精品解析：福建宁德市2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2025-2026学年第二学期高二年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.18 B. 0.24 C. 0.32 D. 0.36 3. 如图，在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 4. 定义在上的奇函数满足当时，，在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 6. 若事件，满足，，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 一根绳结在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现将绳结的两头向两端拉紧，会打成一个结的概率是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的是（ ） A. 独立性检验中，的值越小，越有把握认为两个分类变量有关系 B. 若变量与变量的相关系数，则变量与之间的正相关性很强 C. 随机变量，若，，则 D. 在回归方程中，当每增加1个单位时，平均减少0.2个单位 10. 已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则（ ） A. B. 平面内存在直线平行于平面 C. 点到平面的距离为 D. 与平面所成角的正弦值为 11. 已知函数的定义域为，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 有且仅有4个极值点 D. 有5个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数________． 13. 将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，则正面朝上的次数比反面朝上少的概率是_______． 14. 若，，不等式恒成立，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2026年“闽超”足球联赛火热开赛，赛场外同步开展特色好物展销活动，主办方统计了连续5场比赛的观赛人数与特色产品单日销售额．设为单场观赛人数（单位：千人），为特色产品单日销售额（单位：千元），得到了如下数据： 6 7 8 9 10 3 5 6 7 9 （1）由数据可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测单场观赛人数为15千人时特色产品单日销售额； （2）若观赛人数不低于8千人的场次称为“热门场次”，从5场比赛中随机选出2场，记其中热门场次的数量为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 16. 设函数，． （1）求的单调区间； （2）若在上的最大值为5，求实数的取值范围． 17. 如图1，在等腰梯形中，，，，，将沿翻折，得到如图2所示的四棱锥，记二面角的平面角为． （1）当时，求证：平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 18. 某奶茶店每日经营状态分为热销状态和平淡状态，当日经营状态仅由前一日状态决定．设为店铺第天处于热销状态的概率，店铺开业首日为热销状态，即． 状态转移规则如下： ①当日为热销状态时，次日保持热销状态的概率为，转为平淡状态的概率为； ②当日为平淡状态时，次日转为热销状态的概率为，保持平淡状态的概率为． 已知当日为热销状态时利润为元，为平淡状态时利润为元． （1）求，； （2）求； （3）记第天的利润为，证明：． 19. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任意恒成立”，已知函数． （1）求函数的对称中心； （2）若在定义域内恒成立，求的取值范围； （3）设，为的两个不同的极值点，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二年级期末考试 数学试题 注意事项： 1．答题前，学生务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的学校、准考证号、姓名．学生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与学生本人准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】函数的定义域为，. 所以. 2. 已知随机变量，且，则（ ） A. 0.18 B. 0.24 C. 0.32 D. 0.36 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得，根据正态分布曲线相关定义得， ， 解得. 3. 如图，在三棱锥中，（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 4. 定义在上的奇函数满足当时，，在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数为奇函数求得当时，，再利用导数求切线方程. 【详解】若，则，则， 因为是定义在上的奇函数，所以， 对其求导得，则，又因， 所以曲线在处的切线方程为，即. 5. 已知，，是不共面的三个向量，则下列能构成一组基的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于B选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于C选项，存在，使得，则三个向量共面，不能构成一组基底； 对于D选项，设，整理得， 由不共面，得​，解得，只有零解， 则，，三个向量不共面，所以能构成一组基底. 6. 若事件，满足，，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，即， 所以事件、为独立事件， 因此，故选项B正确. 则 也独立，因此 ，A错误； 因为事件、为独立事件， 所以事件、不是互斥事件也不是对立事件， 所以选项CD错误， 7. 在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 8. 一根绳结在地面的影子如图所示（看不出各部分的上下层次）．现将绳结的两头向两端拉紧，会打成一个结的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图所示，假设两个交叉点处所在上、下位置已知， 在两个交叉点处都有上、下两种位置，共种， 只有当所处上、下位置相反，且所处上、下位置相反才会打成一个结， 只有种情况， 故会打成一个结的概率是. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 以下说法正确的是（ ） A. 独立性检验中，的值越小，越有把握认为两个分类变量有关系 B. 若变量与变量的相关系数，则变量与之间的正相关性很强 C. 随机变量，若，，则 D. 在回归方程中，当每增加1个单位时，平均减少0.2个单位 【答案】BD 【解析】 【分析】根据独立性检验的概念判断A，根据相关系数的概念判断B，代入，得出C，根据回归直线方程的概念，判断D. 【详解】选项A，独立性检验中，的值越大，越有把握认为两个分类变量有关系； 的值越小，越没有把握认为它们有关系，所以A错误. 选项B，相关系数，且，说明变量与之间正相关，且非常接近1，正相关性很强，所以B正确. 选项C，已知，则，. 把代入方差公式可得，，， 再由得，，所以C错误. 选项D，回归方程中，斜率为，表示当每增加1个单位时，平均减少个单位，所以D正确. 10. 已知正方体的棱长为2，点是线段上的动点，则（ ） A. B. 平面内存在直线平行于平面 C. 点到平面的距离为 D. 与平面所成角的正弦值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先画出正方体，平面，先证平面，即可判断A项；平面平面，且平面平面，故在平面内找到与平行的直线，即可判断B项；易证平面，利用等体积法即可求点到平面的距离，即点到平面的距离，进而判断C项；由线面角的定义即可求与平面所成角的正弦值，进而判断D项. 【详解】A项，如图所示，连接，则.在正方体中，易知， 因为，平面，所以平面. 又因为平面，所以.故A正确. B项，过作平面，垂足为，连接，则，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又因为平面，平面，所以平面，即平面内存在直线平行于平面.故B正确. C项，在正方体中，易知，则平面， 则点到平面的距离等于点到平面的距离.易知是边长为的正三角形， 设点到平面的距离为，则. 又，所以，解得.故C正确. D项，由正方形的性质可知关于对称，结合C项分析可知点到平面的距离为， 设与平面的夹角为，则，故D错误. 11. 已知函数的定义域为，则（ ） A. 为奇函数 B. 在上单调递增 C. 有且仅有4个极值点 D. 有5个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，利用奇函数的定义法进行验证；对于B、C，利用导数来判断单调区间和极值点；对于D，利用奇函数的性质及其单调区间和极值点的大小求出零点的个数. 【详解】对于A，由题可得定义域关于原点对称， 且，即为奇函数，故A正确； 对于B，， 令， 因为在内，都单调递增，则在上单调递减， 又因，， 故，使，即函数在取得极值，故B错误； 对于C，因为为奇函数，故当时的极值点个数等于时的极值点个数， 因为，故不为极值点， 当时，令，由上分析，为的第一个极值点， 在内，， 令，则， 在内，，，则在上单调递增， 又，， 因此，使得， 当时，,即,故在上单调递减， 当时，,即,故在上单调递增， 又因，, 故，使得，则为的第二个极值点， 因为在的值域为，故在恒大于0， 因此在无极值点，所以在有2个极值点， 因此在上有且仅有4个极值点，故C正确； 对于D，为奇函数，故时的零点个数等于时的零点个数， 由C选项可得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 因，当时，， ， 故，因为，故，使得， 则为在上的第一个零点， 根据C，可得在上单调递增， 而，则为上的第二个零点， 因此在上有2个零点，故在上也有2个零点； 综上在有5个零点. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数________． 【答案】 【解析】 【详解】向量，， 因为，所以， 解得. 13. 将一枚质地均匀的硬币抛掷4次，则正面朝上的次数比反面朝上少的概率是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】使用独立事件概率公式求解. 【详解】正面朝上的次数比反面朝上少的概率是：. 14. 若，，不等式恒成立，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】若，不等式恒成立可转化为恒成立，构造函数，利用导数分析的单调性，即可求得的值. 【详解】若，，不等式恒成立， 则恒成立， 即， 即恒成立. 令，则在上单调递减. . 令，得，， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以. 又，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 2026年“闽超”足球联赛火热开赛，赛场外同步开展特色好物展销活动，主办方统计了连续5场比赛的观赛人数与特色产品单日销售额．设为单场观赛人数（单位：千人），为特色产品单日销售额（单位：千元），得到了如下数据： 6 7 8 9 10 3 5 6 7 9 （1）由数据可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测单场观赛人数为15千人时特色产品单日销售额； （2）若观赛人数不低于8千人的场次称为“热门场次”，从5场比赛中随机选出2场，记其中热门场次的数量为，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 【答案】（1），预测单场观赛人数为15千人时特色产品单日销售额为15.8千元 （2）的分布列为 0 1 2 【解析】 【小问1详解】 由数据可得，，， 则， ， 所以， ， 因此，y关于x的线性回归方程为：， 当时，（千元）， 因此，预测单场观赛人数为15千人时特色产品单日销售额为15.8千元. 【小问2详解】 由题意可知，“热门场次”共有3场，即的可能取值为0，1，2， ，，， 故的分布列为 0 1 2 . 16. 设函数，． （1）求的单调区间； （2）若在上的最大值为5，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求导，分析导函数的符号，可得函数的单调区间； （2）根据函数的单调性分析求得的极大值，并与区间端点函数值比较，进而确定的取值范围． 【小问1详解】 由得， 解得，． ∵当或时，； 当时，； 的单调递增区间为和， ∴单调递减区间为． 【小问2详解】 ∵由（1）知在和单调递增，在单调递减， ∴当时，有极大值， 又， 由得，当且仅当时取得最大值5符合题意， 的取值范围为． 17. 如图1，在等腰梯形中，，，，，将沿翻折，得到如图2所示的四棱锥，记二面角的平面角为． （1）当时，求证：平面； （2）当时，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）当时， 平面平面，平面平面， ，由折叠可知，， ∵平面，∴平面， ∵平面，则， 又在三角形中， 易知，，， 则，所以， 又∵，平面，平面， 所以平面． 方法二： 由折叠可知，，， 所以即为二面角的平面角， 当时，， 如图，建立空间直角坐标系 ，，，， 则，，， ，， 所以，， 又∵，平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）首先由平面平面推出平面，再利用线面垂直性质得到，然后由勾股定理推出，进而证明线面垂直； （2）先确定为二面角的平面角，过作于点，证得平面，以为原点，的平行线为轴，建立空间直角坐标系.分别求出平面、平面的法向量，应用向量法求得即得平面与平面所成角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由折叠可知，，， 所以即为二面角的平面角， 则， 又，所以平面， ∵平面，∴平面平面，且交线为， 过作于点，则平面， 如图，以为原点，的平行线为轴，建立空间直角坐标系 在中，，，所以，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， ∴. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则， ∴. ， 则平面与平面所成角的余弦值为． 18. 某奶茶店每日经营状态分为热销状态和平淡状态，当日经营状态仅由前一日状态决定．设为店铺第天处于热销状态的概率，店铺开业首日为热销状态，即． 状态转移规则如下： ①当日为热销状态时，次日保持热销状态的概率为，转为平淡状态的概率为； ②当日为平淡状态时，次日转为热销状态的概率为，保持平淡状态的概率为． 已知当日为热销状态时利润为元，为平淡状态时利润为元． （1）求，； （2）求； （3）记第天的利润为，证明：． 【答案】（1）， （2） （3） 随着的增大而减小， 当时，， 所以． 【解析】 【分析】（1）由题意得出，再利用全概率公式计算； （2）先写出通用转移递推式，构造等比数列，进而求出； （3）按期望定义列式，代入，分析单调性进而求出最大值，证明结论． 【小问1详解】 依题意得， ． 【小问2详解】 依题意得 ， 整理得， 所以， 即， 又， 则是一个以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则． 【小问3详解】 略 19. “函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任意恒成立”，已知函数． （1）求函数的对称中心； （2）若在定义域内恒成立，求的取值范围； （3）设，为的两个不同的极值点，求． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数对称中心的充要条件，通过计算，可直接得出对称中心. （2）利用对称性将不等式转化为，再利用导数求的单调性，转化为与的比较，最后分离参数，求的取值范围； （3）先求得，然后对多次求导，找到的零点，即的极值点，根据，找到之间的关系，进而求得的值. 【小问1详解】 因为的定义域为，且定义域关于对称中心对称，所以对称中心的横坐标为2， 而， 所以的对称中心为． 【小问2详解】 由（1）知，则， 即，因为，所以在上单调递增， 则，整理得， 令，则，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，故， 所以，即a的取值范围为． 【小问3详解】 由题意得， 则，令， 则，那么， 而，所以在上单调递减，在上单调递增， 即．故在和上单调递增． 又因为，， 则存在使得， 从而在和单调递减，在单调递增． 而， ，，， 所以，， 使得，． 整理得，，则， 而，所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $