精品解析：福建省三明市第二中学2024-2025学年高二下学期期末质量检测数学试题A

2024-2025学年（下）高二年级期末质量检测 数 学（试题A） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 由样本点得到 关于 的线性回归方程为，若，则（ ） A. -5 B. -3 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】将代入线性回归方程，求出. 【详解】由题意得在上，即. 故选；B 2. 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据渐近线方程可得，结合双曲线可求离心率. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为， 所以， ， 所以双曲线的离心率为2. 故选：D. 3. “数列 ， ，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项，充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若数列为等比数列，则， 此时，则数列为等比数列， 若数列为等比数列，则，即， 所以数列为等比数列. 故“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充要条件. 故选：C. 4. 某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分两步进行分析：先将4名专家分为2组，再将分好的2组安排到2个不同的医院. 【详解】先分组，再分配， 分组有2种情况： ①一个医院1人，一个医院3人，此时有种， ②两个医院各2人，此时有种， 将分好的组分配到两个不同的医院，有2种情况， 故不同的分配方案有种， 故选：D 5. 已知圆，圆，则两圆的位置关系是（   ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系，利用圆心距与半径间的关系判断即可. 【详解】，圆心，半径， 可化简为， 则圆的圆心为，半径， ，所以两圆相交. 故选：C. 6. 若且，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用特值法或利用对数函数的图象与性质即可得到结果. 【详解】（方法一）对选项A：由，从而，，，从而选项A错误； 对选项B：首先，，，从而知最小，下只需比较与的大小即可，采用差值比较法： ， 从而，选项B正确； 对于选项C：由，，知C错误； 对于选项D：可知，从而选项D错误； 故选B （方法二）取，，代入验证知选项B正确. 【点睛】本题考查式子间大小的比较，考查对数函数的图象与性质，考查运算能力，属于常考题型. 7. 已知函数（其中是自然对数的底数），若有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求导，判断函数的单调性、极值，作出的图象，由，得或，结合图象得解. 【详解】由，则， 当时，，即在上单调递减， 当 时，，即在上单调递增， 所以，又 ，，， 作出的图象，如图， 令，得， 或， 当时，仅存在唯一的 满足；因此，必须有两个根， 结合的图象，可得， 所以实数 的取值范围为. 故选：D. 8. 为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件 表示此动物发病，事件 表示此动物使用药物，定义 的优势，在 发生的条件下 的优势，则（ ） A. 可化简为，估计其值为 B. 可化简为，估计其值为 C. 可化简为，估计其值为 D. 可化简为，估计其值为 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率公式化简. 【详解】1.化简. 已知， 则， 由条件概率公式， 所以 ， 2.根据列联表计算概率 由列联表可知，， 所以 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则（ ） A. 这五名同学成绩的平均数为78 B. 这五名同学成绩的中位数为74 C. 这五名同学成绩的上四分位数为80 D. 这五名同学成绩的方差为32 【答案】CD 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，百分位数以及方差的计算公式即可逐一求解. 【详解】A选项，这五名同学成绩的平均数为，A错误； B选项，将五名同学的成绩按从小到大排列：68，72，76，80，84，则这五名同学成绩的中位数为76，B错误； C选项，，故成绩从小到大排列后，第4个数即为上四分位数，即80，C正确； D选项，五名同学成绩的方差为，D正确． 故选:CD． 10. 在数列中，下列结论正确的是（ ） A. 若数列的前 项和，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，，且，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用退一相减法求得，可判断A选项，根据数列的周期性可判断B选项，利用累乘法求得通项公式，可判断C选项，利用构造法，结合累加法与等比数列求和公式可得通项，即可判断D选项. 【详解】A选项：由已知，当时，， 当时，， 综上所述，A选项错误； B选项：由已知，则，即， 又，，即， 所以当 为奇数时，，当 为偶数时，， 综上所述，B选项正确； C选项：由，即，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，所以，C选项正确； D选项：由已知， 可知数列是以为首项， 为公比的等比数列， 即，即，，，， 等式左右分别相加可得， 又，则，D选项正确； 故选：BCD. 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（ 为正整数），记数列的前 项和为，则下列说法正确的是（   ） A. 当时， B. 当时，使得要13步“雹程” C. 当时， D. 若，则 的取值有6个 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由数列的周期性可得；根据数列递推关系推导即可判断B；根据推导可得前10项为等比数列，，利用等比数列求和即可判断C；对于D，根据数列进行逆向推导即可取等的情况. 【详解】时，， 所以此时数列的周期为3，又，所以，故A错误； 时， ，所以使得经过了13步“雹程”故B正确； ，则，所以， 则，故C正确； 对于D， 所以 的取值有6个，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列满足，则____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用等比数列下标和的性质可得，从而可求解. 【详解】由题意得，所以. 故答案为：. 13. 某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 【答案】 【解析】 【分析】由题知种子发芽的粒数，，根据二项分布求概率即可. 【详解】根据题意，种子发芽的粒数，， ， 所以恰有3粒种子发芽的概率是. 故答案为：. 14. 已知函数，若当时，恒成立，则实数 的最小值为____________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意恒成立等价于恒成立，设，利用导数求出，再设，则在上单调递增，且，从而可求解. 【详解】原不等式等价于在时恒成立， 即在时恒成立， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，设，则在上单调递增， 且，要使时，恒成立， 则恒成立，即，所以实数 的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求该二项展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题知，结合二项式系数最大项为中间项，从而可求解. （2）利用赋值法分别令 和即可求解. 【小问1详解】 由二项式通项公式可得：， 因为为偶数，所以二项式系数最大项为中间项，即第项， 所以， 综上：二项式系数最大项为. 【小问2详解】 由题可得令 ，则， 令，则， 所以. 16. 已知正项等比数列的前 项和为，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前 项和. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，由等比数列的通项公式和求和公式，解得首项和公比，即可得到所求通项公式；（2）bn＝an2+log2an＝2nn，运用数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，计算可得所求和． 【详解】（1）正项等比数列{an}的公比设为q，q＞0，前n项和为Sn， a10是8a2和6a6的等差中项，可得2a10＝8a2+6a6， 即有2a1q9＝8a1q+6a1q5，即为q8﹣3q4﹣4＝0， 解得q， S8＝30+15，可得30+15，解得a1， 可得an＝（）n； （2）bn＝an2+log2an＝2nn， 数列{bn}的前n项和为（2+4+…+2n）（1+2+…+n） •n（n+1）＝2n+1﹣2（n2+n）． 【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的分组求和，化简整理的运算能力，属于基础题． 17. 已知函数在处取得极小值 ，． （1）求 和 的值； （2）对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用导函数，根据极值的定义直接计算可得，经检验满足题意； （2）分别求函数在上的值域与在上的值域，根据题意列不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 由已知， 则， 又函数在处取得极小值 ， 则， 解得， 所以，， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 即此时满足函数在处取得极小值 ， 所以，； 【小问2详解】 由（1）得和随 的变化情况如下表： 3 极大值 极小值 所以当时，的值域为， 当时，的值域为． 因为对任意，总存在，使得， 所以， 解得，即实数的取值范围是． 18. 已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上， 为椭圆的上顶点，直线与椭圆 相交于不同的两点 ， . （1）求椭圆 的方程； （2）若， 为坐标原点，求的面积最大时实数 的值； （3）若直线 ，的斜率分别为，，且，直线 ，与圆分别交于点， .证明：直线过定点，并求出定点坐标. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由直线方程求得焦点坐标，根据已知点，可得答案； （2）联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用点到直线距离以及弦长公式，根据三角形的面积公式，结合基本不等式，可得答案； （3）分直线的斜率存在与否两种情况，联立方程写出韦达定理，根据斜率建立方程，可得答案. 【小问1详解】 由焦点在直线上，令 ，解得， 由过点，则，解得， 所以椭圆 的方程为 【小问2详解】 当时，直线，设，， 联立，消去 可得， 由，则， 可得，， 点 到直线 的距离， 弦长， 则的面积 ， 当且仅当，即时，等号成立，所以 的值为. 【小问3详解】 由（1）可知，所以圆，又，所以， （i）若直线垂直于 轴，，设的方程：，，， 则，消去 可得， 则（*），且， 可得，解得，不满足（*），不合题意； （ii）若直线不垂直于 轴， 则设的方程：，，， 则，消去 可得， 由，则，， 可得. 因为，则，即， ,∴ 所以直线方程为：， 所以直线过定点. 19. 某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为，第二天改开私家车的概率为；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为，第二天改坐班车的概率为.若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为，该工厂某员工第 天坐班车的概率为. （1）设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为，求的分布列与数学期望； （2）求； （3）为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由. 【答案】（1）分布列见解析， （2） （3）去班车停车场 人，去私家车停车场 人，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先求某同学第二天选择坐班车的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）根据题意先求与的关系，然后利用构造法可得通项； （3）由确定两停车场安保人数分配. 【小问1详解】 由题可知，该工厂员工第二天坐班车的概率， 所以 的所有可能取值为0,1,2,3， , , ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 ； 【小问2详解】 由题可知， 则 又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以； 【小问3详解】 由（2）可知，当 趋向于正无穷大时，趋向于， 所以工厂每天抽调的10人中，去班车停车场参加安保工作的应有人，去私家车停车场参加安保工作的应有人. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年（下）高二年级期末质量检测 数 学（试题A） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 由样本点得到 关于 的线性回归方程为，若，则（ ） A. -5 B. -3 C. D. 2 2. 已知双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（   ） A. B. C. D. 2 3. “数列 ， ，为等比数列”是“数列，，为等比数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某市派4名专家到西部某市2家医院坐诊，每家医院至少派1名专家，且每名专家只去1家医院，则不同的分配方案种数为（ ） A. 20 B. 18 C. 16 D. 14 5. 已知圆，圆，则两圆的位置关系是（   ） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 6. 若且，则 A. B. C. D. 7. 已知函数（其中是自然对数的底数），若有三个不同的零点，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 为测试一种新药的有效性，研究人员对某种动物种群进行试验，从该试验种群中随机抽查了100只，得到如下数据（单位：只）： 发病 未发病 合计 使用药物 10 40 50 未使用药物 30 20 50 合计 40 60 100 从该动物种群中任取1只，记事件 表示此动物发病，事件 表示此动物使用药物，定义 的优势，在 发生的条件下 的优势，则（ ） A. 可化简为，估计其值为 B. 可化简为，估计其值为 C. 可化简为，估计其值为 D. 可化简为，估计其值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某高中从本校的三个年级中随机调查了五名同学关于生命科学科普知识的掌握情况，五名同学的成绩如下：84，72，68，76，80，则（ ） A. 这五名同学成绩的平均数为78 B. 这五名同学成绩的中位数为74 C. 这五名同学成绩的上四分位数为80 D. 这五名同学成绩的方差为32 10. 在数列中，下列结论正确的是（ ） A. 若数列的前 项和，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，，且，则 11. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1;若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈.这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”）.如取正整数，根据上述运算法则得出，共需经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）.现给出“冰雹猜想”的递推关系如下： 已知数列满足：（ 为正整数），记数列的前 项和为，则下列说法正确的是（   ） A. 当时， B. 当时，使得要13步“雹程” C. 当时， D. 若，则 的取值有6个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等比数列满足，则____________. 13. 某研究所在试验一批种子，已知该批种子的发芽率是，从中随机选择4粒种子进行播种，则恰有3粒种子发芽的概率是_____. 14. 已知函数，若当时，恒成立，则实数 的最小值为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求该二项展开式中二项式系数最大的项； （2）求的值. 16. 已知正项等比数列的前 项和为，且是和的等差中项. （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前 项和. 17. 已知函数在处取得极小值 ，． （1）求 和 的值； （2）对任意，总存在，使得，求实数的取值范围． 18. 已知椭圆过点，其中一个焦点在直线上， 为椭圆的上顶点，直线与椭圆 相交于不同的两点 ， . （1）求椭圆 的方程； （2）若， 为坐标原点，求的面积最大时实数 的值； （3）若直线 ，的斜率分别为，，且，直线 ，与圆分别交于点 ， .证明：直线过定点，并求出定点坐标. 19. 某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班.统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为，第二天改开私家车的概率为；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为，第二天改坐班车的概率为.若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为，该工厂某员工第 天坐班车的概率为. （1）设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为，求的分布列与数学期望； （2）求； （3）为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $