1.4 全等三角形 课后作业 2026-2027学年浙教版数学八年级上册

**基本信息** 以“基础巩固-能力提升-综合应用”三阶分层设计，覆盖全等三角形性质与判定全知识点，通过图形识别、推理计算到实际情境应用的递进路径，培养抽象能力、推理意识与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|全等三角形性质、基本判定（ASA/AAS/SAS）|选择题1-3直接考查对应边/角关系，填空题9-11强化全等条件应用，夯实概念理解| |能力提升|多三角形全等识别、动点问题|选择题4-6涉及图形中多对全等三角形判断，填空题12结合动点运动考查全等分类讨论，提升几何直观与推理能力| |综合应用|复杂图形综合证明、实际情境应用|选择题7-8融入等边三角形、赵爽弦图等情境，解答题13-15需综合运用全等判定与性质进行证明计算，发展创新意识与应用意识|

1.4 全等三角形 课后作业 一、选择题 1．如图，，，与相交于点，过点并分别交，于点，，则图中的全等三角形共有（　　） A．对 B．对 C．对 D．对 2．如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于（　　） A．71° B．59° C．58° D．50° 3．如图，已知，，，则的长为（　　） A．7 B．3.5 C．3 D．2 4．如图，在中，，，分别是边，上的点，，CD与BE交于点F，则图中全等三角形的对数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 5．图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC＝6，BC＝5，将四个直角三角形中的边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（　　） A．51 B．49 C．76 D．无法确定 6．如图，，，记，，当时，α与β之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 7．如图，，过点作，垂足为，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，等边和等边中，A、B、C三点共线，和相交于点F，下列结论中正确的个数是（　　） ①；②平分；③；④ A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 9．一个三角形的三条边的长分别是5，8，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，若这两个三角形全等，则的值是　 　． 10．如图，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF．给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE＝CF；③ACN≌ABM；④CD＝DN．其中正确结论的序号是　 　． 11．如图，，若，则的度数为　 　． 12．如图，.点P在线段上以的速度由点A向点B匀速运动，同时，点Q在线段上由点B向点D匀速运动.设点Q的运动速度为.当与全等时，x的值为　 　. 三、解答题 13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD、DE，若AD=DE，AC＝CD． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若BD＝3，CD＝5，求AE的长． 14．如图，≌，AC和AE，AB和AD是对应边，点E在边BC上，AB与DE交于点F． （1）求证：； （2）若，求的度数． 15．问题1：如图①，在四边形ABCD中，，P是BC上一点，，.易得.（不需证明） 问题2：如图②，在四边形ABCD中，，P是BC上一点，，. （1）求证：； （2）若，求与的面积和. 答案解析部分 1．【答案】C 【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定（ASA）；三角形全等的判定（AAS） 【解析】【解答】解：ADBC， ， （第1对） （第2对） （第3对） 故答案为：C 【分析】由平行线的性质，可知∠A=∠C，∠B=∠D，而AD= BC利用ASA可证△AOD≌△COF，再根据全等性质可得OA=OC，利用一对对顶角和一对内错角相等，用ASA可证△AOE ≌△COF，进而可证△DOE≌△BOF. 2．【答案】B 【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质 【解析】【解答】解：∵三角形内角和是180°， ∴a、b边的夹角度数为：180°-71°-50°=59°， ∵图中的两个三角形全等， ∴∠α等于59°， 故答案为：B. 【分析】根据三角形的内角和是180°；求得a、b边的夹角度数，根据全等三角形对应角相等即可求解. 3．【答案】C 【知识点】三角形全等及其性质 【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DAE， ∴AC=DE=5，AE=BC=2， ∴CE=AC-AE=3， 故答案为：C. 【分析】根据全等三角形的性质，即可求解． 4．【答案】C 【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵DE∥NBC， ∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB， ∴∠ADE=∠AED， ∴AD=AE， 在△ABE与△ACD中， ∵AB=AC，∠BAE=∠CAD，AD=AE， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴BE=CD， ∵AB=AC，AD=AE， ∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE， 在△DBE与△ECD中， ∵BD=CE，DE=ED，BE=CD， ∴△DBE≌△ECD（SSS）， ∴∠DBE=∠ECD， 在△DBF与△ECF中， ∵∠DBE=∠ECD，∠DFB=∠EFC，BD=CE， ∴△DBF≌△ECF（AAS）， 在△DBC与△ECB中， ∵BD=CE，∠ABC=∠ACB，BC=CB ∴△DBC≌△ECB（SAS）， 综上图中全等的三角形有4对. 故答案为：C. 【分析】根据等边对等角得∠ABC=∠ACB，根据平行线性质得∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，则∠ADE=∠AED，由等角对等边得AD=AE，从而推出BD=CE，用SAS推出△ABE≌△ACD，得BE=CD，再用SSS推出△DBE≌△ECD，得∠DBE=∠ECD，用AAS推出△DBF≌△ECF，用SAS推出△DBC≌△ECB，综上即可得出答案. 5．【答案】C 【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的应用 【解析】【解答】解：依题意，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则 x2＝122+52＝169 所以x＝13 所以“数学风车”的周长是：（13+6）×4＝76. 故答案为：C. 【分析】设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，由勾股定理可得x的值，然后根据周长的概念进行计算. 6．【答案】B 【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；三角形全等及其性质；等腰三角形的性质 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 整理得，， 故答案为：B. 【分析】根据全等三角形的性质可得AB=AC，∠BAO=∠CAD，由等腰三角形的性质可得∠BAC=∠OAD=α，由内角和定理可得∠ABC=(180°-α)，根据平行线的性质可得∠OBC=180°-∠O=90°，即∠ABO+∠ABC=90°，据此求解. 7．【答案】B 【知识点】三角形全等及其性质 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：B． 【分析】利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算求出即可。 8．【答案】D 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质 【解析】【解答】解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①④符合题意， 在与中， 过B作，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，故②符合题意， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∵，， ， 在线段上截取， ∵由②的证明可知， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ∴③符合题意， 故答案为：D， 【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。 9．【答案】7.5或7 【知识点】三角形全等及其性质 【解析】【解答】解：∵一个三角形的三条边的长分别是5，8，10，另一个三角形的三条边的长分别是5，，，这两个三角形全等， ∴4x+2=8，2y-2=10或4x+2=10，2y-2=8， 解得x=1.5，y=6或x=2，y=5， ∴x+y=7.5或7. 故答案为：7.5或7. 【分析】根据全等三角形的对应边相等可得4x+2=8，2y-2=10或4x+2=10，2y-2=8，求出x、y的值，然后根据有理数的加法法则进行计算. 10．【答案】①②③ 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定 【解析】【解答】∵∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF， ∴△ABE≌△ACF（AAS）， ∴AC=AB，BE=CF，即结论②符合题意； ∵AC=AB，∠B=∠C，∠CAN=∠BAM， ∴△ACN≌△ABM（ASA），即结论③符合题意； ∵∠BAE=∠CAF， ∵∠1=∠BAE-∠BAC，∠2=∠CAF-∠BAC， ∴∠1=∠2，即结论①符合题意； ∴△AEM≌△AFN（ASA）， ∴AM=AN， ∴CM=BN， ∵∠CDM=∠BDN，∠C=∠B， ∴△CDM≌△BDN， ∴CD=BD， 无法判断CD=DN，故④不符合题意， ∴题中正确的结论应该是①②③． 故答案为：①②③． 【分析】利用全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。 11．【答案】60° 【知识点】三角形全等及其性质 【解析】【解答】， ，， ∵， ； ， ； 故答案为：60°． 【分析】根据全等三角形的性质可得，，再结合，，求出即可。 12．【答案】3或 【知识点】三角形全等及其性质；三角形-动点问题 【解析】【解答】解：设运动时间为t， ①若，则， 解得 ②若， 则， 解得 综上所述，当或时，与全等. 故答案为：3或. 【分析】设运动时间为ts时，两个三角形全等，根据路程=速度×时间可得AP=3t，BQ=xt，则BP=9-3t，进而分类讨论：①当△ACP≌△BPQ时，则AC=BP，AP=BQ，②当△ACP≌△BQP时，则AC=BQ，AP=BP，分别列出方程，求解即可. 13．【答案】（1）证明：如图所示： ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵AD＝DE，AC＝CD， ∴∠AED＝∠DAE＝∠ADC， ∴∠C+∠2＝∠B+∠1， ∴∠1＝∠2， 在△ABD与△DCE中， ， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （2）解：解：∵△ABD≌△DCE， ∴AB＝DC＝5，CE＝BD＝3， ∵AC＝AB＝3， ∴AE＝AB-EC＝5-3＝2． 【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定（AAS）；线段的计算 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出 ∠B＝∠C， 再利用角的运算求出∠5＝∠2，最后利用“AAS”证出△ABD≌△DCE即可； （2）利用全等三角形的性质求出AB＝DC＝5，CE＝BD＝3，再利用线段的和差求出AE的长即可. 14．【答案】（1）证明：∵≌， ∴∠BAC=∠DAE， 即∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE， ∴； （2）解：∵，， ∴∠CAE=35°， ∵≌， ∴∠C=∠AED， ∵∠AEB=∠C+∠CAE，∠AEB=∠AED+∠BED， ∴∠BED=∠CAE=35°． 【知识点】三角形全等及其性质 【解析】【分析】（1）先求出 ∠BAC=∠DAE， 再证明求解即可； （2）先求出 ∠CAE=35°， 再求出 ∠C=∠AED， 最后计算求解即可。 15．【答案】（1）证明：如图②，过点A作于E，过点D作于F. 由题易得， ，， ， ，， ， ， 即和均为等腰直角三角形， ， ， ， . （2）解：由（1）得， ， ， . 【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰直角三角形 【解析】【分析】（1）过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，由题意可得△AEP≌△PFD，得到AE=PF，EP=DF，易得△AEB、△CDF均为等腰直角三角形，则BE=CE=PF，CF=DF=EP，然后根据线段的和差关系进行证明； （2）由（1）可得BP=CP=4，AE+DF=EF=BC=4，然后根据三角形的面积公式进行计算. 1 学科网（北京）股份有限公司 $