精品解析：吉林省吉林市吉化第一高级中学校2025-2026学年下学期期末考试高二数学试卷

2025——2026学年度下学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得到，即，则， 由，得到，则，所以. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数定义域和具体函数的定义域的求法，即可列式求解. 【详解】函数的定义域需满足不等式，解得：且， 所以函数的定义域是. 故选：C. 3. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由，得到，等价于，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件. 4. 风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（   ）（注：，） A. 9级 B. 11级 C. 13级 D. 15级 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定方程计算瞬时风速对应的风力等级，结合对数运算及指对互化运算即可求解． 【详解】将轮毂高度瞬时风速代入，得， 由知，，则， 所以， 又，所以， 所以． 5. 设函数，，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数型函数的定义域和单调性，结合内函数为二次函数的单调性，可判断单调递减区间. 【详解】由， 由定义域可知：， 结合二次函数的对称轴， 可知：在上单调递增，在上单调递减， 因为，所以函数的单调递减区间为. 故选：D 6. 已知函数在处有极值44，则（ ） A. -6或10 B. -6 C. 6 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据极值点及极值列式计算求解参数，再检验即可. 【详解】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增，在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴ 7. 如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图像的对称性，单调性，利用排除法求解. 【详解】由图象知，函数是奇函数，排除，；当时，显然大于0，与图象不符，排除D，故选C. 【点睛】本题主要考查了函数的图象及函数的奇偶性，属于中档题. 8. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，求得且，把不等式转化为，得到，结合单调性，即可求解. 【详解】构造函数，可得， 因为，可得，所以在单调递减， 又因为，可得， 则不等式，即，可得， 即，所以，即不等式的解集为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，为实数，则（   ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 10. 已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A选项，因为是奇函数，由判断函数周期；对于B选项，由的周期为4，分别求解，，，即可；对于C选项，由函数对称求解即可；对于D选项，由函数对称的定义求解即可； 【详解】因为是奇函数，所以．因为，所以， 所以，因此是周期为4的周期函数，故A正确． 因为时，，所以，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以．因为的周期为4，所以．因为，所以， 所以，所以，故B正确． 因为，所以，即， 所以的图象关于直线对称，故D正确． 当时，，因为时，，所以， 因为的图象关于直线对称，所以，在上单调递减，故C错误． 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 有3个实数根 C. 若有8个实数根，则 D. 若有4个实数根，从小到大分别为，，，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，计算；对于B，当时，， 当时，计算；对于C，设，则方程即，由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根，，且，，得到，同时构造函数，得到，计算得解； 对于D，作出函数的图像，分析可知当时，直线与函数有两个交点；由时，，当时，直线与函数均有两个交点，故由有4个实数根可得，，由图知，得到和，由解得，由解得，从而得到的范围，求出用表示的式子，利用 的单调性得到的取值范围. 【详解】对于A，由题意，，故A正确； 对于B，当时，由可得， 解得，因，故得； 当时，由可得，或， 解得或， 故有、、共三个实数根，故B正确； 对于C，设，则方程即， 由图知，要使原方程有8个实数根，需使有两个相异实根，， 且，，则由解得或， 设，依题意，需使，则得到， 综上，可得； 对于D，作出函数的图像，由时，， 且，可知当时，直线与函数有两个交点； 又由时，，当时，直线与函数均有两个交点， 故由有4个实数根可得，，由图知，， ，则，解得， 又由解得，由解得，则有， 于是，因函数在单调递减，故， 则， 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 【答案】6 【解析】 【详解】由题意得，，解得，. 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出曲线在点处的切线方程，再设出曲线的切点为，利用公切线的斜率相等及切点也在公切线上，进而建立方程组求解即可． 【详解】由，则，则在点处的切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 设切线与曲线的切点为， 又，得， 则切点处的斜率必为1，且切点在切线上， 则，解得， 所以． 14. 已知函数，若，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】令，则，求导，利用导数研究函数的最小值即可. 【详解】设，即，解得， 所以，令，则，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为，所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：对于双变量的范围问题，往往转化为一个变量（解方程、主元法等），构造函数后利用导数研究函数的单调性，进一步求出函数的值域即可. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且． （1）求a的值； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）的单调递减区间为，单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）借助导数运算即可求解； （2）求导，令和，可求得的单调区间． 【小问1详解】 由，可得， 因为，所以，解得； 【小问2详解】 由（1）得，函数的定义域为. ， 令，得，所以， 又，解得，所以函数在上单调递增. 令，得，所以， 又，解得，所以函数在上单调递减. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. 16. 设函数. （1）若不等式的解集为，求m的取值范围； （2）若对于，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】1根据题意转化为不等式的解集为，结合二次函数的性质，分情况讨论即可求出结果； 2根据题意转化为于在上恒成立，进而求出结果． 【小问1详解】 解：由题意，函数， 因为的解集为，即不等式的解集为， 当时，恒成立，则满足条件； 当时，可得，解得， 综上所述得m的取值范围为． 【小问2详解】 解：由条件，可得， 即在上恒成立， 又由， 所以在上恒成立， 因为，所以， 所以的最大值为，所以， 即实数的取值范围是. 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极大值，且极大值大于，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，利用的导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数的单调性，求出其极大值，可得出，令，利用导数分析函数的单调性，结合其单调性可求出的取值范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，且， 当时，，则，，故． 曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 因为，所以. ①当时，，则在单调递减，无极值； ②当时，由可得，由可得. 函数的增区间为，减区间为 所以取极大值， 所以， 设，则，则在单调递增， 又，由可得， 故实数的取值范围是. 18. 已知函数，其中且. （1）求函数的解析式，并判断其奇偶性； （2）对于函数，当时，，求实数m的取值范围； （3）当时，的值恒为负数，求函数a的取值范围. 【答案】（1），奇函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法即可求出，再证明此时为奇函数即可； （2）求导得，证明单调递增，再移项利用奇函数性质和其定义域得到不等式组，解出即可； （3）根据单调性得，解出即可. 【小问1详解】 令，则，， 则，则， 因为定义域为R，关于原点对称， 且，所以为奇函数. 【小问2详解】 因为，因为且，则恒成立， 当时，，则此时， 当时，，则此时， 所以为R上的单调增函数； 由得， 又，则， 得. 【小问3详解】 因为为R上的单调增函数，所以当时，的值恒为负数， 所以恒成立， 则， 整理得，所以， 又且，所以实数a的取值范围是. 19. 若将图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是函数的图象，则称为“旋转函数”． （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围． 【答案】（1）不是，理由见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的定义直接判断即可. （2）将已知条件转化为函数与直线最多一个交点，利用两个函数图象的交点与对应方程根的关系，分离，构造新函数，转化为新函数在上单调，进而求解. （3）同问题（2）根据已知条件构造新函数，转化为新函数在上单调，求导，分离参数，转化为恒成立问题求最值即可. 【小问1详解】 函数不是“旋转函数”，理由如下： 的斜率为，倾斜角为，逆时针旋转后与轴重合， 当时，有无数个与之对应，不满足函数定义， 因此函数不是“旋转函数”. 【小问2详解】 由题意可知，函数与函数最多有1个交点， 且， 所以最多有一个根， 即最多有一个根， 即函数与函数最多有1个交点， 所以函数在上单调， 因为，所以， 若恒成立，则恒成立，则， 因为，所以，矛盾， 所以，所以， 即，得，所以的最大值为. 【小问3详解】 由题意可得函数与函数最多有1个交点， 即， 即函数与函数最多有1个交点， 即函数在上单调， ，当趋于0时，趋于， 所以， 令，则， 因为在上单调递减，且， 所以存在，使得， 即， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以，即， 所以的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度下学期期末考试 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A. B. C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既非充分也非必要条件 4. 风电是我国新能源战略的核心支柱，某型号海上风电机组的安全运行标准中，风力等级与轮毂高度风速的关系满足方程：（其中为轮毂高度风速，单位：，为风力等级）．我国某海上风电场遭遇极端天气，监测到轮毂高度瞬时风速达到，则该瞬时风速对应的风力等级约为（   ）（注：，） A. 9级 B. 11级 C. 13级 D. 15级 5. 设函数，，则函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在处有极值44，则（ ） A. -6或10 B. -6 C. 6 D. 10 7. 如图，已知函数的图象关于坐标原点对称，则函数的解析式可能是 A. B. C. D. 8. 已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，为实数，则（   ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，，，则 10. 已知定义在上的奇函数满足对任意实数，都有，且当时，，则（ ） A. 是周期为4的周期函数 B. C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 11. 已知函数，则下列说法正确的有（ ） A. B. 有3个实数根 C. 若有8个实数根，则 D. 若有4个实数根，从小到大分别为，，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知幂函数在上单调递增，则实数_____． 13. 若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则________． 14. 已知函数，若，则的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数，且． （1）求a的值； （2）求的单调区间． 16. 设函数. （1）若不等式的解集为，求m的取值范围； （2）若对于，恒成立，求的取值范围． 17. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极大值，且极大值大于，求实数的取值范围． 18. 已知函数，其中且. （1）求函数的解析式，并判断其奇偶性； （2）对于函数，当时，，求实数m的取值范围； （3）当时，的值恒为负数，求函数a的取值范围. 19. 若将图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是函数的图象，则称为“旋转函数”． （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $