝3（cm）， 设OM＝xcm， ∴ON＝MN﹣OM＝（7﹣x）cm， ∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2， ∴OM2+MD2＝ON2+BN2， ∴x2+42＝（7﹣x）2+32， ∴x2+16＝49﹣14x+x2+9， ∴14x＝49+9﹣16， ∴14x＝42， ∴x＝3， ∴OM＝3（cm）， ∴OD5（cm）， ∴纸杯的直径为5×2＝10（cm）， 答：纸杯的直径为10cm． 21．解：（1）作弦AB的垂直平分线，交于G，交AB于点H，交CD的垂直平分线EF于点O，则点O即为所求作的圆心．（如图1）（2分） （2）连接OA．（如图2） 由（1）中的作图可知：△AOH为直角三角形，H是AB的中点，GH＝4， ∴AHAB＝8．（3分） ∵GH＝4， ∴OH＝R﹣4． 在Rt△AOH中，由勾股定理得，OA2＝AH2+OH2， ∴R2＝82+（R﹣4）2．（4分） 解得：R＝10．（5分） ∴拱桥的半径R为10m． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/12/23 15:16:52；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $