2.1第2课时等式性质与不等式性质课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦等式性质与不等式性质，课堂导入从等式性质回顾切入，通过对比辨析、思考问题搭建知识支架，引导学生从等式性质自然过渡到不等式性质的学习，衔接紧密且逻辑清晰。 其亮点在于以逻辑推理为核心，通过一题多解（如作差法、性质法证明不等式）、即学即练及糖水不等式实际应用，培养学生数学思维与应用意识。学生能掌握性质应用方法，教师可借助结构化内容提升教学效率。

第2课时　等式性质与不等式性质 【学习目标】 1.掌握不等式的性质.(数学抽象) 2.能利用不等式的性质进行不等式的证明.(逻辑推理) 3.能利用不等式的性质求代数式的范围.(逻辑推理) 一、等式的性质 性质1 如果a=b,那么b=a 性质2 如果a=b,b=c,那么____ 性质3 如果a=b,那么a±c=____ 性质4 如果a=b,那么ac=bc 性质5 如果a=b,c≠0,那么 a=c b±c [思考] 1.能直接在等式ax=2的两边同时除以a,从而得到x=吗?为什么? 提示:不能.当a=0时,x=不存在. 二、不等式的性质 项目 别名 性质内容 提醒 性质1 对称性 a>b⇔b<a 可逆 性质2 传递性 a>b,b>c⇒____ 同向 性质3 可加性 a>b⇔a+c>b+c 可逆 性质3 的推论 移项法则 a+b>c⇔______ 可逆 a>c a>c-b 项目 别名 性质内容 提醒 性质4 可乘性 a>b,c>0⇒ac>bc a>b,c<0⇒______ c的符号 性质5 同向可加性 a>b,c>d⇒________ 同向 性质6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒______ 同向同正 性质7 可乘方性 a>b>0⇒______(n∈N,n≥2) 同正 ac<bc a+c>b+d ac>bd an>bn [思考] 2.a>b是a+c>b+c的什么条件?a>b是ac>bc的什么条件? 提示:a>b是a+c>b+c的充要条件,a>b是ac>bc的既不充分也不必要条件. 3.若a>b,c>d,那么ac>bd成立吗? 提示:不一定成立. 4.若a>b,ab>0,则,的大小关系是怎样的?为什么? 提示:若a>b,ab>0,则<,证明如下: 因为ab>0,所以>0,因为a>b,所以a·>b·,即<. 【明辨是非】(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若>1,则a>b.( ) 提示:a,b为负数时不成立. (2)一个不等式的两边同加上或同乘一个数,不等号方向不变.( ) 提示:不等式两边同乘一个负数时,不等号的方向改变. × × (3)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.( ) 提示:相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系. (4)如果a≥b,b>c,那么a≥c.( ) 提示:如果a≥b,b>c,可以得到a>c.又“a≥c”包含“a>c”或“a=c”,所以a≥c是一定成立的. × √ 类型1 利用不等式的性质判断命题的真假(逻辑推理) 【典例1】(多选)下列说法正确的是(　　) A.若ac2>bc2,则a>b B.若a>b,c>d,则a-c>b-d C.若b>a>0,c>0,则> D.若a>b>0,则a+>b+ √ √ 【解析】选AD.对于选项A,因为ac2>bc2,所以c≠0,故c2≠0,所以>0, 所以ac2×>bc2×,即a>b,故选项A正确; 对于选项B,当a=2,b=1,c=0,d=-2时, 有a>b,c>d,但此时a-c=2,b-d=3,a-c<b-d,故选项B错误; 对于选项C,当a=1,b=2,c=1时,有b>a>0,c>0, 但此时,=2,<,故选项C错误; 对于选项D,因为a>b>0,所以ab>0,故>0, 所以a×>b×,即>, 再由不等式的同向可加性,a>b和>可得a+>b+,故选项D正确. 【解题有招】 与不等式有关的命题真假的判断 (1)利用不等式的性质; (2)特殊值验证. 【即学即练】 若a>0>b,则下列不等式成立的是(　　) A.a2>b2 B.|a|>|b| C.> D.ab>a2 【解析】选C.对A,B,D,令a=1,b=-1,则满足a>0>b, 但此时a2=b2,|a|=|b|,ab=-1<a2=1,故A,B,D是错误的; 对C,因为a>0>b,所以>0>,故C正确. √ 类型2 利用不等式的性质证明不等式(逻辑推理) 【典例2】(一题多解)已知c>a>b>0,求证:>. 【思路引领】 想 算 思 作差法 作差,变形,判号 分式的差需要怎么变形,变形的最终结果是什么形式 性质法 利用不等式的性质证明 注意性质的应用条件 转化法 证明其倒数形式< 其倒数形式有何特点,转化后如何证明 【尝试解答】 【证明】方法一(作差法): -=, 因为c>a>b>0,所以a-b>0,c-a>0,c-b>0,所以>. 方法二(性质法): 因为c>a>b>0,所以0<c-a<c-b,所以0<<,即>>0, 又因为a>b>0,所以>. 方法三(转化法):因为a>b>0,所以<,因为c>0,所以<, 所以-1<-1,即<,故>. 【即学即练】 (2026·海口高一检测)若a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>. 【证明】因为c<d<0,所以-c>-d>0,利用同向可加性得a-c>b-d>0, 所以(a-c)2>(b-d)2>0,则0<<, 又e<0,所以>. 【解题有招】 证明不等式的方法 (1)利用不等式的性质对不等式的证明其实质就是利用性质对不等式进行变形,变形要等价,同时要注意性质适用的前提条件. (2)用作差法证明不等式和用作差法比较大小的方法原理一样,变形后判断符号时要注意充分利用题目中的条件. 类型3 利用不等式的性质求代数式的范围(逻辑推理) 【典例3】已知1<a<4,2<b<8,试求下列各式的取值范围: (1)2a+3b;(2)a-b;(3). 【解析】(1)因为1<a<4,2<b<8,所以2<2a<8,6<3b<24. 所以8<2a+3b<32,故2a+3b的取值范围是{2a+3b|8<2a+3b<32}. (2)因为2<b<8,所以-8<-b<-2. 又因为1<a<4,所以1+(-8)<a+(-b)<4+(-2),即-7<a-b<2. 故a-b的取值范围是{a-b|-7<a-b<2}. (3)因为2<b<8,所以<<,而1<a<4, 所以1×<a·<4×,即<<2. 故的取值范围是{|<<2}. 【解题有招】 利用不等式求指定代数式的关注点 (1)要充分利用性质进行适当变形求范围,注意变形的等价性; (2)要注意整体使用所给条件. 【即学即练】 1.(2026·昭通高一检测)已知实数x,y满足1<x<6,2<y<3,则x-2y的取值范围为　　　　　　　.  【解析】由2<y<3,可知-6<-2y<-4,又1<x<6,所以-5<x-2y<2. 即x-2y的取值范围为{x-2y|-5<x-2y<2}. 答案:{x-2y|-5<x-2y<2} 2.(2026·上海高一检测)已知x,y满足,则x+3y的取值范围是　　　　　　　.  【解析】因为x+3y=2(x+2y)-(x+y),且, 则,可得0≤x+3y≤7, 所以x+3y的取值范围是{x+3y|0≤x+3y≤7}. 答案:{x+3y|0≤x+3y≤7} 糖水不等式 (链接教材P43习题2.1T10) 若a>b>0,m>0则<;>(a-m>0) 【典例4】某高校在去年9月初共有m名在校学生,其中有n(m>n)名新生,在9月底,又补录了b名学生,则新生占学生的比例　　　　(选填“变大”“变小”或“不变”),其理论依据用数学形式表达为　　　　　　　　　.  【解析】由题意补录了b名学生,新生人数增多,而原有学生人数不变,由此知,新生所占的比例必增大.由于补录后新生人数变为n+b,在校生人数增加为m+b,故所对应的不等式模型是<, 即若m>n>0,b>0,则<. 答案:变大　若m>n>0,b>0,则< $