精品解析：福建三明市2025-2026学年第二学期高二期末适应性练习数学试题

三明市2025—2026学年第二学期高二期末适应性练习 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 本试卷共5页. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合在实数集下的补集，再计算该补集与集合的交集即可． 【详解】由，得， 因为，所以． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定规则，更换量词并否定结论即可求解． 【详解】全称量词命题“，”的否定是存在量词命题“，”． 所以命题“，”的否定是“，”． 3. ，，，，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】充分性：因为且，由不等式的性质可得，充分性成立； 必要性：取，，，，则成立，且，但”不成立，必要性不成立. 因此，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去B餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.8；如果第1天去A餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.4，则王同学第2天去B餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 【答案】B 【解析】 【详解】设事件B表示“王同学第2天去B餐厅用餐”; 事件表示“王同学第1天去A餐厅用餐”; 事件表示“王同学第1天去B餐厅用餐”， 由题意得,,, 由全概率公式得 . 5. 某产品的广告费用x与销售利润y的统计数据如下表，由表中数据用最小二乘法求得广告费用x与销售利润y满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） x/万元 4 7 8 9 12 y/万元 11 22 24 26 37 A. x与y有正相关关系 B. C. 当时，残差为-0.2 D. 当广告投入金额为10万元时，该产品的销售利润一定为30.4万元 【答案】D 【解析】 【详解】A.因为回归系数，所以x与y有正相关关系，A正确. B.，，将点 代入经验回归方程得，B正确. C.当时，，残差，C正确. D.当时，预测值，但回归方程得到的是预测值， 不是确定的值，实际利润可能存在波动，D错误. 6. 某次高三数学质检考试，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少1名学生的成绩高于100分的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到，并得到成绩高于100分的学生人数，求出相应的概率 【详解】服从正态分布，， 故， 故从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，设成绩高于100分的学生人数为， 则，故，， 所以至少1名学生的成绩高于100分的概率为 7. 首届“闽超”联赛期间，三明赛区为了给球迷提供更好的服务，派5名志愿者到A，B，C三个公交接驳点进行服务，若每人只能去一个接驳点，每个接驳点至少派一人，其中志愿者甲只能去接驳点A，则不同选派方案的种数为（ ） A. 20 B. 42 C. 44 D. 50 【答案】D 【解析】 【分析】固定甲去接驳点A后，将问题转化为剩余4名志愿者分配到A、B、C三点，且B、C均至少分配1人，用容斥原理计算符合要求的方案数. 【详解】已知志愿者甲固定去A，因此A已满足至少1人的要求，仅需保证B、C两个接驳点均至少分配1人， 剩余4名志愿者每人可选择A、B、C中任意一个接驳点， 4名志愿者无限制分配的总情况数为种； 排除B接驳点无人的情况：剩余4人均分配到A或C，共种； 排除C接驳点无人的情况：剩余4人均分配到A或B，共种； 上述两类排除情况中，“B、C均无人，剩余4人均分配到A”的情况被重复排除，需补回1种； 由容斥原理，符合条件的选派方案种数为. 8. 已知正实数x，y，z，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用对数，将x，y，z表示出来，通过构造函数比较大小． 【详解】设，因为x，y，z为正实数，故； 则，，； 则，，； 只需比较即可；设； 则，当时，，单调递增， 故， 故； 因为，故，， 故，故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数a，b满足，下列结论正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值4 C. 有最小值2 D. 有最小值2 【答案】AC 【解析】 【分析】结合已知条件（为正实数），依据基本不等式“一正二定三相等”的规则逐一判断选项. 【详解】 对于A：由基本不等式得，代入得，化简得， 当且仅当即时等号成立，故最大值为，A正确； 对于B：用乘“1”法计算：， 可知最小值为4，无最大值，B错误； 对于C：由不等式，代入得， 当且仅当即时等号成立，故最小值为2，C正确； 对于D：， 当且仅当即时等号成立可知最小值为4，D错误. 10. （多选题）已知随机事件A，B满足：，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若A与B互斥，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义，结合独立事件的定义、条件概率公式逐一判断各选项即可. 【详解】对于选项A，，因为没有给出是独立或互斥，所以不确定，故选项A不正确； 对于选项B，因为A与B互斥，所以，.故选项B正确； 对于选项C，，而， 所以，故选项C正确； 对于选项D，由，得， 所以，所以有， 又，所以. ，又， 所以，故选项D正确. 11. 已知三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的拐点是 B. 当时，若在区间内有最小值，则实数m的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有且仅有一个公共点 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据题设定义求得，即可求解；对于B，根据条件，求得的极小值为，并求得，即可求解；对于C，根据条件，将问题转化成与有三个交点，利用导数求出的单调区间和极值，即可求解；对于D，联立直线与曲线方程，通过判断方程解的个数，即可求解. 【详解】对于A，由得， 则， 令，解得， 又，所以的拐点是，故A正确； 对于B，当时，，则， 所以当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又由，得到，解得或， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，即的取值范围是，故B正确； 对于C，因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C错误， 对于D，由，可得， 即，显然在定义域上单调递增， 所以，即对任意实数，直线与曲线有且仅有一个公共点，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中的常数项为________. 【答案】 【解析】 【详解】展开的通项是， 令可得， 因此，常数项为 13. 若函数在区间的最大值为M，最小值为n，则_______. 【答案】4 【解析】 【分析】设，，得到其为奇函数，，从而得到答案 【详解】设，，的定义域关于原点对称， ， 故为奇函数， 设在上的最大值为，最小值为， 则， 则. 14. 甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛，挑战规则如下：累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲或乙最终获胜的概率为_______. 【答案】##0.5625 【解析】 【分析】根据比赛规则，甲获胜的概率与乙获胜的概率相同，故先求甲获胜的概率.记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，甲胜这个事件可表示为：，，，，，，，，由互斥事件和独立事件的概率公式计算可得. 【详解】记甲、乙最终获胜的事件分别为，由赛制规则及初始对阵（甲、乙首先比赛，丙轮空）可知，甲与乙在赛程中地位完全相同，故甲获胜的概率与乙获胜的概率相等， 即，所求概率为. 记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则甲赢的基本事件包括，，，，，，，， 所以，甲赢的概率. 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的极值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的极值； （2）将不等式进行变形，构造新函数，通过求函数的最值确定实数的取值范围. 【小问1详解】 ，， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得极小值，极小值为，无极大值. 【小问2详解】 存在，使得成立， 即在上有解， 即在上有解， 令，， ，， ，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值，即最小值为. 因为在上有解，所以， 所以实数的取值范围为. 16. 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了100名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 45 15 60 物理成绩不优秀 10 30 40 合计 55 45 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联? （2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取8人.若从这8人中随机抽取2人，记为数学成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联 （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望为 【解析】 【分析】（1）计算的观测值，根据独立性检验判断； （2）确定随机变量的取值及概率，列分布列，根据数学期望公式求出数学期望. 【小问1详解】 由列联表数据可得， 依据小概率值的独立性检验，能认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联. 【小问2详解】 物理成绩不优秀的学生中，数学成绩优秀与不优秀的比例为， 采用分层随机抽样的方法抽取8人，数学成绩优秀的为人， 数学成绩不优秀的为人， 从这8人中随机抽取2人，的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望为. 17. 已知函数（且）为奇函数. （1）求实数的值并解不等式； （2）若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质，求出的值，代入解不等式即可； （2）令，把问题转化为与关于的函数交点问题，画出函数图象，数形结合可得答案. 【小问1详解】 由是定义域为的奇函数，得，即, ，， 所以，经检验满足题意； 由，可得， 所以，即， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 令，由得， ， 等价于， 即，， 令， ，则，代入得， 函数在单调递减，在单调递增，最小值为， 当 时，， 要使方程有两个不同解，实数的取值范围为. 18. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若当时，，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，求证：． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 （2） （3）证明：因为且 ，所以 等价于 不妨设 ． 若 ，则函数 在 上单调递增，不可能有两个不同的零点，故 ． 令则 所以 在 上单调递增，在 上单调递减． 由 ，可知 设 则 ，且 令 ． 由 ，得 又 ，所以 于是由 ，得 再代入 ，得 令 则其中利用了 ． 因此 在 上单调递减． 又 ，所以当 时，． 从而即 【解析】 【分析】（1）根据导数的正负即可得出函数的单调区间； （2）分类讨论的范围，结合导数的正负进行验证即可求解； （3）通过换元将问题转化为证明，构造函数，结合导数与最值，即可证明． 【小问1详解】 当时，，其定义域为，， 令， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 ，令， 则， 当时，，在上单调递增， 所以， 所以，则在上单调递增，，与题设矛盾，舍去； 当时，令，解得， 若，即时，，则在上单调递减， 所以，则， 所以在上单调递减，，符合题意； 若，即， 当时，，则在上单调递增，， 所以，所以在上单调递增，，与题设矛盾，舍去； 综上，． 【小问3详解】 略． 19. 在维空间中，对于任意两点，，我们将称为P，Q两点间的曼哈顿距离， 给出如下规定： ①在三维空间中，以单位长度为棱长的立方体称为“三维单位立方体”，顶点坐标用表示，其中； ②在维空间中（，），以单位长度为棱长的立方体称为“维单位立方体”，顶点坐标用表示，其中； 根据以上定义和规定，从“维单位立方体”的所有顶点中任取两点，记随机变量为“这两个顶点间的曼哈顿距离”. （1）若，求； （2）若，求取得最大值时的值； （3）求的方差. 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率公式，即可求解； （2）根据曼哈顿距离的定义可知，，代入，即可求解； （3）结合可得分布列，根据方差公式，分别计算即可求解. 【小问1详解】 时，顶点坐标分别为，，，，，，，共8个， 其中能满足曼哈顿距离为1的有和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，和，共12对， 所以. 【小问2详解】 由题意得，可取， 当时，对于点与点， 其中使的i的个数为，则满足的的个数为， 此时所对应情况数为， 则， 因此当时，， 由二项式系数的单调性与最大值知，当时，最大， 故当取最大值时，. 【小问3详解】 由（2）知， 故的分布列为 1 2 故， 又①， 所以②， ①+②可得，， 故， 而， 设， 两边求导得 两边同乘以，得， 两边求导得， 令，得， 故， 因此. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三明市2025—2026学年第二学期高二期末适应性练习 数学试题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 本试卷共5页. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. ，，，，且，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去B餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.8；如果第1天去A餐厅，那么第2天去B餐厅的概率为0.4，则王同学第2天去B餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.9 5. 某产品的广告费用x与销售利润y的统计数据如下表，由表中数据用最小二乘法求得广告费用x与销售利润y满足经验回归方程，则下列结论不正确的是（ ） x/万元 4 7 8 9 12 y/万元 11 22 24 26 37 A. x与y有正相关关系 B. C. 当时，残差为-0.2 D. 当广告投入金额为10万元时，该产品的销售利润一定为30.4万元 6. 某次高三数学质检考试，学生成绩服从正态分布.若，则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生，至少1名学生的成绩高于100分的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 首届“闽超”联赛期间，三明赛区为了给球迷提供更好的服务，派5名志愿者到A，B，C三个公交接驳点进行服务，若每人只能去一个接驳点，每个接驳点至少派一人，其中志愿者甲只能去接驳点A，则不同选派方案的种数为（ ） A. 20 B. 42 C. 44 D. 50 8. 已知正实数x，y，z，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知正实数a，b满足，下列结论正确的是（ ） A. 有最大值 B. 有最大值4 C. 有最小值2 D. 有最小值2 10. （多选题）已知随机事件A，B满足：，，下列选项正确的是（ ） A. B. 若A与B互斥，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的拐点是 B. 当时，若在区间内有最小值，则实数m的取值范围是 C. 若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D. 对任意实数，直线与曲线有且仅有一个公共点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 的展开式中的常数项为________. 13. 若函数在区间的最大值为M，最小值为n，则_______. 14. 甲、乙、丙三人进行乒乓球挑战赛，挑战规则如下：累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则甲或乙最终获胜的概率为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求的极值； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围. 16. 为了研究高二学生数学和物理成绩的相关情况，学校在高二学生中采用随机抽样的方法抽取了100名学生，调查他们平时的数学与物理成绩情况，统计数据如下. 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 合计 物理成绩优秀 45 15 60 物理成绩不优秀 10 30 40 合计 55 45 100 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为数学成绩优秀与物理成绩优秀有关联? （2）从调查的物理成绩不优秀的学生中，按照数学成绩是否优秀采用分层随机抽样的方法抽取8人.若从这8人中随机抽取2人，记为数学成绩优秀的人数，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数（且）为奇函数. （1）求实数的值并解不等式； （2）若函数在区间有两个不同的零点，求实数的取值范围. 18. 已知函数，． （1）当时，求的单调区间； （2）若当时，，求实数的取值范围； （3）若函数有两个不同的零点，，求证：． 19. 在维空间中，对于任意两点，，我们将称为P，Q两点间的曼哈顿距离， 给出如下规定： ①在三维空间中，以单位长度为棱长的立方体称为“三维单位立方体”，顶点坐标用表示，其中； ②在维空间中（，），以单位长度为棱长的立方体称为“维单位立方体”，顶点坐标用表示，其中； 根据以上定义和规定，从“维单位立方体”的所有顶点中任取两点，记随机变量为“这两个顶点间的曼哈顿距离”. （1）若，求； （2）若，求取得最大值时的值； （3）求的方差. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $