精品解析：河南开封市尉氏县2025-2026学年下学期期末阶段学情自测七年级数学试卷

七年级数学试卷 （时间：100分钟 本试卷：知识分值满分120分，卷面分值满分5分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 生活中“水涨船高”描述的是随机事件 B. 某市天气预报中说“明天降雨的概率是”，表示明天该市有的地区降雨 C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 D. 试验次数越少，频率越接近概率 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的定义、概率的意义、求简单事件的概率以及频率与概率的关系，结合相关概念逐一判断选项正误是解决问题的关键． “水涨船高”是一定会发生的事件，属于必然事件；天气预报中说“明天降雨的概率是”，表示明天该市降雨的可能性为；掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，正面朝上的概率为；试验次数越多，频率越接近概率，试验次数越少，频率不一定接近概率；从而确定答案． 【详解】解：A、“水涨船高”是一定会发生的事件，属于必然事件，不是随机事件，选项原说法错误，不符合题意； B、天气预报中说“明天降雨的概率是”，表示明天该市降雨的可能性为，选项原说法错误，不符合题意； C、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上和反面朝上的可能性相等，正面朝上的概率为，选项原说法正确，符合题意； D、由频率与概率的关系可知，试验次数越多，频率越接近概率；试验次数越少，频率不一定接近概率；选项原说法错误，不符合题意； 故选：C． 2. 篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻进了千年文脉里．下列四个选项中的字分别“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A．是轴对称图形； B．不是轴对称图形； C．不是轴对称图形； D．不是轴对称图形． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：，，故A错误． 选项B：，，故B错误． 选项C：，，故C错误． 选项D： ，故D正确． 4. 某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018 m．数据0.00000000018用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】绝对值比较小的数的科学记数法的形式为，其中，为整数． 【详解】解：数据0.00000000018用科学记数法表示为． 5. 如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（ ） A. 金额、单价是变量，加油量是常量 B. 金额、单价、加油量都是变量 C. 加油量、单价是变量，金额是常量 D. 金额、加油量是变量，单价是常量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查常量与变量，根据常量与变量的定义判断即可． 【详解】解：在金额、加油量、单价三个量中，金额、加油量是变量，单价是常量． 故选：D． 6. 如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂线的定义得到，利用对顶角的性质得到，根据“”的判定方法证明． 【详解】解：， ， ， 由题可得，， ． 8. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（ ）     A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用判定，根据全等三角形对应角相等可得，从而可得，根据三角形内角和定理可以求出，再利用三角形内角和定理可求的度数． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ， 又， ， ， 在中，． 9. 如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分析y随x的变化而变化的趋势，由于原来水位较低，乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，结合下面容器截面面积大于上面，由此即可作出判断． 【详解】∵乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位将会上升，但是下面容器截面面积大于上面， ∴水位上升的幅度较慢，后面水位上升的较快， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意． 故选：A． 10. 如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（ ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据反射的性质和平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，不能得出，故③错误，符合题意； D、∵， ∴， ∵，， ， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，错误的个数为1个． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行同位角相等以及邻补角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 12. 某地铁站为优化安检效率，测试了某款新型安检设备的违禁品识别情况．工作人员模拟携带违禁品通过安检口，记录每次设备能否精准识别，试验数据如表： 试验总次数 200 500 800 1000 1500 2000 精准识别次数 170 432 692 871 1305 1740 精准识别频率 0.850 0.864 0.865 0.871 0.870 0.870 根据以上数据，估计该设备精准识别违禁品的概率为______．（精确到0.01） 【答案】0.87 【解析】 【分析】根据概率的统计定义，当试验次数足够大时，频率稳定值可作为概率的估计值，由表可知，试验次数达到次及以上时，频率稳定在附近，从而求解． 【详解】解：观察表格数据可知，随着试验次数不断增大，精准识别的频率逐渐稳定在0.87附近， 因此估计该设备精准识别违禁品的概率为0.87． 13. 某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据收费规则，当乘车距离超过3千米时，费用包括起步价和超过部分的加收费用，据此建立函数关系式． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 14. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 【答案】2.8 【解析】 【分析】用正方形的面积乘以点落在区域内黑色部分的频率稳定值即可． 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 15. 如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 【答案】 【解析】 【分析】如图：连接，由轴对称的性质可得，即得，可知当时，的值最小，此时的长度也最小，利用三角形的面积求出的最小值即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵点关于边，的对称点分别为，，连接，点在上， ∴，， ∴， ∴， 当时，的值最小，此时的长度最小， 当时，， ∴，解得：， ∴， 即线段长度的最小值是． 三、解答题（本大题共8小题，知识分75分，卷面分5分） 16. 按要求解答下列各题： （1）计算： （2）先化简，后求值，其中，． 【答案】（1） （2）化简为，值为 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， 当，时，原式． 17. 已知的三边长为，且都是整数． （1）化简：； （2）若．且为等腰的边长，求的周长． 【答案】（1） （2）17 【解析】 【分析】（1）根据三角形的三边关系可得，进而化简绝对值即可求解； （2）根据完全平方公式以及非负数的性质求得的值，根据等腰三角形的三边关系求得的值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：∵的三边长为，，， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 即， ∴， ∴， 解得：， 设第三条边长为c， ∴， 即， ∵为等腰的边长， ∴， ∴的周长为． 18. 如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） （1）在图1中，画出的角平分线； （2）在图2中，画出边上的中线； （3）在图3中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图的应用和设计，中线，三角形全等，角平分线的性质，相似三角形的性质，掌握网格线的特征是解题的关键． （1）根据角平分线的性质作图； （2）根据中线性质作图； （3）根据全等三角形的性质作图． 【小问1详解】 如图，点D即为所求． 【小问2详解】 如图，取中点为，连接即为所求． 【小问3详解】 如图，，，，所以． 19. 小深同学趁假期与朋友去登山．早上，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰休息平台，休息了10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山．如图是他们出发后的时长（分钟）与他们离山脚的相对高度（米）之间的关系示意图．请根据图示信息，解答以下问题： （1）该问题情境中，自变量是________________，因变量是________________； （2）在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度是________________米／分；他们下山的相对高度平均变化速度是________________米／分； （3）将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 600 800 （4）他们出发后_______________分钟，离山脚的相对高度是700米． 【答案】（1）出发后的时长；离山脚的相对高度y （2）15；20 （3） 将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 300 600 800 600 （4）60或105【解析】 【分析】本题主要考查了用函数图象表示变量之间的关系，解答时理清函数图象的意义是解题的关键． （1）由图即可求解； （2）根据速度，并结合图象即可求解； （3）根据他们的速度和运动时间，求出他们所处的高度即可； （4）根据图象分两种情况：他们登山时或下山时，离山脚的相对高度是700米时的出发时间即可． 【小问1详解】 解：该问题情境中，自变量是出发后的时长x，因变量是离山脚的相对高度y； 【小问2详解】 解：在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度为： （米/分）； 他们下山的相对高度平均变化速度是： （米/分）； 【小问3详解】 解：出发20分钟时，离山脚的相对高度为（米）， 出发110分钟时，离山脚的相对高度为（米）； 【小问4详解】 解：在山腰休息平台休息后，他们的相对高度平均变化速度是： （米/分）， （分钟）， 即他们出发后60分钟，离山脚的相对高度是700米； （分钟）， 即他们出发后105分钟，离山脚的相对高度是700米； 综上分析可知：他们出发后60分钟或105分钟，离山脚的相对高度是700米． 20. 某校购进了40筒羽毛球以供学生使用，发现其中混有若干个次品羽毛球，体育老师经过统计，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品，具体情况跟商家反馈如下： 混入次品羽毛球数/个 0 1 2 筒数/筒 32 （1）从40筒羽毛球中任意选取1筒． ①“筒中没有混入次品羽毛球”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； ②若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，则的值为________； （2）在（1）的基础上任意选取一筒，求给出的三种情况的可能性大小的排序（用“”连接）． 【答案】（1）①随机，②3 （2）选到筒中没有混入次品羽毛球的可能性选到筒中混入1个次品羽毛球的可能性选到筒中混入2个次品羽毛球的可能性 【解析】 【分析】（1）①结合题中描述即可判断；②由“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，列式求出即可得到值； （2）根据题意，分别求出（筒中没有混入次品羽毛球）、（筒中混入1个次品羽毛球）、（筒中混入2个次品羽毛球），比较大小即可得到答案． 【小问1详解】 解：①由题中描述可知，“筒中没有混入次品羽毛球”是随机事件； ②“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为， ，解得， 则； 【小问2详解】 解：由题意得（筒中没有混入次品羽毛球）， （筒中混入1个次品羽毛球）， （筒中混入2个次品羽毛球）， ， 选到筒中没有混入次品羽毛球的可能性选到筒中混入1个次品羽毛球的可能性选到筒中混入2个次品羽毛球的可能性． 21. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： （1）如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； （2）由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； （3）应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 【答案】（1）； （2）这两个角相等或互补 （3），或， 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质即可得到答案； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）设这两个角的度数分别为，分两种情况：和，根据题意分别建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图①所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； 如图②所示，设交于点H， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； 【小问3详解】 解：设这两个角的度数分别为， 当时，则， 解得； 当时，则， 解得 ， ∴； 综上所述，这两个角的度数分别为，或，． 22. 综合与实践 【问题情境】 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后到达空间站．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 【数学建模】：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作关于能源站所在直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 【推理论证】：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． 【问题解决】 （1）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的，转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； （2）请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； （3）如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】（1）；；； （2）如图， 即为最短路径； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【解析】 【分析】（1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； （3）如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；；； （2）见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，利用判定≌，再根据全等三角形的性质求解； （2）利用“”字模型，证明同角的余角相等，多次利用三角形全等证出结果； （3）先利用“”字模型，证明，，利用全等三角形得到新的条件证，再将三角形面积进行等量代换求出最后答案． 【小问1详解】 解：由题意知得，在和中，， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图：作， ∴ ， ∵， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，即：点G是的中点． 【小问3详解】 解：，理由如下： 如图：作，， ∵，，， ∴，则， 在和中，， ∴， 同理可证， ∴，，，， ∴ ∵在 和 中，， ∴， ∴， ∴ ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试卷 （时间：100分钟 本试卷：知识分值满分120分，卷面分值满分5分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 生活中“水涨船高”描述的是随机事件 B. 某市天气预报中说“明天降雨的概率是”，表示明天该市有的地区降雨 C. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上的概率为 D. 试验次数越少，频率越接近概率 2. 篆书之美，在其线条如古玉凝脂般温润匀净，结体似青铜鼎彝般庄重对称，将汉字的古朴与秩序感刻进了千年文脉里．下列四个选项中的字分别“华、夏、儿、女”四字的篆体形式，其中是轴对称图形的为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某研究团队突破“蛋白质纯化”这一传统概念，直接对线粒体成像，获得了迄今为止最清晰、最接近真实生理状态的线粒体原位膜蛋白高分辨率三维解析结构，局部分辨率最高达0.00000000018 m．数据0.00000000018用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是加油站加油机上的数据显示牌．在金额、加油量、单价三个量中，下列说法正确的是（ ） A. 金额、单价是变量，加油量是常量 B. 金额、单价、加油量都是变量 C. 加油量、单价是变量，金额是常量 D. 金额、加油量是变量，单价是常量 6. 如图①是2026年春晚的武术节目《武》中某机器人的表演瞬间，图②是其局部示意图．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，为了测量点到河正对面点之间的距离，小明在与点同侧的河岸上选择点和点，测得，（，，三点共线），过点作，使得点，，在同一直线上，得到，测得的长就是，两点之间的距离，这里判定的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数是（ ）     A. B. C. D. 9. 如图，瓶子里水位高度为a，乌鸦喝不着水，于是乌鸦衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升至瓶口b处，乌鸦喝到了水．设放入瓶中的石子个数为x，水位高度为y，假设每一颗石子的体积一样，下列图象中最符合情境的大致图象是（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，已知是一块平面镜，光线在平面镜上经点反射后，形成反射光线，我们称为入射光线，为反射光线．镜面反射有如下性质：入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，即．如图2，和是两块平面镜，入射光线经过两次反射后，得到反射光线．则下列结论错误的个数是（ ） ①若，则；②若，则；③若，则；④若，则． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 如图是一根杆秤在称物状态时的示意图，，则_____． 12. 某地铁站为优化安检效率，测试了某款新型安检设备的违禁品识别情况．工作人员模拟携带违禁品通过安检口，记录每次设备能否精准识别，试验数据如表： 试验总次数 200 500 800 1000 1500 2000 精准识别次数 170 432 692 871 1305 1740 精准识别频率 0.850 0.864 0.865 0.871 0.870 0.870 根据以上数据，估计该设备精准识别违禁品的概率为______．（精确到0.01） 13. 某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下：行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价3元，超过3千米后，每多行驶1千米加收元，试写出乘车费用（元）与乘车距离（千米）之间的函数关系式：____________． 14. 二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 15. 如图，在直角三角形中，，，，，动点在线段上运动（不与端点重合），点关于边，的对称点分别为、，连接，点在上，则在点的运动过程中，线段长度的最小值是________________． 三、解答题（本大题共8小题，知识分75分，卷面分5分） 16. 按要求解答下列各题： （1）计算： （2）先化简，后求值，其中，． 17. 已知的三边长为，且都是整数． （1）化简：； （2）若．且为等腰的边长，求的周长． 18. 如图，在的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请使用无刻度直尺和圆规按要求作图．（注意求作的图形用实线） （1）在图1中，画出的角平分线； （2）在图2中，画出边上的中线； （3）在图3中，找一个点D，使得与全等（点D不能与点A重合） 19. 小深同学趁假期与朋友去登山．早上，他们从山脚出发，经过40分钟到达山腰休息平台，休息了10分钟后继续前行登上山顶，在山顶停留了半小时后原路下山．如图是他们出发后的时长（分钟）与他们离山脚的相对高度（米）之间的关系示意图．请根据图示信息，解答以下问题： （1）该问题情境中，自变量是________________，因变量是________________； （2）在山腰休息平台休息前，他们的相对高度平均变化速度是________________米／分；他们下山的相对高度平均变化速度是________________米／分； （3）将下表信息补充完整： 出发后时长（分钟） 20 45 90 110 离山脚的相对高度（米） 600 800 （4）他们出发后_______________分钟，离山脚的相对高度是700米． 20. 某校购进了40筒羽毛球以供学生使用，发现其中混有若干个次品羽毛球，体育老师经过统计，发现每筒羽毛球最多混入了2个次品，具体情况跟商家反馈如下： 混入次品羽毛球数/个 0 1 2 筒数/筒 32 （1）从40筒羽毛球中任意选取1筒． ①“筒中没有混入次品羽毛球”是________（填“必然”“不可能”或“随机”）事件； ②若“筒中混入1个次品羽毛球”的概率为，则的值为________； （2）在（1）的基础上任意选取一筒，求给出的三种情况的可能性大小的排序（用“”连接）． 21. 已知一个角的两边与另一个角的两边分别平行，请结合图形解答下列问题： （1）如图，，图①中与的关系是______；图②中与的关系是______； （2）由（1）可以得出以下结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么______； （3）应用：已知两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，求这两个角的度数． 22. 综合与实践 【问题情境】 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后到达空间站．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 【数学建模】：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作关于能源站所在直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 【推理论证】：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． 【问题解决】 （1）本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的，转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； （2）请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； （3）如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 23. 通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： （1）如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到≌______，推理依据是______．进而得到______，______．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三等角”模型； （2）如图2，，，，连接，且于点与直线交于点G．求证：点G是的中点； （3）如图3，已知四边形和，，，，的面积为，的面积为，试猜想和的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $