精品解析：安徽省阜阳第一中学2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

安徽省阜阳第一中学2025级10月月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合或，，若，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】考虑，，，确定集合，再根据集合的包含关系计算得到答案. 【详解】①当时，，，故，解得， 故； ②当时，，满足； ③当时，，，故，解得， 故； 综上所述：. 故选：A 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】解出一元二次不等式，然后由集合的包含关系得结论． 【详解】的解是，是集合的真子集，因此应是充分不必要条件． 故选：A． 4. 已知集合，，则M∩N中的元素个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】 ，因此M∩N中的元素个数为2，选C. 5. 已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】确定且，得到，根据交集的概念联立方程解得答案. 【详解】根据题意：且，解得， 即， 由，解得， 故. 故选：A. 6. 已知，，且，那么的最大值等于 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】由基本不等式可得，解得， 当且仅当时，等号成立，因此，的最大值为. 故选：B. 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，属于基础题. 7. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 8. 用表示非空集合A中的元素个数，定义．已知集合，，若，则实数a的取值不可能是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合的新定义，由判断或3，结合集合的元素组成分类讨论求解并验证，求得实数a的所有可能的值即可. 【详解】根据题意，已知，则， 又由，可知或3，即方程有1个根或3个根； 由，可得或， 若，可得或， 当时，，，符合题意； 当时，对应的根为0和，此时有两类情况： ①有两等根且根不为0和，由，解得， 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意. ②当是的根时，解得； 若，则，，符合题意； 若，则， ，符合题意. 综上，可得a可取的值为0，，． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ） A. 同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B. 仅参加跳远比赛的有8人 C. 仅参加跑步比赛的有7人 D. 同时参加两项比赛的有10人 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件作出韦恩图即可求解 【详解】设同时参加跳远和跑步比赛的有x人，由题意画出韦恩图，如图， 则，解得，故A正确； 仅参加跳远比赛的人数为，故B错误； 仅参加跑步比赛的人数为，故C正确； 同时参加两项比赛的人数为，故D正确； 故选：ACD 10. 下列命题中，假命题为（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的增区间为 D. 函数的最小值是2 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得存在量词的否定可判断A；求出两函数的定义域，结合对应法则可判断B；先求出定义域，再根据复合函数同增异减求出单调区间可判断C；利用基本不等式计算可判断D. 【详解】对于A选项，命题“，”的否定是“，”，故A错误； 对于B选项，由，解得，故的定义域为， 由，解得，故的定义域为， 又，故B正确； 对于C选项，由，解得或， 其中在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 由复合函数单调性可知，的增区间为，故C错误； 对于D选项，因为，所以， 当且仅当时等号成立，无实数解，所以，故D错误. 故选：ACD. 11. 已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合T，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. T中元素之和为0 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题目条件求出，进一步可得或，再结合集合B所给方程，对这两种情况进行分类讨论，求出a的五种可能取值，再逐项分析即可． 【详解】方程的判别式，故， 由，得或，由，可得或， 当时，两个一元二次方程的根都相同，由可知，此时必有两重根，所以，所以无实根，满足； 当时，由前述分析可知，此时，也即必有两个不同的解、， 所以有1个根或2个根但其中一个根为（不可能为方程的根）， 若有1个根，则，解得， 当时，的根为，与、不重复，共3根， 当时，的根为，与、不重复，共3根， 若有2个根，但其中一个根为时，将代入，解得，此时，，满足题意． 综上，， 对于AB，{−1,0,1}⊆，故A错误，B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，T中元素之和为，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】化简集合，根据和，可得，进而结合韦达定理即可求出结果. 【详解】由题意得集合， 因为，，所以， 则，，解得，，所以. 故答案为： 13. 若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可知“，”是真命题，即恒成立，再分类讨论即得. 【详解】命题“，”是假命题， 命题的否定：“，”是真命题， 即恒成立， 当时，显然成立； 当时，则， 解得： 综上，实数a的取值范围是， 故答案为：. 14. 已知函数，.若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】参变分离得到，令，故只需，换元法得到，利用对勾函数性质得到，得到答案. 【详解】对于任意恒成立， 故对于任意恒成立， 令，故只需， 令， 则， 其中在上单调递减，在上单调递增， 又， 故，所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题“”为真命题，记实数m的取值为集合A． （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）实数a的取值范围为. 【解析】 【分析】(1)把给定命题转化为不等式恒成立，再利用判别式求解. (2)由列出不等关系，求解即可. 【小问1详解】 依题意，关于x的不等式恒成立， 于是得，解得， 所以实数的取值的集合. 【小问2详解】 ∵是的必要不充分条件，∴. ∴或， 得，所以实数a的取值范围为. 16. 已知集合，． （1）是否存在实数a，使命题“，”是真命题，是真命题？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由. （2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）不存在实数a使命题“，”是真命题，理由如下： 由于命题“，”是真命题，是真命题，所以， 则，无解 所以不存在实数a，使此命题是真命题. （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，由此列出不等式组求解，即可得出结果； （2）由题意可得A是B的真子集，对A分类讨论可求实数a的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题知是成立的充分不必要条件，故A是B的真子集， ①当时，，解得，符合； ②当时，要使A是B的真子集，则或， 解得：或，即. 综上：或. 17. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 【答案】（1） （2）设备占地面积为时，y的值最小 【解析】 【分析】（1）由题意得，解不等式即可得解. （2）将变形为，再利用基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由题意得， 令即，整理得即， 所以解得， 所以设备占地面积的取值范围为. 【小问2详解】 ， 当且仅当即时等号成立， 所以设备占地面积为时，的值最小. 18. 已知，，且为偶函数. （1）求实数的值； （2）若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义结合函数定义域可知，则a可求； （2）将原问题转化为方程有且只有一个实数解，令且，则可得关于的方程有且只有一个不为1和的正根，分和两种情况进行讨论即可得到答案. 【小问1详解】 由，可知， 又为偶函数，所以有，即， 化简得，即， 所以，得. 经检验，当时，对任意成立，即满足为偶函数. 故所求的值为2. 【小问2详解】 由（1）可知，即方程有且只有一个实数解， 显然，所以上述方程可化为， 即方程有且只有一个实数解， 令且， 则关于的方程有且只有一个不为1和的正根， ， ①当时，. （i）若，则方程化为， 此时方程的解为，符合题意. （ii）若，则方程化为， 此时方程的解为，不符题意，故舍去. ②当时，需满足即解得. 当时，即1为方程的解时，. 当时. 所以当方程有两根，有且只有一个不为1和的正根时，. 综上可知，当或时，方程有且只有一个实数解. 19. 若m行n列的数表满足：，且，记这样的数表为．对于数表，定义为数表中第i行和第j行的积，其中，． （1）数表，直接写出的所有取值； （2）是否存在数表满足？若存在，写出一个这样的，若不存在，请说明理由； （3）若数表满足当时，，求m的最大值． 【答案】（1） （2）不存在，理由:由题意知， ， 由，可知任意两行互异. 当时，， 由，则即第行的个数； 当时，即第两行所有列两项之积的和. 故由可知，即每行恰有两个； 且，即任意两行都没有同时为的列； 由数表共行列，每行中列中任选不同的列，这两项为，其余两项为； 而任意两行都没有同时为的列， 则行应有共个不同的列，其项都为，但数表仅列， 故不存在这样的数表. （3） 【解析】 【分析】（1）由定义求值即可得； （2）理解的意义，当时，即第行的个数；当时，即第两行所有列两项之积的和，由此分析的可能位置产生矛盾； （3）理解当时，表示任意两行在至多列上同时为，从考虑空集、单元素集、双元素集构成的子集族入手分析其最大元素个数即可得. 【小问1详解】 由给定数表， 则，且， 则； 当时， ； ； ； 且； ； ； 故的所有取值共有两个. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题意数表共行列，且任意两行互异. 当时，表示任意两行在至多列上同时为， 设第行中所有所在列数构成集合，， 则，，且. 下面首先考虑集合的元素个数小于等于的子集： ①空集：个，即对应列每列均为的一行； ②单元素集：个， 即对应2025列中恰列为的行，共行； ③双元素集：个， 即对应2025列中恰列为的行，共行； 故共有个这样的子集. 从上述所有集合构成的子集族中任取两集合， 若两集合中至少有一空集，则交集个数为； 若两集合中至少且一单元素集，则交集个数至多为； 若两个集合均为双元素集，则交集个数至多为. （假设交集个数为，则两集合相等，这与两行互异矛盾.） 故该子集族中任意两个子集互异，且交集元素的个数至多为， 即满足任意两行在至多列上同时为，该子集族满足题意. 假设还可添加其他子集至子集族中，则集合的元素个数至少为. 则中至少存在个双元素集合，使得， 即两集合的交集个数为，即必存在两行至少两列同时为，不满足题意； 故子集族中不能再添加其他元素，即其个数最大为. 下面证明：子集族是个数最多的子集族. 假设子集族不是个数最多的子集族， 设子集族为子集个数最多的子集族，其子集个数大于， 则也至少存在一个元集合，且，， 由于该元集合，则也将导致至少个所对应的双元素集不能存在， 删除该元集合，则可用对应的至少个这样的双元素集代替， 由与子集族中任意子集的交集元素个数都小于，则替换后依然满足条件. 因此，这样操作后的子集族中子集个数必超过原子集族的子集的个数， 而这与假设最多性矛盾，故得证. 综上所述，数表若满足当时，，则m的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省阜阳第一中学2025级10月月考 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合或，，若，则实数的范围是（ ） A. B. C. D. 2. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知集合，，则M∩N中的元素个数为（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知集合，，在求时，甲同学因将看成，求得，乙同学因将看成，求得.若甲、乙同学求解过程正确，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，那么的最大值等于 A. B. C. D. 7. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 8. 用表示非空集合A中的元素个数，定义．已知集合，，若，则实数a的取值不可能是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某校高一年级组织趣味运动会，有跳远、球类、跑步三项比赛，一共有28人参加比赛，其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远和球类比赛的有3人，同时参加球类和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则（ ） A. 同时参加跳远和跑步比赛的有4人 B. 仅参加跳远比赛的有8人 C. 仅参加跑步比赛的有7人 D. 同时参加两项比赛的有10人 10. 下列命题中，假命题为（ ） A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数的增区间为 D. 函数的最小值是2 11. 已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数a的所有可能取值构成集合T，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. T中元素之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，，，若，，则______. 13. 若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是___________. 14. 已知函数，.若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围为____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知命题“”为真命题，记实数m的取值为集合A． （1）求集合A； （2）设集合，若是的必要不充分条件，求实数a的取值范围． 16. 已知集合，． （1）是否存在实数a，使命题“，”是真命题，是真命题？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由. （2）若是成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 17. 某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费（单位：万元）与设备占地面积之间的函数关系为，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为（单位：万元）. （1）要使不超过7.2万元，求设备占地面积的取值范围； （2）设备占地面积为多少时，的值最小？ 18. 已知，，且为偶函数. （1）求实数的值； （2）若方程有且只有一个实数解，求实数的取值范围. 19. 若m行n列的数表满足：，且，记这样的数表为．对于数表，定义为数表中第i行和第j行的积，其中，． （1）数表，直接写出的所有取值； （2）是否存在数表满足？若存在，写出一个这样的，若不存在，请说明理由； （3）若数表满足当时，，求m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $