第二十五章一元二次方程小专题3 知识点 根与系数的关系(韦达定理) 基本关系 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以韦达定理为核心，通过"基本关系-常用变形-分层应用"的逻辑链，系统构建根与系数关系的解题方法体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-5题|直接应用韦达定理求两根和积|从概念定义（基本关系）到简单运算，夯实基础| |变式拓展|6-10题|代数式恒等变形（如x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂）|结合常用变形公式，提升符号运算能力| |综合探究|11-14题|韦达定理与判别式、方程根定义综合应用|融合参数讨论与逻辑推理，构建知识网络|

第二十五章 一元二次方程专题3 知识点 根与系数的关系（韦达定理） 基本关系：若、是一元二次方程（）的两个根，则 常用变形：  ；  ；  ；  ； . 1．若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 2．在方程中，小金解得，则______． 3．已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 4．若，是方程的两根，则的值为________． 5．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 6．已知，，且，则_____． 7．已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 8．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是______． 9．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____． 10．已知，()是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 11．根据以下素材，解决问题． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 12．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两个实根，且，求的值． 13．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 14．(1)一元二次方程的两根为为、，则______，______； (2)已知关于的一元二次方程． ①求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②方程的两个实数根为、，满足，求的值． (3)【思维拓展】已知实数，，满足，，且，求的值． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程专题3 知识点 根与系数的关系（韦达定理） 基本关系：若、是一元二次方程（）的两个根，则 常用变形：  ；  ；  ；  ； . 1．若，是方程的两个根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 2．在方程中，小金解得，则______． 【答案】 【详解】解：由题意，， ∵， ∴， 解得. 3．已知一元二次方程的两根是，，则的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再将所求代数式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，，其中，， ， ∴，， ∴． 4．若，是方程的两根，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的值，再根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之积的值，最后代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：是方程的根， ， 整理得， 又，是方程的两根， 根据根与系数的关系可得， 将，代入代数式得． 5．已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 【答案】15 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根的定义得，即， 由根与系数的关系得，， 将代入所求代数式得： ． 6．已知，，且，则_____． 【答案】/ 【分析】根据题意a，b是一元二次方程的两个实数根，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，， ∴a，b是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=-5，m2+2m=5是解题的关键． 7．已知，是方程的两根，则代数式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值． 【详解】∵a与b是方程的两根 ∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0 ∴a2=a+1，b2=b+1 ∵，同理： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键． 8．若关于的一元二次方程的两根为，且，则的值是______． 【答案】8 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系得到，即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， ， ， ， ， ． 故答案为：． 9．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为 _____． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可． 【详解】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根， ∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0， ∴x12＝2x1﹣k+1， ∵＝x12+2x2﹣1， ∴＝2（x1+x2）﹣k， ∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5， 当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意； 当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意； ∴k＝2，故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 10．已知，()是方程的两个实数根，则代数式的值为__________． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解及根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则；由一元二次方程的解可得，再根据根与系数的关系求解即可． 【详解】解：，()是方程的两个实数根， ，， ， 11．根据以下素材，解决问题． 素材1 材料1：关于的一元二次方程（），如果，设方程的两个实数根为，，则与根系数，，，有如下关系：，． 素材2 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值． 解：因为， 所以，， 则． (1)先判断一元二次方程是否存在实数根；若存在，则设实数根为，，求的值；若不存在，请说明理由． (2)已知一元二次方程的两个实数根为，，求的值． (3)已知关于的一元二次方程有两个实数根为，，满足，求的值． 【答案】(1)解：该一元二次方程不存在实数根，理由如下： 由题意得，， ∴该一元二次方程不存在实数根； (2) (3) 【分析】（1）利用判别式求解即可； （2）由根与系数的关系得到，由方程的解的定义得到，，则可推出，，可推出，据此代入求值即可； （3）由根与系数的关系得到，则可得到方程，解方程求出k的值，再利用判别式求出k的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：∵一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ，， ∴，， ∴ ； （3）解：∵关于的一元二次方程有两个实数根为，， ∴， ∵， ∴，即， 解得或； ∵原方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 12．关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若、是方程的两个实根，且，求的值． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程总有两个不相等的实数根． (2)2 【分析】（1）一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根； （2）关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】（1）略； （2）解：由题意可得，， ∵， ∴， 解得． 13．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为，，且满足，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，方程有实数根，即一元二次方程根的判别式，可列出含m的不等式，解该不等式即可得出答案； （2）该方程有两个实数根，所以m的取值应满足（1）中的条件，即 ．根据一元二次方程根与系数的关系，可用含m的代数式表示、，结合题干，可得出与m有关的一元二次方程，解出该方程，结合前提条件得出m的取值为． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：， （2）方程的两实数根分别为，， ，， 解得， ．1． 14．(1)一元二次方程的两根为为、，则______，______； (2)已知关于的一元二次方程． ①求证：无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②若方程的两个实数根为、，满足，求的值． (3)【思维拓展】已知实数，，满足，，且，求的值． 【答案】(1)， (2)①∵ ， ∵无论k为何实数，， ， 无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； ②或 (3) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的判别式，完全平方公式的变形计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据韦达定理公式进行计算即可； （2）①证明即可；②通过韦达定理表示出两根和，以及两根乘积，然后代入解方程即可； （3）由题意可知m，n是的两个不相等的实数根，，然后利用韦达定理，表示出以及，从而求得答案． 【详解】（1）解： ，， ， 故答案为：，； （2）解：① 略 ②由根与系数的关系得出，， ， 化简得 解得或． （3）解：时，则m，n是的两个不相等的实数根， ， ． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $