陕西商洛市2025-2026学年高二下学期7月期末考试数学试题

20252026§^正T§"元. 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效， 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.已知集合M=(-4,0,1,4,9),N=(x2√z=x),则M∩N= A.(0,1,4) B.(0,1,4,9) C.(0,4) D.(0,1) 2精圆首+苦-1的短轴长为 y2 A.4V2 B.4 C.2 D.2/2 3.已知向量a=(1,0),b=(L,2),且a⊥(2a十b),则向量a与b的夹角为 A晋 B3 c等 D.3r 4.某校学生会共有6名女干部和4名男干部，现从中随机选取3名干部组成“校园文明督察 队”，则该督察队中至少含有1名男干部的概率为 A号 B号 C.6 D哈 5,若函数∫x)=2a+十sin(ax一1)的最大值为号，则f(z)的最小正周期为 A.π B.2π C.4元 D.6π 6.已知事件M与N相互独立，N的对立事件为N,当P(M)>0时，P(N|M)=0.3,则 P(N)= A.0.3 B.0.15 C.0.85 D.0.7 x+3,x≤0， 7.已知函数f(x)= 3 若f(:+1)>f(2),则t的取值范围为 x十1x>0, A.（-3,1) B.（-1,1) C.(-3,0) D.（-3,-1] 【高二数学第1页（共4页）】 8.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点B在C的准线上，且线段BF与C交于点A. 若|BA|=5√2|AF|,则直线BF的斜率为 A主号 C 将 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知复数：牛，则 A.z的虚部为一4 B.z十z=-6 C.|z|=5 D.z在复平面内对应的点位于第二象限 10.一质点的运动方程为S(t)=t一2cost,其中t是时间（单位：s),S(t)是位移（单位：m),若 该质点在1=吾时的瞬时速度为xm/s,瞬时加速度为ym/g,则 A.x=1 B.x=2 C.y=√3 D.y=1 11.在棱长为4的正方体ABCD-A,B,C1D1中，点E在棱BC上，且BE=3EC,P是底面 ABC1D1内的动点，则 A.AP+EP的最小值是√89 B.正方体ABCD-A1B,C1D1内切球的表面积为16π C.当AP=4√2时，EP的最小值为3√2 D.当AP+EP取得最小值时，四棱能P-CDD,C的体积为号 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若(x+)）'的展开式的常数项为54，则a=△一 13.已知双曲线C号-茶=1(a>0,6>0)的右焦点为P,P是C的-条箭近线上的点若 |PF|的最小值为2，且C的实轴长为6，则C的离心率为△ 14.对于数列(an),(bn),若an十bn=C(C为常数)，则称(an)是(bn)的“C和数列”.已知(an）为 等差数列，a1=一4，a4=一b2=5,且(an）是(bn）的“C和数列”，则C=△，数列 (2°)的前n项和Sn=△_ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分) 某校研究性学习小组随机抽取了该校120名学生，调查了他们每天的睡眠时长（单位：小时） 与课堂注意力状况，整理数据后得到下表： 单位：人 唾眠时长 课堂注意力 在[6,7)内 在[7,8)内 在[8,9]内 集中 8 20 18 一般 14 22 18 分散 8 8 4 (1)以频率估计概率，分别估计该校学生睡眠时长在[6,7)、[7,9]内的概率； (2)若将注意力集中和注意力一般合称为“注意力正常”，将注意力分散称为“注意力不集 中”，根据所给数据，完成下面的2X2列联表，依据小概率值α=0.1的独立性检验，能否 据此推断课堂注意力状况与睡眠时长有关？ 单位：人 睡眠时长 课堂注意力状况 合计 少于8小时 不少于8小时 正常 不集中 合计 n(ad-bc)2 附：X=a+bc+)a+c6+dn=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 x。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 16.(15分) 设等差数列{an)的前n项和为Sn,已知a1=4,S3=21. (1)求{an)的通项公式； (2)记bn= 数列6，)的前元项和为工，证明：工.<位 anantl 【高二数学第3页（共4页）】 17.(15分) 在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面ABCD是直角梯形，AD⊥CD,AB∥CD,且 PD=AD=1,AB=2,CD=3. (1)求四棱锥P-ABCD的体积 (2)若E为AB的中点，点F满足P庐=号P心，证明：EF怦面PAD, (3)求平面PAD与平面PBC夹角的余弦值. D 18.(17分) 水产实验室对甲、乙两种鱼苗饲料进行两轮标准化培育测试：鱼苗饲料需依次通过适口性筛 选、养殖存活率实测，两轮测试独立进行，任意一轮不达标则淘汰，两轮测试全部通过则该种 鱼苗饲料测试合格。两种鱼苗饲料各阶段的通过率如下表所示（其中号<力<）： 适口性筛选通过率 养殖存活率实测通过率 甲 3 乙 p 是-p (1)试问甲、乙两种鱼苗饲料哪一种测试合格的概率更高？ 2 (2)若p= ,记这两种鱼苗饲料中测试合格的饲料种数为X,求X的分布列与数学期望， 19.(17分) (1)证明：e≥x+1. (2)已知函数f(x)=一e2红+a(x-1)e2+2x十a十1. (I)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (I)若f(x)≤0，求a的取值范围. 【高二数学第4页（共4页）】高二数学参考答案 1.C2√x=x即wx(√x-2)=0,解得x=0或x=4,即N={0,4},所以M∩N={0,4). 2.B依题意得b2=4,解得b=2,从而2b=4. 3.D因为2a+b=(2+t,2),a⊥(2a+b),所以2+t=0,解得t=-2,所以cos(a,b〉= -2 1X2√2 号，故同量a与b的夹角为平 4.C由间接法，得所求概率P=1一C二_5 C306 5.D依题意可得2a十1=号，则Q=子，则T-2云-6元 1 3 6.D因为M与N相互独立，所以PNM-P-PN)=a.3,所以P)=I-Q.3 =0.7. 7.Af(2)=1.当t+1≤0，即t≤-1时，由t+1+3>1,得-3<t≤-1； 当+1>0，即>-1时，由，32>1，得+2<3，解得-1<<1.综上，-3<1<1， 8.A如图，设点B在第四象限，过点A作准线的垂线，垂足为 H.设|AF|=t,则|BA|=5V2t,|BH|=√(5√2t)2-t2= 7,即=一tan∠ABH=一名=一号，由对称性知，当点B 在第三象限时，kr-子放直线BF的斜率为士号 9D因为=-1+7D1+ 2 =-3+4i,所以之十z=-6,z=√(-3)2+4=5，A 错误，B,C,D均正确. 10.BC因为S'()=1+2sint,S"()=2cost,所以该质点在t=石时的瞬时速度为S'()= 1+2sin吾=2m/s,瞬时加速度为S()=√3m/s,则x=2,y=3. 1.ABD正方体ABCD-A1B1CD1内切球的表面积为4r×()°-16π，B正确， 设点A关于底面A1B1C1D1的对称点为F,则AP十EP=FP+EP≥FE,当且仅当P为 直线FE与底面A1B1C1D1的交点时，等号成立，而AE2=AB2+BE2=25,AF=2AA1= 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 8,则FE=√AE+AF2=√25十82=√89，所以AP+EP的最小 值是√89，A正确. D 当AP+EP取得最小值时，△APF∽△AEF,则-A,P AE A 号：取AE的中点P,连接PP1,则PP,⊥底面ABCD,取AB的中 点H,连接HP1,则HP,=BE-号，则点P,到平面CDD,C,的 D P A H 3=5 距离为4←-号，易证PP/平面CDD,C,则点P到平面CDD,C的距离等于到点P 到平面CDD,C的距离，则点P到平面CDD,C,的距离为)，故当AP+EP取得最小值 时，四棱锥PCDD,C的体积为号×4×号-智，D正确， 当AP=4√2时，因为P是底面A1B1C1D1内的动点，所以A1P= D √AP2一AA=√(4√2)2-4=4，所以点P的轨迹是以A1为圆 心，4为半径的圆弧D1B1,如图所示，过点E作底面A1B1C1D1的 射影E1,连接PE1,A1E,PE,则EP2=EE十E1P2=42+E1P2 因为AE1=√A1B+B1E=√4+32=5，所以E1P≥ B A1E1一A1P=1,当A1,P,E1三点共线时，等号成立，所以EP的最小值为√4十1= √17，C错误 12.3（x+0)的展开式的通项T,+1=a'Cx4-”,令4-2r=0,得r=2,由a2C=54,得a =3. 13.①3 3 因为PF1的最小值为2，所以b=2.由2a=6,得a=3,则C的离心率e=√1+ -3 3 14-62g 设{a.}的公差为d,则d=a1二a1=3,则a.=-4+(n-1)×3=3m-7,则 Γ4-1 a2=-1,所以C=a2十b2=一1-5=-6，则bn=-6-an=-3n十1， 放S.=22+25+…十21=28-21X23_2-21 1-23 7 30 15.解：(1)由表知睡眠时长在[6,7)内的频率为20-0.25，……2分 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 睡眠时长在7,9内的频率为502000,75，…………4分 故该校学生睡眠时长在[6,7)、[7,9]内的概率估计值分别为0.25和0.75.…5分 (2)2×2列联表如下： 单位：人 睡眠时长 课堂注意力状况 合计 少于8小时 不少于8小时 正常 64 36 100 不集中 16 4 20 合计 80 40 120 0…0000000000000000400000000000。 8分 零假设为H。:课堂注意力状况与睡眠时长无关.…9分 X2= n(ad-bc)2 120×(64×4-36×16)248 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 100×20×80×40 25 =1.92<2.706,… …12分 依据小概率值。=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为H。成 立，即认为课堂注意力状况与睡眠时长无关.…13分 16.（1)解：因为S3=3a2=21,所以a2=7.…3分 又a1=4,所以公差d=7-4=3,…5分 所以an=4+3(n-1)=3n十1.… …7分 1 1/11 (2)证明：由（1①知6，=3n十D（3m十0-3（3m十市13m十4，…10分 所以工，-b十…+6.-（任号+号品+3市n十 11 …13分 +）吉+0品 …15分 17.1)解：因为梯形ABCD的面积S=2×(2+3)×1 2, …1分 所以四棱锥P-ABCD的体积V-}×多×1=。 …2分 (2)证明：过点F作FGPD,交CD于点G,连接GE.因为P庐=P心，所以DG=1.因为 E为AB的中点，AB=2,所以AE=1=DG.… ……4分 又AB/CD,所以四边形AEGD是平行四边形，则EG∥AD, 因为EG中平面PAD,ADC平面PAD,所以EG/平面PAD, …6分 同理可证FG/平面PAD.…7分 因为FG∩EG=G,所以平面EFG/平面PAD. 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 因为EFC平面EFG,所以EF平面PAD. 9分 (3)解：以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,之轴，建立如图所示的空间直角坐 标系，则B(1,2,0),C(0,3,0),P(0,0,1),BC=(-1,1,0),PC=(0,3,-1).…10分 设平面PBC的法向量为m=(x,y,之). |m·BC=0,m1-x+y=0, 由 得 m.P元=0,3y-之=0， 取y=1,则m=(1,1,3).…12分 易知平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0), …13分 1√ 所以cos(m,n)=mn=/TX11' m。n …14分 故平面PAD与平面PBC夹角的余弦值务 15分 18.解：(1)设甲、乙两种鱼苗饲料测试合格的事件分别为A,B, P(A)-x53 X4=5 2分 P(B)-px(-p)--p+3p. …4分 因为<p<1,所以-+=-(-)》+是≤品当且仅当p=时，等号成立，… …6分 93 因为16<兮，… ……7分 所以P(B)<P(A),即甲种鱼苗饲料测试合格的概率更高. 00.000............. 8分 2 (2)若p=3则由(1)可得P(B)=号， …9分 由题意可知X的可能取值为0,1,2. Px=0)-(1-)×(1-8)-8, 11分 P(x=0=(1-)×号+×1-)-器 13分 PX-2》-×号-言 51 15分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 45 45 …16分 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 所以E(X)=0x元是+1×岩+2x号-器 …17分 19.(1)证明：令h(x)=e2-x-1,则h'(x)=e-1. …1分 当x<0时，h'(x)<0,当x>0时，h'(x)>0, 所以h(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调递增，…3分 则h(x)≥h(0)=0,所以e一x-1≥0，即e≥x十1. …4分 (2)解：(1)因为f'(x)=-2e2x十a.xe2十2，…5分 f'(0)=0,f(0)=0,……6分 所以曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y=0.…7分 (i)令g(x)=f'(x),则g'(x)=-4e2x+a(x+1)e=e[-4e+a(x+1)],g'(0)=-4 十a.…8分 当0≤a≤4时，g'(x)=e[-4ex十a(x+1)]≤e(-4e2十ae)=e2r(a-4)≤0，…9分 所以g(x)=f'(x)是减函数，当x∈(-∞，0)时，f'(x)>0,当x∈(0，十∞)时，f'(x)<0, 所以f(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0，十∞)上单调递减， 则f(x)≤f(0)=0,符合题意.… …10分 当a<0时，f(x)=-2e+axe+2=e(-2g+ax+2)】 当x<0时，a>0,因为函数)=-2x+2在(0，十∞)上单调递减，所以-2e+ e>-2+ 以2e+ax+>0,f(z)>0.= …12分 当x>0时，g'(x)=e[-4e十a(x+1)]<0,所以g(x)=f'(x)在(0，十∞)上单调递减， 因为f(0)=0,所以当x>0时，f′(x)<0,…13分 所以f(x)在（一∞，0）上单调递增，在(0，十∞)上单调递减， 则f(x)≤f(0)=0,符合题意.… …14分 当a>4时，g'(0)=-4十a>0,存在xo>0,使得当x∈(0，xo)时，g'(x)>0,所以g(x)= f(x)在(0，x0)上单调递增.…15分 因为f'(0)=0,所以当x∈(0，xo)时，f'(x)>0,所以f(x)在(0，xo)上单调递增 因为f(0)=0,所以当x∈(0，x0)时，f(x)>0,不符合题意。…16分 综上，a的取值范围为（一∞，4们.… …17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】