精品解析：四川成都市锦江区2025－2026学年七年级下学期期末考试数学试题

七年级期末考试试题 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 随着我国人工智能技术蓬勃发展，各类国产人工智能平台已广泛应用于学习与生活当中．下列AI软件的官方标志图案中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴，对各选项分析判断即可． 【详解】 选项A： 沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，是轴对称图形，符合题意；  选项B：不是轴对称图形，故本选项不符合题意；  选项C：不是轴对称图形，故本选项不符合题意；  选项D：不是轴对称图形，故本选项不符合题意． 2. 室温超导作为全球尖端高新材料研究领域的重大突破，是近年来科技界备受关注的研究方向．某新型室温超导材料内部的微观原子间距约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，此项错误； B、与不是同类项，不可合并，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确． 4. 下列事件属于随机事件的是（ ） A. 太阳从西方升起 B. 等腰三角形两底角相等 C. 在只有铅笔的笔袋中随机取出一支笔，取出的笔是钢笔 D. 从装有5个黑球3个白球的不透明袋子中随机摸出一个球，摸到黑球 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、太阳从西方升起，一定不发生，是不可能事件； B、等腰三角形两底角相等，一定成立，是必然事件； C、在只有铅笔的笔袋中随机取出一支笔，取出的笔是钢笔，一定不发生，是不可能事件； D、从装有5个黑球3个白球的不透明袋子中随机摸出一个球，摸到黑球，可能发生也可能不发生，是随机事件． 5. 如图，已知，，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质和平角的定义，进行解答即可． 【详解】解：， ． ， ， ， ． 6. 如图，操场器材区两点，被器械遮挡，不能直接测量它们之间的距离．小星在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使；连接并延长到，使，则，所以，即测得的长度就是，间的距离．其中，的全等依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意提取已知条件，，结合图形隐含的对顶角相等，利用全等三角形判定定理“边角边”即可． 【详解】在和中， ∴． 7. 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出折线统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B. 经过有信号灯的十字路口时，遇到黄灯 C. 从分别标有，，，的张纸条中，随机抽出一张，抽到 D. 任意写一个小于的正整数，能被整除 【答案】C 【解析】 【分析】观察折线统计图，随着试验次数增加，频率在至之间波动并趋于稳定，估计该事件发生的概率约为（即），分别计算各选项的概率进行比对即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数增加，频率稳定在左右，即该事件发生的概率约为； 选项A：掷出偶数的概率为，不符合题意; 选项B：遇到黄灯的概率取决于信号灯时长设置，不是固定值，通常不符合此规律; 选项C：从张纸条中抽到的概率为，符合题意; 选项D：小于的正整数有共个，能被整除的有共个，概率为，不符合题意． 8. 如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，分别交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理求出的度数，根据线段垂直平分线可得，进而可得，，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵分别垂直平分和， ， ，， ∴． 9. 如图，将沿折痕折叠，使点落在边上的点处．若，，的周长为，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的周长为 【答案】D 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，结合的周长求出的值，进而求出的周长． 【详解】解：将沿折痕折叠，使点落在边上的点处， ，， 的周长为， ， ，即， 的周长为： ． 10. 小锦从学校骑车回家，途中因等红灯停留1分钟，之后继续骑行．已知骑行速度保持不变，其离家距离（m）与时间（）的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 十字路口距离小锦家的路程，比距离学校的路程更远 B. 小锦骑车的速度是300米/分钟 C. 小锦从学校到十字路口的路程是900米 D. 小锦从出发到回家的平均速度是250米/分钟 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象获取关键信息：总路程为，总时间为，中间停留且结束停留时刻为，从而推算出各段骑行时间和路程，结合速度公式进行判断． 【详解】解：由图象可知，小锦家与学校的距离为，全程总时间为 途中停留，且停留结束时刻为， 停留开始时刻为 第一段骑行（学校到十字路口）时间为，第二段骑行（十字路口到家）时间为 设骑行速度为，十字路口离家距离为 十字路口离学校距离为 根据速度不变可得： 解得  十字路口离家，离学校 骑行速度 对于A，十字路口离家，离学校，，故A正确； 对于B，骑行速度为，故B正确； 对于C，从学校到十字路口的路程为，故C错误； 对于D，全程平均速度为，故D正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用同底数幂的乘法和积的乘方运算性质的逆用简化计算，先将小数化为分数，拆分指数后合并同指数幂计算，即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 12. 一个三角形的两边长分别是2和4，周长是偶数，那么第三边边长是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形三边关系确定第三边的取值范围，再结合周长为偶数的条件，确定第三边的奇偶性，进而得到符合要求的第三边边长． 【详解】解：设第三边长为．根据三角形三边关系可得， 即． 三角形两边长为和，周长为， 因为周长为偶数，是偶数，所以必为偶数． 在的范围内，偶数只有，因此第三边长为． 13. 如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线，于点，，连接，则的大小为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的半径相等得到，由等边对等角，三角形内角和定理即可解得的大小． 【详解】解：连接， ∵以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线，于点，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 科技小组用几副不同度数的老花镜进行实验，将老花镜正对太阳光，在另一侧移动光屏，直至光屏上出现最小最亮的光斑，此时测量镜片到光斑的距离，记录数据如下： 老花镜的度数/度 80 100 200 250 镜片与光斑之间的距离m 1.25 1 0.5 0.4 随着老花镜度数的逐渐增大，镜片与光斑之间的距离逐渐________，二者之间满足的关系式是________． 【答案】 ①. 减小 ②. （或） 【解析】 【分析】先观察表格中数据的变化趋势，判断镜片与光斑距离随老花镜度数的变化规律，再通过计算每组数据中度数与距离的乘积，推导二者满足的关系式． 【详解】由表格数据可得，当老花镜度数逐渐增大时，镜片与光斑的距离逐渐减小； 计算每组与的乘积： ， ， ， ， 可知对所有数据满足，整理可得． 15. 用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张． 【答案】 15 【解析】 【分析】根据长方形的面积公式，利用多项式乘多项式法则展开，根据展开式中，，的系数确定各类卡片的数量，最后求和即可． 【详解】解：由图可知，类卡片的面积为，类卡片的面积为，类卡片的面积为 长方形的长为，宽为， 长方形的面积： 需要类卡片1张，类卡片6张，类卡片8张 ，，类卡片一共需要（张）． 三、解答题（本大题共9个小题，共65分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：  两边同乘去分母，得  移项，得  合并同类项，得  系数化为，得 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】利用完全平方公式、平方差公式和整式除法法则化简式子，再代入，计算即可． 【详解】解： 代入，，原式 18. 补充完成下列推理过程． 如图，在四边形中，，点在上，连接，．若平分，平分． 求证：． 证明：延长交的延长线于点， ， ．（__________________________） 又平分，平分， ，，（__________________________） ． 在和中， ， ．（__________________） ．（__________________________） 在和中 ，（___________________） ．（________________） ． 【答案】两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；；全等三角形对应边相等；已证； 【解析】 【分析】根据题目中的每一步推理过程，结合图形填写即可． 【详解】略 19. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点． （1）在网格中画关于直线的对称图形； （2）的面积_________； （3）在直线上找一点，使的周长最小（保留作图痕迹）． 【答案】（1）解：如图，即为所求； （2）； （3）解：如图，点即为所求， 【解析】 【分析】分别作出顶点关于直线的对称点，顺次连接三个对称点，即可得到； 利用长方形面积减去三个直角三角形面积即可； 连接交于点，从而求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：的面积 ， 故答案为：； 【小问3详解】 略． 20. 成都市锦江区鼓励学校开展特色课后服务．某校开设了“蜀锦织造体验”“剪纸艺术传承”“川剧舞蹈表演”“蓉城风光摄影”四类课程，要求每名学生必选且仅选一类．为了解学生的报名情况，学校对部分学生进行了抽样调查，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了________名学生，在扇形统计图中，m的值是________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“蓉城风光摄影”对应的圆心角的大小为________； （4）已知该校共有3000名学生，请根据抽样结果估计选择“蜀锦织造体验”的人数． 【答案】（1）50；32 （2）补全条形统计图如下： （3） （4）1080人 【解析】 【分析】（1）用“蜀锦织造体验”的人数除以其所占的百分比，可得到抽取的学生的总人数，从而得到选择“剪纸艺术传承”的人数，即可求解； （2）根据选择“剪纸艺术传承”的人数，即可补全条形统计图； （3）用360度乘以“蓉城风光摄影” 所占的百分比，即可求解； （4）用3000乘以选择“蜀锦织造体验”的人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：抽取的学生的总人数为人； 选择“剪纸艺术传承”的人数为人， ∴， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：“蓉城风光摄影”对应的圆心角的大小为； 【小问4详解】 解：人，即 选择“蜀锦织造体验”的人数为1080人． 21. 在和中，，与相交于点O． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求证：平分； （3）在第（2）问的条件下，若，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分． （3）的面积为9 【解析】 【分析】（1）由，可得，即可证明结论； （2）由，可得，，再由，即可证明结论； （3）延长交延长线于点，先证明，可得，再证明，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：延长交延长线于点， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22. 【基于教材】我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”教材在探究平方差公式与完全平方公式时，便充分运用了这一思想． （1）如图，将个长为、宽为的小长方形拼成一个大正方形．请用两种不同方法计算阴影部分的面积，则可得到的等式为___________________； 【知识迁移】 （2）如图，在数学实践课上，将一张正方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形，余下部分折成一个无盖长方体盒子．若原正方形边长与盒子底面边长之和为，原正方形面积与盒子底面面积之和为，试求该盒子的高； 【拓展应用】 （3）如图，长方形与按图示放置，点，分别在边，上，连接，，．已知，，，，，且阴影部分面积为，求的长． 【答案】（1）； （2）； （3）的长为． 【解析】 【分析】根据阴影部分面积的计算方法即可求解； 由题意得，，然后通过变形即可求解； 由题意得，，由阴影部分面积为，则，即，从而有，然后求出的值即可． 【小问1详解】 解：阴影部分面积为，方法一：；方法二：； ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴该盒子的高为； 【小问3详解】 解：由题意得，， ∵阴影部分面积为， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即的长为． 23. 已知成都与若尔盖相距约千米．小张乘车从成都出发，先以行驶小时，之后以另一速度匀速行驶，全程共用小时到达（忽略中途换驾时间）．小张出发小时后，小李驾车沿同一路线从若尔盖驶往成都，途中发现忘带文件，原地休息小时后按原速原路返回．如图，是两人行驶过程中与成都的距离随行驶时间变化的图象，请回答下列问题： （1）改变速度后，小张所乘汽车的速度为________千米时；小李的速度为________千米时； （2）小张出发后多久，第一次与小李相遇？ （3）已知小张和小李的汽车均装载智能通讯设备，设备最大通讯距离为千米．试求小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】先求出小时行驶路程为，再通过“速度路程时间”即可求解； 根据题意得当时，小张第一次与小李相遇，分别求出解析式，然后列方程、解方程即可； 分当，时，当时，当时，当时，当时，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵小张乘车从成都出发，先以行驶小时， ∴小时行驶路程为， ∴改变速度后，小张所乘汽车的速度为（千米时）； 小李的速度为（千米时）； 【小问2详解】 解：如图，当时，小张第一次与小李相遇， 设解析式为，把，代入得，， 解得， ∴解析式为， 设解析式为，把，代入得，， 解得， ∴解析式为， ∴小张第一次与小李相遇时， 解得， 答：小张出发小时后，第一次与小李相遇； 【小问3详解】 解：如图， 当时，设小李行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， 解得， ∴当时，小李行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， 当时，设小张行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴，解得， ∴小张行驶过程中与成都的距离与行驶时间的关系式为， ∴， ∵设备最大通讯距离为千米， ∴， ∴当，时， ， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∴通讯时间为（小时）； 当时， ， ， 或， 解得（舍去）或（舍去）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∴通讯时间为（小时）； 当时， ， ∴或， 解得或， ∵， ∴舍去， ∴通讯时间为（小时）； ∴通讯总时间为（小时）； 答：小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间为小时． 24. 如图，在中，为线段延长线上的一个动点，连接，过点向下作，连接，． （1）如图，若， 求的大小； 如图，过点作交延长线于点，在边上取点使得，过点作交于点，连接，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图，若，延长至点，使得，连接．请根据给出的信息提出一个数学问题并解答． 【答案】（1）； 解：，理由如下， 如图，在上截取，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即； （2）解：（答案不唯一），证明如下， 如图，延长至点，使得，连接，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由，，则有，然后通过直角三角形的性质即可求解； 在上截取，连接，证明，所以，，即，再证明，所以，即有； 延长至点，使得，连接，，由可得，又，，所以，再证明垂直平分，所以，可得，则有，证明，则有，然后证明，通过全等三角形的性质可得，所以． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 略； 【小问2详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级期末考试试题 数学 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1. 随着我国人工智能技术蓬勃发展，各类国产人工智能平台已广泛应用于学习与生活当中．下列AI软件的官方标志图案中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 室温超导作为全球尖端高新材料研究领域的重大突破，是近年来科技界备受关注的研究方向．某新型室温超导材料内部的微观原子间距约为米，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件属于随机事件的是（ ） A. 太阳从西方升起 B. 等腰三角形两底角相等 C. 在只有铅笔的笔袋中随机取出一支笔，取出的笔是钢笔 D. 从装有5个黑球3个白球的不透明袋子中随机摸出一个球，摸到黑球 5. 如图，已知，，如果，那么的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，操场器材区两点，被器械遮挡，不能直接测量它们之间的距离．小星在平地上取一个可以直接到达点和点的点，连接并延长到点，使；连接并延长到，使，则，所以，即测得的长度就是，间的距离．其中，的全等依据是（ ） A. B. C. D. 7. 两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率，绘制出折线统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 任意掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是偶数 B. 经过有信号灯的十字路口时，遇到黄灯 C. 从分别标有，，，的张纸条中，随机抽出一张，抽到 D. 任意写一个小于的正整数，能被整除 8. 如图，在中，，分别垂直平分和，垂足为，，分别交于点，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将沿折痕折叠，使点落在边上的点处．若，，的周长为，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. 的周长为 D. 的周长为 10. 小锦从学校骑车回家，途中因等红灯停留1分钟，之后继续骑行．已知骑行速度保持不变，其离家距离（m）与时间（）的关系如图所示，下列说法错误的是（ ） A. 十字路口距离小锦家的路程，比距离学校的路程更远 B. 小锦骑车的速度是300米/分钟 C. 小锦从学校到十字路口的路程是900米 D. 小锦从出发到回家的平均速度是250米/分钟 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：________． 12. 一个三角形的两边长分别是2和4，周长是偶数，那么第三边边长是________． 13. 如图，，点在射线上，以点为圆心，长为半径画弧，分别交射线，于点，，连接，则的大小为_________． 14. 科技小组用几副不同度数的老花镜进行实验，将老花镜正对太阳光，在另一侧移动光屏，直至光屏上出现最小最亮的光斑，此时测量镜片到光斑的距离，记录数据如下： 老花镜的度数/度 80 100 200 250 镜片与光斑之间的距离m 1.25 1 0.5 0.4 随着老花镜度数的逐渐增大，镜片与光斑之间的距离逐渐________，二者之间满足的关系式是________． 15. 用如图所示的A，B，C类卡片若干张，拼成一个长为，宽为的长方形，则A，B，C类卡片一共需要________张． 三、解答题（本大题共9个小题，共65分） 16. 解决下列问题： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 补充完成下列推理过程． 如图，在四边形中，，点在上，连接，．若平分，平分． 求证：． 证明：延长交的延长线于点， ， ．（__________________________） 又平分，平分， ，，（__________________________） ． 在和中， ， ．（__________________） ．（__________________________） 在和中 ，（___________________） ．（________________） ． 19. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点． （1）在网格中画关于直线的对称图形； （2）的面积_________； （3）在直线上找一点，使的周长最小（保留作图痕迹）． 20. 成都市锦江区鼓励学校开展特色课后服务．某校开设了“蜀锦织造体验”“剪纸艺术传承”“川剧舞蹈表演”“蓉城风光摄影”四类课程，要求每名学生必选且仅选一类．为了解学生的报名情况，学校对部分学生进行了抽样调查，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 请你根据图中提供的信息回答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取了________名学生，在扇形统计图中，m的值是________； （2）请补全条形统计图； （3）扇形统计图中，“蓉城风光摄影”对应的圆心角的大小为________； （4）已知该校共有3000名学生，请根据抽样结果估计选择“蜀锦织造体验”的人数． 21. 在和中，，与相交于点O． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求证：平分； （3）在第（2）问的条件下，若，，求的面积． 22. 【基于教材】我国著名数学家华罗庚曾说：“数形结合百般好，隔离分家万事休．”教材在探究平方差公式与完全平方公式时，便充分运用了这一思想． （1）如图，将个长为、宽为的小长方形拼成一个大正方形．请用两种不同方法计算阴影部分的面积，则可得到的等式为___________________； 【知识迁移】 （2）如图，在数学实践课上，将一张正方形纸片的四个角各剪去一个相同的小正方形，余下部分折成一个无盖长方体盒子．若原正方形边长与盒子底面边长之和为，原正方形面积与盒子底面面积之和为，试求该盒子的高； 【拓展应用】 （3）如图，长方形与按图示放置，点，分别在边，上，连接，，．已知，，，，，且阴影部分面积为，求的长． 23. 已知成都与若尔盖相距约千米．小张乘车从成都出发，先以行驶小时，之后以另一速度匀速行驶，全程共用小时到达（忽略中途换驾时间）．小张出发小时后，小李驾车沿同一路线从若尔盖驶往成都，途中发现忘带文件，原地休息小时后按原速原路返回．如图，是两人行驶过程中与成都的距离随行驶时间变化的图象，请回答下列问题： （1）改变速度后，小张所乘汽车的速度为________千米时；小李的速度为________千米时； （2）小张出发后多久，第一次与小李相遇？ （3）已知小张和小李的汽车均装载智能通讯设备，设备最大通讯距离为千米．试求小张从出发到停止行驶期间，两人能保持通讯的总时间． 24. 如图，在中，为线段延长线上的一个动点，连接，过点向下作，连接，． （1）如图，若， 求的大小； 如图，过点作交延长线于点，在边上取点使得，过点作交于点，连接，请用等式表示，，之间的数量关系，并说明理由； （2）如图，若，延长至点，使得，连接．请根据给出的信息提出一个数学问题并解答． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $