第二十五章 一元二次方程单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本单元卷全面覆盖一元二次方程核心知识，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，结合生活实际情境与新定义问题，适配初中数学单元复习，有效培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|定义、系数、根的概念、韦达定理、判别式|基础概念辨析，如方程定义判断、根与系数关系应用| |填空题|4/12|程序输入、菱形边长、运动面积、倍根方程|结合几何与新定义，如菱形边长与方程根的关联| |计算题|3/18|配方法、公式法、解方程|基本解法训练，如配方法和公式法的规范应用| |解答题|4/32|增长率、矩形面积、鸡场设计、利润问题|现实情境应用，如矩形羊圈面积设计、水果盈利计算|

第二十五章一元二次方程单元测试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C  【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是、、 故选： 根据一元二次方程的一般形式即可得二次项系数，一次项，常数项． 此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项． 3.已知是方程的一个根，则实数的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查方程的解的定义．使方程左右两边相等的未知数的值班叫方程的解． 根据方程解的定义，把代入方程得到关于的一个方程，解之即可． 【解答】 解：把代入方程得 ， 解方程得 4.若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为  (    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】一元二次方程化为一般形式后为因为该方程不含一次项，所以，所以因为，所以因为，所以，所以的值为． 5.若，是一元二次方程的两根，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之积等于是解题的关键． 利用根与系数的关系可得出，此题得解． 【解答】 解：，是一元二次方程的两根， ． 故选：． 6.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】A  【解析】解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 把，，代入判别式进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 本题考查了一元二次方程为常数根的判别式掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题关键． 7.一元二次方程配方后可化为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， ， ， ， 故选：． 移项，配方，即可得出选项． 本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 8.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. C. 且 D. 【答案】A  【解析】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 且， 解得：且， 故选：． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可． 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 9.某企业年初获利润万元，到年初计划利润达到万元．设这两年的年利润平均增长率为应列方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这两年的年利润平均增长率为，根据年初及年初的利润，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设这两年的年利润平均增长率为， 根据题意得：． 故选B． 10.对于任意实数，，定义：，如：，若，则实数的值是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A  【解析】略 11.已知、是关于的一元二次方程的两个根，若、、为等腰三角形的边长，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系、三角形三边关系以及等腰三角形的性质，利用根与系数的关系结合等腰三角形的性质，求出，的值是解题的关键． 利用根与系数的关系可求出，结合等腰三角形的性质可得出或，两数分别为，，再利用两根之积等于，即可求出值． 【解答】 解：，是关于的一元二次方程的两根， ． 又等腰三角形边长分别为，，， 或，两数分别为，． 当时，，解得：； 当，两数分别为，时，，解得：． 故选C． 12.定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：若方程为实数是关于的方程，则方程的根的情况为(    ) A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根当时，方程有两个相等的实数根当时，方程无实数根． 利用新定义得到，再把方程化为一般式后计算判别式的值，然后利用可判断方程根的情况． 【解答】 解：对于任意实数 ， ，都有     ， 所以，    ， ， 整理得 ， 方程有两个不相等的实数根． 故选C． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.根据图中的程序，当输入一元二次方程的解为时，输出的结果           ． 【答案】或  【解析】解： ，解得，， 当时， 当时，， 或． 14.若菱形的一条对角线长为，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为          ． 【答案】  【解析】略 15.如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度运动，同时，点从点开始沿边向点以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则点，运动          时，的面积为． 【答案】  【解析】略 16.当关于的一元二次方程有实数根，且其中一个根为另一个根的倍时，称之为“倍根方程”如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，那么的值为          ． 【答案】或  【解析】解：， ， ，， 由题意或， 解得或． 当时，， 当时，， 经检验，或均符合题意． 故答案为或． 本题考查因式分解法解一元二次方程，以及根的判别式． 利用因式分解法求出方程的根，根据题意求出，验证即可得解． 三、计算题：本大题共3小题，共18分。 17.用配方法解方程： ； ． 【答案】(1)解：x2－2x＝6， x2－2x＋1＝7， （x－1）2＝7， 或， ∴，；   (2)2x2－8x＝－3， ， ， ， ， ∴，．   【解析】 见答案  见答案 18.用公式法解方程： ； ． 【答案】解：， ， 或， ，； 方程整理得， 则，，， ， ， 解得，．   【解析】详细解答和解析过程见【答案】 19.解下列方程： ； ． 【答案】(1)解：，，，，，；  (2)，，，，，，  【解析】 略  略 四、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． 求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额 去年，该商店月份的营业额为万元，、月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等求该商店去年、月份营业额的月增长率． 【答案】解：由题知，万元． 答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为万元． 设该商店去年、月份营业额的月增长率为， 依题意得， 解得，不合题意，舍去， 答：该商店去年、月份营业额的月增长率为．  【解析】本题考查一元二次方程的应用． 根据该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额前六天的总营业额第七天的营业额，即可求出结论； 设该商店去年、月份营业额的月增长率为，根据该商店去年月份及月份的营业额，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 21.本小题分 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门建在处，另用其他材料． 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70－2x＋2＝（72－2x）m．根据题意得x（72－2x）＝640，化简得x2－36x＋320＝0，解得x1＝16，x2＝20，当x＝16时，72－2x＝72－32＝40（m），当x＝20时，72－2x＝72－40＝32（m）．答：当羊圈的长为40 m，宽为16 m或长为32 m，宽为20 m时，能围成一个面积为640 m2的羊圈．  (2)不能，理由：由题意，得x（72－2x）＝650，化简得x2－36x＋325＝0，Δ＝（－36）2－4×325＝－4<0，∴一元二次方程没有实数根．∴羊圈的面积不能达到650 m2．  【解析】 见答案  见答案 22.本小题分 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． 若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ 若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 【答案】(1)解：设垂直于墙的一边长为米，则，解得，，当时，；当时，（舍），鸡场的长为15米，宽为10米；  (2)设垂直于墙的一边长为米，则，即，，方程没有实数解，所以鸡场面积不可能达到200平方米；  (3)当时，不能围成一个面积为150平方米长方形鸡场；当时，可以围成一个面积为150平方米长方形鸡场；当时，可以围成两种长宽不同的面积为150平方米长方形鸡场.  【解析】 略  略  略 23.本小题分 某水果超市经销一种高档水果，售价每千克元． 若连续两次降价后每千克元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； 若按现价销售，每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 【答案】(1)解：设每次下降的百分率为x，由题意，得50(1-x)2＝32，x＝20%（负值已舍去）．  答：每次下降的百分率为20%；  (2)由题意，得(10+x)(500-20x)＝6000，解得x1＝5，x2＝10，∵0≤x≤8，∴x＝5．  答：每千克应涨价5元．  【解析】 略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章一元二次方程单元测试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中一定是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.已知是方程的一个根，则实数的值是(    ) A. B. C. D. 4.若关于的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则的值为  (    ) A. B. C. D. 5.若，是一元二次方程的两根，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 7.一元二次方程配方后可化为(    ) A. B. C. D. 8.关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    ) A. 且 B. C. 且 D. 9.某企业年初获利润万元，到年初计划利润达到万元．设这两年的年利润平均增长率为应列方程是(    ) A. B. C. D. 10.对于任意实数，，定义：，如：，若，则实数的值是(    ) A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 11.已知、是关于的一元二次方程的两个根，若、、为等腰三角形的边长，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 12.定义新运算“”：对于任意实数，，都有，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：若方程为实数是关于的方程，则方程的根的情况为(    ) A. 只有一个实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有两个不相等的实数根 D. 没有实数根 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 13.根据图中的程序，当输入一元二次方程的解为时，输出的结果           ． 14.若菱形的一条对角线长为，其边长是方程的一个根，则该菱形的周长为          ． 15.如图所示，在中，，点从点开始沿边向点以的速度运动，同时，点从点开始沿边向点以的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，则点，运动          时，的面积为． 16.当关于的一元二次方程有实数根，且其中一个根为另一个根的倍时，称之为“倍根方程”如果关于的一元二次方程是“倍根方程”，那么的值为          ． 三、计算题：本大题共3小题，共18分。 17.用配方法解方程： ； ． 18.用公式法解方程： ； ． 19.解下列方程： ； ． 四、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 20.本小题分 去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为万元，第七天的营业额是前六天总营业额的． 求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额 去年，该商店月份的营业额为万元，、月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与月份的营业额相等求该商店去年、月份营业额的月增长率． 21.本小题分 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙外墙足够长围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门建在处，另用其他材料． 当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为的羊圈？ 羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 22.本小题分 如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个米宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长米围成的长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙． 若墙长为米，要围成的鸡场的面积为平方米，则鸡场的长和宽各为多少米？ 围成的鸡场的面积可能达到平方米吗？ 若墙长为米，对建平方米面积的鸡场有何影响？ 23.本小题分 某水果超市经销一种高档水果，售价每千克元． 若连续两次降价后每千克元，且每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； 若按现价销售，每千克盈利元，每天可售出千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，超市决定采取适当的涨价措施，但超市规定每千克涨价不能超过元，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．现该超市希望每天盈利元，那么每千克应涨价多少元？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $