3.1.1 函数的概念 第1课时课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数的概念、定义域、值域及对应关系，课堂导入通过初中函数实例（如y=4x与正方形周长关系、y=4与y=4/x是否为同一函数）设问，搭建新旧知识桥梁，引导学生从已有认知过渡到函数的现代定义。 其亮点是以现实情境（复兴号运行、工资计算、AQI变化图等）为载体，培养学生用数学眼光抽象数量关系，通过对比辨析（如问题1和2的定义域差异）发展数学思维中的推理意识，用解析式、图像、表格多元表示函数体现数学语言的表达。典例与练习结合助力学生理解概念，为教师提供结构化教学资源。

3.1.1 函数的概念 第1课时 人教A版（2019） 必修第一册 第三章 函数的概念与性质 学习目标 1.理解函数的概念与表示； 2.掌握函数的定义域、对应关系和值域. 3.了解函数的实际背景. 新课导入 探索新知 （1）这段时间内，列车行进的路程S（单位：km） 与运行时间t（单位：h）的关系如何表示？ 这是一个函数吗？ 请说明理由. 思考 有人说：“根据对应关系 ，这趟列车加速到 350 后，运行 1h 就前进了 350 km．”你认为这个说法正确吗？ 探索新知 （3）如何更加精准地表述S与t的函数关系？ 探索新知 探索新知 （2）一个工人的工资w（单位：元）是他工作天数d的函数吗？请说明理由. （3）你能仿照问题（1）中对S和t的对应关系的精准刻画，给出这个问题中w 与d的精准表示吗？ 工作天数/天 1 2 3 4 5 6 所得工资/元 350 700 1050 1400 1750 2100 判断两个函数是否为同一个函数，不能只是对应关系相同，还要判断自变量的范围是否一样（也可以引导学生用图象来区分这两个不同的函数） 思考 问题 1 和问题 2 中的函数有相同的对应关系，你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 不是，自变量的取值范围不同. 探索新知 探索新知 探索新知 思考 你认为按表给出的对应关系，恩格尔系数 是年份 的函数吗？如果是，你会用怎样的语言来刻画这个函数？ 探索新知 思考 归纳：上述问题 1～问题 4 中的函数有哪些共同特征？由此你能概括出函数概念的本质特征吗？ 函数的共同特征 函数的对应关系 函数的概念 注意：1. 集合 B 中可以存在多余“元素”. 2 表示“x 对应的函数值”，而不是“f 乘 x” 定义域和值域 注意：值域是集合 B 的子集 函数的传统定义与现代定义的异同点 不同点：传统定义从变量变化的角度，刻画两个变量之间的对应关系；而现代定义，则从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的对应关系. 相同点：两种对应关系满足的条件是相同的，＂变量 x 的每一个值＂及＂集合 A 中的每一个数＂，都有唯一一个＂y 值＂与之对应. 函数的四个特征 概念 一般地，设A，B是非空的______，如果对于集合A中的___________，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有_____确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x)，x∈A 定义域 ____的取值范围 值域 与x的值相对应的y值的集合____________ 实数集 任意一个数x 唯一 x {f(x)|x∈A} 把握概念 (1)A，B是非空的实数集，定义域是A，值域是集合B的子集. (2)函数定义中强调“三性”：任意性、存在性、唯一性. (3)函数符号“y=f(x)”是数学符号之一，不表示y等于f与x的乘积，f(x)也不一定是解析式，还可以是图象或表格，或其他的对应关系. (4)除f(x)外，有时还用g(x)，u(x)，F(x)，G(x)等符号表示函数. (5)函数三要素：定义域、对应关系与值域 . 特别提醒 探索新知 反比例函数 例1 （1） 设 <m></m> ， <m></m> ，给出下列四个图形： 其中，能表示从集合 到集合 的函数关系的个数是( @25@ ). A. B. C. D. B 典例分析：函数概念 （2） （多选题）下列对应关系是实数集 上的函数的是( @27@ ). A. ：把 对应到 B. ：把 对应到 C. ：把 对应到 D. ：把 对应到 典例分析 AB 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法： (1)任取一条垂直于x轴的直线l； (2)在定义域内平行移动直线l； (3)若l与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数. 2.判断一个对应关系是否为函数的方法 1.下列可以表示以M=为定义域，以N=为值域的函数图象是(　　) √ 跟踪练习1 典例分析：函数的三要素 (1)已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的定义域为 _____________，值域为________________. {x|－2≤x≤4} {y|－2≤y≤3} 解析：根据函数y＝f(x)的图象知， A.0 B.1 C.2 D.3 x x≤1 1<x<2 x≥2 f(x) 1 2 3 √ 解析： 1.把握对应关系的关键是理解“任意一个x∈A，都对应唯一的y∈B”. 2.对于含有多层对应关系的问题，可以尝试从里向外逐层代入或者从外向里逐层求值的方法解决. 关键点：(1)求f(a)时，a必须是f(x)定义域内的x取值，否则无意义； (2)函数的值域并不是函数定义中的集合B. 跟踪练习2 解析： {0，1} 解析： 构建函数关系的问题情境 当堂检测 C 当堂检测 解析： 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 4. 解析： 当堂检测 5. 解析： 课堂总结 1.函数的概念 2.定义域和值域 3.函数的共同特征 解析： A错误，x2＋y2＝1可化为y＝±，显然对任意x∈A，y值不唯一．B正确，符合函数的定义．C错误，2∈A，在B中找不到与之相对应的数．D错误，－1∈A，在B中找不到与之相对应的数． 答案：B　 定义域{x|－2≤x≤4}，值域{y|－2≤y≤3}. 又因为10∈{x|x≥2}，所以f(10)＝3.因此f＝3. (2)已知函数f(x)由下表给出，则f的值为 因为∈{x|x≤1}，所以f＝1， 则10f＝10，所以f＝f(10). ∵g(3)＝32＋2＝11， ∴f[g(3)]＝f(11)＝＝. (1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).则f[g(3)]＝________. 由x∈{－1，0，1}，且f(x)＝x2， ∴f(－1)＝1，f(0)＝0，f(1)＝1. 因此函数f(x)的值域是{0，1}. (2)若函数f(x)＝x2，x∈{－1，0，1}，则函数f(x)的值域是________. 如果对x的取值范围作出限制， 例如x∈{x|x>0}，那么可以构建如下情境： 某工厂现有原材料300 t，平均每天用去x t，这批原材料能用y天，则y＝，其中，x的取值范围是A＝{x|0<x≤300}，y的取值范围是B＝{y|y≥1}，对应关系f把每天的使用量x，对应到唯一确定的使用天数. 试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式y＝来描述. 把y＝看作反比例函数，那么它的定义域为A＝{x|x≠0}，值域是B＝{y|y≠0}，对应关系f把定义域中任意一个数x，对应到B中唯一确定的数. $