25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系&专题3 根与系数的关系的运用（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级全一册数学（人教版·新教材 广西专版）

25.2.4 名师导学 >◆◆预习新知 同新知梳理 ①若关于x的一元二次方程ax2十 bx十c=0的两根为，x2,则G十x2= ,x12= ②注意：根与系数的关系是在方程有根 的前提下才成立，即△0 ☑例题引路 【例1】根据一元二次方程的根与系数的关 系，求下列方程两个根1，x2的和与积： (1)x2-4x+1=0; (2)一3.x2-2x+6=0: (3)2x2-10=x2-8x. 【名师点拨】先将方程整理为ax2十bx十 c=0的形式，确定a,b,c的值，再利用 根与系数的关系解题 【学生解答】 易错典例 【例2】下列方程中，满足两个实数根的 和等于3的方程是 A.2x2+6x-5=0 B.2x2-3x-5=0 C.2x2-6x+5=0 D.2x2-6x-5=0 【易错剖析】在运用根与系数的关系解 题时，不要忽视隐含的已知条件△≥0. 【学生解答】 元二次方程的根与系数的关系 基础过关 ●●·逐点击破 知识点1直接利用根与系数的关系求两根之和与两根之积 1.(2025·广西中考)已知x1,x2是方程x2-20x-25=0 的两个实数根，则x1十x2的值为 A.-25 B.-20 C.20 D.25 2.若a,B是一元二次方程2x2一3.x-一4=0的两个根，则3 的值是 () A-含 B多 C.-2 D.2 知识点2利用根与系数的关系求方程的解、待定字母及 相关代数式的值 3.如果关于x的一元二次方程x2十x十q=0的两个根分 别是3，一6，那么p,q的值分别为 () A.p=3,q=-18 B.p=3,q=18 C.p=-3,q=-18 D.p=-3,9=18 4.已知关于x的方程x2十mx一20=0的一个根是一4，则 它的另一个根是 5.(2025·眉山中考)已知方程x2一2x一5=0的两根分别 为x1,x2,则(x1+1)(x2+1)的值为 6.过程纠错新趋势已知关于x的一元二次方程x2一（2m 1)x十=0的两根为a,b,且a+b=ab-4,求m的值， 佳佳的解题过程如下： 解：由根与系数的关系，得a十b=2m一1，ab=m2. .a十b=ab-4,.2m-1=m2-4,解得m=-1,m2=3. 佳佳的解题过程未考虑哪个条件？请写出正确的解题 过程. 第二十五章一元二次方程14 T能力提升 >>◆整合运用 7.(2025·河北中考)若一元二次方程x(x十 2)一3=0的两根之和与两根之积分别为m,n, 则点(m,n)在平面直角坐标系中位于( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 8.小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次 方程时，小影在化简过程中写错了常数项， 因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化 简过程中写错了一次项的系数，因而得到方 程的两个根是一2和一5.原来的方程是 () A.x2+6x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 9.若菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别 为关于x的一元二次方程2x2+11x一m=0 的两个根，且S菱形BcD=3,则m的值为() A.4 B.8 C.-12 D.-24 10.(2025·泸州中考)若一元二次方程2x2一 6x-1=0的两根为a,β，则2a2-3a+3,3的 值为 11.(易错题)关于x的一元二次方程x2十 (a2一2a)x十a一1=0的两个实数根互为相 反数，求a的值. 15数学九年级全一册(R) 【思维拓展 >>>强化素养 12.类比探究新趋势阅读材料： 已知实数m,n满足m2一m一1=0，n2一n- 1=0,且m≠n,则m,n是方程x2-x一1= 0的两个不相等的实数根，由根与系数的关 系可知m十n=1,mn=-1. 根据上述材料，解答下列问题： (1)直接应用： 已知实数a,b满足a2-7a十1=0，b2 7b十1=0，且a≠b,则a十b的值为， ab的值为； (2)间接应用： 在(1)的条件下，求二+二的值； √a√b (3)拓展应用： 已知实数m,n满足1+1=7，m2 n2十m n=7,且mm≠一1，求六+r的值 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·广西热点】 (新课标、教材将一元二次方程根与系数的关系的选学标识删除) 类型1已知一根，求另一根或待定字母的值 类型3求方程中待定字母的值或取值范围 1.(2025-2026·南宁期末)关于x的一元二次 5.(2025一2026·北海期中)已知关于x的一 方程2x2+kx一4=0的一个根x1=一2，则方程 元二次方程x2-6x+2m十1=0有实数根. 的另一个根x2和的值分别为 (1)求m的取值范围； A.x2=1,k=2 B.x2=2,k=2 (2)如果方程的两个实数根分别为x1,x2,且 D.x2=2,k=-1 2x1x2十x1十x2≥20，求m的取值范围. C.x2=1,k=-1 2.(2025·苏州中考)已知x1,x2是关于x的 一元二次方程x2十2x一m=0的两个实数 根，其中x1=1,则x2的值为 类型2求与两根有关的对称代数式的值 名师点拨：一元二次方程的两根分别为1，x2,在运 用根与系数的关系解题时，常见的恒等变形有： 1十1=西+2，x1x十xx2=1,(x十x2), 6.(贺州期中)已知关于x的一元二次方程x2+ x+x=(x1+x2)2-2x1x2, (2m+1)x+m2+1=0. (x1-x2)2=(x1十x2)2-4x1x2, (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； lx1x2=《x1十x2）24x1x2: (2)若方程的两个实数根分别为x1,x2,且满 3.(2025·乐山中考)若方程x2一x一2=0的两个 足x+x号=15，求实数m的值. 根是1和x2,则xx2十x的值为( A.-1B.1 C.-2 D.2 4.(教材P18习题T11变式)已知x,x2是方程 5x2十x一5=0的两个根，求下列各式的值： (1)x1x2-x1x2= (2)1+1 x1 x2 (3)(x1-2)(x2-2)= (4)+= x1 x2 (5)|x1-x2|= 【变式题】与根的定义结合降次构造对称式 易错总结：利用根与系数的关系解决方程ax干bx干 若m,n是一元二次方程x2十3x一9=0的两 c二0相关问题时，需注意使用的前提是a卡0，△≥0. 个根，则m2十4m十n的值是. 提示请完浅阶段撤测试（一）[25.125.2] 第二十五章一元二次方程16根.(2)解：由1)得x=+1)±，/k=3》,=-1,,=2.由题意，得0<k-1< 2 1,解得1<k<2. 10.解：1)：∠ACB=90,BC=号，AC=b,AB=VBC+AC=√+F a6,:BD=合，AD=AB-BD=ya+4奶-a,(2)方程化为+az-6 2 0,A=a2-4X1X(-B)=a2+46.c=二a±a+4w.=二a+a+4 2 =二4一公干亚.“AD的长是方程的正根，遗之处：图解法不能表示方程的负 2 根.（合理即可) 25.2.3因式分解法 名师导学 ②00 【例1】解：(1)左边因式分解，得x(x一3)=0.于是得x=0,或x一3=0..x1=0,x2= 3.(2)左边因式分解，得(x-5)(x十1)=0.于是得x一5=0，或x+1=0..x1=5,x2= -1.(3)左边因式分解，得3x(2x十1)=2x+1.移项，得3x(2x+1)一(2x十1)=0.左边 因式分解，得(2x十1(3z-1）=0,于是得2z+1=0,或3z-1=0函=-分4=子 1 【例2】② 1.D2.C 3.解：(1)左边因式分解，得x(4x-11)=0.于是得x=0,或4x-11=0.∴.x1=0,x2= 朵.(2)移项，得（5x十)-x(5z十)=0.左边因式分解，得(5x十4)1-)=0.于是得 5x十4=0，或1-x=0.x1=一号=1.(3)移项、合并同类项，得9x-4=0.左边 4 因式分解，得(3x+2)(3x-2)=0.于是得3x+2=0,或3x-2=0.∴=-号4=号. 4.D 5.解：(1)配方，得x2-2x十1=3十1，即(x-1)2=4.由此可得x-1=士2..x1=3, x2=-1.(2)原方程可化为3x2-7x十2=0.a=3,b=-7,c=2,∴.△=b2-4ac= （一7)2-4X3×2=25>0.∴方程有两个不相等的实数根.“x=-b±=4a匹= 2a 7告-告5=2=子 6.C7.20 8.解：(1)①B②等式的基本性质（2).a=3,b=一6，c=1,.△=b2-4ac=(一6)2 一4X3×1=24>0.∴方程有两个不相等的实数根.“x=二b士y-4c_6±25 2a 2×3 1上9=1+54=1-5.（3)移项，得3x一2》-（红-0=0.左边因式分解， 得(x-2)[3(x-2)-(x十2)]=0，即(x一2)(2x-8)=0.于是得x-2=0,或2x-8= 0..x1=2,x2=4. 9.解：(1)①②(2)解方程x2一2x=0,得x1=0,x2=2.当相同的根是x=0时，把x 0代人x2+x十m一1=0，得m一1=0，解得m=1:当相同的根是x=2时，把x=2代人 x2十x十m一1=0，得4十2十m一1=0，解得m=一5.综上所述，m的值为1或一5. (3),关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)同时满足a一b+c=0和9a十3b十 c=0,.该方程的两个根是x1=一1，x2=3.,方程(x一n)(x十3)=0的两个根是x1= n,x2=-3,且与方程ax2+bx十c=0(a≠0)为“同伴方程”，∴.n=-1或3. 专题二一元二次方程的特殊解法【培养阅读理解能力】 1.解：(1)左边因式分解，得(x十1)(x十4)=0.x+1=0,或x十4=0..x1=-1,x2 =-4.(2)左边因式分解，得(x-1)(x-2)=0.x-1=0,或x-2=0..x=1,x2= 4 2.(3)左边因式分解，得(x十1)(x一6)=0..x十1=0，或x一6=0..x1=一1，x2=6. 3 (4)左边因式分解，得(2x-3)(x+2)=0.…2x-3=0,或x+2=0.x=2西=-2. 2解：(13十}=号(2)设十2x=则原方程可变形为号+y-2.整，科 十2y十1=0，解得y1=y2=-1..x2+2x=一1，解得x1=x2=-1.经检验，x=-1是 原方程的根.∴.原方程的根为x=一1. 25.2.4一元二次方程的根与系数的关系 名师导学 ①-6 ÷@ 【例1】限：0运十=-（一）=4=1.2十=-号-号=马与 6 -2.(3)原方程化为x2+8x10=0,.x1+x2=一8，xx2=一10. 【例2】D 1.C2.C3.A4.55.-2 6.解：佳佳的解题过程未考虑△≥0这个条件.正确的解题过程如下：根据题意，得△= [-(2m-1D]-4m2≥0，解得m≤子.由根与系数的关系，得a十6=2m-1,a6=m. ,a十b=ab-4,∴.2m-1=m2-4,解得m1=-1,m2=3(舍去)..m=-1. 7.C8.B9.C10.10 11.解：，方程x2+(a2一2a)x十a-1=0的两个实数根互为相反数，x1十x2=-a2+ 2a=0,解得a1=0,a2=2.当a=0时，原方程为x2一1=0，符合题意；当a=2时，原方 程为x2十1=0，方程无实数根，舍去..a=0. 2果，71@合洁》”-++高出+后+2-0 1 √a√6 >0,+2=3.(3)令=a,-1=6,则。+a-1=0,8+6-7=0.:m≠-1 vab ≠-m,即a≠.∴a,b是方程x2十x-7=0的两个不相等的实数根.∴a十b= 1,ab=-7.+r=a+=(a+b)2-2ab=（-1)2-2×(-7)=15 专题三根与系数的关系的运用【教改变化·广西热点】 1.A2.-33.C 4.)-告(2)号(3)号4)}6 5 1【变式题】6 5.解：(1)由题意，得△=（一6）2一4(2m+1)≥0，解得m≤4.（2)由根与系数的关系，得 x1+x2=6,x1x2=2m+1.2x1x2十x+x2≥20，.2(2m+1)+6≥20，解得m≥3. ,m≤4，.3≤m≤4. 6.解：1)由题意，得△=(2m+1)2-4(m+1)=4m-3≥0，解得m>子.(2)由根与系 数的关系，得x1十x2=-(2m十1)，x1x2=m2+1.x好+z=(x1十zx2)2-2z1z2=15, [-(2m+1]-2(m2+1)=15,解得m=2,m=-4.“m≥子m=2。 25.3实际问题与一元二次方程 第1课时几何图形问题 名师导学 【例1】解：设其中一条直角边的长为xcm,则另一条直角边的长为(30一13一x)cm.根 据题意，得x2+(30-13-x)2=132,解得x1=12,x2=5.当x=12时，30-13-x=5; 当x=5时，30-13-x=12.答：两条直角边的长分别为12cm,5cm. 【例2】2 1.A2.43.11 4.解：设这个矩形摊位垂直于墙的边长为xm.根据题意，得x(32-2x)=120,解得x1 5 =6,x2=10.当x=6时，32一2x=20>18,不符合题意，舍去；当x=10时，32一2x=12 <18,符合题意.∴.x=10.答：这个矩形摊位垂直于墙的边长为10m. 5.C 6.解：设小路的宽度为xm.根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9,解得x1=0.5,x2 =8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为0.5m. 7.C8.2 9.解：(1)设剪开后其中一段绳长为xcm,则另一段绳长为(80一x)cm.根据题意，得 ()广+(0）-20，解得五==40.∴要使这两个正方形的面积之和为 200cm,可将绳子从中点处剪开.(2)设剪开后其中一段绳长为ycm,则另一段绳长为 (80-)m根据题意，得()）‘+(0之) =488,解得y=-8(舍去)，y2=88(舍 去)..这两个正方形的面积之和不可能为488cm, 10.解：：四边形ABCD为矩形，∴.CD=AB=6,BC=AD=8.由题意，得BM=2t,CN -tCM-BC-BM-8-2t,DN-CD-CN-6-t.SMS:8X6- 合×6X2-号×(8-20)×1-号×8×(6-)=号×8×6.整理，得2-6+8=0，解 得=2,2=4.∴当1=2或4时，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的号。 第2课时传播与平均增长（下降）率问题 名师导学 ②a(1+x)"=ba(1-x)m=b 【例1】C 【例2】解：(1)设该商场投人资金的月平均增长率为x.根据题意，得20(1十x)2=24.2, 解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符合题意，舍去）.答：该商场投入资金的月平均增 长率为10%.(2)24.2×(1+10%)=26.62（万元）.答：预计该商场7月份投人资金将 达到26.62万元. 1.D2.63.D 4.解：设这两年该电池成本的年平均下降率为x.根据题意，得1200(1一x)2=972,解 得x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去).答：这两年该电池成本的年平均下降 率为10%. 5.C6.6 7.解：设11,12这两个月销售额的月平均增长率为x.根据题意，得200×(1一20%)(1 +x)2=193.6,解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符合题意，舍去）.答：11,12这两个 月销售额的月平均增长率为10%. 8.解：(1)根据题意，得1十x+x2=111,解得1=10，x2=一11（不符合题意，舍去） .x的值为10.(2)经过三轮转发之后，参与人数为1+10+100+1000=1111（人），四 轮转发之后，参与人数为1+10+100+1000+10000=11111（人）.，11111> 10000,∴.再经过两轮转发后，参与人数会超过10000人. 9.解：(1)10000(1+2x)10000(1+x)2(2)根据题意，得10000(1+x)2-10000(1 十2x)=25,解得x1=0.05=5%,x2=一0.05（不符合题意，舍去）.答：该理财产品的年 利率为5% 第3课时循环、数字与销售问题 名师导学 【例1】解：设十位数字为x,则个位数字为x十2.根据题意，得3x(x+2)=10x十(x十 2).整理，得3x-5x-2=0,解得西=2，=-号（不符合题意，合去).x十2=4. 答：这个两位数为24. 【例2】A 1.C【变式题】112.B3.324.13 5.解：(1)(400一10x)(x+7)(2)根据题意，得(x+7)(400-10x)=3700,解得1 —6