第二十五章 一元二次方程单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学一元二次方程单元提高卷，涵盖概念、解法、应用及跨学科情境，适配单元复习，助力抽象能力、模型意识与应用意识培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/41|一元二次方程定义、根的判别式、韦达定理|结合赵爽勾股圆方图考几何解法，体现文化传承| |填空题|6/21|根与系数关系、增长率问题、新定义运算|设置“联根方程”新定义，考查推理能力| |计算题|6/36|直接开方法、公式法等解法，物理匀变速运动应用|融入月历、快递量等实际情境，培养模型意识| |解答题|1/8|方程与菱形几何综合|综合几何与方程，考查数学思维的逻辑性|

第二十五章一元二次方程单元测试卷提高卷 一、选择题：本题共12小题，共41分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：、含有个未知数，不符合题意； B、为分式方程，不符合题意； C、只含有一个未知数，未知数的最高次数是，二次项系数不为，是一元二次方程，符合题意； D、含有个未知数，不符合题意； 故选：． 判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是． 此题考查了考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键． 2.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ， 即， 解得：， 故选：． 根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式，求出的值即可． 此题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式的意义是解本题的关键． 3.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A  【解析】解：， ， ， 一元二次方程有两个相等的实数根． 故选：． 根据题意，先对方程移项，整理成一般式，根据根的判别式的值与零的大小关系判断根的情况． 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式的关系，掌握，则有两个不相等的实数根；，则有两个相等的实数根；，则无实数根是解答本题的关键． 4.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A  【解析】解：根据题意，直接把代入， 则， 或； 故选：． 利用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值． 本题考查了一元二次方程的解，在解题时要重视解题思路的逆向分析是解题关键． 5.如图，在长、宽的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，则根据题意，可列出方程(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：设道路的宽应为米．依题意得： ， 故选：． 把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是和，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程． 考查了一元二次方程的应用，关键是将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系． 6.关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的根与系数的关系为：，是解题的关键．根据一元二次方程根与系数的关系得到，代入代数式计算即可． 【解答】 解：， ， ， 把代入得：， 解得：，此时，符合题意， 故选：． 7.等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系，分为腰长及为底边长两种情况，求出值是解题的关键． 当为腰长时，将代入原一元二次方程可求出的值；当为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出值．再根据三角形三边关系判断是否符合题意即可． 【解答】 解：当为腰长时，将代入，得：， 解得：， 的两个根是，，，符合题意； 当为底边长时，关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 的两个根是，，符合题意． 的值为或． 故选C 8.下列一元二次方程中，没有实数根的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程的根与有如下关系： 当时，方程有两个不相等的两个实数根； 当时，方程有两个相等的两个实数根； 当时，方程无实数根． 利用根的判别式分别进行判定即可． 【解答】 解：，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意； B.，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意； C.，没有实数根，故此选项符合题意； D.，有两个不相等的实数根，故此选项不合题意； 故选C． 9.一元二次方程配方后可化为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， ， ， ， 故选：． 移项，配方，即可得出选项． 本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 10.若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，也考查了一次函数的性质． 利用一次函数的性质得到，，再判断，从而得到方程根的情况． 【解答】 解：一次函数的图象不经过第二象限， ，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 11.对于实数，，我们用符号表示，两数中较大的数如：若，则的值为(    ) A. B. C. D. 或 【答案】D  【解析】略 12.我国古代数学家赵爽公元世纪在其所著的勾股圆方图注中记载过一元二次方程正根的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以则在下面四个构图中，能正确说明一元二次方程 正根的几何解法的构图是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查了一元二次方程的解，数形结合思想，通过图形直观得出面积之间的关系是解题的关键． 仿照题中所给一元二次方程的几何解法构造图形，通过方程变形确定大正方形的面积表达式，进而求解方程的正根，以此判断正确的构图． 【详解】解：， ， 应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为， 大正方形的面积又可表示为， 大正方形的边长为， ， ， 故正确构图为：． 故选：． 二、填空题：本题共6小题，共21分。 13.已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是        ． 【答案】  【解析】解：设关于的一元二次方程的另一个根为， 则依题意得：， 解得． 故答案是：． 通过根与系数的关系求得方程的另一个根． 本题考查了根与系数的关系．若二次项系数为，常用以下关系：，是方程的两根时，，，反过来可得，，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． 14.设、是方程的两个根，则          ． 【答案】  【解析】解：、是方程的两个根， ，， ； 故答案为； 由一元二次方程根与系数的关系可知，，代入计算即可； 本题考查一元二次方程根与系数的关系 15.某企业年盈利万元，年盈利万元，该企业盈利的年平均增长率不变设年平均增长率为，根据题意，可列出方程        ． 【答案】  【解析】解：设年平均增长率为， 根据题意：， 故答案为：． 设年平均增长率为，则年盈利万元，年则为万元，再由条件“年盈利万元”进而可得方程． 此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 16.若分式的值为，则          ． 【答案】  【解析】略 17.定义新运算：规定，例如：若，则的值为          ． 【答案】或  【解析】略 18.定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”已知关于的两个一元二次方程和互为联根方程，那么的值为          ． 【答案】  【解析】由方程得，解得，． 两个一元二次方程和互为联根方程， ，中至少有一个是方程的根． 当时，则， 即． ， 此方程无实数根，即不是方程的根． 当时，则， 即，解得，． ，，此时，方程为，解得，． 又方程的一个解为，满足题意，故的值为． 故答案为． 三、计算题：本大题共6小题，共36分。 19.解方程：；             ． 直接开方法                  公式法 因式分解          配方法 【答案】解：， ，，， ， ， ，； ， 整理得，， ， 或， ，； ， ， ， ，； ， 整理得， ，，， ， ， ，； ， ， ， 或， ，； ， ， ， ， ，．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 20.月历中的奥秘九年级版：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数如，，，，，，，，试解决以下的问题： 用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为______，最大的数可用表示为______； 若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？请列方程解决 【答案】    【解析】解：每行的后一个数比前一个数大，每列的下一个数比上一个数大， 中间的数可用表示为， 最大的数可用表示为； 故答案为：；； 设最小数为，最大数为， 根据题意可列一元二次方程：， 解得或不符合题意，舍去， 最小数为，最大数为， 个数为、、、、、、、、， 其和为． 根据图中每行和每列数的关系，即可得到答案； 设最小数为，最大数为，根据题意列方程求解即可． 本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 21.某快递公司每天上午：至：为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件该时段内甲、乙两仓库的快件数量件与时间分之间的函数图象如图所示． 求图中的值及甲仓库的快件数量件与时间分的关系式． 何时甲、乙两仓库的快件数量相差件？ 【答案】，甲仓库的快件数量件与时间分的关系式为  ：和：时甲、乙两仓库的快件数量相差件  【解析】解：设乙仓库的快件数量件与时间分的关系式为， 由函数图象得：当时，；当时，； ， 解得：， ，当时，； 设甲仓库的快件数量件与时间分的关系式为， 由函数图象得：当时，；当时，； ， 解得：，； 答：，甲仓库的快件数量件与时间分的关系式为； 当时， 解得：； 当时， 解得：； 答：：和：时甲、乙两仓库的快件数量相差件． 利用待定系数法分别求出一次函数关系式，即可解决问题； 分两种情况，列出方程，求解即可． 本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求出一次函数关系式是解题的关键． 22.在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为米秒，末速度为米秒，则这个时间段的平均速度为米秒运动路程等于时间与平均速度的乘积即若一个小球以米秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，秒后小球停止运动． 小球的滚动速度平均每秒减少______米，从开始到滚动了秒后小球的速度为______米秒； 小球从开始到滚动米用了多少秒？ 小球在最后一秒滚动了多少米？ 【答案】  秒  米  【解析】解：根据题意得：小球的滚动速度平均每秒减少米； 从开始到滚动了秒后小球的速度为米秒． 故答案为：，； 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：小球从开始到滚动米用了秒； 根据题意得：米． 答：小球在最后一秒滚动了米． 利用小球的滚动速度平均每秒减少的数值小球的初速度小球停止所需时间，可求出小球的滚动速度平均每秒减少的数值，利用从开始到滚动了秒后小球的速度小球的初速度运动时间，即可用含的代数式表示出从开始到滚动了秒后小球的速度； 利用路程平均速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 利用小球在最后一秒滚动的路程小球最后一秒的平均速度时间，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 23.综合与实践： 根据以下素材，完成探索任务： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材 某农户承包了一块矩形果园，图是果园的平面图，其中，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为，左右两条纵向道路的宽度都为，中间部分种植水果出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过，且不小于． 素材 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润每下调元，则每月可多销售草莓，且果园每月的承包费为万元． 问题解决 任务 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． 请直接写出纵向道路宽度的取值范围． 若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务 解决果园种植的预期利润问题． 总利润销售利润一承包费 若农户预期一个月的总利润为万元，且尽可能让利于客户，则每平方米草莓的平均利润应该下调多少元． 【答案】；   路面设置的宽度符合要求；   每平方米草莓平均利润下调元  【解析】解：根据题意得：； 根据题意得：， ， ，不符合题意，舍去， ， 路面设置的宽度符合要求； 设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调元． 根据“道路宽度不超过米，且不小于米”，即可得出纵向道路宽度的取值范围； 由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为米、宽为米的长方形，根据中间种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，取其符合题意的值，再对照中的取值范围，即可得出结论； 设每平方米草莓平均利润下调元，则每平方米草莓平均利润为元，每月可售出平方米草莓，利用总利润销售利润承包费，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24.根据数学名著勾股圆方注中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根如图，将四个长为，宽为的长方形纸片和一个小正方形拼成一个大正方形． 求解方程的正根，可令，，则图中每个长方形的面积为． 小正方形，大正方形的面积各是多少？ 利用大正方形的边长，请你求出方程的正根． 小明用此方法求关于的方程为常数，且的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为，求的值． 【答案】小正方形面积为，大正方形面积为；    【解析】解：由题意，，，长方形面积， 小正方形的边长为， 小正方形的面积为：． 又大正方形的边长为， 其面积为：． 答：小正方形面积为，大正方形面积为； 由得， ，即方程的正根为； 由题意得， ． 依据题意，由，，长方形面积，则小正方形的边长为，从而可得小正方形的面积，由大正方形的边长为，则其面积为：，即可得解； 依据题意，由得，从而，即方程的正根为，即可得解； 依据题意得，从而，即可得解． 本题主要考查了一元二次方程的应用、正方形的性质，解题时要熟练掌握并能根据题意列出关系式是关键． 四、解答题：本题共1小题，共8分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 25.本小题分 已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． 求证：无论为何值，方程总有两个实数根； 当为何值时，四边形是菱形？并求此菱形的边长； 若的长为，则的周长是多少？ 【答案】(1)证明：， 且，即， 无论取何值，方程总有两个实数根.   (2)解：四边形是菱形，. 又， 当，即时，四边形是菱形. 把代入，得 ，解得， 菱形的边长是.   (3)解：把代入，得 ，解得. 把代入，得 ，解得，， . 四边形是平行四边形， 的周长是.   【解析】 略  略  略 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章一元二次方程单元测试卷提高卷 一、选择题：本题共12小题，共41分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列方程中，是一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为(    ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的根的情况是(    ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4.已知是关于的一元二次方程的一个实数根，则实数的值是(    ) A. 或 B. 或 C. D. 5.如图，在长、宽的矩形地面内，修筑两条同样宽且互相垂直的道路，余下的部分铺上草坪，要使草坪的面积达到，设道路的宽为，则根据题意，可列出方程(    ) A. B. C. D. 6.关于的一元二次方程的两实数根分别为，，且，则的值为(    ) A. B. C. D. 7.等腰三角形的一边长是，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为(    ) A. B. C. 或 D. 8.下列一元二次方程中，没有实数根的是(    ) A. B. C. D. 9.一元二次方程配方后可化为(    ) A. B. C. D. 10.若一次函数的图象不经过第二象限，则关于的方程的根的情况是(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 11.对于实数，，我们用符号表示，两数中较大的数如：若，则的值为(    ) A. B. C. D. 或 12.我国古代数学家赵爽公元世纪在其所著的勾股圆方图注中记载过一元二次方程正根的几何解法，以方程即为例说明，记载的方法是：构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以则在下面四个构图中，能正确说明一元二次方程 正根的几何解法的构图是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，共21分。 13.已知关于的一元二次方程的一个根是，则另一个根是        ． 14.设、是方程的两个根，则          ． 15.某企业年盈利万元，年盈利万元，该企业盈利的年平均增长率不变设年平均增长率为，根据题意，可列出方程        ． 16.若分式的值为，则          ． 17.定义新运算：规定，例如：若，则的值为          ． 18.定义：如果两个一元二次方程分别有两个实数根，且至少有一个公共根，那么称这两个方程互为“联根方程”已知关于的两个一元二次方程和互为联根方程，那么的值为          ． 三、计算题：本大题共6小题，共36分。 19.解方程：；             ． 直接开方法                  公式法 因式分解          配方法 20.月历中的奥秘九年级版：如图是年月的月历表，在此月历表上用一个矩形圈出三行三列的个数如，，，，，，，，试解决以下的问题： 用矩形任意圈出的三行三列个数中，若最小的数设为，那么最中间的数可用表示为______，最大的数可用表示为______； 若矩形圈出的个数中，最大数与最小数的积为，这个数的和是多少？请列方程解决 21.某快递公司每天上午：至：为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件该时段内甲、乙两仓库的快件数量件与时间分之间的函数图象如图所示． 求图中的值及甲仓库的快件数量件与时间分的关系式． 何时甲、乙两仓库的快件数量相差件？ 22.在物理中，沿着一条直线且速度均匀地增大或减小的运动，叫作匀变速直线运动在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时间段内，初速度为米秒，末速度为米秒，则这个时间段的平均速度为米秒运动路程等于时间与平均速度的乘积即若一个小球以米秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，秒后小球停止运动． 小球的滚动速度平均每秒减少______米，从开始到滚动了秒后小球的速度为______米秒； 小球从开始到滚动米用了多少秒？ 小球在最后一秒滚动了多少米？ 23.综合与实践： 根据以下素材，完成探索任务： 探索果园土地规划和销售利润问题 素材 某农户承包了一块矩形果园，图是果园的平面图，其中，准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为，左右两条纵向道路的宽度都为，中间部分种植水果出于货车通行等因素的考虑，道路宽度不超过，且不小于． 素材 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平方米的草莓销售平均利润为元，每月可销售的草莓；受天气原因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润每下调元，则每月可多销售草莓，且果园每月的承包费为万元． 问题解决 任务 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． 请直接写出纵向道路宽度的取值范围． 若中间种植的面积是，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务 解决果园种植的预期利润问题． 总利润销售利润一承包费 若农户预期一个月的总利润为万元，且尽可能让利于客户，则每平方米草莓的平均利润应该下调多少元． 24.根据数学名著勾股圆方注中所记，我们发现可以利用几何方法求得一些一元二次方程的正根如图，将四个长为，宽为的长方形纸片和一个小正方形拼成一个大正方形． 求解方程的正根，可令，，则图中每个长方形的面积为． 小正方形，大正方形的面积各是多少？ 利用大正方形的边长，请你求出方程的正根． 小明用此方法求关于的方程为常数，且的正根，构造了同样的图形，已知小正方形的面积为，求的值． 四、解答题：本题共1小题，共8分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 25.本小题分 已知的两边，的长是关于的方程的两个实数根． 求证：无论为何值，方程总有两个实数根； 当为何值时，四边形是菱形？并求此菱形的边长； 若的长为，则的周长是多少？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $