第二十五章 一元二次方程单元试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

**基本信息** 人教版九年级上册一元二次方程单元卷，以真实生活与社会热点情境（如二十大钥匙扣销售、矩形猪舍建造）设计梯度问题，覆盖方程定义、解法、根的判别式及实际应用，适配单元复习，培养运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|一元二次方程定义、解法选择、根的判别式|第10题以“转发海报”考传播问题建模| |填空题|8|根与系数关系、几何面积（试验园地小道）、循环比赛计数|14题结合成本利润考增长率方程| |解答题|5|解方程、根与系数综合、矩形对角线与方程根、利润最值|23题以二十大钥匙扣销售考最大利润，体现应用意识|

第二十五章 一元二次方程 单元试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册 一、选择题 1.下列方程一定是关于的一元二次方程的是(    ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3.有下列方程：；；，则解上述方程较适合的方法为  (    ) A. 直接开平方法，因式分解法，配方法 B. 因式分解法，分解法，直接开平方法 C. 公式法，直接开平方法，因式分解法 D. 直接开平方法，公式法，因式分解法 4.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是(    ) A. B. C. D. 5.已知是方程的一个根，则实数的值是(    ) A. B. C. D. 6.若是方程的一个解，则的值是(    ) A. B. C. D. 7.若，则等于(    ) A. B. 或 C. D. 以上都不对 8.一元二次方程配方后可化为(    ) A. B. C. D. 9.关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值(    ) A. 或 B. 或 C. D. 10.为提高“村”比赛的热度，主办方发起了转发海报得门票活动小王将此消息链接转发给个好友，每个好友收到链接之后，又转发给了个互不相同的人，经过这两轮转发，这条链接共被转发了次，则可列方程为(    ) A. B. C. D. 二、填空题 11.若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为          ． 12.如果与互为相反数，那么的值为          ． 13.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长，宽的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为，则根据题意，列方程为          ． 14.某产品每件的生产成本为元，原定销售价元，经市场预测，从现在开始的第一季度销售价格将下降，第二季度又将回升若要使半年以后的销售利润不变，设每个季度平均降低成本的百分率为，根据题意可列方程是          ． 15.学校组织了一次篮球循环比赛每两队之间只进行一场比赛，共进行了场比赛，设参加这次比赛的队伍有支，则           ． 16.若关于的一元二次方程有一个根为，则的值是          ． 17.已知关于的方程的一个根为，则另一个根是          ，           ． 18.某种植物的主干长出个支干，每个支干又长出个小分支，主干、支干和小分支的总数是，那么可列方程为          ． 三、解答题 19.选择适当的方法解方程： ； ． 20.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 若方程的两个根为，，且，求的值． 21.已知关于的方程． 求证：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； 当一矩形的对角线长为，且矩形的两条边和恰好是这个方程的两个根时，求矩形的周长． 22.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ 23.党的“二十大”期间，某网店直接从工厂以元件的进价购进一批纪念“二十大”的钥匙扣，售价为元件时，第一天销售了件．由于该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，第三天的销售量达到了件． 求每天销售量的平均增长率； “二十大”临近结束时，钥匙扣还有大量剩余，为了尽快减少库存，网店打算将钥匙扣降价销售．经调查发现，每降价元，在第三天的销售量基础上每天可多售件．将钥匙扣的销售价定为多少元件时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的定义，注意一定是一个正数．找到只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为，系数不为的整式方程即可． 【解答】 解：、不是整式方程，不合题意； B、含有个未知数，不合题意； C、当时，不合题意； D、是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为，二次项系数不为的整式方程，符合题意． 2.【答案】  【解析】解：一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是、、 故选： 根据一元二次方程的一般形式即可得二次项系数，一次项，常数项． 此题主要考查了一元二次方程的一般式，关键是掌握任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，叫做二次项系数；叫做一次项；叫做常数项． 3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查方程的解的定义．使方程左右两边相等的未知数的值班叫方程的解． 根据方程解的定义，把代入方程得到关于的一个方程，解之即可． 【解答】 解：把代入方程得 ， 解方程得 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查一元二次方程的解，代数式求值，整体代入法，掌握方程的解的概念是解题的关键． 首先将代入方程，整理得出，再利用整体代入法可求结论． 【解答】解：因为是方程的一个解， 所以， 所以， 所以 ． 故选B． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查解一元二次方程，将看作一个整体，利用直接开平方法求解，保留符合题意的结果即可． 【解答】 解：可将看作一个整体， 则 ， 或．  ， ． 8.【答案】  【解析】解：， ， ， ， 故选：． 移项，配方，即可得出选项． 本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键． 9.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根为，， ，． ，即， ， 解得：． 关于的一元二次方程有实数根， ， 化简得：， 时满足． 故选：． 由根与系数的关系可得出，，结合可求出的值，根据方程的系数结合根的判别式可得出关于的不等式，进而可确定的值，此题得解． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，利用根与系数的关系结合，求出的值是关键． 10.【答案】  11.【答案】  12.【答案】或  13.【答案】  14.【答案】  【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 每个季度平均降低成本的百分率为，根据利润售价成本价，结合半年以后的销售利润为元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 解：依题意，得：． 故答案为：． 15.【答案】  16.【答案】  17.【答案】   18.【答案】  19.【答案】【小题】 解：，，． ． 方程有两个不相等的实数根 ， 即，． 【小题】 整理，得． 因式分解，得， 即． 于是得，或， 即，．   20.【答案】【小题】 方程有两个不相等的实数根，，解得 【小题】 方程的两个根为，，，，解得，， 21.【答案】【小题】 证明：， 无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根． 【小题】 解：依题意，得， ， 而， ， 即． 令，得， ，． ， ，即． 矩形的周长为．   22.【答案】解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为，则矩形猪舍的另一边长为  依题意，得，化简，得，解得，，  当时，舍去；当时，  答：所建矩形猪舍的长为，宽为．  23.【答案】【小题】 解：设每天销售量的平均增长率为根据题意，得，解得，不合题意，舍去答：每天销售量的平均增长率为． 【小题】 设将每件钥匙扣降价元销售，利润为元．，当时，则答：将钥匙扣的销售价定为元件时，每天可获得最大利润，最大利润是元．   学科网（北京）股份有限公司 $