精品解析：吉林省吉林市桦甸市第四中学、磐石市第一中学校等2025-2026学年高二下学期7月期末数学试题

高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册函数，选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理可求. 【详解】根据分类加法计数原理，不同的选法共有种． 故选：D． 2. 在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的性质求概率． 【详解】由正态分布的图象和性质得 ． 故选：B． 3. 某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为（ ） A. 20 B. 35 C. 50 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】利用分步乘法原理结合条件即得. 【详解】根据分步乘法原理由题可得不同的选派方法数为(种). 故选：D. 4. 函数在处的切线方程为（ ） A. B. C. . D. . 【答案】B 【解析】 【详解】，则， 所以函数在处的切线方程为，即. 5. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出的图象，结合图象可知在上单调递减，即可得到，再由对数的运算比较的关系，即可得解. 【详解】，作出函数的图象如图： 在上单调递减， ，，即， 又，， ，， . 故选：D. 6. 有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第台车床加工的零件数分别占总数的，，.现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则该零件是第2台车床加工的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知，次品是由3台机床共同造成的，利用全概率公式和条件概率公式即可求得结果. 【详解】记为事件“零件为第（）台车床加工”，为事件“任取一个零件为次品”， 则，，，，， 由全概率公式可得， 由条件概率公式可得. 7. 已知一组样本数据，，，，，分别为2，，3，4，5，5，若这组数据的平均数为4，则样本数据，，，，，的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平均数计算可得的值，先计算原数据的方差再结合方差的性质即可得结果. 【详解】因为2，，3，4，5，5的平均数为4，即，所以， 故数据2，5，3，4，5，5的方差为， 所以样本数据，，，，，的方差为， 故选：D. 8. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，利用导数求出函数在上的最大值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】因为，则，其中， 令，解得，令，解得. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，，所以，， 因为在上恒成立，所以，，解得. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有系数和为1 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 【答案】ABD 【解析】 【分析】在二项式中令，可判断A选项；利用二项式系数和可判断B选项；写出二项展开式，令的指数为，可判断C选项；令的指数为零，求出参数的值，代入展开式通项可判断D选项. 【详解】对于A选项：令，可得二项式的展开式中所有项的系数和为，故A正确； 对于B选项：因为指数为偶数，即， 所以展开式的第项二项式系数最大，故B正确； 展开式通项为， 对于C选项： 令，解得， 所以展开式中含项，故C错误； 对于D选项：令，可得， 故展开式中常数项为，故D正确. 故选：ABD. 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项根据组合的方法计算；B选项，利用捆绑法计算；C选项，利用插空法计算；D选项，通过分“礼”排在最后一周和不排在最后一周两种情况计算. 【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确； B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确； C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确； D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，则（ ） A. 在定义域上单调递增 B. 曲线上任意一点处的切线斜率大于0 C. D. 函数有2个零点 【答案】BC 【解析】 【分析】由指数型复合函数单调性即可判断A；求导即可判断B；由题可知，由此即可判断C；由A选项结论即可判断D. 【详解】对A，，， 根据复合函数单调性知在，上单调递增， 当时，，当时，， 所以在定义域上不是单调递增，故A错误； 对B，因为，故B正确； 对C，因为，所以，故C正确； 对D，由A可知，函数不存在零点，故D错误. 故选：BC 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则这三人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 【答案】甲 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由甲、乙、丙的两个随机变量的线性相关系数分别为， 可得，所以这三人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 故答案为：甲. 13. 已知，，，则，，的大小关系为______．（用“＞”连接） 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的运算化简，再构造，利用导数得出单调性即可比较大小． 【详解】∵，，， ∴设，，得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ，，， 根据单调性可知，，∴， 故答案为：． 14. 已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，，，，其中，则______，的取值范围是______． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】作出图象，将方程有4个解，转化为图象与图象有4个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的、的范围与关系，结合图象，可得m的范围，综合分析，即可得答案. 【详解】作出图象，由方程有4个解，可得图象与图象有4个交点，且，如图所示： 由图象可知：且 因为， 所以， 由，可得， 因为，所以 所以，整理得； 当时， 令，可得， 由韦达定理可得 所以， 因为且， 所以或，则或， 所以 故答案为：1，． 【点睛】解题的关键是将函数求解问题，转化为图象与图象求交点问题，再结合二次函数，对数函数的性质求解即可，考查数形结合，分析理解，计算化简的能力，属中档题. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”，然后利用古典概型公式代入求解出与；（2）由（1）的条件，代入条件概率公式即可求解. 【详解】解：（1）设事件表示“第1次抽到代数题”，事件表示“第2次抽到几何题”， 则，所以第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率为. （2）由（1）可得，在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为. 16. 为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名大学生进行统计，得到如下列联表： 男大学生 女大学生 合计 关注原创音乐剧 250 300 550 不关注原创音乐剧 250 200 450 合计 500 500 1000 （1）从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率. （2）试根据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理由. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）有关联，理由如下： 零假设为：是否关注原创音乐剧与性别无关联. 根据列表中的数据，经计算得到， 当时，， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为是否关注原创音乐剧与性别有关联. 【解析】 【分析】（1）直接计算概率即可. （2）计算，对比数据得到答案. 【小问1详解】 从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，这人是女大学生的概率为. 【小问2详解】 略. 17. 已知函数 （1）若，求函数的单调区间; （2）证明：函数至多有一个零点. 【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）直接求导后判断单调性即可； （2）先变形得到，构造函数，求导后说明单调性即可证明. 【小问1详解】 当时，，. 令，解得或， 当时，；当时，， 故 在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 ，由于，所以等价于 设， 则，当且仅当或时，，所以在上单调递增， 故至多有一个零点，从而至多有一个零点. 18. 我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利.为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品. （1）从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望 （2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本质量指标平均数，近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%.那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由. 附：若，则，，. 【答案】（1）分布列： Y 0 1 2 P 数学期望： （2）这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下： 这10件农产品的平均数为， 这10件农产品的方差为 ， 由，可令，， 这批产品中优质品占比满足生产合同的要求，理由如下： 记这种产品的质量指标分值为X，由题意可知，， 可得， 有 所以有足够的理由判断这批产品中优质品占比满足生产合同的要求. 【解析】 【分析】（1）求出的取值和对应的概率可得分布列及期望； （2）求出这10件农产品的平均数和方差，可得，，记这种产品的质量指标分值为X，可知，再根据， 有可得答案 【小问1详解】 因为质量指标分值不低于60分的产品为优质品，所以优质品有3件， 则， ， ， 所以Y的分布列如下： Y 0 1 2 P 故. 【小问2详解】 略 19. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，证明：． 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，令，解得，进而可求得极小值； （2）令，求导，利用分类讨论求得的取值范围； （3）利用已知条件求得，利用分析法可知需证，利用换元法，进而构造函数证明即可. 【小问1详解】 当时，，求导得， 令，解得， 当时，，当时，， 所以时，取得极小值， 极小值为，无极大值； 【小问2详解】 由，可得， 令，则， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以，所以，所以， 当时，所以， 函数在单调递增，则， 所以不等式恒成立， 当时， ， 所以函数在单调递增，， 所以不等式恒成立， 当时，令，， 令，， 存在，使得，在，，则在上单调递减，， ，，则在上单调递减，， 即在，，则在上单调递减， 又，故不等式不恒成立， 综上所述：的取值范围为； 【小问3详解】 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 要证，即证， 只需证明，即证， 令，则需证， 令， 求导， 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递增， 所以，所以， 所以，所以成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，请将答题卡上交. 4.本卷主要命题范围：必修第一册函数，选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学校开设6门球类运动课程、4门田径类运动课程和2门水上运动课程供学生学习，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（ ） A. 48种 B. 36种 C. 24种 D. 12种 2. 在某项测试中，测量结果服从正态分布，若，则（ ） A. 0.9 B. 0.8 C. 0.7 D. 0.6 3. 某校举办运动会，某班级打算从5名男生与4名女生中选两名男生和两名女生去参加跑步接力比赛，则不同的选派方法数为（ ） A. 20 B. 35 C. 50 D. 60 4. 函数在处的切线方程为（ ） A. B. C. . D. . 5. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 有3台车床加工同一类型的零件，第1台加工的次品率为，第2，3台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起，已知第台车床加工的零件数分别占总数的，，.现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则该零件是第2台车床加工的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知一组样本数据，，，，，分别为2，，3，4，5，5，若这组数据的平均数为4，则样本数据，，，，，的方差为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于二项式的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 展开式的所有系数和为1 B. 展开式的第4项二项式系数最大 C. 展开式中不含项 D. 展开式的常数项为240 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（　　） A. 某学生从中选2门课程学习，共有15种选法 B. 课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法 C. 课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法 D. 课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法 11. 已知函数，则（ ） A. 在定义域上单调递增 B. 曲线上任意一点处的切线斜率大于0 C. D. 函数有2个零点 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙、丙各自研究两个随机变量的数据，若甲、乙、丙计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，则这三人中，______研究的两个随机变量的线性相关程度最高. 13. 已知，，，则，，的大小关系为______．（用“＞”连接） 14. 已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，，，，其中，则______，的取值范围是______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤. 15. 在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求： （1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率； （2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率. 16. 为了了解贵州省大学生是否关注原创音乐剧与性别有关，某大学学生会随机抽取1000名大学生进行统计，得到如下列联表： 男大学生 女大学生 合计 关注原创音乐剧 250 300 550 不关注原创音乐剧 250 200 450 合计 500 500 1000 （1）从关注原创音乐剧的550名大学生中任选1人，求这人是女大学生的概率. （2）试根据小概率值的独立性检验，能否认为是否关注原创音乐剧与性别有关联？说明你的理由. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数 （1）若，求函数的单调区间; （2）证明：函数至多有一个零点. 18. 我国脱贫攻坚经过8年奋斗，取得了重大胜利.为巩固脱贫攻坚成果，某项目组对某种农产品的质量情况进行持续跟踪，随机抽取了10件产品，检测结果均为合格，且质量指标分值如下：38，70，50，45，48，54，49，57，60，69，已知质量指标不低于60分的产品为优质品. （1）从这10件农产品中任意抽取两件农产品，记这两件农产品中优质品的件数为Y，求Y的分布列和数学期望 （2）根据生产经验，可以认为这种农产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本质量指标平均数，近似为方差，生产合同中规定，所有农产品优质品的占比不得低于15%.那么这种农产品是否满足生产合同的要求？请说明理由. 附：若，则，，. 19. 设函数． （1）当时，求的极值； （2）若当时，恒成立，求的取值范围； （3）当时，若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $